江苏省徐州市沛县某中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟试卷（含答案解析）

江苏省徐州市沛县第五中学2024-2025学年上学期九年级数

学期末模拟1

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10,12,12,13,15（单位：岁），则三年后

这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（）

A.方差B.众数C.中位数D.平均数

2.为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼.已知某天五位同学体育锻炼的

时间分别为（单位：小时）：1,1.5,1.4,2,1.5,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.1.5,1.5B.1.4,1.5C.1.48,1.5D.1,2

3.如图，为了测量河岸A,8两点的距离，在与AS垂直的方向上取点C,测得AC=a,

ZABC=oc,那么A3等于（）

A.a-smaB.acosaC.a-tanaD.-------

tana

4.关于二次函数y=（x-iy+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，最大值是5D.当x>l时，y随x的增大而增大

5.如图，点A,B,C在。。上，Z£L4C=54°,则13OC的度数为（）

C.116°D.128°

6.若两个相似三角形的相似比为1:4,则这两个三角形面积的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

7.如图，。。是边长为4石的等边三角形A5c的外接圆，点。是5C的中点，连接50,

CD.以点。为圆心，的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

D

A.—B.4TIC.—D.16TC

33

8.如图所示，在口A5CD中，AC,50相交于点0,E是。4的中点，连接HE并延长交AD

AF

于点四已知以的=4,则下列结论：①』=：1；②工旌=36；③工谢=12；④

FD2

△AEFs^ACD.其中一定正确的是（）

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

二、填空题

9.一元二次方程V一2025X=0的解是.

10.圆锥的底面半径是4cm,母线长是6cm,则圆锥的侧面积是cm?（结果保留兀）.

11.小红沿坡比为1:右的斜坡上走了120米，则她实际上升了米

12.若关于x的一元二次方程》2一八+2左=（）有两个相等的实数根，则上的值为.

13.如图，A8是。。的直径，点。在48的延长线上，过点。作0。的切线，切点为C,

若/A=36。，贝|ND=

14.如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停

试卷第2页，共6页

止转动时，指针落在阴影部分的概率是.

15.在平面直角坐标系中，将二次函数丁=（彳-2024乂3-2026）-3的图象向上平移3个单位

长度，所得抛物线与x轴有两个公共点尸、Q,则尸。=.

16.如图，已知点E是矩形ABC。的对角线AC上的一动点，正方形EFGa的顶点G、”都

在边AD上，若AB=4,BC=5,贝Utan/DAP的值为.

三、解答题

（2）解方程：X2—4x—5=0.

18.为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标

的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析.数据收集（单位：万

元）5.8,9.9,6.0,5.2,8.2,6.2,7.6,9.4,8.2,7.8,5.1,7.5,6.1,6.3,6.7,7.9,8.2,8.5,9.2,9.8

数据整理：

销售额/万元5<%<66<x<77<x<88<x<99工九＜10

频数35a44

数据分析:

平均数众数中位数

7.488.2b

问题解决：

⑴填空：a=,b=.

(2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有名员工获得奖励.

(3)经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励.员工甲找到经理说：“我这个月的

销售额是7.6万元，比平均数7.48万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到

奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释.

19.一个不透明的盒子里装有4张卡片，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，卡片

除图案外都相同，并将4张卡片充分搅匀.

(1)若从盒子中任意抽取1张卡片，恰好抽至「夏”的概率为二

(2)若从盒子中任意抽取2张卡片，求抽取的卡片恰好1张为“春”，1张为“冬”的概率.(请

用画树状图或列表等方法说明理由)

20.已知二次函数的解析式是产/-2x-3.

(1)与x轴的交点坐标是,顶点坐标是

⑵在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

(3)结合图象回答：当-2<x<2时，函数值》的取值范围是

试卷第4页，共6页

21.如图，某数学兴趣小组为测得校园里旗杆A5的高度，在操场的平地上选择一点C,测

得旗杆顶端NACB=30。，再向旗杆的方向前进18.6米，到达点。处(C,D,2三点在同一

直线上)，又测得旗杆顶端/AZ)8=45。，请计算旗杆48的高度.

22.在VABC中，点。在边AB上，若。少二旬㈤3，则称点。是点C的“关联点”

⑴如图(1).在VA3C中.若NACB=90。，CD,AB于点。.试说明：点。是点C的“关

联点”.

⑵如图(2),已知点。在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个VABC,使点。为点C

的“关联点”;

23.某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm的正方形硬纸板，

在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒.

(1)若无盖纸盒的底面积为484cm2,则剪掉的小正方形的边长为多少？

(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方

形的边长；如果没有，说明理由.

