2025年中考数学几何模型综合训练专题15全等三角形模型之角平分线模型解读与提分精练（学生版）

专题15全等三角形模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................2

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）............................................................................................2

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）............................................................................................4

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）....................................................................6

...................................................................................................................................................9

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分

线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

图1图2图3

条件：如图1，OC为AOB的角平分线，CAOA于点A，CBOB于点B.

结论：CACB、OAC≌OBC.

证明：∵OC为AOB的角平分线，CAOA，CBOB，

∴CACB，∠CBO=∠CAO=90°，∵OCOC，∴OAC≌OBC（HL）

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2，在ABC中，C90，AD为CAB的角平分线，过点D作DEAB.

结论：DCDE、DAC≌DAE.（当ABC是等腰直角三角形时，还有ABACCD.）

证明：∵C90，AD为CAB的角平分线，DEAB，

∴DCDE，∠AED=∠ACD=90°，∵ADAD，∴DAC≌DAE（HL）

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。

结论：①BOAACB180；②ADBE；③OAOB2AD.

证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB，

∴CDCE，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴DAC≌EBC（HL），∴ADBE，∠CAD=∠CBE；

∵OBCCBE180，∴OBCCAD180，∴BOAACB180，

同图1中的证法易得：DOC≌EOC（HL），∴ODOE，

∴OAOBODDAOBODBEOBODOE2AD，

例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在ABC中，ABAC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，

且BFAE，连接CF．若AC13，BC10，则四边形EBFC的面积为．

例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，VAOB的外角CAB，DBA的平分线AP，BP相交于

点P，PEOC于E，PFOD于F，下列结论：（1）PEPF；（2）点P在COD的平分线上；（3）

APB90O；（4）若C△OAB17，则OE8.5，其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知AB∥CD，BP和CP分别平分ABC和BCD，点E，

F分别在AB和CD上．(1)如图1，EF过点P，且与AB垂直，求证：PEPF；

(2)如图2，EF为过点P的任意一条线段，试猜想PEPF还成立吗？请说明理由．

例4．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如

图1，AD平分BAC，M为AB上一点，N为AC上一点，连接线段DM，DN，若BACNDM180．求

证：DMDN．

①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在AC上截取AEAM，连

接DE，易证ADM≌ADE，将线段DM与DN的数量关系转化为DE与DN的数量关系．

②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向BAC的

两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证△ADE≌△ADF，得到DEDF，接下来只需证FDM≌EDN，

可得DMDN．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程

【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，

姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．

如图4，在VABC中，ABAC，BD平分ABC交AC与点D，在线段BC上有一点E，连接AE交BD与

点F，若CAEABD．求证：ADCE．

【学以致用】（3）如图5，在VABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，在CB的延长线上取一点E，

9

使EABBAC，在线段EB上截取EFAB，点G在线段AE上，连接FG，使EFGEAB，若AD，

5

610310

EG，BF，求四边形GFBA的面积．

55

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在

解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等

来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）

图1图2图3

条件：如图1，OC为AOB的角平分线，ABOC，

结论：AOC≌△BOC，OAB是等腰三角形，OC是三线合一等。

证明：△∵OC为AOB的角平分线，∴∠COA=∠COB，

∵ABOC，∠BCO=∠ACO=90°，∵COCO，∴AOC≌△BOC（ASA），

∴AOBO，∴OAB是等腰三角形，∵ABOC，△∴OC是三线合一。

条件：如图2，BE为ABC的角平分线，BEEC，延长BA，CE交于点F.

结论：BEC≌△BEF，BFC是等腰三角形、BE是三线合一等。

证明：△同图1的证法，

例1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，ABC中，AB8cm，AC6cm，点E是BC的中点，若

AD平分BAC，CDAD，线段DE的长为（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，ABC中，BC10，ACAB5，AD是BAC的角

平分线，CDAD，则S△BDC的最大值为．

例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在ABC中，ABAC，BAC90，

（1）如图1,BD平分ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E．

（i）若ABBF，求证：BD垂直平分AF；（ii）若AFBD,求证：ADCF．（2）如图2，BD平分ABC

交AC于点D，CEBD，垂足E在CD的延长线上，试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．

1

（3）如图3，F为BC上一点，EFCB，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点D，写出线段CE

2

和FD的数量关系．（不要求写出过程）

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到

对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

图1图2

条件：如图1，OC为AOB的角平分线，A为任意一点，在OB上截取OBOA，连结CB.

结论：OAC≌OBC，CB=CA。

证明：∵OC为AOB的角平分线，∴∠COA=∠COB，

∵OBOA，COCO，∴AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。

条件：如图2，BE、CE分别为△ABC和BCE的平分线，AB//CD，在BC上截取BFAB，连结EF。

结论：BAE≌BFE，CDE≌CFE，AB+CD=BC。

1

证明：∵BE为ABC的平分线，∴∠ABE=∠FBE=ABC，

2

∵BFAB，BEBE，∴BAE≌BFE（SAS），∴∠AEB=∠FEB，

1

∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为BCE的平分线，∴∠FCE=∠DCE=BCD，

2

11

∴∠EBC+∠BCE=ABC+BCD=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，

22

∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴CDE≌CFE，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。

例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC，A100，BD是ABC的平分线，

延长BD至点E，DEAD，试求ECA的度数．

例2．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

（1）如图（1），若AC平分BAE，ACE90，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；

（直接写出答案）；（2）如图（2），AC平分BAE，EC平分AED，若ACE120，则线段AB、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在ABC中，满足ACB2B，

