沪教版上海六年级数学暑假课讲义：立体几何初步认识（解析版）

第10讲立体几何初步认识

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学习目标

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掌握长方体正方体的体积及表面积

掌握表面积和体积的变化规律

掌握表面积和体积的应用

||豳基础知识^

---------------------llllillllllllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

模块一：长方体正方体的体积与表面积

长方体和正方体的认识

特征：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊的有一组对面是正方形），相对的面完全

相同；有12条棱，相对的棱平行且相等；有8个顶点。正方形有6个面，每个面都是正方

形，所有的面都完全相同；有12条棱，所有的棱都相等；有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

长方体的棱长总和=（长+宽+高）x4用字母表示：（a+b+h）x4

正方体的棱长总和=棱长X12用字母表示：12a

长方体和正方体的表面积的计算

表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长x宽+长x高+宽x高）x2

用字母表示：S=（ab+ah+bh）x2

正方体的表面积=棱长x棱长X6

用字母表示：S=6a2

单位：平方厘米、平方分米、平方米In?=100dm21dm2=100cm2

长方体和正方体的体积的计算

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体的体积=长x宽x高用字母表示：V=abh

正方体的体积=棱长x棱长x棱长用字母表示：V=a3

立方厘米、立方分米和立方米ImJlOOOdn?ldm3=1000cm3lm3=1000000cm3

长方体或正方体的体积=底面积x高用字母表示：V=Sh

把高级单位化成低级单位，用高级单位数乘以进率；--一大乘小

把低级单位聚成高级单位，用低级单位数除以进率。一一小除大

模块二：表面积与体积的变化

1、当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就

叫做接缝处的面积。

2、接缝条数=正方体个数一1。

3、每有1条接缝就减少了原来的2个面的面积。

4、拼成的长方体的表面积=原来正方体表面积之和一减少的面的面积。

5、接缝处的面积=接缝条数x2x每个面的面积。

石块投入水里：增加的体积就是石块的体积

表面积减少情况：

1、把两个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米?

2、把三个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米?

3、把四个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米?

表面积增加的情况100个100个

1,把一个长方体正好切成两个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米?

2、把一个长方体正好切成三个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米?

3、把一人长方体正好切成四个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米?

模块三：表面积与体积的综合应用

三视图画法：长对正，高平齐，宽相等（需要添加对应的题目）

平面图：立体图形的直观图

涂色问题：（需要添加对应的题目）

对于nxnxn的正方形，其涂色情况如下：

3面涂色：8个（每个顶点均有一个涂色）、

2面涂色：（n-2）xl2个

1面涂色：（n-2）x（n-2）x6个

各面均没有涂色：总数减去上面3个总数或者（n-2）x（n-2）x（n-2）个

1，，"、

IQ考点剖析

------------------llllllllllllllllllllitlllllillillllllllll-----------------------

I模块一：长方体正方体的体积与表面积

二:一图形计算

1.计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）

【答案】表面积：216平方厘米，体积：216立方厘米；

表面积：640平方厘米，体积：800立方厘米

【分析】根据正方体的表面积公式：S=6a2,正方体的体积公式：V=a3；根据长方体的表

面积公式：S=（ab+ah+bh）x2,长方体的体积公式：V=abh；据此进行计算即可。

【详解】6x6x6

=36x6

=216（平方厘米）

6x6x6

=36x6

=216（立方厘米）

（20x10+20x4+10x4）x2

=（200+80+40）x2

=320x2

=640（平方厘米）

20x10x4

=200x4

=800（立方厘米）

2.分别计算下面两个图形的表面积和体积。（单位：cm）

【答案】表面积为462cm2,体积为669cm二表面积为230cm°,体积为165cm'

