沪教版六年级数学暑假重难点预习：循环小数化为分数（原卷版+解析）

重难点03循环小数化为分数

、一【考点剖析】

1.【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示.分数、小数进行比较时

也需要进行互化.我们己经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要.

例如：如何将无限循环小数0.6、0.36化成分数.

解1：因为0.6x10=6.6,所以0.6x10—0.6=6.6—0.6=6,又因为0.6x10—0.6=9x0.6,所以

••2

9x86=6,从而得0.6=—.

3

解2：因为0.36x10=3.6,0.36x100=36.6,两式相减得：

0.36x100-0.36x10=36.6-3.6=33,又0.33x100—0.3Ax10=0.36义90,所以0.36义90=33,从而

11

得0.36=—.

30

用上述方法将无限循环小数0.7,0.154化成小数（需要写出过程）.

2.将下列循环小数化为分数.

(1)0.3；(2)0.21；(3)0.36；(4)0.321.

3.求证：0.6=—.

3

4.求证：0.36=—

30

【过关检测】

一、单选题

7

1.将无限循环小数0.骨化为分数，可设0.7=尤，贝iJ10x=7+x,解得：X=（.仿此，将无限循环小数0.73

化为分数为（）.

,772173

A.—B.—C.D.—

113310199

11

2.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将0.3=尤，则尤=0.3+元x,解得x=；,即

0.3=g,仿此方法，将0.45化成分数是（）

,3955

A.—B.—C.—D.—

1111911

二、填空题

3.一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，那么应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.4为

4

例进行说明：设0.4=尤，由0.4=0.444…，可知10x=4.444…，所以10x—x=4,解方程得：尤=§.于

是，得0.4=2.将0.8写成为分数形式是;将0.25写成为分数形式是.

4.无限循环小数o.g可以写成分数形式，求解过程是：设0.333=x,则0.0333于是可列方程

历x+0.3=x,解得x所以0.3=；.若把0届化成分数形式，仿照上面的求解过程，可得=

5.把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设Q7=x，由0.7=0.777…可知，

77

10%-7.777-,所以10x-x=7.解方程，得于是0.7=J仿照上述方法，无限循环小数0」化为

分数是.

6.一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，以无限循环小数0.3为例：设0.3=无，由

0.3=0.3…可知，10x=3.33…，所以10x-x=3,解方程，得x=g于是，得0.3=g.运用上面的方法可以

将0.234化成分数形式为.

三、解答题

7.(1)计算0.16+0.142857+0.125+01=.

19

(2)1.2x1.24+—=

27--------

8.阅读材料：数学通古达今、博大精深，奥妙无穷，为使同学们在更广阔的数学天地中提升自学能力，

我们七年级上册的数学教材"实验与探究"中，有一篇文章"无限循环小数化分数"，教我们用方程的思想按

如下方法，把无限循环小数化为分数.请认真研读下列例题，理解例题中解决数学问题的思想、方法，然后

学习、借鉴、类比、迁移这些思想、方法解答下列三个问题：

7

以0.7为例•设0.7=为由O.7=0.777...,可知10x=7.777...,所以10x=7+x,解得尤=§,于是0.7=

2

9,

⑴类比：请按照这个方法把无限循环小数0.6化为分数；

⑵迁移：请按照这个方法把无限循环小数0巧7化为分数；

⑶拓展：请按照这个方法把无限循环小数1.6化为分数.

9.阅读材料，解答下面问题.

无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式.下面以Q6为例说

明：

设x=0.6①，

由0.6=0.666….

可得10x=6.666…②，

由②-①，得10x-x=6

22

解得：x=-,所以，。.6=；

33

模仿：

（1）将无限循环小数0半化成分数形式.

（2）0.12=.（直接写出答案）

10.阅读下列材料、并完成任务.

无限循环小数化分数

我们知道分数g写出小数形式即0.3,反过来，无限循环小数0.3写成分数形式即:，一般地，任何一个无

限循环小数都可以写成分数形式.

先以无限循环小数0印为例进行讨论.