24.如图，在VABC中，AC=BC,ZACB=90°,。。经过A、C两点，交A3于点。，CO

的延长线交A8于点EDE〃CF交BC于点E.

c

⑴求证：£(£1为0。的切线;

(2)若AC=8,tan/CFD=2,求PC的长

25.如图，抛物线丁=依2+乐_3.工0)与x轴交于4一3,0),3(1,0)两点，与y轴交于点C,

直线＞与该抛物线交于E,尸两点.

(1)求点C坐标及抛物线的解析式.

(2)P是直线所下方抛物线上的一个动点，作PHLEF于点H,求P"的最大值.

⑶以点C为圆心，1为半径作圆，过点B作。C的切线切点为点。，求切点。的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678

答案AADDBDCD

1.A

【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义.平均数平均数表示一组数据的

平均程度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或

最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.众数是一组数据中出现

次数最多的数.

【详解】解：：南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12,12,13,15,

，三年后这五位小讲解员的年龄为13,15,15,16,18,

会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差.

故选：A.

2.A

【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可

【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1,1.4,1.5,1.5,2,

则中位数是1.5,

1.5出现次数最多，故众数是1.5.

故选：A.

3.D

AT〃

【分析】由题意知，ABAC=90°,贝Ijtan/ABC=',BPtana=—,计算求解即可.

ABAB

【详解】解：由题意知，ZBAC=90°,

：.tanZABC=—,即tana='^,解得，AB=-^—,

ABABtana

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

4.D

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可.

【详解】解：对于产（x-1）2+5,

••,«=1>0,故抛物线开口向上，故A错误；

顶点坐标为（1,5）,故B错误；

答案第1页，共16页

该函数有最小值，最小值是5,故C错误；

当x>l时，y随x的增大而增大，故D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生

非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

5.B

【分析】直接利用圆周角定理即可得.

【详解】解：QABAC=54°,

二由圆周角定理得：ZB(9C=2z^C=108°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

6.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方

进行求解即可.

【详解】解：：两个相似三角形的相似比为1:4,

这两个三角形面积的比是F：4?=1：16,

故选：D.

7.C

【分析】过D作OE，3c于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出

ZBDC=120°,利用弧、弦的关系证明网>=CD,利用三线合一性质求出BE=g=2百，

NBDE=g/BDC=6U°,在中，利用正弦定义求出8。，最后利用扇形面积公式求

解即可.

【详解】解：过。作DEL3c于E,

A

D

VQO是边长为4—的等边三角形ABC的外接圆,

答案第2页，共16页

BC=4A/3-ZA=60°,ZBZ)C+ZA=180°,

ZSDC=120°,

:点。是BC的中点,

■■BD=CD>

：.BD=CD,

：.BE=-BC=2A/3,ZBDE=-ZBDC=60°,

22

BD=———=2君=4,

sinZBDEsin60°

.c1207r4167r

••s阴影=F-=》‘

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面

积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

8.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.根据平行四边形的性质得到AE=gcE,根据相似三角形的性质

得到芸==!=:，等量代换得到=于是得到皆=J；故①正确；根据相似

三角形的性质得到％BCE=36；故②正确；根据三角形的面积公式得到以.£=12,故③正

确；由于与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ADC不一定相似，故④

错误.

【详解】解：：在口A3CD中，则AO=gAC,AD=BC,

:点E是。4的中点，

/.AE=-CE,

3

•/AD//BC,

：.AAFESACBE,

,AFAE

"BC~CE~3'

•/AD=BC,

答案第3页，共16页

AF=-AD,

3

••.三=:；故①正确;

FD2

••v=4

*'•S^BCE=36；故②正确;

..EFAE

•'BE~~CE~3,

qi

・°AAEF_

・・―7，

°AABEJ

**•^AABE—,故③正确；

AF1AE1

9：ZEAF=ZCAD,——=—,

AD3AC4

.AFAE

•・---w---,

ADAC

•••△AE/与△ACL＞不一定相似，故④错误,

故选：D.

9.x,=0,x2=2025

【分析】本题主要考查解一元二次方程.运用因式分解法即可求出方程的解.

2

【详角窣】解：VX-2025X=0,

x(x—2025)=0,

x=0,x-2025=0,

Xj=0,x2=2025,

故答案为：%=0,9=2025.

10.24兀

【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面

积公式计算即可.

【详解】解：,・•圆锥的底面半径为4cm,

工圆锥的底面圆的周长=2兀・4=8兀,

2

，圆锥的侧面积x8兀x6=24兀(cm).

答案第4页，共16页

故答案为：24m

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的

底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长.也考查了扇形的面积公式：S=1-l-R,(1为弧长).

11.60

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关

键.根据题意设铅直距离为x,则水平距离为根据勾股定理求出尤的值，即可得到结

果.