(1【)问题解决】如图1，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AEAC，连接DE，

求证：ABACCD．(2)【问题拓展】如图2，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上取一点

E使得AEAC，连接DE，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．

(3【)猜想证明】如图3，当AD为ABC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E使得AEAC，连接DE，

线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等

三角形问题．

如图①，在四边形ABDE中，点C是BD边的中点，AC平分BAE，ACE90，证明：AEABDE．

讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思

广议，提出了一个截长法：如图②，在AE上截取AFAB，连接，先证明△ABC≌△AFC，再证明

△EFC≌△EDC，即有EFDE，即AEABED．𝐶

解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明

AEABDE，理由如下：如图②，在AE上取一点F，使AFAB，连接．

𝐶

ABAF

∵AC平分BAE，∴BACFAC，在△ACB和△ACF中，BACFAC∴ACB≌ACF（SAS）

ACAC

∴BCFC，ACBACF．

（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．

拓展探究：已知：如图③，在ABC中，B=60，D、E分别为AB,BC上的点，且AE,CD交于点F．若

AE,CD为ABC的角平分线．（2）AFC；（3）证明：DFEF．

（4）如图④，在ABC中，ACB90，延长ABC的边BA到点G，平分GAC交BC延长线于点D，

若ABACCD，ABC30，则∠ACB．𝐴

1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，

其中射线OP为AOB的平分线的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分BAC的

是（）

A．①②B．①③C．②③D．只有①

3．（2024·重庆·校考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，AD12．过

AE

顶点C作CEAB于E，则的值为（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

4．（2024·安徽·一模）如图，ABC中，AD平分BAC，E是BC中点，ADBD，AC7，AB4，则

DE的值为（）

13

A．1B．2C．D．

22

5．（2024·绵阳市·校考一模）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°．连接AC，在AB，AC，AD上分别

取点E，P，F，连接PE，PF．若AE=4，AF=6，APE的面积为4，则APF的面积是（）

△△

A．2B．4C．6D．8

6．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与

AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

①PMPN恒成立；②OMON的值不变；③四边形PMON的面积不变；其中正确的个数为（）

A．3B．2C．1D．0

7．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在ABC中，BAC和ABC的平分线AE，BF相交于点O，

AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作ODBC于D，下列几个结论：

1

①OC平分BCA②AOB90C③当C60时，AFBEAB；

2

④若ODa，ABBCCA2b，则SABCab．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（2023·四川南充·统考二模）如图，D为AOB的平分线OC上一点，DEDF，但OEOF，则OED

与OFD的关系是．

9．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点D在ABC内部，BD平分ABC，且ADBD，连接CD．若△BCD

的面积为2，则ABC的面积为．

10．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线

1

段BE，BF，使BEBF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在ABC内，两弧交于点

2

P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MNAB于点N．若MN2，AD4MD，则AM．

11．（2024·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形ABCD中D2B120，ABAD，E为BC上

一点，连接AE，BE2，CD7，若4BAEBCD120，则线段CE的长为．

12．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分

ABC，CDBD交BF的延长线于点D，试说明：BF2CD．

13．（2024·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画AOB90，并画AOB的平分线OC．

（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与AOB的两边OA，OB

垂直，垂足为E，F（如图1）．则PEPF；若把三角尺绕点P旋转（如图2），则PE________PF．（选

填：“<”、“>”或“=”）

（理解应用）

（2）在（1）的条件下，过点P作直线GHOC，分别交OA，OB于点G，H，如图3．

①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）

②猜想GE，FH，EF之间的关系为________．

（拓展延伸）

（3）如图4，画AOB60，并画AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作EPF120，EPF的

两边分别与OA，OB相交于E，F两点，PE与PF相等吗？请说明理由．

14．（2023·吉林松原·校联考二模）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．

（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，

CM

说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．

DO

15．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，BAC90现在有一足够大的直角三角

板，它的直角顶点D是BC边上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F．

(1)如图1，若DEAB,DFAC，求证：四边形AEDF是矩形．

(2)若点D在BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条

直角边分别交于点E、F（如图2），试证明AEAF2AD．（尝试作辅助线）

16．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发

展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，

请你解答．（1）【观察发现】①如图1，AP是VABC的角平分线，ABAC，在AC上截取AQAB，连接

PQ，则PB与PQ的数量关系是__________；②如图2，VABC的角平分线AE、BF相交于点P．当C60

时，线段PE与PF的数量关系是__________；

（2）【探究迁移】如图3，在四边形ABCD中，ABADBC，DAB的平分线与ABC的平分线恰好交

于CD边上的点P，试判断PD与PC的数量关系，并说明理由．

1

（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若AB15,tanPAB，当PBC有一个内角是45时，直接写出边

2

AD的长．

17．（2023·山东济南·二模）在等腰VABC中，ÐB=90°，AM是VABC的角平分线，过点M作MNAC，

垂足为N，EMF135、将EMF绕点M旋转，使EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，

请解答下列问题：(1)当EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BECFBM；

(2)当EMF绕点M旋转到如图②的位置时，请直接写出线段BE，CF，BM之间的数量关系；

(3)在（1）和（2）的条件下，tanBEM3，AN222，分别求CF的长．

18．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形

的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．

小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即

如图1，已知，点D在VABC的边BC上，AD平分BAC，且ADBC，求证：ABAC．请你帮助小

明完成证明；请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：

【理解内化】（2）①如图2，在VABC中，AD是角平分线，过点B作AD的垂线交AD、AC于点E、F，

1

ABF2C．求证：BE(ACAB)；②如图3，在四边形ABDC中，BC7，ACAB2，AD平

2

分CAB,ADCD，当△BCD的面积最大时，请直接写出此时CD的长．

【拓展应用】（3）如图