77

设0.7=x,由0.7=0.777.可知，10尤=7.777所以10x—x=7,解方程，得》="于是，得。.7="

再以无限循环小数0.73为例，做进一步的讨论.

无限循环小数0.73=0.73737373,它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.

设0.73=x,由0.73=0.73737373-可知，100尤=73.737373.

所以100x-尤=73.解方程，得工畸73，于是，0-73=£73

类比应用（直接写出答案，不写过程）

①0.2=_.②0.12=_.③1.23=_.

能力提升

将0.213化为分数形式，写出过程.

拓展探究

①2.019=_;

②比较大小0.9二L（填""或"="或"<"）；

③若0.142857=；,则4.857142=_.

11.阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数0抬化成分数：设0.66663=尤，10%=6.6666...,可得方

2•9

程：10x-x=6,解得x=即0.6="参考以上方法，解决下面的问题.

⑴把0.3化成分数.

⑵把0.43化成分数.

⑶把5.243化成分数・

⑷通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？

重难点03循环小数化为分数

【考点剖析】

1.【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示.分数、小数进行比较时

也需要进行互化.我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要.

例如：如何将无限循环小数0.6、0.36化成分数.

解1：因为0.6x10=6.6,所以0.6x10—0.6=6.%—0.6=6,又因为0.6x10—0.6=9x0.6,所以

••?

9x0.6=6,从而得0.6=—.

3

解2：因为0.36x10=3.6,0.36x100=36.6,两式相减得：

0.36x100-0.36x10=36.6-3.6=33,又0.36x100—0.34x10=0.36x90,所以0.36x90=33,从而

得0.36』.

30

用上述方法将无限循环小数0.7,0.154化成小数(需要写出过程).

■717

【答案】0.7=—；0.154=—；

9110

【解析】解：(1)因为07x10=7.7,所以07x10-07=7,又因为07x10-07=9x07,所以7=9x07,

从而得0.7=1.(2)0.154x10=1.5々①，0.154x1000=154.5i②；②-①得：999x0.154=153,

9

所以0.154="153=17

999TT6

2.将下列循环小数化为分数.

(1)0.3；(2)0.21；(3)0.36；(4)0.321.

1753

【答案】(1)-L；(2)—⑶—；(4)

33330165

31217

【解析】(1)0.3=—=—；(2)0.21=—=—

9333

(3)0.36=^^33JJ.321-331853

(4)0.321二

9090-30990990165

【总结】考察循环小数化为分数的方法，参考知识精要.

2

3.求证：0.6=—.

3

••••o

【答案】设0.6=a,则6.6=10〃，所以10a-a=6.6-0.6=6,所以9a=6,所以〃二一.

3

【解析】考察分数化为循环小数的方法.

4.求证：0.36--.

30

【答案】设0.3%=a,贝|3.%=10“，36.6=100a,所以lOOa-lOo=36.Z-3.Z=33,

所以90。=33,所以4=1.

30

【解析】考察分数化为循环小数的方法.

【过关检测】

一、单选题

7

1.将无限循环小数0啰化为分数，可设0.7=尤，贝iJ10x=7+x,解得：X、.仿此，将无限循环小数0.73

化为分数为（）.

772173

A.—B.—C.---D.—

113310199

【答案】D

【分析】根据题意，设设0.73=x,则100x=73+x,根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可.

【详解】设0.73=x,

贝i]100x=73+x,

移项，可得：100x-x=73,

合并同类项，可得：99尤=73,

系数化为1,可得：X喘73，

73

00.73=—.

99

故选：D.

【点睛】此题主要考查无限循环小数化分数的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次

方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

2.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将0.3=尤，则尤=0.3+$x,解得x=即

0.3=1,仿此方法，将0.45化成分数是（）

【答案】D

【分析】根据例题方法直接计算即可得到答案；

【详解】解：设0.45=x,则无=0.45++x,

解得尤=0.45*四=3，

9911

故选D.

【点睛】本题考查循环小数转化分数，解题的关键是读懂题目中方法.

