2025年中考数学几何模型综合训练专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解读与提分精练（学生版）

专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8

（X）字模型．

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“A”字模型............................................................................................................................................1

模型2.“X”字模型（“8”字模型）..................................................................................................................3

模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）............................................................................................................6

...................................................................................................................................................9

【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的

是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论

小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1.“A”字模型

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹

这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。

①“A”字模型②反“A”字模型③同向双“A”字模型④内接矩形模型

图1图2图3图4

ADAEDE

①“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：ADE∽△ABC＝＝。

ABACBC

△⇔ADAEDE

证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴ADE∽△ABC，∴＝＝。

ABACBC

△ADAEDE

②反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：ADE∽△ACB＝＝。

ACABBC

△AD⇔AEDE

证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴ADE∽△ACB，∴＝＝。

ACABBC

△

③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；

EGFGAG

结论：AEF∽△ABC，AEG∽△ABD，AGF∽△ADC。

BDCDAD

△△△⇔

证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴AEF∽△ABC，

ADAEDE

同理可证：AEG∽△ABD，AGF∽△ADC，∴＝△＝。

ABACBC

△△

④内接矩形模型条件：如图4，ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边

DGANAN

上，且AM⊥BC；结论：ADG∽△△ABC，ADN∽△ABM，AGN∽△ACM。

BCABAM

△△△⇔

证明:∵DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴ADG∽△ABC，

DGANAN

同理可证：ADN∽△ABM，AGN∽△ACM，∴。△

BCABAM

△△

例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，

AC∥DG∥EF，CE交DG于点H．若AC12，则GH的长为．

例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形MNPQ内接于ABC，点M，N在BC上，点P，Q分别

在AC和AB边上，且BC边上的高AD6，BC12，则正方形MNPQ的面积为．

例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：Rt△ABC中，C90，BC1，AC2，把边长分别为x1，x2，

x3，…xn的n个正方形依次放在ABC中；第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二

个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在RtAP1M1的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长

x2024为．

例4．（2024·山东·中考真题）如图，点E为YABCD的对角线AC上一点，AC5，CE1，连接DE并延

长至点F，使得EFDE，连接BF，则BF为（）

57

A．B．3C．D．4

22

例5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD与BE

相交于点F，(1)判断△ADC与BEC是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接ED，求证：CDABACDE；

(3)若BABC，DE3，BD5，求CD的长．

模型2.“X”字模型（“8”字模型）

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个

三角形相似．

①“8”字模型②反“8”字模型③平行双“8”字模型④斜双“8”字模型

图1图2图3图4

①“8”字模型

ABOAOB

条件：如图1，AB∥CD；结论：AOB∽COD＝＝。

CDOCOD

△△⇔

ABOAOB

证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴AOB∽COD，∴＝＝。

CDOCOD

△△

②反“8”字模型

ABOAOB

条件：如图2，∠A＝∠D；结论：AOB∽DOC＝＝。

CDODOC

△△⇔

ABOAOB

证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角）∴AOB∽DOC，∴＝＝。

CDODOC

△△

③平行双“8”字模型

AEBEAB

条件：如图3，AB∥CD；结论：。

DFCFCD

证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴AEO∽△DFO，

AEBEAB

同理可证：BEO∽△CFO，ABO∽△DCO，∴△。

DFCFCD

△△

④斜双“8”字模型

条件：如图4，∠1＝∠2；结论：AOD∽△BOC，AOB∽△DOC3＝∠4。

证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC△（对顶角），∴A△OD∽△BOC，⇔∴∠AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；

∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴AOB∽△DOC，△∴∠3＝∠4。

△

例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F

EF

是OD上一点．连接EF．若FEO45，则的值为．

BC

例2.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点

39CD

F,BO1，CO3,AO,DO．（1）求证：AD．（2）若AE2BE，求．

22DF

例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为6，BAD120，过点D作DEBC，交BC

的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为．

例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的

重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为3的等边ABC的重心为点O，求△OBC与ABC的面积；

