2025年中考数学几何模型综合训练专题17全等三角形模型之奔驰模型解读与提分精练（学生版）

专题17全等三角形模型之奔驰模型

对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我

们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”

我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。今天的这主要

讲“奔驰模型”之旋转全等类型。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）...............................................................................................1

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）......................................................................................4

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）.....................................................................................6

...................................................................................................................................................8

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）

此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特

征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。

等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。

条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足PA2PB2PC2（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），

结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

3

常用结论等边三角形的面积公式：SAB2（选填题非常适用）

ABC4

证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。

∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；

'

∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴ABPACP（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；

∵PA2PB2PC2，∴P'P2P'C2PC2，∴∠PP’C=90°，

∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。

注意：多线段共端点常考旋转。

例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA2，PB1.5，PC2.5，

则APB的度数为．

例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA2，OB1，OC3，则AOB

与BOC的面积之和为（）

3333

A．B．C．D．3

424

例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，VABC，CDE都是等边三角形，将CDE绕点C旋转，使得点

A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE2，AE7，则CD的长是．

例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA3，PB4，PC5，以BC为边在ABC

外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（）

A．PBQ60B．PQC90C．APC120D．APB150

例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，O是正VABC内一点，OA3，OB4，OC5，将线

段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论，①△BOA可以由BOC绕点B逆时针旋

转60得到；②点O与O的距离为5；③AOB150；④四边形AOBO¢面积643；⑤

9

SS63，其中正确的结论是（）

△AOC△AOB4

A．①④⑤B．①③④C．①③④⑤D．①③⑤

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）

2

条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足PB22PAPC2，

结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。

∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；

∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，P'P2PA，∠AP’P=45°；

'

∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴ABPACP（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；

2

∵PB22PAPC2，∴P'C2P'P2PC2，∴∠PP’C=90°，

∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。

例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角△ACB，ACBC，点P在△ACB内，PC2，

PA3，PADACP则PB的长为（）

A．17B．13C．52D．5

例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE

的垂线交AE于点P，若DEDP2，PC25则下列结论：①△APD≌△CED；②AECE；③点C

到直线DE的距离为23；④S正方形ABCD26其中结论正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，Rt△ABC中，ACB90，AC43，BC6．点P为ABC

内一点，且满足PA2PC2AC2．当PB的长度最小时，则△ACP的面积是．

例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA5，PB2，PC1，求BPC

的度数．

【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是

将BPC绕点B逆时针旋转90，得到了BPA（如图2），然后连结．

'

【解决问题】请你通过计算求出图2中BPC的度数；��

【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA213，PB4，PC2．

（1）BPC的度数为；（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为．

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）

模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若CP2AP2BP2，结论：∠CPA=30°。

2

模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若CP22APBP2，结论：∠APC=45°。

（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）

图1图2

鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有

意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。

模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。

∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；

∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴BAPCAD（SAS），∴BP=CD；

∵CP2AP2BP2，∴PC2DP2CD2，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。

模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。

∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；

∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，DP2PA，∠APD=45°；

∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴ABPACD（SAS），∴BP=CD；

2

∵CP22APBP2，∴CP2DP2CD2，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。

例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，P是等边三角形ABC外一点，PA3，PB4，PC5，求BPA

的度数．

例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形ABC外一点，连接PA，PC，若PA7，PB9，

APB30，则PC的长是．

例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，

则BD的长为（）

A．34B．41C．43D．59

例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1，

在四边形ABCD中，ABAC，ABC60，ADC30，AD4，BD5，求的长．”经过小组合作

交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将△BCD绕点B逆时针旋转到BAE�，�连接．则BDE是

60°��

等边三角形，所以DEBD5，导角可得DAE=90，所以CDAEDE2AD23．

（1）请补全图形；

AD3

【探究应用】（2）如图2，在VABC中，ABAC，BAC120．D为VABC外一点，且ADB50，，

BD3

求ADC的度数；

【拓展延伸】（3）如图3，在VABC中，ABAC，BAC120，ADBC于D，M为上一点，连接，

N为上一点，若AN2，BN3，BANCBN30，连接CN，请直接写出线𝐶段CN的长___�__�_．

𝐵

1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边ABC内有一点P，使得APC:APB:BPC7:8:9，那么