【分析】看图1可知，一个长方体和正方体叠加之后，减少了两个正方形的表面积，组合图

形的表面积等于长方体的表面积加上正方体四个面的表面积,利用表面积公式分别代入计算

即可；叠加后体积不变，组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公

式计算即可。

看图2可知，一个长方体和正方体叠相邻放齐之后，减少了两个长方体侧面的表面积，组合

图形的表面积等于正方体的表面积加上长方体上、下、前、后四个面的表面积，表面积公式

分别代入计算即可；组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计

算即可。

【详解】图1：

长方体表面积：11x5x4

=55x4

=220（cm2）

正方体四个面的表面积：11x11x2

=121x2

=242（cm2）

图1的表面积：220+242=462(cm2)

长方体体积：11x11x5

=121x5

=605(cm3)

正方体体积：4x4x4

=16x4

=64(cm3)

图1的体积：605+64=669(cm3)

图2：

正方体的表面积：5x5x6

=25x6

=150(cm2)

长方体四个面的表面积：10x2x4

=20x4

=80(cm2)

图2的表面积：150+80=230(01?)

正方体的体积：5x5x5

=25x5

=125(cm3)

长方体的体积：10x2x2

=20x2

=40(cm3)

图2的体积：125+40=165(cm3)

二、解答题

3.根据下面两人的对话信息，回答下列问题:

在这个鱼缸中放入

从里面量长8分米，

观赏石，且完全浸

宽5分米，高5分米,

里面盛有水，水深

2一4分米。

(1)这个鱼缸的容积是多少立方分米？

(2)放入的观赏石的体积是多少立方分米？

(3)清洗鱼缸时，如果水管以每分钟抽吸8立方分米的速度，那么至少需要多长时间才能

将鱼缸的水抽干？

【答案】(1)200立方分米

(2)32立方分米

(3)12分钟

【分析】(1)根据长方体的容积公式：V=abh,据此计算可求出这个鱼缸的容积是多少；

(2)根据不规则物体的体积=容器的底面积x水面上升的高度，据此进行计算即可；

(3)根据长方体的体积公式：V=abh,据此求出水的体积，用水的体积除以每分钟抽吸的

速度即可求解。

【详解】(1)8x5x5

=40x5

=200(立方分米)

答：这个鱼缸的容积是200立方分米。

(2)8x5x(3.2-2.4)

=40x0.8

=32(立方分米)

答：放入的观赏石的体积是32立方分米。

(3)8x5x24+8

=40x2.4+8

=96+8

=12(分钟)

答：至少需要12分钟才能将鱼缸的水抽干。

【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的容积的计算方法是解题的关键。

4.实验小学要建一个长方体游泳池，长20米，宽15米，深3米。

(1)如果在底部和四周贴上边长为5分米的瓷砖，至少需要多少块才能够用？

(2)如果将水池注入1.4米深的水，一共能注多少吨水？(1立方米水重1吨)

【答案】(1)2040块

(2)420吨

【分析】(1)由题意可知，用贴瓷砖的面积除以一块瓷砖的面积即可求出需要多少块；贴

瓷砖的面积等于长方体五个面的面积，即贴瓷砖的面积=长乂宽+(长x高+宽x高)x2,据

此解答即可；

(2)根据长方体的体积公式：V=abh,据此求出水池中水的体积，再用水的体积乘1立方

米水的重量即可求解。

【详解】(1)20x15+(20x3+15x3)x2

=300+(60+45)x2

=300+105x2

=300+210

=510（平方米）

=51000（平方分米）

51000+（5x5）

=51000-25

=2040（块）

答：至少需要2040块才能够用。

（2）20x15x1.4x1

=300x1.4x1

=420x1

=420（吨）

答：一共能注420吨水。

【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。

5.求下面假山的体积是多少？

10cm

.5cm___

15cm15cm

【答案】900立方厘米

【分析】根据不规则物体的体积=容器的底面积x水面上升的高度，据此进行计算即可。

【详解】15xl5x（14-10）

=225x4

=900（立方厘米）

答：假山的体积是900立方厘米。

【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的体积的计算方法是解题的关键。

6.一个游泳池长50米，宽25米，内蓄满水2500立方米。

（1）这个游泳池的高是多少米？

（2）如果要把游泳池内贴上5分米X5分米的正方形瓷砖，需要瓷砖多少块？

【答案】（1）2米

（2）6200块

【分析】（1）根据长方体的体积公式：V=abh,据此求出这个游泳池的高是多少；

（2）由题意可知，贴瓷砖的面积等于长方体五个面的面积，即贴瓷砖的面积=长乂宽+（长

x高+宽x高）x2,据此求出贴瓷砖的面积，用贴瓷砖的面积除以一块正方形瓷砖的面积即

可求出需要瓷砖多少块。

【详解】(1)2500:50:25

=50:25

=2(米)

