河南省九师联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试卷

河南省九师联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2024春·高三·河南·开学考试]已知集合,或,则()A. B.C.或 D.或1．答案：A解析：因为,或,所以.故选：A.2．[2024春·高三·河南·开学考试]()A. B. C. D.2．答案：C解析：.故选：C.3．[2024春·高三·河南·开学考试]已知单位向量,满足,则,夹角的余弦值为()A. B. C. D.3．答案：B解析：由已知,则,即,则,所以,故选：B.4．[2024春·高三·河南·开学考试]已知复数z满足;则()A. B. C.8 D.204．答案：B解析：由,得,所以.故选：B.5．[2024春·高三·河南·开学考试]若直线与抛物线只有1个公共点,则C的焦点F到l的距离为()A. B. C. D.5．答案：D解析：由,得.因为l与C只有1个公共点,所以,结合,解得,所以,所以F到l的距离.故选：D.6．[2024春·高三·河南·开学考试]已知的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则展开式中二项式系数最大的项是()A. B. C. D.6．答案：C解析：展开式中的第项为,所以前三项的系数依次为,依题意,有,即,整理得,解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,即.故选：C.7．[2024春·高三·河南·开学考试]函数的单调递减区间是()A. B.C. D.7．答案：D解析：,由题意单调递减,且,则,,解得,,所以的单调递减区间是.故选：D.8．[2024春·高三·河南·开学考试]已知是定义域为R的偶函数,且在上单调递减,,则()A. B. C. D.8．答案：A解析：因为是定义域为R的偶函数,且在上单调递减,所以在上单调递增;,即;令,当时,,则单调递增,所以,即,所以.而在上单调递增,故有,即.故选：A.二、多项选择题9．[2024春·高三·河南·开学考试]已知数列满足,,则()A.是等差数列B.的前n项和为C.是单调递增数列D.数列的最小项为49．答案：BC解析：由,得,因为,所以,,···,,从而,所以是首项为1,公比为的等比数列,所以,即.所以,所以,所以A错误,B正确;由,易知是单调递增数列,C正确;当时,,当时,,D错误.故选：BC.10．[2024春·高三·河南·开学考试]已知函数（,其中表示不大于x的最大整数）,则()A.是奇函数 B.是周期函数C.在上单调递增 D.的值域为10．答案：BD解析：由题意,表示不大于x的最大整数,则,所以,,则函数是以3为周期的函数,当时,;当时,,则又是以3为周期的函数,则的值域为,B和D均正确;,所以,故不是奇函数,A错误;当时,,故在上无单调性,C错误.故选：BD.11．[2024春·高三·河南·开学考试]已知正四面体ABCD的棱长为4,点P是棱AC上的动点（不包括端点）,过点P作平面平行于AD,BC,与棱AB,BD,CD交于Q,S,T,则()A.该正四面体可以放在半径为的球内B.该正四面体的外接球与以A点为球心,2为半径的球面所形成的交线的长度为C.四边形PQST为矩形D.四棱锥体积的最大值为11．答案：AC解析：对于A,易算出该正四面体外接球的半径,所以该正四面体可以放入半径为的球内,故A正确;对于B,由A可知四面体外接球的半径,如图,在中,,所以;在中,,易知两个球面的交线为圆,其周长为,故B错误;对于C,取BC的中点M,连接AM,DM.易证平面ADM,所以;又平面,平面平面,所以,同理,所以,同理,所以四边形PQST为平行四边形;又是AD与BC所成的角,所以,于是四边形PQST为矩形,则C正确;对于D,设,易证,所以,可得,同理可得.取AD中点N,连接MN,交平面PQST于点I.由上面的论证可知平面PQST.因为平面PQST与AD,BC都平行,所以可得,又易知,所以,即C到平面PQST的距离为,所以..令,,因为,,所以,所以,故D错误.故选：AC.三、填空题12．[2024春·高三·河南·开学考试]2023年度,网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林寺,开封清明上河园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩,则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为_______________.12．答案：解析：小张和小李从5个景点中各自选择1个,共有种可能,5个景点中有3个在洛阳,则他们都选择去洛阳游玩,且不去同一景点的情况有种,故所求概率.13．[2024春·高三·河南·开学考试]已知,分别是双曲线的左､右焦点,过点且垂直x轴的直线与C交于A,B两点,且,若圆与C的一条渐近线交于M,N两点,则__________.13．