沪教版七年级数学下册复习：全等三角形 压轴题（六大题型）（原卷版）

专题04全等三角形压轴题(六大题型)

目录：

题型1：一线三等角构造全等模型

题型2：手拉手模型一旋转型全等

题型3：倍长中线模型

题型4：平行线+线段中点构造全等

题型5：等腰三角形中的半角模型

题型6：对角互补且一组临边相等的半角模型

题型1：一线三等角构造全等模型

1.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,过点C作直线MN,AM_LMN于点BN工MN于点、N.

(1)若MN在4ABC外(如图1),求证：MN=AM+BN；

(2)若MN与线段A8相交(如图2),且AM=2.6,BN=1.1,则MN=.

图1图2

2.(1)猜想：如图1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,8£)J_直线加，C£±

直线加，垂足分别为点。、E.试猜想OE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；

(2)探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，

AB^AC,D,A、E三点都在直线机上，并且有NBZM=/AEC=/BAC=a(其中a为任意锐角或钝角)

如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)解决问题：如图3,F是角平分线上的一点，且△48尸和AA”均为等边三角形，。、E分别是直

线加上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为71,连接BD、

CE,若试判断△DEE的形状，并说明理由.

图1图2图3

3.如图所示，在R3ABC中，/C=90。，点。是线段CA延长线上一点，且AO=AB.点尸是线段AB上

一点，连接。尸，以为斜边作等腰Rt△。在1.连接EA,且

(1)若NAEP=20°,ZADE^5Q°,贝°；

(2)过。点作DGLAE,垂足为G.

①填空：；

②求证：AE=AF+BC；

(3)如图2,若点尸是线段8A延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE,AF,之间的数量关

系，并简要说明理由.

B

DACF

图1图2

4.在AABC中，ZACB=90°,AC^BC,直线MN经过点C,且于点。，BELMN于点、E.

(1)当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，

求证：①AADgACEB；

®DE=AD+BE-,

(2)当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，

①找出图中一对全等三角形；

②DE、AD,8E之间有怎样的数量关系，并加以证明.

M,二

(图1)

题型2：手拉手模型一旋转型全等

5.1初步感知1

如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形,连接A。、BE.小组同学发现：

(1)△ACD与△8CE全等，依据是(填写全等三角形判定定理);

(2)线段依据是__________________；

【拓展探究】：

如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC=BC,CD=C、E,NACB=NDCE=a,AD,BE相交于

点连接CM.

(3)线段BE与之间是否仍存在(2)中的结论？若存在,请说明理由；

(4)ZAMB=_______(用含a的式子表示)，并说明理由.

;二A，

DcAc

图①图②

6.【基础巩固】（1）如图1,在AABC与中，AC^BC,CD=CE,NACB=NDCE,连接A。，BE；

求证：&ACD沿ABCE；

【尝试应用】（2）如图2,在AABC与ACDE中，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°,连接AD

BE,A、O、E三点在一条直线上，8c与。E交于点F；

①求NB区4的大小；

②若。P=3所且BE=2,求ABCE的面积；

【拓展提高】（3）如图3,在△A8C与△CZJE中，AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=90。，点、G为

OE的中点，AE交BC于点H,连接G8,若GXL4B,且SAABH为18,求CH的长.

图1图2图3

7.在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF,连接BE,CF.

【发现问题】如图①,若/BAC=30。，延长BE交CF于点D,则BE与CF的数量关系是,

NBDC的度数为.

【类比探究】如图②，若/8AC=120。，延长BE,FC相交于点。，请猜想BE与CF的数量关系及NBOC

的度数，并说明理由.

【拓展延伸】如图③，若NBAC=90。，且点8,E,尸在同一条直线上，过点A作AM,3凡垂足为点

请猜想8尸，CF,AM之间的数量关系，并说明理由.

8.在AABC中，AB=AC,点。是直线8C上一点（不与8、C重合），以AO为一边在AO的右侧作△ADE,

AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.

（1）如图1,当点D在线段BC上，如果NBAC=90。.