二、填空题

3.一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，那么应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.4为

4

例进行说明：设0.4=%,由0.4=0,444…，可知10x=4.444…，所以10x—x=4,解方程得：x=~.于

4

是，得。4=弓.将0.8写成为分数形式是;将0.25写成为分数形式是.

…4825

【答案】9河

4

【分析】仿照0.4化为］的过程进行解得即可.

【详解】解：0.8=0.888--■

设0.8=x,

所以10x=8.88…,

所以1Ox—x=8,

Q

解得：F；

0.25=252525•­•

设0.25=x,

所以100x=25.2525…，

所以100x-x=25,

25

解得：二.

工…g825

故答案：5,

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键.

4.无限循环小数o.g可以写成分数形式，求解过程是：设0.333则0.0333=^-x,于是可列方程

11•1

木尤+0.3=无，解得无=；,所以0.3=%若把Q0；化成分数形式，仿照上面的求解过程，可得QOW=

【答案】2

lo

【分析】设0.05555……=x,找出规律公式：x+0.05=x,解方程即可.

【详解】设0.05555……=x,则0.005555……='无

于是可列方程为：2尤+0.05=彳，

51

-

解得：x=

91018

故答案为：

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把

无限小数化为整式形式.

5.把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以Q7为例，设0.7=x，由0.7=0.777…可知，

10x=7.777…，所以10x-x=7.解方程，得户/7，于是0.7=7(.仿照上述方法，无限循环小数°i化为

y(j5,

分数是.

【答案】I

【分析】设0.1=尤，则10x=l.lll…，列出关于x的方程10x—x=l,解方程得出x的值，即可得出答案.

【详解】解：设o1=x，

回0.1=0.111…，

团iox=i.in…，

町0%-1=1,

解得：x=3，

团0」化为分数是g.

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解无限循环小数，列出方程.

6.一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，以无限循环小数0.3为例：设0.3=无，由

03=0.3…可知，10x=3.33…，所以10%7=3,解方程，得x=g于是，得0.3=g.运用上面的方法可以

将0.234化成分数形式为.

【答案】

【分析】设0.234=x,则234.234=1000x,列出关于x的一元一次方程，解之即可.

【详解】解：设0.234=%,贝IJ234.234=1000%,

团1000%—％=234,

解得：.至二至,

999111

故答案为：元］

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

三、解答题

7.(1)计算0.16+0.142857+0.125+0.1=

19

(2)1.2x1.24+——=

27

27520

【答案】

5049

【分析】(1)首先将每个循环小数改写成分数，然后再根据异分母分数加法法则计算即可;

(2)首先将每个循环小数改写成分数，然后再根据分数的混合运算法则计算即可.

【详解】解：(1)0.16+0.142857+0.125+0.1

16-114285711

-----1-----1—I—

100-1099999989

1111

=—+—+—+—

6789

275

504

19

(2)1.2x1.24+—

27

=1幺1*+上

99927

=—11x-12-3-1-1-9

99927

20

9

【点睛】本题考查了分数的混合运算，解本题的关键在把循环小数转化为分数.

8.阅读材料：数学通古达今、博大精深，奥妙无穷，为使同学们在更广阔的数学天地中提升自学能力，

我们七年级上册的数学教材"实验与探究"中，有一篇文章"无限循环小数化分数"，教我们用方程的思想按

如下方法，把无限循环小数化为分数.请认真研读下列例题，理解例题中解决数学问题的思想、方法，然后

学习、借鉴、类比、迁移这些思想、方法解答下列三个问题：

7

以为例•设0.7=为由0.7=0.777...,可知10x=7.777...,所以10x=7+x,解得x=§,于是0.7=

2

9,

⑴类比：请按照这个方法把无限循环小数0.6化为分数；

⑵迁移：请按照这个方法把无限循环小数0.67化为分数；

⑶拓展：请按照这个方法把无限循环小数16化为分数.

