沪教版六年级暑假重难点预习：分数运算之“规律探究”（原卷版+解析）

6.（2020秋•浦东新区期中）阅读理解题

第1个等式:

22X12

第2个等式:1_3-2_11.

石3X2万三'

第3个等式:1_4-3_11.

124X35N

观察以上等式，请解答下列问题:

（1）按以上规律列出第5个等式：

（2）计算:------+-------+---------++-------=-------

1X55X99X132017X2021

7.（2022秋•青浦区期中）*表示一种运算：规定它的含义是a*b=（3工+。）-（6+2」）.

22

请计算：（1）3*2的值；

（2）4$*5』的值.

66

8.（2022秋•浦东新区校级期中）阅读理解:

—1+—1——_--2-+-3——_—5；

232X36

1+13+47

343X412

V14+59

454X520,

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分子为1的分数的和的形式.

13=.Y7=

42，72

（2）利用以上所得的规律进行计算:3-5+^__9.+ll-13+25_27+n21

2612203042567290110

9.（2022秋•奉贤区校级期中）先阅读，再答题:

1=1=3_2=11.

1=2X3=2X3’3X27三

1=1=43=11.

-12'=3X4=3X4-4X3

1=1=5__4___

加'=4义5=4X5一5X47了

（1）根据以上材料，请写出：工=1

30—2019X2020

（2）计算:—1+―1+1+--1-+-1---+1----+1----1+1+—

2612203042567290

10.（2020秋•浦东新区校级期中）计算:

111]]_______]

~2+2X(1+2)+2X(1+2+3)P2X(1+2+3+4)+2X(1+2+3+4+5)……'2><(1+2+……99+100)

H.（2019秋•虹口区期末）先阅读，再答题

2_3-1_12_5-3_1_1_2_==_12_9-7_1_1……

51X3T153X5百不瓦?7,637X97?

根据你发现的规律，试写出

77

2

(雨

计算:2+_2_+_2_+_2_+_2_+_2_+_2_

315356399143195

12.（2019秋•浦东新区校级期中）先阅读，再答题.

因为：!二二一一

232X33X22X3

11=4_3=1

百丁3><4-4><3=3X4

11=5_4=1

1亍4X5~5X4=4X5

将上面的式子反过来，有等式:

.1=11

,2X37下

1___

3X43瓦

1=11

4X5

(1)根据以上材料，请写出:1

2019X2020

------+--------F-------1-.......+----------

1X22X33X419X20

(3)计算:1111

1X3k3X5k5X7+，,19X21

13.（2019秋•松江区期中）阅读理解题工+4=2+3=立；■1+'=3+4=工;■1+■1=4+5=_g_

32X36343X412454X520

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：K=

56

110

（2）利用以上所得的规律进行计算：-2-A+_L-A+11-13.

2612203042

（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：A-A+A-10.

15356399

14.(2020秋•普陀区期中)阅读理解：

l+l=-2iL=5,1+1=^£=X

232X36343义412232X36343X412

(1)请在理解上面计算方法的基础上填空：

11_0+()_13

777T()x()42,

1_1_0-()_1

7T7T()x()56,

(2)利用以上所得的规律进行计算：

23-A-A-19^-21_1

42567290110I32'

15.（2021秋•嘉定区期末）数学有用，数学有趣，数学有美.其中的有趣、有用与优美时常体现于数学的

内部.请在观察下面等式特点的过程之中体会数学之趣、欣赏数学之美.

①!」JxL②2__2.=,③-

2323571013

可以发现：上述三个算式之中的两个分数的差等于这两个分数的积.

（1）请认真观察、归纳上述三个算式的共同特点，再写出其中的三个主要特点;

（2）请你再写出两个具有（1）中所归纳的这些特点的算式.