【详解】解：设铅直距离为X,则水平距离为石彳，

根据题意得：尤2+(瓜)2=1202,

解得：x=60,

则她实际上升了60米，

故答案为：60

12.2

【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.一元二次方程以2+bx+c=0(aw0)有

两个不相等的实数根，则A=6?-4改>0;有两个相等的实数根，则A4ac=0；没有

实数根，则公=尸-4*<0.据此即可求解.

【详解】解：由题意得：A=〃—4ac=(―4)~—4x1x2k=0,

解得：k=2

故答案为：2

13.18。/18度

【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据切线的性质的

得至l]NOC£»=90°,根据等边对等角得到NOC4=4=36。，再由三角形内角和定理即可求

出答案.

【详解】解；如图所示，连接OC,

：CD是。。的切线，

ZOCD=90°,

•/OC=OA,

：.ZOCA=ZA=36°,

答案第5页，共16页

ZACD=ZOCD+ZOC4=126°,

ZD=180°-ZA-ZACD=18°,

故答案为：18。.

【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指

针指向阴影区域的概率.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示

所求事件(A),然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生

的概率.

【详解】解：•••转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，

・・・指针落在阴影区域的概率为2,

O

3

故答案为：—.

O

15.2

【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点.根据二次函数图象的平

移规律，求出抛物线的解析式，然后令y=o,列出关于％的方程，解方程求出》,再根据两

点间的距离公式求出答案即可.

【详解】解：将二次函数，="-2024心-2026)-3的图象向上平移3个单位长度，所得抛

物线的解析式为：

y=(x-2024)(%-2026),

令y=0,贝i](x-2024)(x-2026)=0,

x-2024=0或x—2026=0,

解得：x=2024或2026,

PQ=2026-2024=2,

故答案为：2.

答案第6页，共16页

【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求一4年的正切值

转化为求/网G的正切值是解题的关键.根据题意得知所〃AD,EH//CD,由平行线的

性质得到AAEHSAACD,结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.

【详解】解：,•,四边形是矩形，

.-.ZADC=90°,AS=CD=4,AD=BC=5,

四边形EFGH是正方形，

ZEHG=ZHGF=90°,EH=HG=FH=EF,

：.EH\\CD,EF//AD,

AAEHS^ACD,

•EHCD4

,,AH-AB-5J

设EH=4a,则AH=5a，

.\HG=GF=EH=4a,

小=GF4a4

/.tanZDAF=----=---------=—

AG4。+5〃9

4

故答案为：—

17.(1)1；(2)%—1,%=5.

【分析】本题主要考查实数的混合运算及特殊角的三角函数的计算，解一元二次方程，熟练

掌握各个运算法则是解题关键.

(1)先化简绝对值，零次幕及负整数指数幕的运算，代入特殊角的三角函数值，然后计算

加减法即可;

(2)根据因式分解法求解一元二次方程即可.

【详解】解：(1)|-731--2025)°-2sin60°+W

=0一1一2x?+2

=石-1-石+2

=1;

(2)三一4X-5=0,

答案第7页，共16页

因式分解得(无+1)(%-5)=0,

♦♦x+l=O,x—5=0,

解得%=T,%=5.

18.(1)4；7.7

⑵12

(3)见解析

【分析】本题主要考查了数据与统计，数据的分析与整理，平均数，众数，中位数与频数,

熟练掌握上述数据的特征是解题的关键.

(1)利用频数和中位数的定义解答即可；

(2)利用表格一的信息解答即可；

(3)利用中位数的定义解答即可.

【详解】(1)解：。=20-3-5-4-4=4,

将20个数据按由大到小的顺序排列如下：

5.0,5.1,5.2,6.0,6.1,6.2,6.3,6.7,7.5,7.6,7.8,7.9,8.2,8.2,8.2,8.5,9.2,9.4,9.8,9.9,

位置在中间的两个数为767.8,它们的平均数为7.7,

这组数据的中位数为7.7,

.•2=7.7.

故答案为：4；7.7；

(2)解:由20个数据可知：不低于7万元的个数为12,

若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有12名员工获得奖励，

故答案为：12；

(3)解:由(1)可知：20名员工的销售额的中位数为7.7万元，

.,.20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元，

公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得，

而员工甲的销售额是7.6万元，虽然比平均数7.48万元高，但低于中位数7.7万元，

二员工甲不能拿到奖励.

19.⑴:

答案第8页，共16页

【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是：

（1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果；

（2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“冬”的结果数，然后利

用概率公式计算即可.

【详解】（1）解：,♦有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，

.♦•恰好抽到“夏”的概率为:，

故答案为：；；

（2）解：用树状图列出所有等可的结果：

开始

第1次抽取春夏秋冬

/N/N/1\/1\

第2次抽取夏秋冬春秋冬春夏冬春夏秋

等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，

春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）.

1••在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“冬”出现了2次，

二尸（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“冬”）=|.