【答案】⑴:

【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可得到结果；

（2）仿照阅读材料中的方法计算即可得到结果；

（3）仿照阅读材料中的方法和（1）结论进行计算即可得到结果.

【详解】⑴解:设0.6=x，

由0.6=0.666，

可知：x=0.666,

010%=6.666=6+0.666=6+x,

团10x=6+x,

2

解得冗=葭

•2

团0.6=—；

3

(2)解:设0.67=x，

由0.67=0.6767,

可知：x=0.6767,

团100x=67.6767…=67+0.6767…=67+%,

团100%=67+元,

解得X*，

0.67=—；

099

(3)解：团1.6=1+06

由⑴得0.6=2

3

25

01.6=1+0.6=14--=-.

33

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括

号、移项、合并同类项、系数化为L

9.阅读材料，解答下面问题.

无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式.下面以0.6为例说

明：

设x=0.6①，

由0.6=0.666….

可得10x=6.666…②，

由②-①，得10x-x=6

22

解得：%=-,所以，0.6=§

模仿：

(I)将无限循环小数0印化成分数形式.

(2)0.12=.(直接写出答案)

74

【答案】(1)0.7=-;(2)—.

【分析】(1)根据0.6转化分数的方法，设0.皆=x,仿照例题的解法即可得出结论；

(2)根据0.6转化分数的方法，设0.12=x,仿照例题的解法(xlO换成X100)即可得出结论；

【详解】(1)解：设x=07①

由07=0.777…

可得10x=7.777…②

由②-①，得10x-x=7

7

解得X

7

00.7=-

9

(2)设0.12=x,

方程两边都乘以100,可得100x0/2=100x

由0.12=0.1212...,可知100x0.12=12.1212..=12+0.12,

即12+x=100x.

44

解得：x=—.即0.12=不

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关

键.

10.阅读下列材料、并完成任务.

无限循环小数化分数

我们知道分数g写出小数形式即0.3,反过来，无限循环小数0.3写成分数形式即:，一般地，任何一个无

限循环小数都可以写成分数形式.

先以无限循环小数0.皆为例进行讨论.

77

设0.7=x,由0.7=0.777.可知，10%=7.777,所以10x-尤=7,解方程，得x=g,于是，得0.7=§.

再以无限循环小数0.73为例，做进一步的讨论.

无限循环小数0.73=0.73737373,它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.

设0.73=x,由0.73=0.73737373可知，100x=73.737373..

所以100x-x=73.解方程，得苫=7总3，于是，0.73=—73.

类比应用(直接写出答案，不写过程)

①0.2=_.②0.12=_.③1.23=_.

能力提升

将0.213化为分数形式，写出过程.

拓展探究

①2.019=_;

②比较大小0.9」（填""或"="或"<"）；

③若0.142857=；,则4.857142=_.

【答案】类比应用:①|；②。③器；能力提升：0.213=&拓展探究：①翳;②二；③,

【分析】类比应用：根据0.骨转化分数的方法，设o.3=x,仿照例题的解法即可得出结论；根据0.73转化分

数的方程，分别设0.i3=x，1."=x,仿照例题的解法即可得出结论；

能力提升：设0.213=x，由1000x-x=213求解；

拓展探究：①设2.019=x，则10x=20.19191919.,：1000x=20：L9.191919.,：L000x-：L0x=：L999,即可得出结果；（2）

先将0.9化成分数即可得出结果；③设0.142857=x,4.857142=y（D，贝I1000x=142.857142②，由②-①式可

得出结果.

【详解】类比应用

解：①设0.2二x，则10x=2.222,所以10x-尤=2,解方程，得工="得0.2=3；

②设0.近内，则，100x=12.121212.所以100x-x=12.解方程，得%*=捻，o.G4；

③设遇g=x,则,100%=123.232323.所以100x-尤=122.解方程，得犬=翥.

故答案为：①|；②③焉；

能力提升

解：设0.213=%,1000%=213.213,

1000%-x=213.213-0.213,

999%=213,

21371

x=----=----,

999333

71

于是0.213=—.

333

拓展探究：