2025年中考数学几何模型综合训练专题30解直角三角形模型之12345模型解读与提分精练（学生版）

专题30解直角三角形模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的

独特魅力。

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模型1.“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................1

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模型1.“12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格交点）。

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。

上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：

11

tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

23

12345基础模型模型还可变式为

1a

tan=tan=a

2；变式：b；变式：tan=ba。

451452btan

1baab

tantan45

3ab

证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在DC

111

上取一点F使得DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

233

易证：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

图1

证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，在

DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，

baaa

故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

abbb

易证：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。

1143

注意：下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。

2334

（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；

（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；

上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来

解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，

但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。

例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在RtABC中，C90，BC5，点D是AC上一点，连接

11

BD．若tanA，tanABD，则CD的长为（）

23

A．25B．3C．5D．2

例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将ABG沿AG对折至

AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）△

△

48

A．B．2C．D．3

33

例3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，AB90，ABBC4，AD3，

E是AB上一点，且DCE45，则DE的长度是（）

A．3.2B．3.4C．3.6D．4

例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AB的中点，连接AE，

点G是线段AE上一点，连接GF，延长FG交CD于点M，若AB4，AGF45，则CM的长为．

例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若

AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为.

例6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线yxm分别交x轴，y轴于A，B

两点，已知点C2，0，点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若CPAABO，则m的值为．

例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将ABE沿直

线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．△

8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD

上，记为B，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在BC边上，记为D¢，折痕为CF，BD2，

1

BEBC．则矩形纸片ABCD的面积为．

3

AB′FD

ED′

BC

例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB3,BC4，以点B为圆心，适当长为半

1

径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧交于点P，作射线

2

BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为（）

A．10B．11C．23D．4

例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，BE与AC交于点

M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BFAE，连接MH，则AH，

MH．

1．（23-24广东汕头·模拟预测）如图，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中点．将ABG沿AG对折至

AFG，延长GF交DC于点E，则GE的长是（）

A．5B．4C．3D．2

2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是

AB中点，且∠ECF=45°，则CF的长为（）

A．12B．3C．310D．35

3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB90，ABBC8，AD6，

E是边AB上一点，且DCE45，则DE的长度是（）

A．8B．7.4C．7D．6.8

4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x

轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的

值是．

5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，将矩形ABCD沿AE，

AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若DF2CF，AB6，

AD10，则线段BE的长为．

6．（2024·广东·模拟预测）在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、

F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．

7.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD

上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．

AD

F

BEC

7.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把PAB沿着PA翻折得到

PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=．△

△

8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在

格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．

9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、

1

y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB=5，tan∠BOC=，则点A’的

2

坐标为____________．

10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，

分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．

DC

M

E

AFGB

11．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为10，对角线AC、BD交于点O，

点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为.

12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落

在A处，若EA的延长线恰好过点C，则sinABE的值为．

13．（23-24九年级·天津河西·期末）正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分

别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为．

14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y

轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为．

16

15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y

x

的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45，交y轴于C点，则ABC面积为．

△

16．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：

1

阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记