答：这个游泳池的高是2米。

(2)50x25+(50x2+25x2)x2

=1250+(100+50)x2

=1250+150x2

=1250+300

=1550(平方米)

=155000(平方分米)

155000-(5x5)

=155000:25

=6200(块)

答：需要瓷砖6200块。

【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。

三、填空题

7.将一个长8dm,宽和高都是5dm的长方体框架，拆开后再焊接成一个正方体，并给它表

面贴上纸，这个正方体的棱长是()dm,表面积是()dm2,体积是

3

()dmo

【答案】6216216

【分析】这个正方体的棱长=(长方体的长+宽+高)X4-12；正方体的表面积=棱长x棱

长x6,正方体的体积=棱长x棱长x棱长。

【详解】(8+5+5)x4X2

=18x4;12

=72勺2

=6(dm)

6x6x6

=36x6

=216(dm2)

6x6x6

=36x6

=216(dm3)

这个正方体的棱长是6dm,表面积是216dm2,体积是216dm3。

【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式。

8.做一个棱长为0.4米的正方体纸盒，至少需要平方米的纸板，纸盒的体积是

__________立方米。

【答案】0.960.064

【分析】根据正方体的表面积公式：S=6a2,正方体的体积公式：V=a3,据此进行计算即

可。

【详解】0.4x0.4x6

=0.16x6

=0.96（平方米）

0.4x04x0.4

=0.16x0.4

=0.064（立方米）

则至少需要0.96平方米的纸板，纸盒的体积是0.064立方米。

【点睛】本题考查正方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。

、模块二：表面积与体积的变化

L2J

例1、把下图的长方体按照三种不同的方法切成两个长方体，表面积分别增加了多少平方厘

解析：S=7x用谨来40（平方厘米）

答：表面积增加了140平方厘米。

解析：S=10x8x2=160（平方厘米）

答：表面积增加了160平方厘米。

例2、在棱长为4cm的正方体的6个面上，各挖去一个棱长为1cm的正方体，挖后的正方

体的体积是（）cm3,表面积增加了（）cm2o

【答案】6324

【分析】用大正方体的体积减去6个小正方体的体积就是剩下的体积；每挖去一个小正方体

就会增加四个小正方形的面，计算出增加的小正方形面的个数即可计算增加的面积。

【详解】4x4x4—1x1x1

=16x4—1

=64-1

=63（cm3）

Ixlx4x6

=1x4x6

=4x6

=24（cm2）

则挖后的正方体的体积是63cm3,表面积增加了24cm2。

【点睛】本题考查正方体的体积和表面积，明确每挖去一个小正方体就会增加四个小正方形

的面是解题的关键。

模块三：表面积与体积的综合应用

前1.把10个棱长1厘米的小正方体拼摆成一个立体图形（如图），这个立体图形的体积

是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。

【答案】1036

【分析】先根据正方体的体积公式V=a3,求出1个小正方体的体积，再乘小正方体的个数,

即是这个立体图形的体积。

立体图形从上面、前面、左面分别看到6个小正方形，同理从下面、后面、右面也有6个正

方形，所以一共有（6+6+6）义2个小正方形，再乘每个小正方形的面积，即是这个立体图

形的表面积。

【详解】体积：1x1x1x10=10（立方厘米）

小正方形的个数：

（6+6+6）*2

=18x2

=36（个）

表面积：1x1x36=36（平方厘米）

这个立体图形的体积是10立方厘米，表面积是36平方厘米。

【点睛】本题考查不规则立体图形的体积、表面积的求法，运用从不同方向观察立体图形的

知识，从6个方向观察到的图形的总面积，就是这个立体图形的表面积。

例2.求下面组合图形的体积。

