函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学复习专练（解析版）

热点2-2函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和预计2025年高考仍将重点考查函数的单调性、奇

填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，分值偶性、周期性与对称性，尤其是这些性质的综合应

的占比相对稳定，是高考必考且重点考查的内容之用.可能会继续将函数性质与其他数学知识如导

一.常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性数、不等式、数列等结合考查，增加题目的综合性

结合在一起考查，同时还可能与函数图像、函数零和难度.在保持传统考查方式的基础上，可能会进

点、不等式等知识综合命题.虽然考查形式多样且一步创新命题形式，如设计一些新颖的函数模型或

综合性强，但题目多基于对函数基本性质的理解和实际应用背景，考查学生运用函数性质解决实际问

应用，部分题目在命题形式和考查角度上具有一定题的能力.

创新性.

热点题型解读

题型1函数单调性（单调区间）的判定题型6利用单调奇偶比较大小

题型2利用函数的单调性求参数题型7利用单调奇偶解不等式

题型3函数奇偶性的判定题型8函数的周期性及应用

题型4利用函数奇偶性求值求参题型9函数的对称性及应用

题型5"M+N.中值模型的应用题型10函数性质的综合应用

题型1函数的单调性（单调区间）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判断函数的单调性的4种方法

ii

1,定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；

2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单i

调性；

3、直接法：利用己知的结论，直接得出函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均

I

可直接得到

4、导数法：先求导函数，利用导数值的正负确定函数的单调性；

5、性质法：（1）对于有基本初等函数的和、差构成的函数，根据“加减”的性质进行判断；（2）针对一些1

I

简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性.

I

【注意】求函数的单调区间，尤其是复合函数的单调区间，一定要注意原相应函数的定义域.

1.（23-24高三上.江苏南通・月考）函数=的单调递减区间是（）

A.［—1,0］B.［0,1］C.［2,+8）D.（-8,2］

【答案】A

【解析】函数/（x）=中,—一-2X20,解得-2WxW0,

又y=-%2-2x的开口向下，对称轴方程为x=—1,

函数y=—2x在［T,。］上单调递减，在［-2,-1］上单调递增，又y=«在［0,1］上单调递增,

因此函数/«=匚瓦石在［-1,0］上单调递减，在［-2,-1］上单调递增，

所以函数〃工）=口^^的单调递减区间是故选：A

2.（24-25高三上.广东普宁•月考）函数g（x）=『R-l|+l的单调减区间为（）

A.B.C.［1,+8)

【答案】B

尤2—尤+1,X21一，一，，y~__

［解析］g(x)=xJxT|+l=2,,,画出函数图象，如图所小:

—X+x+1,x<1

根据图象知：函数的单调减区间为；，1.故选：B.

3.（23-24高三上.浙江绍兴.期末）函数y=ln（f-2x）的单调递减区间是（）

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,-KO)

【答案】C

【解析】由y=ln(V-2x),

:.X2-2X>0,解得尤<0或X>2,

所以函数>=ln(d-2元)的定义域为(-w,0)U(2,4w),

^U=X2-2X,则函数〃-2x在(-0。)上单调递减，在(2,—)上单调递增,

而函数y=In”在(0,+8)上为增函数，

由复合函数单调性可得y=In(x2-2x)的单调递减区间为(-吃0).故选：C.

4.(24-25高三上•四川宜宾•一模)下列函数中，既是奇函数，又(0,+。)在是增函数的是()

A./(JC)=ex+e-xB./(x)=e'-e-AC./(x)=x-3D./(x)=xln|x|

【答案】B

【解析】对于A,/(r)=eT+e，=/(x),〃x)是偶函数，不满足条件.

对于B,”一幻=b—1=一付一月)=一/(无)，函数/⑺是奇函数，由于y=e，,y=-er

均在(。,+8)单调递增，故/(x)=e=e-在(0,+“)单调递增，符合条件，

对于CJ(-%)=(-%)-3=-%-3=—/(%),则/(%)是奇函数，

••・>=尤3在(0,+8)单调递增，且为正，二函数=在(0,+巧单调递减，不满足条件.

对于D,f(~x)=-xln\-x\=-xln|x|=-/(x),函数/(%)是奇函数，当x>0时，f(x)=x1wc,

/(1)=|ln|=-1ln2,/(；)=；ln；=_Jn2,此时[]=，不是增函数，不满足条件.

故选：B.