16.（2021秋•长宁区校级期中）工」「1_1_3+4=7.L1=4+5=9

==

232X365T3X4=12'Z-T4X520

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程

和结果）

13==17

42，72

3_^_7911_J3_1517

（2）利用以上所得的规律进行计算:

【过关检测】

一、解答题

1.（2022秋•上海•六年级专题练习）阅读例题后，完成计算:

例:

计算:

2.（2022秋•上海•六年级专题练习）阅读例题后，完成计算:

例.62+48x61_62+48x(62-1)_48x62-48+62_48x62+14_1

62x48+1462x48+1462x48+1448x62+14

、二但94+93x9595+94x9696+95x97

计算:--------+---------+---------

94x95-195x96-196x97-1

3.（2023・上海•六年级假期作业）请观察下列各式，再答题:

1-I=lxlx4

2626

=lx±x4

610610

1=—x4

10141014

1111

--x---X(_)

⑴填空:2018202220182022

11111

(2)计算:----1------1------1------+—H----------

2x66x1010x1414x182018x2022

4.(2022秋•上海普陀•六年级统考期中)观察下列等式:

311311311311

5^8-5-8；8xll-8-Tl；1卜14一行一五；14x17~14~V7

运用以上规律，回答下列问题:

311

(1)勇仝：—•

17x20()()

33333

(2)计算：1I11；

5x88x1111x1414x1717x20

1111

⑶计算：1111•,

5x88x1111x1498x101

⑷3+2222

十++…+菽・=•(直接写出答案)

4x99x1414x1919x2479x84—

5.(2022秋•上海杨浦•六年级统考期中)从下面选择合适的图形编号填在等式厂内，并照图写出相应的分

数加减算式.

⑶从下面选择合适的图形编号填在等式厂内，在O内"+〃或"，，使等式成立.（本题填的图形编号.

"，均不重复使用）

6.（2023•上海•六年级假期作业）每个假分数可以写成一个自然数与一个最简真分数的和（例如

!|=3+：）,真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（5=3+g），反复进行同样的过

程，直到真分数的倒数是一个自然数为3止+1：2=2）,我们把用这种方法得到的自然数，按照先

后顺序写成一个数组｛3,3,1,2｝那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组.

如：对于假分数,，则1|=3+5，

所生成的自然数组为｛3,3,1,2｝

请根据上述阅读材料填空;

⑴由假分数%生成的自然数组是｛______｝（请写出解题过程）

（2）已知某个假分数所生成的自然数组为｛3,1,3｝,那么这个假分数是.（直接写出答案）

7.（2022秋•上海长宁•六年级上海市复旦初级中学校考期中）求的值，我们可以用下面

2o122030

的方法:

6~2~3，12~3^25~4~5930~5~6

团原式

223344556

_j_

-6

这种方法称为拆项法，它的特点是拆项后能产生相反数，在计算过程中抵消，用这种方法计算下列两题.

1111

1x--------------

7567290

，、,1111、

2-(----------------)

20304256

8.（2023•上海•六年级假期作业）阅读理解:

112+3511_3+4_7]_14+59

—।——----——

23-2x3-63+4-3^4-12；4+5-4^5-20

⑴请在理解上面计算方法的基础上,把下面两个数表示成两个分子为1的分数的和的形式.

1317

4272

⑵利用以上所得的规律进行计算；|3_5J__9_15171921

-612-2030~4256~7290HO

9.（2021秋•上海嘉定•六年级统考期中）三千多年前埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子

为1,它们被称为单位分数.对于分子不是1的分数，埃及人将它们转化成分子是1的分数再计算，如何

将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个很有意义的问题.例如:

131+2=_1+2_=一1+1一_1-4___—_1_+_3_-__1_+_3__—_1__+_1_

26666633121212124

151+41411

.一一.一...一一一--I--一一__|_

420202020205

⑴请模仿上例将下列单位分数拆成2个不同的单位分数之和:

1

5

J_

6

(2)请观察,二,+,—=__+__1_-1_|__1

-

26331244205

根据观察结果写出工=（

+"为大于1的正整数）

n、

1111111

⑶根据（2）中的结论，请计算:----+-----+----+----+----+----+-----

3x44x55x66x77x88x99x10

10.（2022秋•上海•六年级专题练习）阅读例题后，完成计算:

456x457+456^^^456x(457+1)457

例：456-456—=456-=456+

457

计算:108——36—.