【答案】1296dm3

【分析】长方体体积=长、宽X高，正方体体积=棱长X棱长X棱长，据此先分别求出长方体

和正方体的体积，再相加求出组合体的体积。

【详解】9x6x20+6x6x6

=1080+216

=1296（dm3）

所以，这个组合图形的体积是1296dm3。

例3.求下面图形的体积。（单位：厘米）

纬5

8

♦---＞、_1

、----‘

【答案】119.32立方厘米

【分析】圆锥的底面直径为4厘米，高为4.5厘米，利用“胃锥=；"产//”表示出上面圆锥的

体积，圆柱的底面直径为4厘米，高为8厘米，利用“%柱=万/加，表示出下面圆柱的体积,

整个图形的体积=圆锥的体积+圆柱的体积，据此解答。

【详解】g万x（4+2）2x4.5+乃x（4+2）2x8

=」7TX4X4.5+»X4X8

3

4

=—%X4.5+4；Tx8

3

=6万+32万

=38»

=38x3.14

=119.32（立方厘米）

所以，图形的体积是119.32立方厘米。

例4.求下图的体积和表面积。（单位：厘米）

【答案】1317.12立方厘米；1192.96平方厘米

【分析】由图可知，圆柱的底面直径等于长方体的宽，则圆柱的底面直径为8厘米，高为

12厘米，利用“V长方体=abh”求出长方体的体积，利用“%柱="//?，，求出圆柱的体积，图形

的体积=长方体的体积一圆柱的体积；利用“S长方体=2（ab+ah+bh）”求出长方体的表面积，

利用“S圆柱的恻面积="dh”求出圆柱的侧面积，图形的表面积=长方体的表面积一圆柱的底面积

x2+圆柱的侧面积，据此解答。

【详解】体积：20x12x8

240x8

=1920（立方厘米）

3.14x（84-2）2x12

=3.14x16x12

=50.24x12

=602.88（立方厘米）

1920-602.88=1317.12（立方厘米）

表面积：（20x8+20x12+8x12）x2

=（160+240+96）x2

=496x2

=992（平方厘米）

3.14x8x12

=25.12x12

=301.44（平方厘米）

992-3.14x（8：2）2x2+301.44

=992-3.14x16x2+301.44

=992—50.24x2+301.44

=992-100.48+301.44

=891.52+301.44

=1192.96（平方厘米）

所以，图形的体积是1317.12立方厘米，表面积是1192.96平方厘米。

例5.计算下面立体图形的表面积和体积。

4dm

____/4dm

8dm

【答案】160dm2,128dm3；406cm2；489cm3

【分析】（1）根据长方体的表面积=（长X宽+长X高+宽x高）X2,长方体的体积=长、宽

x高，代入数据计算即可；

（2）从图中可知，正方体与长方体有重合部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的

上面，这样长方体的表面积是完整的，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积;

组合图形的表面积=长方体的表面积+正方体4个面的面积;组合图形的体积=长方体的体

积+正方体的体积；根据长方体的表面积=（长x宽+长x高+宽x高）x2,正方体4个面的

面积=棱长x棱长x4,长方体的体积=长、宽x高，正方体的体积=棱长x棱长x棱长，代入数

据计算即可。

【详解】(1)(8X4+8X4+4X4)X2

=(32+32+16)x2

=80x2

=160(dm2)

8x4x4

=32x4

=128(dm3)

(2)3x3x4+(11x6+11x7+6x7)x2

=9x4+(66+77+42)x2

=36+185x2

=36+370

=406(cm2)

3x3x3+11x6x7

=9x3+66x7

=27+462

=489(cm3)

圉过关检测

----------------------llllllilllltllllllllllllllllllllillllllll------------------------