题型2利用函数的单调性求参数

;利用单调性求参数的三种情况：

1、直接利用题意条件和单调性代入求参；

2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；

3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题.

1.（24-25高三上•陕西渭南•月考）若函数/（x）=logo,5（ax-d）在区间Qi,。）上单调递增，则。的取值范围

是（）

A.（0,2]B.[-2,0）C.[2,+oo）D.

【答案】D

【解析】由于>=log。/在（。，+8）上单调递减，令/=-炉+6,x«T0）,

因为V=logos*为减函数，又/（无）=Iog0.5-尤2）在区间（-1,0）上单调递增，

由复合函数的单调性法则可知，/=-/+"在（-1,0）上单调递减，

且公--+磔〉。在（-L0）上恒成立，因为/=-/+融为二次函数，开口向下，

对称轴为工=（由公-/+依在（-1,0）上单调递减，可得解得aV-2,

由/+ax>0在（T。）上恒成立，即ax〉》？，xe（—1,0）,

可得a<x在（—1,0）上恒成立，则aV—1,

综上，实数a的取值范围为（f,-2]故选：D.

2.（24-25高三上•山西大同・月考）已知函数〃x）=在俨：办+5）在区间@4）单调递减，则。的取值范围

是（）

A.（-oo,2]B.（7,4）C.[2,4）D.[4,+oo）

【答案】A

【解析】因为y=:在（0,+8）上单调递减，y=&在[0,+8）上单调递增，y=lg无在定义域上单调递增，

要使函数“X）二而卜2:办+5）在区间（1，4）单调递减，

贝！J,=/一依+5在（1,4）单调递增且％2—依+5>1在（1,4）恒成立，

[£<1

所以2一，解得。<2,所以。的取值范围是（f2].故选：A

l2-a+5>l

3.(24-25高三上・甘肃•期末)已知函数/(%)=〈’满足V占eR且x产起，

[ax,x>l

(%2-%])[/(^)-/(^2)]<0,则。的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,+℃)C.(1,2]D.(0,l)5L+s)

【答案】C

【解析】依题意，函数满足Vx.ZeR且x产七，

(不一々)[〃为)一/伍)]>°，则/'(x)是R上的增函数,

。〉0

因此<a>1,解得l<a42,

2a-2<a

所以〃的取值范围为(1,2].故选：C

2x+4,x<a

4.(24-25高三上•江苏南京•期中)已知函数/(%)=在R上单调递增，则实数。的取值范围是()

x1+l,x>a

A.(—1,3]B.(-co,可C.[3,+oo)D.(―8,—l]u[3,+8)

【答案】C

2x+4,x<a

【解析】已知函数/(%)=1，当无时,

X2

/(x)=2x+4单调递增，所以最大值为2a+4；

当X>。且。>。时，/(X)=d+1在(4,4<0)上单调递增，最小值为4+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函数/(尤)=21在R上单调递增，

则"+122.+4,解得。上3或a<-1(舍去).故选：C.

题型3函数奇偶性的判定

1、函数奇偶性的判断方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若

函数的定义域是关于原点对称的，再判断/(-%)与±/(x)之一是否相等.

(2)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.

(3)性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇.

2、常见的奇函数与偶函数

(1)/(x)=ax+a~x(。>0且。#0)为偶函数；

(2)/(x)=ax-a~x(。>0且。#0)为奇函数；

x_-x2x

(3)f(x\=n—：---n-=—nr——(。>0且。20)为奇函数；

优+a*a*+1

A一丫

(4)f(x}=logfl----(a>0且。/0,6/0)为奇函数;

b+x

(5)/(%)=loga(J九2+1±x)(a>0且ar0)为奇函数；

(6)/(x)=|办+闿+版—J为偶函数；

(7)/(%)=麻+耳一版—4为奇函数.

1.(24-25高三上•天津北辰•期末)下列函数中，图象关于原点对称的是()

A.y=ev+exB.y=ex-exC.y=x2-2xD.y=x2cosx

【答案】B

【解析】由函数图象关于原点对称，可得函数是奇函数，

对于A,y=e'+er定义域为R,

〃T)=eT+e，=e'+eT=〃x),故y=e'+/为偶函数，其图象关于y轴对称,A错；

对于B,y=e”-b定义域为R,

且〃f)=eT-e*=-W-e7)=-f(x),故'=6一b为奇函数，其图象关于原点对称，B正确;

对于C,y=尤2-2x定义域为R,

但其图象为开口向上的抛物线，且对称轴为尤=1,

所以y=Y-2尤既不是奇函数又不是偶函数，C错；

对于D,y=x'cosx定义域为R,

但/'(一%)=(一尤)2cos(r)=;r2cos;r=y(x),故y=Vcosx为偶函数，其图象关于，轴对称，D错.

