沪教版六年级数学常见题型专练：整数和整除的意义（解析版）

第01讲整数和整除的意义

百)【知识梳理】

一、整数的意义和分类

(1)自然数：零和正整数统称为自然数；

(2)整数：正整数、零、负整数，统称为整数.

［正整数桃新

击6sB卜自然数

整承零J

负整数

二、整除的意义

整除：整数a除以整数b,若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整

除a.

'除数、被除数都是整数

整除的条件:，三整一零.

'商是整数且余数为零.

B口J整除：被除数、除数、商都是整数，且余数为零；

整除与除尽的关系1除尽：被除数、除数、商不一定是整数，没有余数.

、联系：整除是除尽的特殊形式.

O【考点剖析】

一、整数的意义和分类

例1.判断题(若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确).

(1)最小的自然数是1;

(2)最小的整数是0；

(3)非负整数是自然数；

(4)有最大的正整数，但没有最小的负整数；

(5)有最小的正整数，但没有最大的负整数.

【答案】(1)x；(2)x；(3)V；(4)x；(5)X.

【解析】(1)错误，最小的自然数是0;(2)错误，不存在最小的整数；

(3)正确；(4)错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数;

(5)错误，最小的正整数是1,最大的负整数是一1.

【总结】本题主要考查与整数有关的概念.

例2.把下列各数放入相应的圈内：

3

15,-1,-0.2,0,-63,0.7,13,-0.2323...,

5

正整数：15,13；负整数：一1,-63.

【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零.

【总结】本题主要考查整数的分类.

例3.(1)试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；

(2)试比较正整数、负整数、零的大小；

(3)试比较负整数、自然数的大小.

【答案】(1)整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；

(2)正整数大于0,负整数小于0,正整数大于负整数；

(3)自然数大于负整数；

例4.五个连续的自然数，已知中间数是a,那么其余四个数分别是、、

、,若这五个连续自然数的和是20,试求这五个数.

【答案】。一2、。-1、。+1、＜7+2.这五个数是：2、3、4、5、6.

【解析】歹!J方程：(a-2)+(a-l)+a+(a+l)+(a+2)=20

解得：。=4

这五个数是：2、3、4、5、6.

【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数.

例5.有三个自然数，其和是13,将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求:

()-1=()^5=()+2,试求这三个自然数.

【答案】3,10,0.

【解析】设这三个数分别为人+1,5k,k-2；

贝！I-+1+5左+左一2=13

解得：k=2

：.这三个数是3,10,0.

【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用不同的形式去表示.

二、整除的意义

例6.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是()

A.5和20；B.7和2；C.34和17；D.1.2和3.

【答案】C；

【解析】解：A、20能被5整除，故A不符合题意；B、没有整除关系，故B不符合题意；

C、34能被17整除，故C符合题意；D、1.2不是整数，故D不符合题意；因此答案选C.

3

例7.在数18,-24,0,2.5,2005,3.14,-10中，整数有()

4

A.2个；B.3个；C.4个；D.5个.

【答案】D；

【解析】解：在上述数中，其中整数有18,-24,0,2005,-10共5个，故答案选D.

例8.老师问：“当a=4.5时，6=0.9时，。能被b整除吗？”一个同学回答：“因为商是5,

是整数，所以。能被6整除.”你认为对吗？

【答案】不对

【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数

是0,忽略了对被除数、除数的要求；

【总结】本题主要考查整除所满足的条件.

例9.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的()内打“守‘，不能

整除的打“x”.

18和9()15和30()0.4和4()

14和6()17和35()9和0.5()

【答案】横向：Vxxxxx

【解析】整除的意义：整数。除以整数6,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说。

能被b整除；或者说b能整除只有18和9满足；

【总结】本题主要考查整除所满足的条件.

二、整除与除尽

例10.已知下列除法算式：

57+7=81；21+7=3；224-0.2=110；

22+5=4.4；0+3=0；24-4=0.5.

(1)表示能除尽的算式有哪几个？

(2)哪些算式中可以说被除数能被除数整除?

【答案】(1)21+7=3；224-0.2=110；22+5=4.4；0+3=0；24-4=0.5.

