沪教版七年级数学暑假课：幂的运算（二）（解析版）

第05讲塞的运算（二）

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学习目标

—―

|—同底数幕的乘法

鬲的运算（二）-—［幕的乘方］

—积的乘方

［豳基础知识f

---------------------II1IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、幕的运算概念：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在中，

。叫做底数，〃叫做指数.

含义：“"中，a为底数，〃为指数，即表示。的个数，a"表示有〃个。连续相乘.

特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.

2、“奇负偶正”口诀的应用：

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是，，—，，号的个数，例如：一［一（一3）］=-3；-［+（-3）］=3.

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中

积的符号.

（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嘉为负；指

数为偶数，则嘉为正.

3、特别地：当〃为奇数时，（-°）"=-屋；而当力为偶数时，（-.）"=/.

负数的奇次赛是负数，负数的偶次暴是正数.

正数的任何次累都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为0的数的0次幕都是“1”.

4、运算法则：

（1）同底数塞相乘.

同底数的塞相乘，底数不变，指数相加.

用式子表示为：am-a"=a'n+n（私”都是正整数）.

（2）幕的乘方.

募的乘方的运算性质：幕的乘方，底数不变，指数相乘.

用式子表示为：〃=4加都是正整数）.

（3）积的乘方.

积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘.

用式子表示为：（"）"=.»"（〃是正整数）.

（4）同底数塞相除.

同底数塞相除，底数不变，指数相减.

用式子表示为：ama"=d"n（awO,m,，都是正整数）.

（5）规定“°=1（。力0）；a~p=-y-（a/O,p是正整数）.

考点剖析

llllllllllllllllllillllllilllllllllllllll

1.化简（一耳，一（一切2,结果是（）

A.-x6B.x6C.x5D.-?

【答案】D

【解析】（-"31_（一力了="./=一高

【总结】本题主要考查同底数塞的运算，运算中注意式子符号.

2.下列各式计算过程正确的是（）

A.x3+x3=x3+3=x6B.x3-%3=2x3

C.x-x3-x5=x0+3+5=x8D.尤2=-无s

【答案】D

【解析】A的正确结果是2式，B的正确结果是f,C的正确结果是不//=9+3+5=/.

【总结】本题主要考查幕的运算的基本法则，熟练掌握相关法则.

3.下列计算：①W『=/；②）2=/；③（X2）5=那；④x5.y2=（移）7;⑤=（孙「.

⑥小5=（孙）5;其中错误的有（）

A.2个B.3个C.4个D5个

【答案】C

【解析】①②③本题主要考查幕的乘方运算，底数不变，指数相乘，①②错误；④⑤⑥主要

考查积的乘方运算，底数相乘，指数不变，④⑤错误.

【总结】本题主要考查塞的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用.

4.计算：(-2)2003+(-2)2004=

【答案】22叫

【解析】原式=22004-220°3=2X22003-22003=(2-1)X22003=22003.

【总结】本题主要考查同底数基运算法则的逆用，am+n=am-an.

5.计算：+・(〃-2根『=.

【答案】4(加一］1.

［解析］原式=［根—gw］.=4(m.

【总结】本题主要考查同底数幕相乘的运算法则，但是要注意先要将底数化为相同.

53

6.^x+-y--=O,则4132>=.

22

【答案】8

【解析】由尤+|>—"|=0，得2苫+5?=3,故4，.32,=(22)%-(25)"=22x-25y=22"+5y=23=8.

【总结】本题一方面考查同底数基的运算法则，另一方面考查整体代入思想的运用.

7.设4=35°,。=44。，C=53。，比较。，b,。的大小，用〈号连接：.

【答案】c<a<b.

【解析】因为a=35。=05『=243'Z,=440=(44)'°=25610,c=530=(53)1(，=12510,

所以c<a<b.

【总结】本题主要考查如何运用塞的乘方将三个数字化作指数相同的事的运算.

8.计算：

(1)gx(-3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3)；(2)(一〃),(一十•(一十•(一。『•(一〃丫;

(3)伍+3(。+6)(。”)……(心,(4)-6x6x(-6)x6x(-6),

〃个a+b

【答案】(1)-1x35；(2)-a15；(3)(a+b)"；(4)-65.

【解析】(1)原式=gx(-3)5=-gx35；(2)原式=(_°『=_/；

(3)原式=(a+。)"；(4)原式=-6，.