故选：B.

2.(24-25高三上•四川自贡•期中)下列函数是偶函数的是()

2A22

A.y=cosx-xB.y=e-xC.y=log2^x+l-xjD.y=siru+4x

【答案】A

【解析】f(x)=cosx-x2的定义域为R,且/(-尤)=cos(-尤=cosx-尤2=〃尤)，

故/(x)=cosx-x2为偶函数，A正确；

B选项，g(x)=e，一x2的定义域为R,g(_x)=eT_(-x)2=，一尤2,

g(f)Hg(x),故g(x)=e*-幺不为偶函数,B错误；

C选项，可无)=腕2(071-尤)的定义域为口，

/z(-X)+h^x)=log2+1+xj+log2(J.+1_%)=log2(尤2+1_X2)=0,

故Mx)=log2(^/77T-目是奇函数，c错误；

D选项，(x)=sinx+4x的定义域为R,且(一%)=sin(-x)-4x=-(sinx+4x)=v(x),

故《x)=sinx+4%为奇函数，D错误.故选：A

3.(24-25高三上•青海•期中)设函数"司=：［；；：：,则下列函数为奇函数的是()

A./(%+1)+1B.仆+1)—1

C./(x-l)-lD.

【答案】C

X2+3X+4_(^2+2x+3)+(x+l)x+1

【解析】/(%)=+1-

%2+2x+3+2x+3(尤+1)2+2

所以〃XT)+〃T_1)=——+1+—1—+1=2,

、)''X2+2(一X>+2

所以函数〃x)的图象关于(Tl)对称，

所以/(x-1)-1的图象关于(0,0)对称，是奇函数.故选：C

4.(24-25高三上•河北邢台・月考)已知函数f(x)的定义域是R,则下列命题中不正确的是(

A.若是偶函数，g(x)为奇函数，则g(7(")是偶函数

B.若〃x)是偶函数，g(x)为奇函数，则〃g(x))是偶函数

C.若/(x)是单调递减函数，则/(/(力)也是单调递减函数

D.若/(*)是单调递增函数，则/(/(力)也是单调递增函数

【答案】C

【解析】对于A,令/z(x)=g(〃x)),则为(-x)=g(〃一元))=g(f(尤))=力(尤)，

所以〃(x)为偶函数，即g(7(x))是偶函数，故A正确；

对于B,令〃z(x)=/(g(x)),则双一x)=f(g(一尤))=/(一g(尤))=f(g(尤))，

所以机(x)是偶函数，即/(g(x))是偶函数，故B正确；

对于C,取〃x)=f,则/(无)在R上单调递减，

则/'(/⑺)=/(-x)=x,在R上单调递增，故C错误；

对于D,因为/(x)是单调递增函数，任取小马仁区，且毛<马，

则f(x)</(x2),所以/(/(再))<(/(%)),

所以/(/(力)也是单调递增函数，故D正确.故选：C.

题型4利用函数奇偶性求值求参

1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据/(—x)=—/(%)或/(-乃=/(尤)，利用待

ii

定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为。求参数.

II

2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用/(-%)=-/(%)或/(-%)=/(%)求

ii

解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.I

ii

1.(24-25高三上•江苏盐城・月考)已知了(左)是定义在R上的奇函数，当无€(0,内)时，/(无)=bgj无，则

3

/(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】因〃尤)是定义在R上的奇函数，则〃-9)=-/(9)=-1。819=1。839=2.故选：A

3

2.(24-25高三上•河南南阳・月考)已知定义在R上的偶函数”可满足当工£[0,y)时，

小)大f2+—1x,0,x.>2,2,则/,(.")、、=——•

【答案】1

【解析】因〃尤)是在R上的偶函数，则/'(-2)=/(2)=2-2=0,故〃〃_2))=f(0)=L

3.(24-25高三上•湖南・月考)已知=1匕是偶函数，则。=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【解析】函数/(彳)=学竺的定义域为(-8，。)1^。,+«>),