11.（2022秋•上海徐汇•六年级上海市第四中学校考阶段练习）思考探究

⑴分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分

数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如：

仿照上例分别把分数15和g3分拆成两个不同的单位分数之和

o5

（2）在上例中［3=；1+1又因1为3=：1+2：=）1+1所以：）3=；1+1：1+即3［可以写成三个不同的单位

44226666344634

分数之和.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和.根据以上分析，探索分

数。能写出哪些两个以上的不同单位分数之和？（至少写出两种）

O

12.（2022秋•上海黄浦•六年级统考期中）【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法,

这些分数的分子为1,它们被称为〃单位分数〃，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容易地拆分为两

个不同的〃单位分数〃之和（或差）例如：

53+2321174+34311

----.....———1——--------1---------+—

62^3-2x32x3-23’123^43x43x434

1_3-2_32111=4-3=4__3J1

6~2^3-2^32^3-2-312-3^4~3^4_3^4-3-4

⑴请观察小明发现的拆分方法，填空:

911

①犷I—)+(一);

②》占-4•

⑵请归纳以上拆分规律，计算下列各题:

小35791113

①----+------+-------

2612203042

②LL-+…+L，

2612207290

⑶请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果:

Z-11111

(1J-+——+——+——+——

7315356399

②;一寻余一寻卷

13­（2。23・上海•六年级假期作业）如果2*143*2$,4*34,那么（6*%（2*6）=?

14.（2023・上海•六年级假期作业）计算:

型+争+当当+与一㈡+%+空+空］空］

135357975J(357975531J1135357975531J(357975J

15.（2。22秋・上海•六年级专题练习）计算：忐+±+.+/

重难点02分数运算之“规律探究”

一【考点剖析】

一.填空题（共4小题）

1.（2020秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为生1,则（」*工）*2=

b32-6—

【分析】先计算出工*工=区,再计算（』*2）*2=旦*2即可.

323323

【解答】解：•.%%=生1,

b

4

348

=X2=

32Ai3r

22

11

（工*工）*218*2---3—11乂1=11

3232326

故答案为：旦.

6

【点评】本题主要考查有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握有理数混合运算

顺序和运算法则.

2.（2022秋•松江区期中）已知：Lx-LhLhL」；—X—…；请

23623341234452045

1111505

根据这个规律计算+++----------

2X3*3X45X67X82021X2022一IOIL

【分析】根据题意，把互为相反数的项合并即可.

【解答】解:…+—I—

2X33X45X67X82021X2022

=上工111」+_1_____1

巨?'7口力20212022

=工_1

72022

_1011__1

20222022

_505

1011,

故答案为:505

1011

【点评】本题考查了分数的混合运算，掌握题目给出的规律是解答本题的关键.

3.（2019秋•浦东新区期中）1_3-2_32_1_1

2X32X32X32X3

以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到.

采用该方法同样可得：^^=工」

3X434

请直接计算一-—+--—+—-—+—-—+—-—+—-—+—-—+——--=—

2X33X44X55X66X77X88X99X10-5一

【分析】根据题目中式子的特点进行变形可以解答本题.

【解答】解：原式=1

2334457889910

=11

7^0

—_2—,

5

故答案为：2.

5

【点评】本题考查分数的基本性质，解答本题的关键是利用分数的基本性质变形进行计算.

4.（2019秋•浦东新区期中）阅读理解：—=2-I△=3-2J11=4-3=1」…阅读

22X11263X22317=4X3而4

以上材料后计算：1+^7-+5-^-+7-^+^-+11^-+1^+15-^-+17-^-=—81-|

【分析】先拆项，再抵消，依此计算即可求解.