①则△A3。与△ACE全等吗？请说明理由；

②求/8CE的度数；

（2）如图2,如果NBAC=60。，当点。在线段8C上移动，则NBCE的度数是°；

（3）如图2,当点。在线段BC上，如果/BAC=60。，。点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、

C均不重合），当点。运动到什么位置时，AOCE的周长最小？

9.感知：如图①，△A3C和△A即都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE^9Q°,点B在线段上，点C

在线段AE上，我们很容易得到BD=CE,不需证明.

探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转a(0<a<90。)，连结8。和CE,此时8O=CE是否依然成

立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由.

应用：如图③，当△AOE绕点A逆时针旋转，使得点。落在BC的延长线上，连结CE.

①NACE的度数为度；

②线段CD、CE之间的数量关系是；

③若AB=AC=&,CD=1,则线段。E的长为.

图①图②图③

题型3：倍长中线模型

10.在R3A8C中，AC=BC,ZACB=9Q°,以8C为斜边作R3EBC,ZBEC=90°,再将BE绕点8逆

时针旋转90。得到BR连接所分别交BC,AB于点G,点、D.

(1)如图1,A8EC在8c右侧，/EBC=30。,AC=2,求△8FG的面积；

(2)如图2,ABEC在BC右侧，点。是A8的中点，求证：DE=42CE+DF；

(3)如图3,ABEC在8c左侧，FE的延长线过A8的中点。，当点E在8。的中垂线上时，CE交AB

于点H,直接写出‘ABCH

的值.

^ABDF

图1图2图3

11.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1,在

△ABC中，是BC边上的中线，延长A。到使。连接3M.

AAE

P

B

/D

D

图1图2图3

【探究发现】：(1)图1中AC与8M的数量关系是，位置关系是

【初步应用】：(2)如图2,在△ABC中，若AB=12,AC=8,求2C边上的中线AD的取值范围.(提

示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变.例如：若3x<6,则无<2.)

【探究提升】：(3)如图3,AD是AABC的中线，过点A分别向外作A3、AFLAC,使得

AF^AC,延长ZM交所于点P,判断线段所与A。的数量关系和位置关系，请说明理由.

12.数学课上，老师提出一个问题：如图1,已知等腰直角△ABC,AB=AC,等腰直角△CZ)E,DC=DE,

连结BE,F为BE中点，连结AF,DF,请探究线段AF,之间的关系.

小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用.请帮助他完成：

(1)如图1,延长A尸至A,使得AF=4R连结4E,则线段AB与线段4E的数量关系为,

位置关系为;

(2)如图2,延长ED交延长线于点G,连结A。，A'D.小明的思路是先证明△AC£)g△A，E£),进

而得出4。与4。的关系，再继续探究.请判断线段AR之间的关系，并根据小明的思路，写出完

整的证明过程._

(3)方法运用：如图3,等边AABC与等边ADEC,点、D,E在△ABC外部.AB=4,DE=2愿，连结

B。，点尸为8。中点，连结AF,BE,若AF=3,请直接写出BE的值.

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,AABC中，若A2=8,AC=6,求3C边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，

得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使Z)E=A。，请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC2AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<A£><7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所

求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,4。是△ABC的中线，8E交AC于E,交于尸，S.AE=EF.求证：AC=BF.

14.如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC^BC,点。是AB边上的一点，将线段CD绕点C

逆时针旋转90。得到线段CE,连结BE,AE.

(1)①填空：线段BD与AE的数量关系是，位置关系是;

②证明上述结论成立._

(2)如图2,F是的中点，连结5交BE于H,若BC=4,BD=V5时，求CF的长.

题型4：平行线+线段中点构造全等

15.如图，已知点4,B为直线MN外两点，且在异侧，连接A8,分别过点A作ACLMN于点C,过

点8作于点。，点尸是线段8。上一点，连接B交AB于点E.

(1)下列条件：

①点厂是。8的中点；

②点E是A3的中点；

③点E是C尸的中点.

请从中选择一个能证明AC=BF的条件，并写出证明过程；

(2)若AC=BR且AC=5,BD=13,CE=6,求C£>的长.