【总结】本题主要考查乘方的概念.

9.如果(462C3广2比"."5.".1_/)2氏］的次数大：1,那么发的值是多少？

【答案】k=\.

【解析】因为第一个单项式次数为（3+2+3）优+2）=8左+16,第二个单项式次数为

4+5+8+（2x2+l+l）k=6左+17,依题意有（81+16）-（61+17）=1,解得：k=l.

【总结】本题一方面考查单项式的次数的概念，另一方面考查同底数幕相乘的运算法则.

10.比较255,344,533,622这4个数的大小关系.

【答案】533>344>622>255.

41133311122*12n

【解析】因为255=05）"=32”,344=（3）"=81,5=（5）'=125,6=（6）"=36,

又125>81>36>32,所以125“>81”>36”>32”，即53?>3\>6〃>2刀.

【总结】本题主要是利用幕的乘方运算法则，将这些事化作指数相同，比较底数大小即可.

［域真即演练

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1.（2022秋・上海华育•七年级专题练习）下列计算正确的是（）

A.a2+a-aiB.a2•a,—a6C.（a'）=a5D.（2a）~=2/

【答案】B

【分析】A.根据同类项的定义，可知/与。不是同类项，即可进行判断；B.根据同底数

事相乘底数不变，指数相加，可进行判断；C.根据惠的乘方：底数不变，指数相乘，可进

行判断；D.积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幕相乘，可进行判断.

【详解】解：A./与“不是同类项，不能合并，故错误；

B.故正确；

C.,3）2=/,故错误；

D.（2a）2=4a2,故错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是整式乘除运算中的累的运算，需熟练掌握同底数暴乘法运算，暴

的乘方运算公式，是否为同类项也是本题的考查点.

2.（2022秋・上海静安.七年级校考阶段练习）下列各式正确的是（）

A.X2+X2=X4；B.X?.尤3=彳6；

C.（一x）2.（-x）4=f6；D.（-%）3-（-x）4=-%7.

【答案】D

【分析】根据合并同类项、同底数幕的乘法、暴的乘方与积的乘方法则逐一计算可得.

【详解】解：A、/+/=2一片/，该选项不符合题意；

B、该选项不符合题意；

C、(-x)2-(-x)4=x2-x4=x6-X6,该选项不符合题意；

D、(-x)3-(-%)4=-x3-x4=-x1,该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，合并同类项，幕的乘方与积的乘方，掌握(腔丫=优'"，

(时=4%'是解题的关键.

3.(2022秋・上海.七年级上海市西延安中学校考期中)下列计算结果正确的是()

A.(0)=/；B.x3-%2=%3x2=x6；

C.[(-a)5]3=-a15；D.(xm)3=x3+m.

【答案】C

【分析】根据幕的乘方，同底数幕的乘法法则分别判断.

【详解】解：A,(a3)2=a6,故错误，不合题意；

B、*3.尤2=1+2=*5,故错误，不合题意；

C.l(-a)5]3=-«15,故正确，符合题意；

D、(xm)3=x3m,故错误，不合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了累的乘方，同底数基的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则.

4.(2022秋•上海杨浦•七年级统考期中)计算：(-5元2yz2『=.

【答案】-125X6/Z6

【分析】结合积的乘方的运算法则计算，即可求解.

【详解】解：原式=-125x2x3y3z2x3=_125x6y3z6,

故答案为："25fy3z6.

【点睛】本题主要考查积的乘方，属于基础运算法则的考查，难度不大.解题的关键是掌握

积的乘方的运算法则.

5.(2022秋•上海静安•七年级上海市市西中学校考期中)用(x-y)的哥的形式表示：

(x-y)5(y-x)4=•

【答案】(x-y)9/(-y+x)9

【分析】运用负数的偶次幕的特性，将原式化成(x-y)5(x-y)4,再利用同底数赛的乘法运

算即可完成.

【详解】(x-y)5(y-x)4=(x-y)5(x-y)4=(x-y)9,

故答案为(x-y)9.

【点睛】本题主要考查事的逆运算的运用，熟练掌握偶次塞的特性以及同底数幕的乘法运算

是解题关键.

6.（2022秋・上海奉贤.七年级校联考期末）计算：22X24=（结果用累的形式表示）.

