2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十六　余弦定理、正弦定理应用举例

十六余弦定理、正弦定理应用举例(时间:45分钟分值:75分)【基础全面练】1.(5分)若水平面上点B在点A南偏东30°方向上,在点A处测得点B的方位角是()A.60° B.120° C.150° D.210°【解析】选C.方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角.如图所示,点B的方位角是180°-30°=150°.2.(5分)如图,在铁路建设中需要确定隧道的长度,已测得隧道两端的两点A,B到某一点C的距离分别是3km,1km及∠ACB=60°,则A,B两点的距离为()A.7km B.13km C.7km D.13km【解析】选C.由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=9+1-6cos60°=7,所以AB=7km.3.(5分)一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里,如图所示.随后该船以20海里/时的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB=()A.23sin70° B.2C.32cos70° D.【解析】选A.由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,代入数据得sin∠ACB4.(5分)如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于()A.32 B.22 C.3-1 D.【解析】选C.在△ABC中,∠ACB=45°-15°=30°,∠ABC=135°,则由正弦定理得ABsin30°=ACsin135°,所以AC在△ADC中,∠ADC=θ+90°,则ACsin(θ所以cosθ=sin(θ+90°)=AC·sin15°CD5.(5分)(2024·周口高一检测)圭表是我国古代一种通过测量日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根水平长尺(称为“圭”)和一根垂直于圭面的标杆(称为“表”).如图,利用圭表测得南京市在夏至日的早上6:00和中午12:00的太阳高度角约为10°(∠ABC)和80°(∠ADC).设表高AC为1米,则影差BD约为(参考数据:tan70°≈2.747)()A.2.747米 B.5.494米C.8.241米 D.10.988米【解析】选B.在Rt△ACD中,AD=1sin80在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsin∠ABD,即BDsin70°=ADsin10°,所以BD6.(5分)如图,小明想在自己家测量楼对面电视塔的高度,他在自己家阳台M处,M到楼地面底部点N的距离MN为40(2-3)m,假设电视塔底部为E点,塔顶为F点,在小明家所在的楼与电视塔之间选一点P,且E,N,P三点共处同一水平线,在P处测得阳台M处、电视塔顶F处的仰角分别是α=15°和β=60°,在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角γ=45°,假设EF,MN和点P在同一平面内,则小明测得的电视塔的高EF为()A.120m B.110mC.803m D.(803-20)m【解析】选A.在Rt△PMN中,PM=MNsin15°,在△FPM中,∠FMP=45°+15°=60°,∠FPM=180°-15°-60°=105°,则∠MFP=180°-105°-60°=15°,由正弦定理MPsin∠MFP=PFsin∠PMF可得PF=sin∠PMFsin∠MFP·MP=sin60在Rt△PEF中,EF=PF·sin60°=3MN1-cos30°·sin60°=7.(5分)(2024·菏泽高一检测)如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距15nmile的C处.现甲船以35nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25nmile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为____________h.

【解析】如题图所示,在△OBC中,∠BOC=30°+90°=120°,OC=15,OB=25,所以BC2=152+252-2×15×25×cos120°=1225,即BC=35,又甲船的速度为35nmile/h,所以甲船到达B处需要的时间为35÷35=1(h).答案:18.(5分)甲船在A处发现乙船在其北偏东60°方向上的B处,乙船正在以anmile/h的速度向北行驶,已知甲船的速度是3anmile/h,则甲船应沿着________方向前进,才能最快与乙船相遇.

【解析】如图所示,设经过th两船在C点相遇.在△ABC中,BC=at,AC=3at,∠B=180°-60°=120°.由BCsin∠CAB得sin∠CAB=BC=at·sin因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°,即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.答案:北偏东30°【综合应用练】9.(5分)如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60m,则河流的宽度BC是()A.240(3-1)m B.180(2-1)mC.120(3-1)m D.30(3+1)m【解析】选C.由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60m,所以AC=120m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120×10.(5分)(多选)如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20km/h,且cos∠AOB=-338,则(A.此山的高PO=3kmB.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°C.PA=2kmD.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为20【解析】选BCD.由题意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,设OP=xkm,OP⊥OA,OP⊥OB,则OA=3xkm,OB=xkm.因为AB=7.5×160×20=5所以由余弦定理可知,cos∠AOB=OA2+OB2-AB2故A错误,C正确.设O到AB的距离为hkm,因为sin∠AOB=378S△ABO=12OA·OB·sin∠AOB=12·AB·解得h=11120则最大仰角的正切值为POℎ=20又AO>BO,所以最小仰角为30°.故B,D正确.【补偿训练】如图,某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛,已知小岛B与小岛C相距为5海里,cos∠BAD=-45.则小岛B与小岛D之间的距离为______海里;小岛B,C,D所形成的三角形海域BCD的面积为________平方海里【解析】圆的内接四边形对角互补,cosC=cos(π-A)=-cosA=45>0,CsinC=1-cos在△BCD中,由正弦定理得BDsinC=BD35=55,故在△BCD中,由余弦定理得(35)2=CD2+52-2·CD·5·45整理得CD2-8CD-20=0,(CD+2)(CD-10)=0,CD=10(负根舍去).所以S△BCD=12×10×5×35答案:351511.(5分)(2024·大同高一检测)如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高,无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内,无人机飞行的海拔为500m,在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45°,塔顶B的俯角为30°,向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时,测得塔底A的俯角为75°,则该座小山的海拔为________m;古塔AB的塔高为________m.

【解析】如图,在△ACD中,CD=50m,∠ACD=45°,∠ADC=105°,∠CAD=30°,由正弦定理ACsin∠ADC=CDsin∠又sin105°=sin75°=sin(45°+30°)=22×32+22×12=6+24即AC=25(6+2)m,延长AB交CE于H,则AH=ACsin∠ACD=25(6+2)×22=25(3所以该座小山的海拔为500-25(3+1)=(475-253)m,在△ABC中,∠ACB=45°-30°=15°,∠ABC=120°,又sin∠ACB=sin(45°-30°)=22×32-22×12=6-24,由正弦定理有ABsin15°=ACsin120答案:(475-253)5012.(10分)一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的方向航行(3-1)nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的方向航行2nmile到达海岛C.(1)求AC的长;(2)如果下次航行直接从A出发到达C,应沿什么方向航行?【解析】(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=3-1,BC=2,根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=(3-1所以AC=6nmile.(2)根据正弦定理可得ACsin∠ABC=即sin∠CAB=BCACsin∠ABC=2×326=36=22,又BC<所以∠CAB=45°.所以应沿北偏东25°的方向航行6nmile即可到达C处.13.(10分)某货船在某海域航行中遭海盗袭击,发出呼救信号,如图,W国海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在北偏东45°,距离为10海里的C处,并测得货船正沿南偏东75°的方向,以10海里/时的速度向前行驶,海军护航舰立即以103海里/时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.【解析】设所需时间为t小时,则AB=103t,CB=10t,在△ABC中,∠ACB=4