【解答】解：原式=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（A+A+J_+A+A+_L+_L+A）

612203042567290

=81+$-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-A）

23344556677889910

=81+2

5

=812.

5

故答案为：812.

5

【点评】此题考查了分数的混合运算，关键是熟悉=」-」_的知识点.

n（n+l）nn+1

二.解答题（共12小题）

5.（2022秋•徐汇区期末）计算

/531579753、^,579753135、,531579753135、,579753、

（话相加X嗡*司-（话需靠司*（初淀•

［分析］设我反年产=a,贝唐亚总区■回二”侬，典L

135357975531135357975531357975531135

进一步代入求得答案即可.

怵答解噜嚼费嗡喂嚼嗡-翁错靠谣="黑

翁小胃(579753)

原式=-〃x357,975

135531

=a2(+)

531135

-2一理区1片仲"J

135357975531

—a2-a2+l

=1.

【点评】此题考查分数的混合运算，抓住数字的特点，利用整体思想解决问题.

6.（2020秋•浦东新区期中）阅读理解题

工=亘一工

第1个等式:=1

22X12

1_3-2-11.

第2个等式:

?3X2

1_4-3_11.

第3个等式:124X3EN

观察以上等式，请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：。=互§_=工-工；

—30—6义5—5—6—

（2）计算：二—一」+……+-----1----------.

1X55X99X132017X2021

【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可；

（2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值.

【解答】解：（1）:第1个等式：工=2L=1-L；

22X12

1,3-2_11.

第2个等式:

石3X2

1_4-3_11.

第个等式:

3~L24X3WN

1_6-5_11

.•.第5个等式:

306X556

故答案为:1_6-5_11

306X556

（2）^J_+•一+―I—

1X55X99X132017X2021

=lx（i-l+l-l+l-A+……+，一，）

455991320172021

=_Lx（1-—

42021

_1y2020

I2021

_505

20211

【点评】本题考查数字的变化类、分数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点,

求出所求式子的值.

7.（2022秋•青浦区期中）*表示一种运算：规定它的含义是a*b=（3工+“）-（计2工）.

22

请计算：（1）3*2的值；

（2）45*5』的值.

66

【分析】（1）先根据定义列出算式3*2=（31+2）-（2+2-1）,再进一步计算即可；

22

（2）先根据定义列出算式4$*5工=（3工+49）-（5工+2工），再进一步计算即可.

662662

【解答】解：⑴3*2

=（3』+2）-（2+2工）

22

(2)原式=(3a+45)-(5工+2工)

2662

=(3—+4-^-)-(5工+2区)

6666

=4

-_-2.

3

【点评】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是掌握分数的混合运算顺序和运算法则.

8.（2022秋•浦东新区校级期中）阅读理解:

—1+—1—_-2-+-3-—_—5；

232X36

1+13+47

343X412

1一14+59

454X520'

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分子为1的分数的和的形式.

13=1117=11

42—纭节一’72一亘与一

（2）利用以上所得的规律进行计算：旦1工-旦+旦-也+生-2+理21

2612203042567290110

【分析】（1）直接利用已知运算规律，进而计算得出答案;

（2）直接利用已知运算规律将原式变形，进而计算得出答案.

【解答】解:(1)13_6+7_11_17_8+9_11

426X7728X9豆与

故答案为：—+-^-；—+^-.

6789

3旦-二二八二一工一工二+工一工

(2)5+_L-9+_17+19.2=1+l

26122030425672901102233445566

---1-----L.----1------L1.-------—11—■1---------1------------1-----------1

778899101011

=10

11

【点评】此题主要考查了分数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

9.（2022秋•奉贤区校级期中）先阅读，再答题:

1=1=3_2=11.

4=2X3=2X3-3><2WF

1=1=43=11.

