2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册二十四　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

二十四棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)棱长为a的正四面体的表面积为()A.312a2 B.38a2 C.34a2 D.【解析】选D.因为正四面体的各面都是全等的等边三角形,又该正四面体的棱长为a,所以该正四面体的表面积为S=4×12×a×a2-(a2.(5分)如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是()A.13 B.12 C.23 【解析】选C.因为VC-A'B'C'=13V柱=1所以VC-AA'B'B=1-13=2【补偿训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面A1B1C1D1内任意一点,则四棱锥P-ABCD的体积为()A.16 B.13 C.12 【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面A1B1C1D1内任意一点,所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1,S正方形ABCD=1×1=1,所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=13×AA1×S正方形ABCD3.(5分)(2024·铜陵高一期中)某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水,已知该四棱锥的高为3m,底面边长是8m,接缝处忽略不计,则需要油毡的面积为()A.48m2 B.80m2 C.100m2 D.144m2【解析】选B.设该正四棱锥的斜高为h'.因为高为3m,底面边长是8m,所以根据勾股定理得h'=32+(82)

24.(5分)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为()A.32 B.74 C.2 D【解析】选D.如题图乙,因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S梯形EFCB×3=34S△ABC×3=94S△ABC.设题图甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=94S△ABC,解得h5.(5分)(多选)一个长方形的长为8,宽为4,将它沿与边平行的线折3次折叠成一个正四棱柱,则此正四棱柱的体积可能为()A.4 B.8 C.16 D.24【解析】选BC.若以长为正四棱柱的高,则V=1×1×8=8;若以宽为正四棱柱的高,则V=2×2×4=16.6.(5分)(多选)已知某几何体的直观图如图所示,其中底面为长为8,宽为6的长方形,顶点在底面投影为底面中心,高为4.该几何体的体积和侧面积分别用V和S表示,则()A.V=64 B.V=32C.S=40+242 D.S=40+122【解析】选AC.几何体的体积为V=13·S矩形·h=13×6×8×4=64.正侧面及相对侧面底边上的高为h1=42+32=5.左、右侧面的底边上的高为h2=42+42=42.故几何体的侧面积为S=2×7.(5分)若正方体的表面积为96,则正方体的体积为__________.

【解析】设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故正方体的体积V=a3=43=64.答案:648.(5分)(2024·泉州高一期中)若正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为3,则它的体积为__________.

【解析】由题知棱台上下底面面积分别为S=2×2=4,S'=8×8=64,且高为3,故棱台体积为V=13(S+S'+SS')h=13(4+64+答案:849.(5分)如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积分别为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V2的两部分,则V1∶V2=__________.

【解析】设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=14所以V1=13hS+14S+S·S4=V2=V-V1=512Sh.所以V1∶V2=7∶5答案:7∶510.(10分)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成的,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,求此几何体的体积与表面积.【解析】该几何体的体积:V=4×6×3+12表面积:S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+32【综合应用练】11.(5分)(多选)如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2,互相平行的两个侧面的距离为1m,这个六棱柱的体积、侧面积分别用V,S侧表示,则()A.V=334m3 B.V=3C.S侧=2m2 D.S侧=3m2【解析】选BD.设正六棱柱的底面边长为am,高为hm,则2ah=1,3a=1,解得a=33,h=32,所以V=34×332×6×32=34(m3),S侧=6×33×12.(5分)鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.图①是一个鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁玩具的表面积为()A.8(6+62+3) B.6(8+82+3)C.8(6+63+2) D.6(8+83+2)【解析】选A.由题图,可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个正方体截去了8个相同的正三棱锥而得到的,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为2,则该鲁班锁玩具的表面积为6×4×(1+2)2-4×12×2×2+8×12×2×3=8(6+62+3).13.(5分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E是AB的中点,将△ADE,△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-CDE的体积为__________.

【解析】根据题意,折叠后的三棱锥P-CDE的各棱长都相等,且等于1,根据此三棱锥构造相应正方体(如图),则该正方体的棱长为22,故正方体的体积为223=24,所以三棱锥P-CDE的体积为24-4×13×12×22×2答案:214.(10分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面为全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,其上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),若加工处理费为0.2元/cm2,则需支付加工处理费多少元?【解析】因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以该零部件上部的表面积S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=A2B22+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm又四棱台A1B1C1D1-ABCD的上下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以该零部件下部的表面积S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面=A1B12+4×12×(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4×12×(10+20)×则该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),0.2×2420=484(元).15.(10分)在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.【解析】设三棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A所以VA1-ABC=13S△ABC·VC-A1B1C又V台=13h(S+4S+2S)=73所以VB-A1B1C=73Sh-Sℎ3-4Sℎ3所以三棱锥A1-ABC,B-A1B1C与C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4.【补偿训练】在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M为AE的中点,设E-ABCD的体积为V,连接MB,MC,那么三棱锥M-EBC的体积为多少?【解析】设点B到平面EMC的距离为h1,点D到平面