南京市2024-2025学年高一年级上册期末学情调研测试数学试题

南京市2024-2025学年度第一学期期末学情调研测试

高一数学2025.01

注意事项：

1.本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解

答题（第15题~第19题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上指定的位置。

3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.设集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B=[2,3,4},则An（[〃）=

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

2.“aWO”是“abWO”的

A.必要且不充分条件B.充分且不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.函数«x）=lg（l—|x|）的定义域为

A.(一8,—1]U[1,+8)B.(-OO,-1)U(1,+8)

C.[-1,1]D.(-1,1)

4.将函数y=sin（x一$图象上每个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为

A.y=sin(5一令71

B.y=sin(2x—

D.y=sin(2x—

17T371

5.已知COSQ=1Q,2<1<兀，贝！Jcos(/~+a)的值为

A.-1B.一芈C.1D.平

4兀

6.已知〃=log23,8=siir^~,c=3贝U

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

7.根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm,在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不

受到影响.已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长/（分钟）之间的关系式为y=500+10比4q

GR）.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准,

则需要开窗通风的时长至少约为（参考数据：ln3"L099,ln5^1.609）

A.6分钟B.8分钟C.10分钟D.12分钟

8.若命题“Vx>0,（依一1）（1—2办一1）20”是真命题，则实数。的取值集合为

A.{乎}B.{5}C.{加》当}D.{a\0<a^y[3}

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.

9.若则

A.B.ab<b2D.y+-<2

C5+Wba

10.在平面直角坐标系尤Oy中，点4—右I）,角6的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于点8

（A,8不重合），下列说法正确的是

A.若cos8=—|,则点A和点8关于无轴对称

B.若cos8=|,则点A和点2关于y轴对称

C.若点A和点8关于直线>=一x对称，则sin0=|

a

D.若。4和。3相互垂直，则tan®=X

11.函数六尤）满足：VxGR,危+1次x）=2.已知当xG[0,1）时，Kx）=2*,则

A.AD=1B.八尤）为周期函数

C.为偶函数D.方程兀0=?恰有3个解

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

12.已知函数"r）=loga（x+2）（〃>0,的图象经过定点尸（m，ri）,则>+〃=▲.

13.已知函数式x）='且式2）=也，则a=▲,使得/（x）〈也成立的龙的取值范围是

[e，ij

▲.

14.已知函数段）=sin（s+9）（①>0,0<9<3）图象的一个对称中心是（一去。），一条对称轴是直线

Zoo

且人力在区间（0,专上有且仅有两个零点，则。=▲.

O

四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证

明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知6加=2,6〃=5.

(1)求6?”一〃的值；

(2)用机，〃表示Iog2ol5.

16.(本小题满分15分)

「小〃、sina+cosa

已知刎

(1)若sina+cosa=且OVaV兀，求/(a)的值;

2，

(2)若求sin——3sinacosa的值.

17.(本小题满分15分)

已知函数40的定义域为R,函数g(x)=/(—尤)一人了).

(1)判断g(x)的奇偶性，并加以证明；

(2)若＞x)=3”.

①用函数单调性的定义证明：g@)在R上单调递减;

②解关于x的不等式g(4r-9)+g(6-2-r+1)＞0.

18.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=Asin(ox+p)(A＞0,to＞0,一兀＜夕＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别

sr57l八、兀八、

为(z五，2),(不了，-2).

(1)求了(尤)的解析式；

(2)求/(尤)在［0,兀］上的单调增区间；

(3)设加＞1,证明：函数g(x)=/(〃a)一时⑴在(0,+oo)上必有零点.

19.（本小题满分17分）

设函数人x）在非空数集M上的取值集合为N.若NNM,则称/（x）为/上的“T函数”.

（1）判断了（尤）=sin2x是否为母，卷上的“T函数”,并说明理由；

9

（2）若/（尤）=log2（而7—1）为伍，/m<b）上的“T函数”,证明：a+b<2；

（3）若存在实数6,使得/（尤）=。一。）2+万为［0,1］上的“T函数”，求实数。的取值范围.

南京市2024-2025学年度第一学期期末学情调研测试

高一数学参考答案2025.01

一'选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.B2.A3.D4.B5.D6.B7.C8.A

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

12.-113.（一8,2）14.18

四'解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证

明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

£2根A

解：⑴62*"=》=*....................................................5分

(2)因为6"'=2,6"=5,

所以7n=log62,n=log65...................................................7分

从而1哂。15=端................................................9分

_log65+log63

log65+log64

log65+log63

Iog65+21og62'

因为10g62+10g63=l,

_k>g65+l—log62_"+l-7"

所以log15................................13分

36n-\-2mn~\-2m

16.（本小题满分15分）

(1)解法1：检)=2cosa

sina-cosa

因为sina+cosa—

2，

所以(sina+cosa)2=T，即2sinacosa=—

2分

3

从而(sina—cosa)2=1-2sinacosa=2,4分

因为OVaV兀，sina>0,

又因为sinacosa<0,所以cosa<0,因此sina—cosot>0,

从而sina—cosa=2?6分

〜、sina+cosot*\/3

故加尸嬴7分

解法2：由sina+cosQ=?及sin2a+cos2a1,2分

解得sinaW更,2月更

或sina』3,cosaW巫,......................