12=3X4=3X44X3

1=1=5__4___

元=4X5=4X5-5X47不

（1）根据以上材料，请写出：上=1-A；111

30-56—2019X2020―—2019—2020一；

(2)计算：—+1+1+1+1+1+1+1

2612203042567290

【分析】（1）根据题目中的式子，得出规律：—1—=1-^-,再根据这个规律即可写出相应的结

n（n+l）nn+1

果;

（2）根据规律：—1—=1-，计算出相应的结果.

n（n+1）nn+1

1_11

【解答】解：（1）根据以上材料，请写出:=

30后了2019X202020192020

故答案为：IJL,，1

5620192020

原式=—―△

（3）计算:

1223344556677889910

=9

Io-

【点评】本题考查了分数的混合运算，能够根据阅读材料得出规律（«为正整数）

n（n+l）nn+1

是解题的关键.

10.(2020秋•浦东新区校级期中)计算：

1]]1]________]

万r2X(1+2)>2X(1+2+3)*2X(1+2+3+4)+2X(1+2+3+4+5)……+2X(1+2+........99+100)

【分析】利用公式1+2+3+・+”=虫出上将各分母变形，再利用拆项的方法将每个分数变成两个分数之

2

差后进行运算即可.

【解答】解：1+2=2三3,

2

1+2+3=丝，

2

1+2+3+4=少至，

2

1+2+3+4+5=^^,

2

1+2+3+・+99+100=1UU-1U1

2

2k2X(1+2)k2X(1+2+3)k2X(1+2+3+4),2X(1+2+3+4+5)……'2X(1+2+……99+100)

-1]1]]]

7,2X3+3X4%X5+5X6+.............+100X101

11

223344556100101

_100

loi

【点评】本题主要考查了分数的混合运算,根据题目特点利用拆项的方法解答是解题的关键.

11.（2019秋•虹口区期末）先阅读，再答题

2_3-1_12_5-3_1_12—1-1-,2_9-7_1_1

31X35’153X53?3557637X97?

根据你发现的规律，试写出

(1)2_^_L1

而77IF

(2)2=1_1

n(n+2)「n+2一

计算：2+2+2+2+2+_?_+_?_

315356399143195

【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果;

（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；

计算：根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果.

【解答】解：（1）2=工-工，

99911

故答案为：9,11；

(2)

n(n+2)nn+2

故答案为：1-

nn+2

2+_2_+_2_+_2_+_2_+_2_+_2_

315356399143195

=1-1+1--A+J_-J_+J_-J_

1335577991111131315

_15-1

15

=14

IT

【点评】本题考查分数的性质,解答本题的关键是利用分数的性质进行拆分简化问题.

12.（2019秋•浦东新区校级期中）先阅读，再答题.

因为：21

232X33X22X3

11431

343X44X33X4

11541

454X55X44X5

将上面的式子反过来，有等式:

等式：

2X323

111

3X434

111

4X545

(1)根据以上材料，请写出:111

2019X2020—20192020-

(2)计算：壶出1抬1+……

(3)计算：---4一-1-4一-1-+....4

1X33X55X719X21

【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果;

（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果;

（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果.

【解答】解：（1）111

2019X202020192020

故答案为：_11

20192020

(2)原式=1-—1+...+」__1

241920

=1七

=12

20

(3)原式=上义(1-1+1-1

2335

—X(1--)

221

1x型

2X21

=也

21

【点评】本题考查分数的基本性质和混合运算，解答本题的关键是明确分数混合运算的计算方法.

13.（2019秋•松江区期中）阅读理解题」+工=上坦=5

UU-l+l=JtL=A

232X36343X412454X520

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式:生=1+1；

56-78—

21_J_+J_

110-IoII--

（2）利用以上所得的规律进行计算：3-5+工-A+11-

2612203042

（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：_£-&+&-」旦.