【答案】26

【分析】根据同底数塞的乘法法则计算即可.

【详解】解:22X24=26.

故答案为：26.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

7.（2022秋•上海长宁.七年级上海市娄山中学校考阶段练习）若3,=4,3，=3,则33中=

【答案】192

【分析】根据同底数塞的乘法与乘方的逆运算求解即可.

【详解】解:33%=（3».3"

：3'=4,3>=3,,

原式=/x3=192，

故答案为：192.

【点睛】本题考查了同底数塞的乘法、同底数幕的乘方的逆用；熟练掌握其运算法则是解题

的关键.

8.（2022秋・上海静安.七年级上海市市西初级中学校考期中）己知3"=a,3"=6,则用

含。、匕的代数式表示32加3"=.

【答案】"户///

【分析】将32国"进行变形，变成为含有3"，和3"的形式，即可求解.

【详解】解：,；3"'=a,T=b,

：.32,B+3"=（3m）2-（3,,）3=a2^3,

故答案为：a2b3.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法运算法则逆用，关键在于将3223"变形成为含有3根和3"

的形式.

9.（2022秋.上海黄浦.七年级统考期中）计算：（-1）40X（41）40X0.12512=.

【答案】16

【分析】将带分数和小数化成假分数，按照同底数塞的乘法法则进行计算即可.

【详解】解：（q）4°x（*）4°x0.125“

1

=240X

=2­

=24

=16.

故答案为：16.

【点睛】本题考查有理数的乘法、积的乘方的逆运算，解题的关键是能够正确计算同底数累

的乘法.

/0\2022

10.（2022秋・上海松江•七年级校考期中）计算：;-（-2.5）2021=.

【答案】一?-04

【分析】根据逆用同底数募的乘法，积的乘方进行计算即可求解.

2

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，积的乘方，掌握同底数幕的乘法，积的乘方的运算法

则是解题的关键.

11.（2022秋・上海•七年级校考阶段练习）计算.

【答案】J/

4

【分析】根据整式的乘方运算法则即可求解.

【详解】解：

故答案为：--X2.*4

4

【点睛】本题目考查整式的乘方运算法则，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

12.（2022秋・上海•七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：

（1）31X202.3+87%X2023-21X20.23；

(2)(一1.5严4x(1严3

【答案】(1)2023

⑵1.5

【分析】(1)先变形，再利用乘法分配律合并计算；

(2)先逆用同底数幕的乘法变形，再逆用积的乘方二次变形，再计算即可.

2

【详解】(1)解：3-x202.3+87%x2023-21x20.23

17

=—xl0x20.23+87x20.23-21x20.23

5

=34x20.23+87x20.23-21x20.23

=(34+87-21)x20.23

=100x20.23

=2023；

/、2023

⑵(-1.5)2024X|||

=(-1)2023X(-1.5)

=1.5

【点睛】本题考查了乘法分配律,积的乘方和同底数塞的乘法，解题的关键是灵活运用公式.

13.(2022秋・上海•七年级专题练习)(-%)2■%3■(-2j)3+(2xy)2-(-x)3-y

【答案】-12卒案

【分析】根据积的乘方和同底数基的乘法法则求解即可.

【详解】原式=-81.工3.,3-4/9,天3.丫

=-8x5y3-4x5y3

=-1203

【点睛】本题考查了幕的乘方和同底数幕的乘法，解答本题的关键是掌握塞的乘方和同底数

塞的乘法法则.

14.(2022秋•上海.七年级专题练习)计算：(-a)3.(o2)3»<7+(-<73)2«a4.

【答案】0

【分析】根据幕的运算法则即可求得结果.

【详解】解：原式=（-43,6.4+46/1

=一/+屋

=0.

【点睛】本题主要考查的是整式乘除运算中的幕的运算，需熟练掌握同底数幕乘法运算，幕

的乘方运算公式，易错点在于符号确定.

15.（2022秋•上海长宁•七年级上海市娄山中学校考阶段练习）计算：

-34%3c.2°365c2+2。768c3.

4

【答案】

【分析】根据整式的混合运算法则求解即可.

【详解】-3。％3c.2a365c2+24768c3

4

=--flW+2aW

2

=-flW

2

【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则.

16.（2022秋•上海嘉定・七年级校考期中）已知22.22"，23-"=64,求”的值.