1.如图，一个圆柱的底面半径为r,高为h。小明将圆柱表面展开（图1）,得到圆柱表面

积不同的计算方法。

图2

⑴你能将这种方法用字母公式补充完整吗？

(2)当r=4厘米，h=10厘米时，用这种方法：圆柱表面积=长方形面积，求出圆柱表面

积S表=(

【答案】（1）见详解

（2）351.68平方厘米

【分析】（1）由图可知：将圆柱的两个底面的圆切分并拼成近似的长方形，拼成的小长方

形的长即为底面圆周长，宽为圆柱的底面半径加上圆柱的高，与侧面展开的长方形拼成的大

长方形面积即为圆柱表面积，得出圆柱表面积=底面周长X(h+r)；

(2)将r=4厘米，h=10厘米，代入公式计算出结果即可。

【详解】(1)如图：

圆柱表面积=整个长方形的面积

=长x宽

33

圆柱表面积S=2nrx(h+r)

(2)3.14x4x2x(4+10)

=3.14x8x14

=3.14x112

=351.68(平方厘米)

所以，圆柱的表面积是351.68平方厘米。

【点睛】本题的解答关键是从图中得到长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的

底面半径和高组成的。

2.一顶圆锥形斗笠(如图所示)，这顶圆锥形斗笠的体积是多少立方厘米？

6dm

【答案】15072立方厘米

【分析】6分米=60厘米，根据圆锥的体积公式：V=g;ir2h,用3.14x(60-2)2xl6xg即

可求出圆锥形斗笠的体积。据此解答。

【详解】6分米=60厘米

3.14x(60+2)2X16X-

3

=3.14X302X16X-

3

=3.14x900xl6x-

3

=15072(立方厘米)