(2)214-7=3；0+3=0.

【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零;

【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.

例11.把表示下列算式的序号填入适当的空格内.

(1)304-10；(2)7+25；

(3)354-0.1；(4)18+3；

(5)0.4+2；(6)3.94-0.3；

(7)27+9；(8)16+4.

除数能整除被除数的：;

能够除尽的：.

【答案】除数能整除被除数的：CD(4)(7)(8);

能够除尽的：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；

【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.

四、整除的实际应用

例12.若两个整数“、6(。＞。)都能被整数c整除，它们的和、差、积也能被c整除吗？为

什么？

【答案】能，原因略；

【解析】设。=〃zc,b=nc(〃八”是整数，且

贝!J：a+b=(m+ti)c；a—b=(m—n)c；ab=tmc；

，它们的和、差、积也能被c整除.

【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用.

例13.15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几

个人？每人几支？有几种分法？

【答案】两种分法：(1)3个人，每人5支；(2)5个人，每人3支.

【解析】将15分解可得：15=1x15=3x5=5x3=15x1

题目要求每人不止1支，排除掉1和15,故有两种分法：

(1)3个人，每人5支；(2)5个人，每人3支.

【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题.

例14.2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年

呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？

【答案】星期六

【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节

间隔366天，则:366+7=52……2,

二2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六.

【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题.

—【过关检测】

一、单选题

1.（2021秋•上海奉贤•六年级校联考期末）下列各式中，是整除的算式是（）

A.11+5=2……1B.27+3=9C.18+4=4.5D.2.4+0.6=4

【答案】B

【分析】根据整除的定义逐项判断即可.

【详解】解：A选项，11+5=2……1中有余数，不是整除的算式，不合题意；

B选项，27+3=9是整除的算式，符合题意；

C选项，18+4=4.5中商不是整数，不合题意；

D选项，24+0.6=4中被除数与除数不是整数，不合题意；

故选B.

【点睛】本题考查整除算式的识别，解题的关键是掌握整除的定义，若整数a除以非零整

数6,商为整数，且余数为零，我们就说。能被6整除（或说6能整除。）.

2.（2022秋•上海•六年级专题练习）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是

（）

A.14和7B.2.5和5C.9和18D.0.4和8

【答案】A

【分析】由整除的定义，可得14+7=2.

【详解】解：因为14+7=2,

故选：A.

【点睛】本题考查有理数的除法；熟练掌握有理数的整除的意义是解题的关键.

3.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（）

A.2和9；B.12和3；C.5和10；D.6和2.4

【答案】B

【分析】根据整除的定义逐项验证即可得到答案.

【详解】解：由题意可知，12+3=4,

故选：B.

【点睛】本题考查整除定义，熟记整除定义是解决问题的的关键.

4.（2022秋,上海徐汇•六年级校考阶段练习）用0,1,4,7组成的所有四位数都能被

A.3整除B.2整除C.5整除D.7整除

【答案】A

【分析】利用所有位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除

【详解】团组成的四位数如果是1CM7,

回就不能被2或5、7整除，

团组成的四位数各个位上的数的和都为12,

团组成的所有四位数能被3整除，

故选：A

【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握数的整除是解决问题的关键

5.（2023秋•上海徐汇•六年级上海市徐汇中学校考期末）M能整除19,那么M是

（）

A.19B.38C.19的倍数D.19的因数

【答案】D

【分析】根据整除的概念，即可求解.

【详解】解：/能整除19,那么/是19的因数，

故选：D

【点睛】此题考查了整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键，整除是指整数。除以自

然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说a能被b整除（或说b能整除a）.

6.（2022秋•上海徐汇•六年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（）

①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除

②最小的素数是2

③合数一定是偶数

④没有最大的素数

A.①、②B.②、③C.②、④D.③、④

【答案】C

【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可

【详解】解：能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故①错误；

最小的素数是2,故②正确；

合数不一定是偶数，例如：15是合数但是15不是偶数，故③错误；

没有最大的素数，故④正确，

故选：C

【点睛】本题考查了有理数的除法，整除，素数，合数，解题的关键是掌握有理数的除法

和整除，理解素数和合数的定义

二、填空题

7.（2022秋・上海・六年级专题练习）4.8:3=1.6,填"能"或"不能"）说3能整除

4.8

【答案】不能

【分析】整除是指整数。除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说。能被b整

除（或说b能整除0）.

