2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册八　平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示

八平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)下列说法不正确的是()A.相等向量的坐标相同B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C.一个坐标对应于唯一的一个向量D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C说法不正确.2.(5分)(2024·忻州高一检测)已知A(-1,1),B(-3,4),平面向量的坐标是()A.(2,3) B.(-2,-3)C.(2,-3) D.(-2,3)【解析】选D.由已知=(-3,4)-(-1,1)=(-2,3).3.(5分)(2024·盘锦高一检测)已知向量=(1,-5),=(-2,1),则=()A.(4,-6) B.(-1,-4)C.(-2,4) D.(2,-4)【解析】选B.=+=(-1,-4).4.(5分)(2024·嘉兴高一检测)已知向量a=(1,2),a-b=(3,2),则b=()A.(-2,0) B.(4,4) C.(2,0) D.(5,6)【解析】选A.因为b=a-(a-b)=(1,2)-(3,2)=(-2,0),所以b=(-2,0).5.(5分)若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,且A(1,3),B(2,4),则x的值为()A.1 B.1或4 C.0 D.-4【解析】选A.由已知得,=(2-1,4-3)=(1,1),因为a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,所以2x−1=1,x2+3x【补偿训练】对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m⊗n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a⊗b,那么向量b等于()A.2,45 B.-2,-45C.2,-45 D.-2,45【解析】选A.设b=(x,y),由新定义及a+b=a⊗b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=45,所以向量b=2,45.6.(5分)(多选)(2024·合肥高一检测)在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是()A.=2i+3j B.=3i+4jC.=-5i+j D.=5i+j【解析】选AC.由题图知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正确,B不正确;=-=-5i+j,=-=5i-j,故C正确,D不正确.7.(5分)在平面直角坐标系内,已知i,j分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,若a=2i-3j,则a的坐标为__________.

答案:(2,-3)【解析】由题意可得a=2i-3j,则a的坐标为(2,-3).8.(5分)已知=(2-x)i+(1-x)j,且的坐标所表示的点在第四象限,则x的取值范围是________.

答案:(1,2)【解析】由题可得=(2-x,1-x),因为的坐标所表示的点在第四象限,所以2−x>01−x<09.(5分)设A,B,C,D为平面内的四点,已知A(3,1),B(-2,2),且=.若C点坐标为(-1,4),则D点坐标为__________.

答案:(-6,5)【解析】由题设,=(-5,1),若D(x,y),则=(x+1,y-4),则有(-5,1)=(x+1,y-4),即x+1=−5y−4=1,可得x=−6y10.(10分)(2023·周口高一检测)若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求+,-的坐标.【解析】因为A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),所以=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+=(-10,14),-=(2,-10).【综合应用练】11.(5分)(2024·天津高一检测)已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为()A.(-7,10) B.(7,10)C.(5,-6) D.(-5,6)【解析】选A.由已知得,与a的长度相等,方向相反,所以=-a=(-6,8),又因为点A的坐标为(-1,2),设B(x,y),则=(x+1,y-2)=(-6,8),所以x+1=−6y−2=8,解得x=−7y12.(5分)如果点P(1,3)按向量a平移后得到点Q(4,1),则点M(2,1)按向量a平移后得到点N的坐标为()A.(1,5) B.(5,1)C.(5,-1) D.(-1,5)【解析】选C.因为a===(4,1)-(1,3)=(3,-2),所以点N的坐标为(3,-2)+(2,1)=(5,-1).13.(5分)(2024·西安高一检测)已知点A(2,7),向量绕原点O逆时针旋转π2后等于,则点B的坐标为__________.

【分析】根据角的关系β=α+π2,再结合任意角三角函数定义sinα=yr,cosα=x答案:(-7,2)【解析】设||=r,∠AOx=α,∠BOx=β,B(x0,y0),则rsinα=7,rcosα=2,β=α+π2x0=rcosβ=rcosα+π2=-rsinα=-7,y0=rsinβ=rsinα+π2=rcosα=2,即点B的坐标为(-7,2).14.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若=+,求点P的坐标;(2)若++=0,求的坐标.【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1),所以=(1,2)+(2,1)=(3,3),即点P的坐标为(3,3).(2)设点P的坐标为(x,y),因为++=0,且++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以6−3解得x所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).15.(10分)以原点O及点A(23,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(23,-2),所以||=||=||=4.因为在0~2π内,以Ox为始边,OA为终边的角为11π6,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为π6,=4cosπ6,4sinπ6=(23,2).所以=-=(23,2)-(2