4分

因为当<01<兀，

rr-p,._V6+^2y[2-y[e

所以sina—,cosa—,，

所以sina-cosa=1,............................................................................................6分

应

因此八a)=^±»=^=坐.....................................7分

sina-cosot^6$

sina+cosa1

(2)解法1：f(a)=

sina-cosar

所以2sina=—4cosot,.....................................................................................................9分

假设cosa=0,则由上式知since=0,与sin2a+cos2ot=1矛盾，

所以cosaWO,

从而tana=12..............................................................................................................11分

22

..2sina_3sinacosatana_3tana

贝可sin。一3sinacosa=~~;2——7~2~Hi-14分

sin。十cosatana+1

4+6-

4+1=2..................................................................................15分

解法2：八㈤二酗山1

sinoc-cosot3,

所以sina=—2cosa,

又sin2a+cos2oc=1,...............................................................................................9分

所以5COS2OC=1,即cos2a=亍......................................11分

因此sin2a_3sinacosa=4cos2oc+6cos2a=10cos2«.............................................14分

=2.....................................................................................15分

17.(本小题满分15分)

解：(1)g(尤)是R上的奇函数.

因为g(x)定义域为R,对于任意的无GR,都有一xGR,且

g(一一=式尤)一式一彳)=一8(功，.........................................3分

所以g(x)是R上的奇函数...........................................4分

(2)①g(x)=yf—3”.

任取尤1，%2eR»不妨设尤1<%2，

g(xi)_g(M)=下一3人一密+3*=(3*-3*')(1+3&.3&)，..................7分

因为无1，X2GR，尤1<冷，且函数y=3*在R上单调递增，

所以/—3为>0,1+^4^>0,

从而g(xD-g(尤2)>0，即g(Xl)>g(%2)，

因此g(x)在R上单调递减...........................................9分

②因为g(4A-9)+g(6-2v+1)>0,

又g(无)是R上的奇函数，且单调递减，

所以g(43一9)>g(2Hi—6),

从而4'-9<2'+1—6,..............................................12分

解得一

所以不等式的解集为(一8,]og23)..................................15分

18.(本小题满分17分)

解：(1)由题意，A—2,....................................................1分

2=^2~n=2'又。所以即0=2.......................3分

根据题意，当工=彗时，sin(2X彗+夕)=1,

57T7171

从而不+9=5+2左兀，即9=l1+2左兀，攵£Z,

7T

又一兀<9<。，故9=一...........................................5分

TT

所以/(%)=2sin(2x—1)•..............................................6分

(2)令一卷+2faiW2%一件W5+2E,止Z,.................................8分

则一工+2knW2xW/+2左兀，%£Z,

oo

IT5TE

即一记+析W九W适+kit,%£Z,

所以了(%)的单调增区间为[一专+左兀，得+E],%£Z.....................................10分

故f(x)在[0,用上的单调增区间为[0,.和啮兀]...................12分

7T7T7T7T

(3)g(x)=2sin(2mx——2msin(2x—=2[sin(2mx——msin(2x—J)]，

当m>l时，

则g(0)=小⑺-1)>0,.........................................................................................14分

g(碧)=2[sin(^^—$—m]W2(l—%)<0,..........................................................16分

又g(x)在(0,+oo)上的图象是一条不间断的曲线，

所以由零点存在性定理知，

当m>l时，函数g(x)=/(mx)一时(x)在(0,+s)上必有零点..........17分

19.(本小题满分17分)

解：⑴由xG帝软，得2_xGa评

所以sin2尤eg,1],即/(尤)的取值集合为g,1],.............................2分

因为白乒帝粉，

TTSir

所以f(x)=sin2x是为帝■上的“T函数”.........................4分

9

(2)因为/(尤)=1(^2(讦百一1)为3，句(。<份上的减函数，

所以了(尤)在出，切的取值集合为[/(b),/(a)],..............................................5分

因为/(尤)为[a,用上的“T函数”，

所以—),f(a)]Q[a,b],

因此/(b)2a,于(d)Wb,

9Q

即log2(]+2&-log2(i+2。—1)W6,.................................................