答案：解析：设,解得,解得,所以渐近线方程为,由对称性,不妨取进行计算,弦长.14．[2024春·高三·河南·开学考试]若圆锥SO的母线长为3,则圆锥SO体积的最大值为__________.14．答案：解析：设底面半径为r,则圆锥的高,体积.令,则,当时,单调递增,当时,单调递减;所以当,即时,V取最大值,此时.四、解答题15．[2024春·高三·河南·开学考试]已知在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.（1）若,证明：是等腰三角形;（2）若,求a的值.15．答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明：由,及正弦定理,得,即,即.因为,所以,即.因为,所以或.因为,所以,又,所以.故是等腰三角形.（2）因为,,即,则.由（1）可得.因为,所以.由正弦定理,得.因为,所以.结合,解得.16．[2024春·高三·河南·开学考试]2022年日本17岁男性的平均身高为,同样的数据1994年是,近30年日本的平均身高不仅没有增长,反而降低了.反观中国近30年,男性平均身高增长了约.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性,记录他们的身高,将数据分成八组：,,···,;同时从日本随机抽取了200名成年男性,记录他们的身高,将数据分成五组：,,···,整理得到如下频率分布直方图：（1）由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的分位数;（2）为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联,课题组调查样本中的600人得到如下列联表：身高蛋白质摄入量合计丰富不丰富低于108不低于100合计600结合频率分布直方图补充上面的列联表,并依据小概率值的独立性检验,推断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．答案：（1）（2）成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联解析：（1）由频率分布直方图可知,解得.因为,所以分位数位于,设为m,则有,解得.故日本成年男性身高的分位数为.（2）由频率分布直方图知,样本中身高低于的中国成年男性人数是208（人）,样本中身高低于的日本成年男性人数是（人）,故样本中身高低于的共有348人,可得下表：身高蛋白质摄入量合计丰富不丰富低于108240348不低于152100252合计260340600零假设：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联,则由列联表数据可得：,依据的独立性检验,我们推断不成立,即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.17．[2024春·高三·河南·开学考试]如图,正方体的棱长为2,E,F分别为棱AB,的中点.（1）请在正方体的表面完整作出过点E,F,的截面,并写出作图过程;（不用证明）（2）求点到平面的距离.17．答案：（1）见解析（2）解析：（1）连接并延长交DC延长线于点I,连接IE并延长交BC于点H,交DA延长线于点J,连接交于点G,则截面即为所求.（2）如图,以D为原点,棱DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.因为正方体的棱长为2,所以,,,,,设平面的法向量为,则即取,得平面的法向量为.设点到平面的距离为d,则,故点到平面的距离为.18．[2024春·高三·河南·开学考试]已知椭圆的离心率为e,点在C上,C的长轴长为.（1）求C的方程;（2）已知原点为O,点P在C上,OP的中点为Q,过点Q的直线与C交于点M,N,且线段MN恰好被点Q平分,判断是否为定值？若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由.18．答案：（1）（2）解析：（1）因为C的长轴长为,所以,由得,把代入C的方程得,即,解得,所以,解得,所以C的方程为.（2）法一：设,,由题意可知,点Q既是OP的中点,又是MN的中点,所以即因为点P在C上,所以,整理得,因为M,N在C上,所以,,.将两边平方,得,又,展开,得,所以,所以,又.所以为定值.法二（通性通法）：当轴且MN在y轴右侧时,显然,,,,则,同理,当轴且MN在y轴左侧时,.当MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为.由得,则,化简,得.设,,则,.设,则,,所以,代入,得,化简,得,适合..综上,为定值.19．[2024春·高三·河南·开学考试]已知函数.（1）若在上单调递增,求a的取值范围;（2）若有2个极值点,,求证：.19．答案：（1）（2）见解析解析：（1）法一：因为,所以,若,则,在上单调递增;若,令,则,时,单调递减