以AP，BP，CP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为．

2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件

相对集中，以达到解决问题的目的．

【发现问题】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA2，PB3，PC1，求BPC的度数．

解：如图①，将线段BP绕点B逆时针旋转60得到线段BP，连接AP，PP．

BPBP，PBP60，PBP是等边三角形，BPP60，PPPB3，

ABC是等边三角形，ABC60，BCBA，

ABCABPPBPABP，即PBCPBA．请你补充完整解答过程．

【应用问题】如图②，在正方形ABCD内有一点P，若PA41，PB4，PC3，则BPC．

【拓展问题】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在直线AD上方（包括直线AD）

有一点P，PA4，PD2，连接PO，则线段PO的最大值为．

3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC

内有一点P，且PA3，PB4，PC5，求APB的度数．

张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△APC，连接PP，得到两个特殊的三角形，

从而将问题解决．

(1)请你计算图1中APB的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD

内有一点P，且PA22，PB1，PD17，求APB的度数．

4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在VABC中，ABBC，ABC90，点D在VABC

内部，点E在VABC外部，满足BDBE，且BDBE．求证：ABD≌CBE．

（2）已知如图2，在等边VABC内有一点P，满足PA5，PB4，PC3，求BPC的度数．

5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形ABCD是正方形，点P为平面内一点，

(1)若点P在正方形内，如图1，PA1,PB2,PD2，求APB的度数；

(2)若点P在正方形外，如果PAa,PBb，如图2，且APB45°，求PD的长．（用a,b表示）

6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，

如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.

小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将PAC绕点A顺时针

旋转90°得到P'AB，再利用勾股定理即可求解本题.请根据数学老师的提示帮小明求出△图一中线段PB的长

为.△

【方法迁移】：已知：如图二，ABC为正三角形，P为ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB=3,求∠APB

的大小.△△

【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若

AD=2，BE=3，求DE的长.

7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点P是等边

三角形ABC内一点，PA1,PB3,PC2，求BPC的度数．为利用已知条件，不妨把BPC绕点C顺

时针旋转60°得APC，连接PP，则PP的长为_______；在PAP中，易证PAP900，且PPA的度

数为_____，综上可得BPC的度数为__；（2）类比迁移:如图，点P是等腰RtABC内的一点，

ACB900,PA2,PB2,PC1．求APC的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形ABCD中，

1

BC3,CD5,ABACAD,BAC2ADC，请直接写出的长．

2

𝐶

6．（23-24九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端

点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．

（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP

三条线段间的数量关系，我们可以将ABP，绕点A逆时针旋转90°得到ACP'，连接PP'，则PP'＝AP，

CPP'是三角形，AP，BP，CP△三条线段的数量关系是．△

△（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究

AP、BP、CP三条线段间的数量关系．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝

135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．

7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边VABC内部有一点P，PA3，PB4，PC5，

求APB的度数．

（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．

【尝试解决】将△APC绕点A逆时针旋转60，得到△APB，连接PP，则APP为等边三角

形．PPPA3，又PB4，PC5，PP2PB2PC2，VBPP为三角形，APB的度数为．

【类比探究】如图2，在VABC中，BAC90，ABAC，其内部有一点P，若PA2，PB1，PC3，

求APB的度数．

【联想拓展】如图3，在VABC中，BAC90，BCA30，其内部有一点P，若PA3，PB2，PC43，

求APB的度数．

8．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边ABC内有一点P，且PA2，PB3，PC1，

若把BP绕着点B逆时针旋转60得到BP，连接PP，AP．

(1)求BPC的度数；(2)求PP的长．(3)求点P划过的路径长；

5

(4)当BC时，如果BPA是由△BPC旋转所得，求PC扫过的区域的面积．

2

9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰RtABC中，ACB90，点P是ABC内一点，连接

PA,PB,PC，且PA2PC，设APB,CPB.

