2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十七　数系的扩充和复数的概念

十七数系的扩充和复数的概念(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·铜仁高一检测)复数z=-2i+i2,则复数z的虚部是()A.-2 B.2 C.-1 D.1【解析】选A.由题意可得:z=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z的虚部是-2.2.(5分)设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=C B.UA=BC.A∩(UB)=∅ D.B∪(UB)=C【解析】选D.由复数的分类可知D项正确.3.(5分)若复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则a等于()A.-1 B.1 C.±1 D.不存在【解析】选C.由题设a2-1=0,故a=±1.4.(5分)(2024·石家庄高一检测)已知i为虚数单位,a,b∈R,集合A=z|z=a+(2a-1)A.{2i} B.{1+3i} C.{3+5i} D.{2+4i}【解析】选C.由题得a+(2a-1)i=b-2+bi,所以a=b-22a-1=5.(5分)下列结论正确的是()A.z=1+i2是虚数B.z=3+i为纯虚数C.z=3+i的实部大于虚部D.z=1-2i的虚部为-2i【解析】选C.z=1+i2=1-1=0,A不正确;z=3+i不是纯虚数,B不正确;z=3+i的实部为3,虚部为1,所以实部大于虚部,C正确;z=1-2i的虚部为-2,D不正确.【补偿训练】若复数z=cosθ-45+sinθ-35i是纯虚数(i为虚数单位),则tanθ-π4的值为()A.7 B.-1C.-7 D.-7或-1【解析】选C.因为复数z=cosθ-45+sinθ-35i是纯虚数,所以cosθ-45=0,sinθ-35又cos2θ+sin2θ=1,所以cosθ=45,sinθ=-35,所以tanθ=-所以tanθ-π4=tanθ-11+tanθ6.(5分)(多选)对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是()A.若a=0,则a+bi为纯虚数B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1C.若b=0,则a+bi为实数D.若b≠0,则a+bi是虚数【解析】选BCD.对于选项A,当a=b=0时,a+bi=0显然是实数,因此本选项说法不正确;对于选项B,a+(b-1)i=3-2i⇒a=3b-对于选项C,b=0,a+bi=a∈R,因此本选项说法正确;D选项说法正确.7.(5分)若a,b∈R,i是虚数单位,a+2024i=2-bi,则a2+bi等于__________.

【解析】因为a+2024i=2-bi,所以a=2,-b=2024,即a=2,b=-2024,所以a2+bi=4-2024i.答案:4-2024i8.(5分)若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则复数z的实部与虚部的和是______________.

【解析】因为z是纯虚数,所以m2解得m=-1,从而复数z的实部与虚部分别是0和-2,其和是-2.答案:-29.(5分)(2024·厦门高一检测)已知复数z=m-3+(m2-9)i(i为虚数单位),若z≥0,则实数m的值为__________.

【解析】复数z=m-3+(m2-9)i(i为虚数单位),z≥0,则m-3≥0m2答案:310.(10分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时,(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z是零.【解析】(1)若z∈R,则a2-7a+6=0,解得a=1或a=6.(2)若z是纯虚数,则a2+a-(3)若z是零,则a2+a-【补偿训练】求实数m取什么数值时,复数z=m2-m-2+(m2-1)i分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】(1)当m2-1=0,即m=1或m=-1时,复数z是实数;(2)当m2-1≠0,即m≠1且m≠-1时,复数z是虚数;(3)当m2即m=2时,复数z是纯虚数.【综合应用练】11.(5分)已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是()A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)【解析】选B.由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).12.(5分)(多选)(2024·长春高一检测)已知复数z1=m2-1+(m+1)i,z2=cos2θ+isinθ,下列说法正确的是()A.若z1为纯虚数,则m=1B.若z2为实数,则θ=kπ,k∈ZC.若z1=z2,则m=0或m=-4D.若z1≥0,则m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞)【解析】选ABC.对于A,复数z1=m2-1+(m+1)i是纯虚数,则m2-1=0对于B,若z2=cos2θ+isinθ为实数,则sinθ=0,则θ=kπ,k∈Z,B正确;对于C,若z1=z2,则m2-1=cos2θm+1=sinθ,则m2-1=1-2(m+1)2对于D,若z1≥0,则m2-1≥0,且m+1=0,则m=-1,D错误.13.(5分)定义运算abcd=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=3x+2【解析】由题意得,(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+yi,所以x+y=3答案:-1,214.(10分)分别求满足下列条件的实数x,y的值.(1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;(2)x2-x-6x+1【解析】(1)因为x,y∈R,2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,则有2x解得x=3(2)因为x∈R,x2-x-6x所以x2解得x=3.【补偿训练】已知复数z1=m+(4-m2)i,m∈R,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i,λ∈R,θ∈R,且z1=z2,求λ的取值范围.【解析】因为z1=z2,所以m所以λ=4-4cos2θ-3sinθ=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ-3因为-1≤sinθ≤1,所以λ∈-916,7.15.(10分)当实数m为何值时,复