答：这顶圆锥形斗笠的体积是15072立方厘米。

【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式的应用，要熟练掌握公式。

3

3.一个圆柱形汽油桶，底面半径是3分米，高是12分米，内装汽油的高度为桶高的如

4

果每升汽油重0.8千克，那么现在桶内装有汽油多少千克？

【答案】203.472千克

3

【分析】已知汽油桶的高是12分米，内装汽油的高度为桶高的1，则把汽油桶的高看作单

4

3

位力、根据分数乘法的意义，用12x1即可求出内装汽油的高度；然后根据圆柱的体积公

式：V=7tr2h,代入数据即可求出汽油的体积，把结果化为升作单位，最后乘0.8千克，即

可求出现在桶内装有汽油多少千克。据此解答。

3

【详解】12x4=9（分米）

4

3.14x32x9

=3.14x9x9

=254.34（立方分米）

254.34立方分米=254.34升

254.34x0.8=203.472（千克）

答：现在桶内装有汽油203.472千克。

【点睛】本题主要考查了分数的应用以及圆柱的体积公式的应用，明确求一个数的几分之几

是多少，用乘法计算。

4.如图，用一根彩带捆扎一个长方体礼品盒，接头处的彩带长25cm。这根彩带长多少厘

【答案】245厘米

【分析】根据图形可知：所需彩带的长度等于长方体的2条长、2条宽、4条高的长度和，

再加上接头处的25厘米，根据长方体的长、宽、高的数值，代入进行计算即可解答。

【详解】40x2+30x2+20x4+25

=80+60+80+25

=140+80+25

=220+25

=245（厘米）

答：这根彩带长245厘米。

【点睛】本题考查长方体的特征，关键是能确定有几条长、几条宽、几条高。

5.一个圆锥形沙堆，底面积36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米

的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？

【答案】32厘米

【分析】根据题意可知把圆锥形的沙堆填在长方体沙坑里，沙的体积不变，根据圆锥的体积

公式：v=gsh,求出沙的体积，然后用沙的体积除以长方体沙坑的底面积即可，据此解答。

【详解】36x0.8+（7.5x4）

=12x0.8—30

=9.6+30

=0.32（米）

=32（厘米）

答：沙坑里沙子的厚度是32厘米。

【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用。

6.有圆柱体与正方体容器各一个。圆柱体的底面直径与正方体的棱长都是4分米。圆柱体

里装有2分米高的水,这时水与圆柱体的接触面积是多少平方分米？把圆柱体中的水倒入正

方体容器内，这时水面高多少分米？（计算结果保留兀）

【答案】12无平方分米；0.5兀分米。

【分析】因为水与圆柱体的容器的接触面只有侧面和底面，根据圆柱的表面积公式5=侧面

积十底面积，将数据代入即可得出答案。

把圆柱体中的水倒入正方体容器内，水的体积不变，根据圆柱的体积公式V=Sh,先求出水

的体积，再根据h=V+S（正方形面积公式S=棱长x棱长），将数据代入，即可得出水面高

度

【详解】4/2+（4+2）2xn

=87I+22XTT

=8n+4兀

=12兀（平方分米）

（4+2）2xjtx2+（4x4）

=22xm2+16

=8兀+16

=0.5兀（分米）

答：水与圆柱体的接触面积是12万平方分米，水面高0.5兀分米。

【点睛】本题考查学生对圆柱表面公式和圆柱体积公式的掌握和运用，解答时要注意水从圆

柱体中倒入正方体容器内，水的体积不变。

7.一块长方形的铁皮（如图），如果用它做一个高5分米的圆柱形油桶的侧面，再另配一

个底面，做这样一个油桶至少需要多少铁皮？（用进一法取近似值，得数保留整平方分米）

如果1升柴油重0.85千克，这个圆柱形油桶可以盛柴油多少千克？（得数保留一位小数）

粉米

1&84分米

【答案】123平方分米；120.1千克

【分析】根据圆柱的侧面积公式：S=Ch,圆的面积公式：S="F,把数据代入公式求出需

要铁皮的面积；再圆柱的体积（容积）公式：V=»r2h,把数据代入公式求出这个油桶能盛

柴油的体积，然后再乘每升柴油的质量即可。

【详解】18.84x5+3.14x（18.84+3.14+2）2

=94.2+3.14x（18.84+3.14+2）2

=94.2+3.14x（6+2）2

=94.2+3.14x32

=94.2+3.14x9

=94.2+28.26

=122.46（平方分米）

=123（平方分米）

3.14x（18.84+3.14+2）2x5x0.85

=3.14x（6+2）2x5x0.85

=3.14x32x5x0.85

=3.14x9x5x0.85

=28.26x5x0.85

=141.3x0.85

=120.105（千克）

-120.1（千克）

答：做这样一个油桶至少需要123平方分米铁皮，这个圆柱形油桶可以盛柴油120.1千克。

【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的面积公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活

运用，关键是熟记公式。

8.把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100

平方厘米.求这个圆柱体的体积.

【答案】392.5立方厘米

【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为10+2=5厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干

把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底

面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的

高，代入圆柱的体积公式即可解决问题.

【详解】解：圆柱的身为：100+2+10

=504-10

=5（厘米）

所以圆柱的体积为：3.14X（104-2）2x5

=3.14x25x5

=392.5（立方厘米）

答：原来这个圆柱的体积是392.5立方厘米.

9.如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩

下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮

厚度不计）.

82.8cm

【答案】1570立方厘米

【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应该是10厘米，把剩下的铁

皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是20厘米.根据圆的面积计算公式S=m2,

算出圆的底面积，再根据圆柱的体积V=sh,算出圆柱的体积即可.

【详解】解：3.14x（104-2）2x10x2

=3.14x25x20

=78.5x20

=1570（立方厘米）

答：这个铁皮水桶的容积是1570立方厘米.

10.把一个小铁块放入圆柱形水槽后，测得水面上升了3cm,小铁块的体积是多少？

Y|（htn»

【答案】235.5cm3

【分析】水面上升3cm,那么上升水的体积就是小铁块的体积。上升水的体积是圆柱体的体

积，底面直径是10cm,高为3cm。

【详解】半径：10+2=5（cm）

3.14x5x5x3

=15.7x5x3

=78.5x3

=235.5(cm3)