【详解】解：因为4.8,1.6都是小数，不是整数，

故不能说3能整除4.8.

故答案为：不能.

【点睛】本题考查的是数的整除性问题，理解整除的概念是解题的关键.

8.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）如果15+3=5,那么能整除

【答案】315

【分析】整数。除以整数6（6^0）,除得的商正好是整数而没有余数，我们就说。能被b

整除（也可以说6能整除a）,根据整除的意义解答.

【详解】解回如果15+3=5,那么3能整除15,

故答案为回3、15.

【点睛】此题主要考查整除的意义，掌握整除的意义是解决有关的问题的关键.

9.（2022秋•上海宝山•六年级统考期中）如果”表示一个正整数，那么4〃+3被4除的余数

是.

【答案】3

【分析】根据4〃+3表示w的4倍加3,可知4〃+3被4除的余数.

【详解】因为"表示一个正整数，

所以（4〃+3）+4=”…3,

即4〃+3被4除的余数是3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了整除问题，掌握4〃+3的含义是解题的关键.

10.最小的自然数是.

【答案】0；

【解析】解：最小的自然数为0.

11.最小的正整数是.

【答案】1

12.数23具有下列性质：被2除余1,被3除余2,被4除余3,求具有这个性质的最小三

位数是.

【答案】107；

13.如果8能被a整除，那么a的值是；

【答案】1,2,4,8；

14.在+5,—9,—7—,—6.155,上中，是非负正整数的是____________.

85

【答案】+5,y;

【解析】解：因为£=3,所以在上述数中，非负正整数的是+5,y.

15.在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是,自然数是.

【答案】12,0,30,1；12,0,30,1.

【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数.

【总结】本题主要考查自然数和整数的概念.

16.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是.

①3和0.3；(2)12和4；③5和15；④0.2和0.4；©1.4和14；⑥5和0.1.

【答案】③

【解析】整数。除以整数b,如果除得的商是整数且余数为零，我们就说。能被匕整除；或

者说》能整除a.

【总结】本题依旧考查整除的概念.

17.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是.

①7和11；②9和2538；③2和5；④15和5；

013和91；⑥2和0.4；⑦0.3和6；⑧1.5和2.5.

【答案】②③⑤⑥⑦

【解析】a能除尽匕是指b+a所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开.

【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分.

18.五个连续的自然数，已知中间数是a,那么其余四个数分别是、、

、,若这五个连续自然数的和是20,试求这五个数.

【答案】a-2、。-1、a+1、a+2.这五个数是：2、3、4、5、6.

【解析】歹！］方程：(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)=20

解得：a=4

这五个数是：2、3、4、5、6.

【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数.

三、解答题

19.把下列各数填在适当的内：

55

9,0,0.23,-53,—,26,-1

9

正整数负整数自然数

【答案】9,26；-53,-1；9,0,26；

55

【解析】解：在9,0,0.23,-53,26,-1中，其中正整数有：9,26；负整数有:

~9

-53,-1；自然数有9,0,26.

20.先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最

小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个?

,10.

正整数：2,15,1,10；负整数：一1,-8；

从小到大排序为：-8,-1,-0.7,-0.3,0,0.3,1,2,3.83,4.732732

10,15；

其中最小的正整数是1,最小的自然数是0,最大的负整数是一L

21.是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然

数？如果有，请写出是哪个数.

【答案】最小的正整数是1,最小的负整数不存在，最小的自然数是0,不存在最大的正整

数，最大的负整数是一1,不存在最大的自然数.

22.把表示下列算式的序号填入适当的空格内.

(1)304-10；(2)7+25；

(3)35+0.1；(4)18+3；

(5)0.4+2；(6)3.94-0.3；

(7)27+9；(8)164-4.

除数能整除被除数的：;