2—1

xX

人一/、曰/田必/日r/r/2”•siiix2,sin(—x)[2"—^]siiix

由/(x)是偶函数，得f(x)-/(T)=——-------。J=-————=0,

而sinx不恒等于0,则2'=2"小恒成立，即—x恒成立,所以a=2.故选：A

4.(24-25高三上•安徽•期中)若〃x)=log4占是奇函数，则/=()

C.72

【答案】c

【解析】根据题意，已知/(无)=log41--是奇函数，

当a=0时，/(x)=log---b,

4I—X

函数/(x)的定义域为{x|xwl},定义域不关于原点对称，

此时，函数〃尤)一定不是奇函数，故。片0,

则有占一"0,且"0,变形可得(1一矶1一。(1一力]*0,

所以1一41一%)=0的根为一1,解可得。=:，故〃x)=log4一一-\~b,

2I—X2

又因为/(%)为奇函数，则有〃一%)+/(%)=。，

BP1°§4:------Z?+log4----£-b=Q,

1+x21-x2

1_x1rI1I

即一20+log4——-+log4——,=0,所以一26+log4-=0,

2[i+x)|4|

即一处一1=。，故6=-万.所以〃行.故选：C.

题型5“M+N”中值模型的应用

若函数，(x)=奇函数+a,则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和(M+N),我们

II

把它叫做中值模型.

ii

；(1)若/(幻为奇函数，则其最大值与最小值和为0,即/(Hm稣+Ax)1rfn=0；

'M+M=0

⑵若/(X)为奇函数，则〈

f(-xo)+f(xo)=O

rM+N=2a

(3)常见考向f(x)=奇函数+

J(一叫))+/(%)=2。

1.(24-25高三上•山东枣庄•期中)若函数〃x)=J+]+sinx的最大值为M,最小值为N,则M+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】f(x]=X^X+^+sinx=——+sinx+l,xeR

-x2+lx2+l

X

令g(x)=+sinx,

x2+1

因为函数〃为=：^；1+$加的最大值为加,最小值为N,

所以函数g(x)的最大值为M-1,最小值为N-1,

因为g(t)=+sin(t)=--sinx=-g(x),

九L人"iA

所以函数8(引=高开+$皿》是奇函数，

所以g(x)1mx+g(x)1nto=0,即M—1+N—1=0,所以M+N=2.故选：B.

2.(24-25高三上•河南・期中)已知函数〃x)+x+a为常数)，若〃x)在卜2,4］上的最大值

为M,最小值为优，且M+〃?=6,贝!|。=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】因为=+x+一一1+1+a,xe［-2,4］,

.3

令金则f(x)=g(t)=爰*+t+l+a,

设W)=+/'止［—3,3］,则Mv)=S；(?T=_j'

L+L4I乙、乙1乙j

所以〃(。是奇函数，最大值为河-(1+。)，最小值为相-(1+。)，

则Af—(1+〃)+相—(1+々)=。，由A/+加=6,解得〃=2.故选：D.

3.(23-24高三上•安徽安庆・月考)设函数=在区间［-2,2］上的最大值为与,最小值为N,

则(M+N-1严3的值为.

【答案】1

【解析】由题意知，“司=三詈+1k«-2,2]),

设g(x)=W^,则〃x)=g(x)+l,

因为g(r)=：：：；=一8^),所以g(x)为奇函数，

所以g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,故M+N=2,

所以(M+N.iy°23=(2.1>°23=].

故答案为：L

4.(23-24高三下•上海徐汇・月考)若函数++Z在(-oo,0)上有最小值-5(。、6为

常数)，则函数A©在(。,+8)上最大值为.

【答案】9

【解析】考虑函数g(x)=«x3+61og2(x+&+",定义域为R,

又g(一力=a(-x)3+Z?logJ-x+J(-x)2+1

所以g(x)=«x3+〃0g2(x+^/^^)是奇函数，贝1JgCx)max+gfXLn=0，

设/(元)的最大值为M，最小值为优，则加=-5,

又〃x)=渥+Mog2(x+Jx'+1)+2=g(x)+2,

所以M=g(x)1rax+2,m=g[x)^2,

所以“+%=g(x)111ax+2+8(%需+2=4，

则〃一5=4,所以"=9,

故答案为：9.

题型6利用单调奇偶比较大小

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

00目点

一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上

的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小.

1.(24-25高三上・甘肃兰州・月考)已知定义在R上的函数在(-8,2)内为减函数，且“x+2)为偶函数,

则/(T)，"4),的大小为()

A./(-1)</(4)</[^B.