答：小铁块的体积是235.5cm3。

【点睛】本题考查圆柱体积的计算，关键是铁块的体积就是圆柱内水上升的体积，再按照圆

柱的体积=底面积x高计算。

11.一个圆柱形的蓄水池，从里面量，池底直径20米，深5米。

(1)在这个蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥3千克，一共需要水泥多

少千克？

(2)蓄水池最多能蓄水多少吨？(1立方米水重1吨)

【答案】(1)1884千克;

(2)1570吨

【分析】(1)先利用“$=万曲+琪2”求出抹水泥部分的面积，再乘每平方米需要水泥的质

量求出一共需要水泥的质量；

(2)先根据“丫=万户人求出蓄水池的容积，再乘每立方米水的质量求出蓄水池最多蓄水的

质量，据此解答。

【详解】(1)3.14x20x5+3.14x(20+2)2

=3.14x20x5+3.14x100

=3.14x(20x5+100)

=3.14x(100+100)

=3.14x200

=628(平方米)

628x3=1884(千克)

答：一共需要水泥1884千克。

(2)3.14x(202)2x5

=3.14x100x5

=314x5

=1570(立方米)

1570x1=1570(吨)

答：蓄水池最多能蓄水1570吨。

【点睛】掌握圆柱的表面积和体积计算公式是解答题目的关键。

12.一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽6分米，高7分米。

c<(C

(1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？

(2)若往鱼缸里放入330升水，水面离缸口多少分米？

【答案】(1)284平方分米

(2)1.5分米

【分析】(1)因为鱼缸无盖，所以求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：表

面积=长、宽+(长x高+宽x高)x2,代入数据，即可解答；

(2)根据长方体的体积公式：体积=长乂宽x高，高=体积+长+宽，代入数据，求出水的高

度，再用鱼缸的高减去水的高度；即可解答。

【详解】(1)10x6+(10x7+6x7)x2

=60+(70+42)x2

=60+112x2

=60+224

=284(平方分米)

答：做这个鱼缸至少需要玻璃284平方分米。

(2)330升=330立方分米

330+10+6

=33+6

=5.5(分米)

7-5.5=1.5(分米)

