2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册四　向量的数乘运算

四向量的数乘运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)已知向量a,b,那么12(2a-4b)+2b等于(A.a-2b B.a-4bC.a D.b【解析】选C.12(2a-4b)+2b=a-2b+2b=a2.(5分)设e是单位向量,=3e,=-3e,||=3,则四边形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】选B.因为=3e,=-3e,所以=-,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为||=3,所以四边形ABCD是菱形.3.(5分)在△ABC中,点D为边BC的中点,记=a,=b,则=()A.12a+b B.12aC.12a+12b D.12a【解析】选C.由题意可知,=12=12(-)=12(a-b),=+=b+12(a-b)=12(a+b).4.(5分)(2024·运城高一检测)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b方向相同,则实数λ的值为()A.1 B.-1C.1或-12 D.1或-【解析】选A.因为向量λa+b与a+(2λ-1)b方向相同,所以存在唯一实数k(k>0),使a+(2λ-1)b=k(λa+b),因为向量a,b不共线,所以kλ=12λ-1=k5.(5分)(2024·连云港高一检测)已知a,b是不共线的向量,且=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,则()A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线【解析】选D.因为=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=3a-6b,若A,B,D三点共线,则=λ,而3=3λ4=-因为=3a+4b,=-2a-6b,所以=a-2b,若A,B,C三点共线,则=λ,而3=λ因为=-2a-6b,=2a-4b,所以=+=-10b,若B,C,D三点共线,则=λ,而-2=0因为=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=a-2b,=3a-6b,即=13,所以A,C,D三点共线,故D正确.【补偿训练】(2024·哈尔滨高一检测)已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=3e1-2e2,b=ke1+e2.若a∥b,则k=()A.-32 B.23 C.32 D【解析】选A.因为a∥b,所以存在唯一实数λ,使b=λa,所以ke1+e2=λ(3e1-2e2)=3λe1-2λe2,因为e1,e2是两个不共线的向量,所以k=3λ1=6.(5分)(多选)(2024·西安高一检测)下列说法正确的有()A.(-5)(6a)=-30aB.7(a+b)+6b=7a+13bC.若a=m-n,b=3(m-n),则a,b共线D.(a-5b)+(a+5b)=2a,则a,b共线【解析】选ABC.对于A,(-5)(6a)=(-5×6)a=-30a,故正确;对于B,7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故正确;对于C,因为a=m-n,b=3(m-n),所以b=3a,所以a,b共线,故正确;对于D,因为(a-5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共线,故错误.【补偿训练】(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na,则m=n【解析】选AB.根据向量的数乘运算即可得出选项A,B都正确;ma=mb且m=0时,得不出a=b,所以C错误;ma=na且a=0时,得不出m=n,所以D错误.7.(5分)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=__________.

【解析】因为3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,所以3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=-3a+4b.答案:-3a+4b8.(5分)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,则=______

.【解析】因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC,即与共线.又DE=12BC,且与反向,所以=-12.答案:-19.(5分)在△ABC中,D为CB上一点,E为AD的中点,若=25+m,则m=____________.

【解析】因为E为AD的中点,所以=2=45+2m,因为B,D,C三点共线,所以45+2m=1,解得m=1答案:1【补偿训练】在△ABC中,=23+13,则BDDC=()A.13 B.12 C.23 【解析】选B.因为=23+13,所以23-23=13-13,即23=13,所以=2,所以BDDC==1210.(10分)如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示,,.【解析】如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.则==12=12a,=-=-12=b-12a,=-=--12=--12-12=14a-b.【综合应用练】11.(5分)(2024·哈尔滨高一检测)在平行四边形ABCD中,=13,AC与DE交于点O,则()A.=112-14B.=112-14C.=112+14D.=112+14【解析】选A.在平行四边形ABCD中,=13,则△AEO∽△CDO,所以AEAB=AEDC=AOOC=13,则AOAC=14,所以=-=13-14=13-14(+)=112-112.(5分)(多选)在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB的中线且交于点O,则下列结论正确的是()A.-=B.=13(+)C.++=0D.++=0【解析】选BCD.依题意,如图所示:因为AD,BE,CF分别是BC,CA,AB的中线且交于点O,所以O是△ABC的重心.对于A:若-=,则=+,因为=+,所以=,显然不成立,故A错误;对于B:=23=23×12×(+)=13(+),故B正确;对于C:++=12(+)+12(+)+12(+)=12(+)+12(+)+12(+)=0,故C正确;对于D:++=-23-23-23=-23(++)=-23×0=0,故D正确.13.(5分)已知向量a,b是两个非零向量,e为单位向量,在下列三个条件中,①2a-3b=4e且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0;③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0).能使a,b共线的条件是__________.(填序号)

【解析】对于①,因为向量a,b是两个非零向量,由2a-3b=4e且a+2b=-3e,得a=-17e,b=-107e,即b=10a,此时能使a,b共线,对于②,向量a,b是两个非零向量,存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,则有λ≠0且μ≠0,a=μλb,显然两个非零向量是共线的,②对于③,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0则不能使a,b共线,③不正确.答案:①②14.(10分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=1,E为线段AB的中点,F为线段AC上的一点,且AF=3FC,记=a,=b.(1)用向量a,b表示;(2)用向量a,b表示.【解析】(1)因为=12,所以=+=+12=b+12a.(2)因为=12,=34,所以=-=34-12=34b+12a-12a=-18a+34b.15.(10分)(2024·银川高一检测)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若=2a+b,=3a-b,=a+3b,求证:A,B,C三点共线;(2)若9a-kb与ka-4b共线,求实数k的值.【解析】(1)因为=-=(3a-b)-(2a+b)=a-2b,而=-=(a+3b)-(3a-b)=-2a+4b,所以=-2,所以与共线,且有公共点B,所以A,B,C三点共线;(2)因为9a-kb与ka-4b共线,所以存在实数λ,使得9a-kb=λ(ka-4b)=kλa-4λb,因为a与b不共线,所以9=kλ解得λ=±32,所以k=4λ=±6【补偿训练】已知a,b是两个不共线向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),(1)求证:A,B,