15356399

【分析】（1）利用题干中的规律即可得出结论;

（2）将立写成工二的形式，工写成工二的形式，a写成上二的形式,旦写成上」的形式,13

63212342045305642

写成工」的形式后再进行运算即可得出结论;

67

（3）将所求式子的分子扩大2倍后即可按照（2）的方法计算，最后将结果除以2即可.

【解答】解：（1）V,

15__±1

而节4T

11=10+11:21

Io^"lOX11=11Q

•.•--2-1--~---1-+1

1101011

故答案为：1；1;A1

781011

（2）根据规律把$、7生、旦、」旦表示成两个分数的和的形式为:

612203042

5=117=119=1111=1113=11

aTV12百4T20TV30?V42T47

.35.79+1113

2612203042

31111111111

+()+(-)+()+(工」)1

144417667

万方7

=i-l

7

⑶上一旦+且一卫

15356399

=lx(且上江旦)

215356399

二会144)-4+)+号*-4/)]

=lx▲△」二△—

2355779911

=4

33,

【点评】本题主要考查了分数的混合运算，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的

关键.

14.(2020秋•普陀区期中)阅读理解：

二=里=9,邛=-=工；1一1=旦」—=—

232X36343X412232X36343X412

(1)请在理解上面计算方法的基础上填空：

1()+()_13

7T7T()x()42,

1_1,()-()_1

7T7T()x()56,

(2)利用以上所得的规律进行计算：

23-A-A-19—21.1

42567290110I32'

【分析】(1)由上面的题例，发现规律，直接填空即可.

(2)逆运用题例规律，把题中分数写成两个分数和的形式，加减求和即可.

【解答】解：(1)—+—=-*:'+^'=—；

676X742

1_1_8-7_1.

7百7X8561

故答案为：6,7,6,7,6,7；7,8,8,7,7,8.

（2）J2-J_-J_-旦2-_J_

42567290110132

=1+1-（1-1）-（1-1）-+（A+J_）-

67788991010111112

工工

_1^11^11^111dLi111

67788991010111112

612

=旦且

7272

=28

72

-_..1..

4

【点评】本题考查了分数的四则混合运算，理解题哩找到规律是解决本题的关键.若相、”是不为0的相

邻正整数则』+」=皿，a-工=二二更；反之亦成立.

mninnmninn

15.（2021秋•嘉定区期末）数学有用,数学有趣，数学有美.其中的有趣、有用与优美时常体现于数学的

内部.请在观察下面等式特点的过程之中体会数学之趣、欣赏数学之美.

②Fh③9卷一

可以发现：上述三个算式之中的两个分数的差等于这两个分数的积.

（1）请认真观察、归纳上述三个算式的共同特点，再写出其中的三个主要特点;

（2）请你再写出两个具有（1）中所归纳的这些特点的算式.

【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可;

（2）仿照所给的等式的规律进行求解即可.

【解答】解：（1）分母相差1,分子相同都为两个分母差的两个分数的差，等于这两个分数的乘积;

分母相差2,分子相同都为两个分母差的两个分数的差，等于这两个分数的乘积;

分母相差3,分子相同都为两个分母差的两个分数的差，等于这两个分数的乘积（答案不唯一）;

⑵A-44xA,5__§_=5义_§_（答案不唯一）.

11151115611611

【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类,分数的混合运算，解答的关键是理解清楚所给的规律并

灵活运用.

16.（2021秋•长宁区校级期中）1_1=3+4J.J_1=4+5=9

232X365T3X4=12'17=4X5=20

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程

和结果）

23=1+1=6+7H_工+工=8+9

42一石一7——6XL'72=一百一—8X9一

至

（2）利用以上所得的规律进行计算:37911_J3_1517

【分析】（1）直接利用己知运算规律进而计算得出答案;

（2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案.

【解答】解：（1）—=—+—=-*：l+l,；

42676X7

-1--7——_一1+,—1—_-