湖北省钢城四中2025届高三第四次联模数学试题试卷含解析_第1页
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文档简介

湖北省钢城四中2025届高三第四次联模数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则,不可能满足的关系是()A. B. C. D.2.过直线上一点作圆的两条切线,,,为切点,当直线,关于直线对称时,()A. B. C. D.3.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B.(1,2), C. D.4.若各项均为正数的等比数列满足,则公比()A.1 B.2 C.3 D.45.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-86.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.67.已知数列{an}满足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-18.已知、分别为双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线交于、两点,为坐标原点,若,,则的离心率为()A.2 B. C. D.9.若复数满足(是虚数单位),则()A. B. C. D.10.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值11.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.12.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数,其中是虚数单位.若的实部与虚部相等,则实数的值为__________.14.已知,满足约束条件,则的最大值为________.15.在一底面半径和高都是的圆柱形容器中盛满小麦,有一粒带麦锈病的种子混入了其中.现从中随机取出的种子,则取出了带麦锈病种子的概率是_____.16.已知数列的前项满足,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,,是棱中点.(1)已知点在棱上,且平面平面,试确定点的位置并说明理由;(2)设点是线段上的动点,当点在何处时,直线与平面所成角最大?并求最大角的正弦值.18.(12分)如图,在长方体中,,为的中点,为的中点,为线段上一点,且满足,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函数(1)已知直线:,:.若直线与关于对称,又函数在处的切线与垂直,求实数的值;(2)若函数,则当,时,求证:①;②.20.(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.21.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

根据即可得出,,根据,,即可判断出结果.【详解】∵;∴,;∴,,故正确;,故C错误;∵,故D正确故C.本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:和不等式的应用,属于中档题2.C【解析】

判断圆心与直线的关系,确定直线,关于直线对称的充要条件是与直线垂直,从而等于到直线的距离,由切线性质求出,得,从而得.【详解】如图,设圆的圆心为,半径为,点不在直线上,要满足直线,关于直线对称,则必垂直于直线,∴,设,则,,∴,.故选:C.本题考查直线与圆的位置关系,考查直线的对称性,解题关键是由圆的两条切线关于直线对称,得出与直线垂直,从而得就是圆心到直线的距离,这样在直角三角形中可求得角.3.A【解析】

若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.【详解】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,,离心率,,故选:.本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.4.C【解析】

由正项等比数列满足,即,又,即,运算即可得解.【详解】解:因为,所以,又,所以,又,解得.故选:C.本题考查了等比数列基本量的求法,属基础题.5.B【解析】

根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.本题考查交集的概念,属于基础题.6.B【解析】

由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.7.D【解析】试题分析:因为an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考点:数列的通项公式.8.D【解析】

作出图象,取AB中点E,连接EF2,设F1A=x,根据双曲线定义可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,进而得到e的值【详解】解:取AB中点E,连接EF2,则由已知可得BF1⊥EF2,F1A=AE=EB,设F1A=x,则由双曲线定义可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,则EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,则e故选:D.本题考查双曲线定义的应用,考查离心率的求法,数形结合思想,属于中档题.对于圆锥曲线中求离心率的问题,关键是列出含有中两个量的方程,有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理,从而求出离心率.9.B【解析】

利用复数乘法运算化简,由此求得.【详解】依题意,所以.故选:B本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.10.B【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出,二者具有相关关系,且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于1,故选B.本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.11.B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.12.B【解析】

先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.【详解】解:的实部与虚部相等,所以,计算得出.故答案为:本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.14.【解析】

根据题意,画出可行域,将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方,利用图象即可求解.【详解】可行域如图所示,易知当,时,的最大值为.故答案为:9.本题考查了利用几何法解决非线性规划问题,属于中档题.15.【解析】

求解占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.【详解】解:由题意可得:取出了带麦锈病种子的概率.故答案为:.本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.16.【解析】

由已知写出用代替的等式,两式相减后可得结论,同时要注意的求解方法.【详解】∵①,∴时,②,①-②得,∴,又,∴().故答案为:.本题考查求数列通项公式,由已知条件.类比已知求的解题方法求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)为中点,理由见解析;(2)当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】

(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明,,从而证明平面平面;(2)以A为原点,分别以,,所在直线为、、轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,并可求出最大角的正弦值.【详解】(1)为中点,证明如下:分别为中点,又平面平面平面又,且四边形为平行四边形,同理,平面,又平面平面(2)以A为原点,分别以,,所在直线为、、轴建立空间直角坐标系则,设直线与平面所成角为,则取平面的法向量为则令,则所以当时,等号成立即当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,最大角的正弦值.本题主要考查了平面与平面的平行,直线与平面所成角的求解,考查了学生的直观想象与运算求解能力.18.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)解法一:作的中点,连接,.利用三角形的中位线证得,利用梯形中位线证得,由此证得平面平面,进而证得平面.解法二:建立空间直角坐标系,通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,证得平面.(2)利用平面和平面法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)法一:作的中点,连接,.又为的中点,∴为的中位线,∴,又为的中点,∴为梯形的中位线,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在长方体中,,,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,,,,,,,.(1)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴.同理可算得平面的一个法向量为∴,又由图可知二面角的平面角为一个钝角,故二面角的余弦值为.本小题考查线面的位置关系,空间向量与线面角,二面角等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,数形结合思想,化归与转化思想.19.(1)(2)①证明见解析②证明见解析【解析】

(1)首先根据直线关于直线对称的直线的求法,求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程,解方程求得的值.(2)①构造函数,利用的导函数证得当时,,由此证得.②由①知成立,整理得成立.利用构造函数法证得,由此得到,即,化简后得到.【详解】(1)由解得必过与的交点.在上取点,易得点关于对称的点为,即为直线,所以的方程为,即,其斜率为.又因为,所以,,由题意,解得.(2)因为,所以.①令,则,则,且,,时,,单调递减;时,,单调递增.因为,所以,因为,所以存在,使时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.又,所以时,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以时,,单调递增;时,,单调递减,所以,即,因为,所以,所以时,,即时,.本小题考查函数图象的对称性,利用导数求切线的斜率,利用导数证明不等式等基础知识;考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想,数形结合思想和应用意识.20.(1)(2)是定值,且定值为2【解析】

(1)设出点坐标并代入椭圆方程,根据列方程,求得的值,结合求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方

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