6

20.（1）（-1,0）,（3,0）；（1,4）；

（2）见解析

（3）-4<y<5

【分析】（1）令y=o,求出x的值即可求出与x轴的交点坐标；把二次函数解析式化为顶点

式即可求出顶点坐标；

（2）先列表，然后描点，最后连线即可；

（3）根据（2）所画函数图象求解即可.

【详解】（1）解：令y=0,贝鼠2一2>3=0,

解得x=-1或x=3,

二二次函数与x轴的交点坐标为（-1,0）,（3,0）；

•••二次函数解析式为y=2x-3=（x—I）?—人

.•.二次函数的顶点坐标为（1,-4）,

故答案为：（-1,0）,（3,0）；（1,4）；

答案第9页，共16页

（2）解：列表如下:

X0123

yy­••0-3-4-30

（3）解：由函数图象可知，当-2<x<2时，函数值，的取值范围是-44y45；

故答案为：-4<y<5

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，求二次函数的函数值的取值范

围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

21.旗杆48的高度是93（6+1）米.

10

【分析】本题考查了解直角三角形.设AB=x米，在R3ACB和Rt^ADB中，利用特殊角

的锐角三角函数关系即可求解.

【详解】解：设AS=x米，

在RtAACB和RtAADB中，

VZACB=30°,ZAD8=45°,CD=18.6米,

BC=AB」=6x

:.DB=x,tan30°

T

•.•CD=3C-80=18.6米，8i-x=18.6,

18.6+193回1）

..x=18.6x=（米），

210

答：旗杆AB的高度是93（石+D米.

10

答案第10页，共16页

22.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质等内容.

(1)证人4宓6△。如，根据“关联点”的定义即可得结论；

(2)①作线段A8的垂直平分线，交AB于点0；②以。为圆心，为半径作圆；③过。作

DC，A3交。。于点C,连接AC、BC,VABC即可得答案.

【详解】(1)证明：

NCDA=NCDB=90°,

：.ZA+ZACD=90°,

"：ZACB=90°,

：.ZBCD+ZACD^90°,

：.ZA=ZBCD,

NCDA=/CDB=90°,

：.AACD^ACBD,

.CDAD

"~BD~~CD'

，CD2=ADDB,

点。是点C的“关联点”.

(2)解:如图，VABC即为所求，

£X

4

23.(1)剪掉的小正方形的边长为4cm

(2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为Jem时，有最大值，最大值为

450cm2

【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的

解法，二次函数的性质是解题的关键.

(1)根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为acm,列式求解即可；

答案第11页，共16页

（2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为xcm,无盖纸盒的侧面积为s,结合几何图形

面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解.

【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为々cm,

无盖纸盒的底面的边长为（30-2。）,

（30-2«）2=484,

解得，a=4或26（舍去），

剪掉的小正方形的边长为4cm；

（2）解：设剪掉的小正方形的边长为xcm,无盖纸盒的侧面积为s,

5=4(30-2%)+450,

...当x=二时，$有最大值，最大值为450cm"

2

•••无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为"cm时，有最大值，最大值为

2

450cm2.

24.⑴见解析

⑵也

3

【分析】（1）连接O。，根据等腰直角三角形的性质得到/G1B=45。，根据圆周角定理得

到/COD=2ZCAB=90°,根据平行线的性质得到ZEDO=90°根据切线的判定定理得到

为。。的切线；

（2）过点C作8,A3于点根据等腰直角三角形的性质得到CH=Af/=；AB=4夜，根

据三角函数的定义得到FH=2及，根据勾股定理得到2而，根据三角函数的定义即可

得到结论.

【详解】（1）证明：连接OD,

.•.△ACS为等腰直角三角形,

答案第12页，共16页

:.ZCAB=45°,

:.ZCOD=2ZCAB=90°,

-.-DE//CF,

:.ZCOD+ZEDO=180°,

:.NEDO=90。

.1DE为。。的切线；

（2）解:过点C作CH，AB于点

•.•△ACB为等腰直角三角形，AC=8,

:.AB=y/2AC=8y/2,

：.CH=AH=-AB=4y/2,

2

•.•tanZCFD=—=2,

FH

FH=2A/2,

在Rt^CFH中，由勾股定理得C尸=CH2+RT,

CF=+（2A/2）2=2回,

.■•tanZCFP=^=°D==2,

OFCF-OC2A/10-OD

.•.8=业

3

故。。的半径为勺叵.

3

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰

直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键.

25.（l）C（0,-3）,y=x2+2x-3

d

8

（3）（1,一3）或］一,一口

【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数解析式，再令x=0求点C坐标即可；

（2）过点P作PM//y轴交直线跳■于点设点尸（元,f+2x-3）,点M（x,-x）,根据勾股

定理可得々/=等建，即-X2—3X+3）=—¥1X+|J+4但，即可求解；

答案第13页，共16页

（3）①当点。在BC的右侧时，根据切线的性