ODSOBC

(2)性质探究：如图(二)，已知ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出

OASABC

这两个定值；如果不是，请说明理由；

(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．

①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若SCME2，求正方形ABCD的面积

模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）

①一“A”+“8”模型②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型）③四“A”+“8”模型

图1图2图3

①一“A”+“8”模型条件：如图1，DE∥BC；

ADAEDEDFFE

结论：ADE∽△ABC，DEF∽△CBF，。

ABACBCFCBF

△△⇔

ADAEDE

证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴ADE∽ABC，∴＝＝。

ABACBC

△△DEDFFE

∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴DEF∽△CBF，∴。

BCFCBF

△

ADAEDEDFFE

∴。

ABACBCFCBF

②两“A”+“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；

111

结论：DAF∽△DBC，CAF∽△CED，。

AFBCDE

△△⇔

DFAF

证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴DAF∽△DBC，∴。

DCBC

△CFAF

∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴CAF∽△CED，∴。

CDDE

DFCFAFAFAF△AF111

两式相加得到：，即1，故。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

11112

③四“A”+“8”模型3条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。

BCDEAFAGGF

111111

证明:同②中的证法，易证：，，

BCDEAFBCDEAG

111112

∴，即AF=AG，故。

AFAGBCDEGFGF

2

例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD

相交于点F，则下列等式中不．成．立．的是（）

ADAEDEDFDEAEEFAE

A．B．C．D．例2．（2023·安徽·三模）如图，已知

DBECBCFCBCECBFAC

ABBC、DCBC，AC与BD相交于点O，作OMBC于点M，点E是BD的中点，EFBC于点G，

交AC于点F，若AB4，CD6，则OMEF值为（）

71232

A．B．C．D．

5555

例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点E，点F在BD上．求

111

证：；

ABCDEF

EFEF

小雅同学的想法是将结论转化为1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．

ABCD

（2）【类比探究】如图2，AEAB，BDAB，GHAB，DE与BC相交于点G，点H在AB上，AEAC．求

112

证：．

GHACBD

（3）【拓展运用】如图3，在AC四边形ABCD中，AB∥CD，连接，BD交于点M，过点M作EF∥AB，

交AD于点E，交BC于点F，连接EC，FD交于点N，过点N作GH∥AB，交AD于点G，交BC于点H，

若AB3，CD5，直接写出GH的长．

例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践

在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：

【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，经过焦点F的光线AE经凸透镜L折

射后平行于主光轴MN沿EA射出，与光线AO交于点A，过点A作主光轴MN的垂线段AB，垂足为B，

即可得出物体AB所成的像AB．

【模型验证】设焦点F到光心的距离FO称为焦距，记为f；物体AB到光心的距离BO称为物距，记为u；

像AB到光心的距离OB称为像距，记为v．

111

已知ABh，ABh，当fu2f时，求证：．

12uvf

证明：∵ABMN，ABMN，∴ABOABO90，

又∵AOBAOB，∴AOB∽△AOB，

ABOBh1u

∴，即，同理可得ABF∽EOF，

ABOBh2v

ABBFh1u

∴，即①，∴②，

OEOFh2v

111111

∴uvvfuf，∴，即．

fuvuvf

请结合上述材料，解决以下问题：

(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含v、f的代数式表示)；(2)若该凸透镜L的焦距为20cm，物体

距凸透镜L的距离为30cm，物高为10cm，则物体AB所成的像AB的高度为__________cm；

(3)如图2，由物理学知识知“经过点A且平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后经过点A”，小明在

做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线CA始终经过主光轴MN上一定点．若该凸透镜L的焦距为

20cm，物高为10cm，试说明这一物理现象．

1．（2024·浙江温州·三模）如图，在YABCD中，AG平分BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，

S2

E，记△ADF与CEG的面积分别为S1，S2，若AB:AD2:3，则的值是（）

S1

1154

A．B．C．D．

43189

2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是的中点，连接BE，AC相交

于点F，过F作的平行线交于点G，若FG2，则BC的值是（）𝐴

𝐴𝐴

A．6B．5C．8D．4

3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径

1

作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在ABC

2

内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD3，DE2，下列结论错误的是

（）

BE5

A．ABECBEB．BC5C．DEDFD．

EF3

4．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在ABC中，BC120，高AD60，正方形EFGH一边在BC

上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）

A．15B．20C．25D．30

5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在ABC中，E线段AC上一点，且AE:CE1:2，过点C作CD∥AB，

交BE的延长线于点D．若BEC的面积为10，则ECD的面积为（）

A．10B．15C．20D．25

6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，连接DE交对角线AC于点F，若DAC30，

AF

DEC45，则的值为（）

FC

A．3B．2C．2D．1．5

7．（2024·河南·中考真题）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB

交BC于点F．若AB4，则EF的长为（）

14

A．B．1C．D．2

23

8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在YABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD

上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（）

CEAD

A．若，则EF∥BDB．若AEBC，AFCD，AEAF，则EF∥BD

CFAB

C．若EF∥BD，CECF，则EACFACD．若ABAD，AEAF，则EF∥BD

9．（2024·陕西西安·一模）如图，在ABC中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点．连

接ND并延长与CB的延长线相交于点P．若DE4，则线段CP的长为（）

A．5B．7C．6D．8

10．（2024·江苏南京·一模）如图，AB，CD分别垂直BD，垂足分别为B，D，连接AD，BC交于点E，

ba

作EFBD，垂足为F．设AB=a，CDb，EFc，若1，则下列等式：①acb；②bc2a；

ab

③a2bc，其中一定成立的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，

若AB6，CE2，则DH的长为（）

58

A．2B．3C．D．

23

12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC，ACB90，CB5，CA10，点D，E分别在AC，AB边

上，AE5AD，连接DE，将VADE沿DE翻折，得到VFDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是BEC

面积的2倍，则AD．

OAOCAC1AC

13．（2024·云南·中考真题）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若，则．

OBODBD2BD

14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB2，AD4，E、F分别是边CD、AD

上的动点，且CEDF．当AECF的值最小时，则CE．

15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，若

BH1AB

，则．

HC4CD

16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，

我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作

CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．

【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AECF，连接EF交AC

于点G．求证：①G是EF的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；

【拓展延伸】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足

AE2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系是：____________________________；

17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图1，在ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的一个三等分点，且AC3CE，连接CD，BE交于点

F，求证：CFFD．

①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取EB的中点G，连接DG，再通过“全等三角

形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点C作CG∥AB，交BE

的延长线于点G，再通过“全等三角形的性质”解决问题．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我

们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，

在ABC中，点D是AB的中点，点E，G是AC的三等分点，BG，BE与CD分别交于点H，F，求HD:HF

的值．

【学以致用】（3）如图5，在ABC中，ACBC，在射线AB上取点D，使BD2AB，连接CD，在CD上

取点E，射线EB，CA相交于点F，当EBED时，求BE:BF的值．

18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，ACB90，将VABC折