M

16.【发现】如图①，点。为线段A3,C£)的中点，连接AC,BD,我们易得△AOC0△8。。，进而可以得

至ljAC=8。，S.AC//BD.

【应用】如图②，在R3A8C中，AB=CB,乙48。=90。，点。为线段AC上一点，以为斜边作等

腰直角AAED(点A,E,。按顺时针顺序排列)，即AE=OE,NAED=90。,取C。的中点R连接2尸，

EF,BE.

(1)求乙以m的度数.

(2)求证：ZEBF=45°.

【拓展】

(3)若将(2)中的点。改为直线AC上一点，其他条件不变，设直线BE与直线AC相交于点G,当

AB=CB=6如,8尸=2^/15时，请直接写出FG的长.

图①图②备用图

17.【思维启迪】

(1)如图1,点尸是线段AB,CD的中点，则AC与BD的数量关系为，位置关系

为;

【思维探索】

(2)如图2,在△ABC中，/ACB=90。，点。为△ABC内一点，连接B。，DC,延长。C到点E,使

CE=CD,连接AE,若请用等式表示AB,BD,AE之间的数量关系，并说明理由；

★小明思考良久后，根据CE=C。这一条件，给出了如图4的辅助线：延长AC到T,使得CT=AC,连

接。T,8T.请你根据小明给出的辅助线，继续猜想A3,BD,AE之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。为AB中点，点E在线段BD上(点E不与点

B,点D重合)，连接CE,过点A作AFLCE,连接FD.若A尸=8,CF=3,请求出FD的

18.如图，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,在平面内取一点。连接AD、BD,点、。为

线段的中点，连接C。并延长到点R使OP=CO.以为直角边，顺时针方向作等腰RtADEB,

DB=EB,/DBE=90°,连DE,CE,BF.

（1）如图1,当。在BC边上时，请直接写出CE与3尸的位置和数量关系；

（2）如图2,当。在△A8C的内部时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明;

若不成立，请说明理由；

19.在△ABC中，BC=8,两条高A。，BE交于点尸是Q/的中点，连接AF并延长交边2C于点G.

（1）如图1,若△ABC是等边三角形，

①求证：AH=2DH；

②求CG的长；

图1图2

题型5：等腰三角形中的半角模型

20.综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在AABC中，点。在AC边上，AE±BD

于F交BC于E,NABD=2/CAE.求证

独立思考：（1）请解答王师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答.“如图

2,作EGLAC于点G,若AE=BD,探究线段与CE之间的数量关系，并证明.”

问题解析：(3)数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点G与点D重合时，连接

CF,若给出DE的值，则可求出的值.该小组提出下面的问题，请你解答."

如图3,在(2)的条件下，当点。与点G重合时，连接CR若。E=«,求C尸的长”.

图1图2图3

21.如图1,AABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以。为顶点作一个60。

角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.

(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由.

(2)若△ABC的边长为2,求AAMN的周长.

22.如图，AABC是等边三角形，。是边BC上一点(点O不与点2,C重合)，作/EDP=60。，使角的两

边分别交边AB,AC于点E,F,且BO=CH

(1)如图①，若DE工BC,则NOFC=度；

(2)如图②，。是边BC上一点(点。不与点8,C重合)，求证：BE=CD；

(3)如图③，若。是边8c的中点，且AB=2,则四边形AED尸的周长为.

题型6：对角互补且一组临边相等的半角模型

23.已知，在四边形ABC。中，AB=AD,NB+NAOC=180。，E、尸分别是边BC、CD上的点，且/E4/

=^ZBAD.

2

(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1,当NB=NAOC=90。时.

小王同学探究此问题的方法是：延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG.

请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路.

小明的解题思路：先证明△ABE丝；再证明了AAE/g,即可得出BE,EF,FD

之间的数量关系为.

(2)请你借鉴小王的方法探究图2,当/B+NAOC=180。时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证

明你的结论，如果不成立，请说明理由.

(3)如图3,若E、尸分别是边BC、CO延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段E