【答案】2

【分析】直接利用同底数嘉的乘法运算法则计算得出答案.

【详解】解：22'22'-'-23-=64,

,2222〃-123-〃—

2+2rl—1+3—〃=6,

/.n=2.

【点睛】此题主要考查了同底数塞的乘法运算，正确得出〃的值是解题关键.

17.（2022秋・上海•七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）已知：（16°3『=5,

求亡的值；

【答案】25

【分析】原式利用幕的乘方和积的乘方法则可得出d=5,再根据幕的乘方的逆用即可求出

结果.

【详解】解：：（16a3）2d

2

=叱

=16?"6.*

=a6，

a6=5>

：."2=（46）2=52=25.

【点睛】本题考查察的乘方和其逆用，积的乘方，有理数的乘方运算.掌握各运算法则是解

题关键.

18.（2022秋・上海•七年级专题练习）计算：（4+⑴丫+卜寸+卜/丫

【答案】2/

【分析】根据幕的运算法则，先算幕的乘方，再合并同类项.

2

【详解】解：，）3+（Vy+（-Xr+（-尤3）2

=x6+x6-x6+x6

=2?

【点睛】本题主要考查了事的乘方.掌握嘉的乘方运算法则（底数不变，指数相乘）是关键.

19.（2022秋•七年级单元测试）爱动脑筋的小明在学习《幕的运算》时发现:若4（“>0,

且"1,加、〃都是正整数），则机="，例如：若5"'=5",则租=4.小明将这个发现

与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的

问题：

⑴如果"4*x32*36,求x的值；

⑵如果3"'+3"i=108,求x的值.

【答案】⑴x=5

（2）x=2

【分析】（1）利用幕的乘方的法则及同底数累的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；

（2）利用同底数易的乘法的法则及幕的乘方的法则对式子进行整理，即可求解.

【详解】（1）因为2X4XX32X=236,

所以2x22%x25x=236,

BP21+7x=236,

所以l+7x=36,

解得：x=5；

（2）因为3X+2+3X+'=108,

所以3x3”+3x+/=4x27,4x3x+;=4x33,

+13

即3x=3f

所以x+l=3,

解得：x=l.

【点睛】本题主要考查哥的乘方，同底数暴的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握

与运用.

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1.下列算式中，正确的是（）

A.a4+a2=a6B.—a3-a5=-a1,C.（-/）=-a"D.（3a。）=9o6

【答案】B

【分析】根据同底数幕的乘法，同底数幕的乘方，积和乘方运算法则以及合并同类项的法则,

分别进行判断即可.

【详解】解：A./与/不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；

B.—/.15__々8,正确，故此选项符合题意；

C.（-a2）6=a12,故此选项不合题意；

D.（3a2）3=27a6,故此选项不合题意;

故选：B.

【点睛】本题主要考查了累的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

2.计算：•二的结果是（）

A./B.a6C.-a8D.-a6

【答案】B

【分析】先计算（-。）2=/,然后根据同底数暴的乘法进行计算即可求解.

24246

【详解】解：（-«）-«=axa=fl.

故选：B.

【点睛】本题考查了同底数哥的乘法，掌握同底数累的乘法法则是解题的关键.

3.已知：2'"="，2"=b,则.

【答案】a6b9/b9a6

【分析】根据同底数募的乘法以及暴的乘方的逆运算计算即可得出答案.

【详解】：2m=°,T=b,

g27n+3n

=82mx83n

=（23fx（23f

=26,"x29n

=a%'

故答案为：a6b9.

【点睛】本题考查的是指的运算公式，需要熟练掌握四个嘉的运算公式及其逆运算.

4.已知x=2"+3,y=4"+5,用含字母x的代数式表示V,贝4'=

【答案】（x-3y+5/5+（x-3）2

【分析】先根据题意求出尤-3=2%接着变形40=（22丫=（2"『=（彳一3）2,将X-3=2"整体

代入即可得到答案.

【详解】解：,；尤=2”+3,

工一3=2",

4H=（22）"=（2"）2,

4H=（2"）2=（.r-3）2,

故答案为：（x—3y+5.

【点睛】本题主要考查了塞的乘方的逆运算，熟知嘉的乘方的逆运算是解题的关键.

5.如果那么我们规定：P（a,b）=c,例如，因为23=8,34=81那么我们就说

/（2,8）=3,厂