（1）如图1，若ACP45，将PBC绕点C顺时针旋转90至DAC，连结DP，易证DAP为等边三角

形，则，；（2）如图2，若PB2PA，则，；

（3）如图3，试猜想和之间的数量关系，并给予证明.

10．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边ABC中，点D是等边ABC内一点，

连结AD，BD，将△ABD绕点A逆时针旋转60得到△ACE，连结DE，观察发现：AD与DE的数量关系

为，ADE度；

【尝试应用】：如图2，在等腰RtABC中，ABAC，BAC90，点D是RtABC内一点，连结AD，

BD，CD，AD22，BD5，CD=3，求△BCD面积．

AD

【拓展创新】：如图3，在等腰ABC中，ABAC，BAC120，点D为平面内一点，且ADB60，3，

BD

AC

则的值为．

CD

11．（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好Rt△ABC，ABCB，

ABC90，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．

问题发现，某小组将线段AB绕着点A逆时针旋转得到线段AD，旋转角设为，连接CD、BD，如图1所

示．如图2，小李同学发现，当点D落在边AC上时，BAD2CBD；

如图3，小王同学发现，当每改变一个度数时，CD的长也随之改变．……

问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．

如图1，在Rt△ABC中，ABCB，ABC90，将线段AB绕着点A逆时针旋转得到线段AD，设转角设

为，连接CD、BD．（1）如图2，当点D落在边AC上时，求证：2CBDBAD；（2）如图3，当

30时，若AB62，求CD的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰三角形的

顶角改为100，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，ABC中，ABCB，ABC100，将线段AB

绕着点A逆时针旋转得到线段AD，旋转角20，连接CD、BD，求ACD的度数．

12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，

以达到解决问题的目的．

（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA2，PB3，PC1，求BPC的度

数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60得到线段BP，连接AP、PP，则△BPC≌△BPA，

然后利用△BPP和APP形状的特殊性求出BPA的度数，就可以解决这道问题．

下面是小明的部分解答过程：

解：将线段BP绕点B逆时针旋转60得到线段．BP，连接AP、PP，

∵BPBP，PBP60，∴PBP是等边三角形，∴BPP60，PPPB3．

∵ABC是等边三角形，∴ABC60，BCBA，

∴ABCABPPBPABP，即PBCPBA．

请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA17，PB22，

PC1，则BPC______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，

在直线AD上方有一点P，PA4，PD2，连接PO，则线段PO的最大值为______．

13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在ABC中，点D为BC边上一点，连

接AD，点P为线段AD上一点，连接PB、PC得到有公共边的两个ABP和△APC，求证：

S△ABP:S△ACPBD:DC．

【类比迁移】如图（2），在Rt△ABC中，点D、E、F分别为线段BC、AC、AB上的点，线段AD、BE、

CF交于点P，若BD:DC1:2，AE:EC1:1，则AF:BF．

【拓展迁移】如图（3），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P为ABC内部一点，且

S△ABP:S△ACP:S△BCP5:15:12，则线段AP＝．

14．（23-24九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

如图1，在等边ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、

分析、思考、交△流，对上述问题形成了如下想法：将APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到ABD，连

接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能△求PB＝请参考他们的想法，完成下△面问题：

【学以致用】如图2，在等腰直角ABC中，∠ACB＝90°，P为ABC内一点，PA＝5，PC＝22，∠BPC

＝135°，求PB的长；△△

【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若

AD＝2，BE＝3，求DE的长．

15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的

△

最大值是．（2）如图②，已知在RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为ABC内一点，且AD＝27，

BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数△．△

问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区ABC，且AB＝AC．∠

BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是ABC内一个打卡点．按照设计△要求，CP＝30米，打

卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120△°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距

离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．

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