答：水面离缸口1.5分米。

【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意

单位名数的换算。

13.佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝

色与绿色水杯的底面半径之比是3：2,蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在

往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少

厘米？

【答案】2.4厘米

【分析】已知蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3：2,则假设蓝色水杯的底面半径是3厘

米，绿色水杯的底面半径是2厘米，已知现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水

面高度相等，则现在蓝色水杯里水的体积一原来蓝色水杯里水的体积=现在绿色水杯里水的

体积一原来绿色水杯里水的体积，根据圆柱的体积公式：V=7tr2h,设现在水杯里水的高度

是X厘米，据此列方程为：3.14x3*2x3x—3.14X32X7=3.14X22XX—3.14x22x4,然后解出方程，

最后用现在水的高度减去原来蓝色水杯里水的高度，即可求出蓝色水杯的水面上升了多少厘

米。

【详解】假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米，

解：设现在水杯里水的高度是x厘米。

2222

3.14X3XX-3.14X3X7=3.14X2XX-3.14X2X4

3.14x9xx-3.14x9x7=3.14x4xx—3.14x4x4

28.26x-197.82=12.56x-50.24

28.26x-12.56x=197.82-50.24

15.7x=147.58

x=147.58—15.7

x=9.4

9.4-7=2.4（厘米）

答：这时蓝色水杯的水面上升了2.4厘米。

【点睛】本题可用列方程来解决问题，关键是找到相应的数量关系式。

14.淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园。

（1）养植园是个长方形，画在1:1000的图纸上，长10cm,宽3cm,这个养植园实际的长和

宽各是多少米？

（2）养植园外形是一个半圆柱形（如图），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平

方米的塑料薄膜？

（3）利用如图中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处

忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？

-------------------

X

_____________

-4------33.12dm-----►

【答案】（1）1。0米；30米

（2）5416.5平方米

（3）803.84升

【分析】（1）根据实际距离=图上距离+比例尺，进行换算即可；

（2）养殖园的长=圆柱的高，养殖园的宽=圆柱底面直径，塑料薄膜面积=圆柱底面积十

侧面积+2,据此列式解答；

（3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长=圆柱底面周长，底面直径x2

=圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径+底面周长=33.12分米，列出方程求出

底面直径，再根据圆柱体积=底面积x高，求出容积即可。

【详解】（1）10^^^=10x1000=10000（厘米）=100（米）

3+」一=3x1000=3000（厘米）=30（米）

1000

答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米。

（2）3.14x（30+2）2+3.14x30x100+2

=3.14x152+4710

=3.14x225+4710

=706.5+4710

=5416.5（平方米）

答：需要5416.5平方米的塑料薄膜。

（3）解:设底面直径是x分米。

x+3.14x=33.12

4.14x=33.12

4.14x^4.14=33.12^4.14

x=8

3.14x（84-2）2x（8x2）

=3.14x42x16

=3.14x16x16

=803.84（立方分米）

=803.84（升）

答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升。

【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱

表面积和体积公式。

15.甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。

李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。

护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米,

如图②所示。

（1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？

（2）这个输液瓶的容积是多少毫升？

【答案】（1）25平方厘米

（2）350毫升

【分析】（1）已知图①的输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升；先根据进率：1毫

升=1立方厘米，将250毫升换算成250立方厘米；然后根据圆柱的底面积$=丫+11,求出

这个输液瓶的底面积。

（2）已知输液速度为平均每分钟5毫升，即每分钟5立方厘米，那么10分钟一共输液5x10

=50立方厘米；由上一题可知这个输液瓶的底面积是25平方厘米，根据圆柱的体积丫=511

可知，图②空的部分的体积是（25x6）立方厘米；用原来液体的体积加上图②空的部分的

体积，再减去10分钟输液的体积，即是这个输液瓶的容积。

【详解】（1）250毫升=250立方厘米

250+10=25（平方厘米）

答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。

（2）5毫升=5立方厘米

250+25x6-5x10

=250+150-50

=350（立方厘米）

350立方厘米=350毫升

答：这个输液瓶的容积是350毫升。

【点睛】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明白图②空的部分的体积包含原来空的

部分体积和10分钟输液的体积。

16.一个圆柱形零件，底面半径是6厘米，高是12厘米，在零件的底部有一个圆柱形的洞,

洞口直径是10厘米，洞深4厘米。

（1）如果将这个零件与空气接触的表面都涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？

（2）这个零件用铁铸造，如果每立方厘米的铁约重7.8克，这个零件约重多少千克？（得

数保留一位小数）

【答案】（1）803.84平方厘米

(2)8.1千克

【分析】(1)由于底部有一个圆柱形的洞，那么与空气接触的面相当于一个大圆柱的表面

积外加底面下面小圆珠的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S=?rdh,圆柱的表面积=侧面

积+2x底面积，把数代入即可求解；

(2)根据圆柱的体积公式：底面积x高，用大的圆柱的体积减去挖去的体积再乘7.8即可求

解，之后再转换单位，保留一位小数看小数点后的第二位，如果小数点后的第二位大于等于

5,则进一，小于5,则舍去。

【详解】(1)3.14x6x2x12+3.14x6x6x2+3.14x10x4

=452.16+226.08+125.6

=803.84(平方厘米)

答：涂防锈漆的面积是803.84平方厘米。

(2)3.14x6x6x12-3.14x(104-2)2x4

=1356.48—3.14x25x4

=1356.48-314

=1042.48(立方厘米)

1042.48x7.8=8131.344(克)

8131.344克=8.131344千克仪8.1千克

答：这个零件约重8.1千克.

【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。

17.有一个长方体，长与宽的比是2:1,宽与高的比是3:2。已知这个长方体的全部棱长之

和是220厘米，求这个长方体的体积。

【答案】4500立方厘米

【分析】将宽与高的比的前项变成1,那么后项就是:，所以长方体的长、宽、高的比是6：

3：2,而长方体的棱长之和=(长方体的长+长方体的宽+长方体的高)x4,那么长方体

的长+长方体的宽+长方体的高=220x；