C.Z[y]</(4)<f(-l)D./(-1)</[^</(4)

【答案】B

【解析】•.•/(x+2)为偶函数，.•"(X+2)=/(T+2),

・•・/(4)"(。)，了―

,定义在R上的函数/(X)在(-8,2)内为减函数，

.•./(0)</(-l)<ff-1l即/⑶</(-!)<dS，故选：B.

2.(24-25高三上•山东潍坊・月考)已知函数/(x)满足"1-x)="X+3),且/(%)在(0,2)上是增函数，则/(I),

/(|),彳)的大小顺序是()

A./(D</(|)</(1)B./(1)</(1)</(|)

c./(|)</(jx/(l)D./(1)</(|)</(1)

【答案】B

【解析】由函数/(x)满足/(I-x)=/(x+3),得函数/(x)的图象关于直线x=2对称,

显然”|)=/(|)，/(|)=/(1).而;<1<|,/(x)在(0,2)上是增函数,

因此/(；)<41)<〃|)，所以/(.<〃1)</(}.故选：B

<7>

3.(24-25高三上•河北邯郸•模拟预测)已知在(1,+8)上单调递增,若〃x+l)为偶函数,a=f-

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】因为/(X+1)为偶函数，贝x+l)=/(x+l),

所以/⑺关于尤=1对称，所以0=4一0=/(£|，

4-g(x)=ex-x-l,贝ijg<x)=e，-l,

当x>l时，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上单调递增，

2,2勺7

所以g(x)>g(l)=e-2>0,即e*>x+l,所以e?>e?>]+1=^,

7Q

当%>1时，由e，>x+l得，x>ln(x+l),则.'Ing,

由上可得1<ln|<^<e2,又在(1,+8)上单调递增，

所以小郛佃<《斗即小衿卜扑小鼠

所以a>c>6.故选：A.

4.(24-25高三上•江苏镇江・月考)己知/(劝=丁+X一sinx,g(x)为偶函数，当无20时，g(x)=f(x),设

a>b>0,贝！］()

A./(«)+f(c-b)>g(b)+g(-a)B./(a)+f(~b)>g(b)-g(-a)

C./0)+/(-«)>g{a}+g(-b)D.f(6)+f(-a)>g(a)-g(-6)

【答案】B

【解析】f'(x)=3x2+1-cosx>0,/(-x)=(-x)3-x+sinr=-/(x),/(x)是在R上递增的奇函数，

当xNO时，g(x)=/(x),g(元)是偶函数，且xe(-℃,0),g(x)单调递减，

且/(a)=g(a)，/O)=g(b)，〃a)>/(b)>/(O)=O，g(a)>g0)>。，

/。)+/(-。)=/0)-/(。)=g。)-g(a)<g(a)+g0)=g(a)+g(询，

f(b)+f(-a)=f(b)-f(a)=g(b)-g(a)<0<g(a)-g(b)=g(a)-g(-b)

二C不成立,D不成立;f(-b)+f(a)=-f(b)+f(a)=-g(b)+g(a)<g(a)+g(b)=g(-a)+g(b),

f(-^)+f(a)=-f(b)+f(a)=-g(b)+g(a)>O>-g(a)+g(b)=-g(-a)+g(b)

二A不成立，B成立；故选：B.

题型7利用单调奇偶解不等式

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成/(%1)>/(%)或/(占)</(X2)的形式，

再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，歹「

出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.

II

【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号时，需转化为含符;;

号“广的形式.

1.(24-25高三上•天津红桥・期末)已知函数/(X)是定义在上R的偶函数，若对于任意不等实数冷泡©[(),心),

不等式(菁-%)[〃%)-〃尤2)]<。恒成立，则不等式〃2x)>〃xT的解集为()

A.—<x<—j1B.|x<—IBSIX>—j,

C.卜—1<无<]:D.卜<-§或

【答案】C

【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，则即为川2动>/(归-叫，

对于任意不等实数为,々目°，小)，不等式(而-%-<0恒成立，

可知/(X)在[。,+°°)上单调递减，且>0,|x-1|>0,

可得|2,<|x-1],解得-l<x<§.故选：C.

2.(24-25高三上•河北邢台・期末)已知函数〃x)是定义在R上的减函数，且为奇函数，对任意

的。目-2,3],不等式/(“一)+/(6-1/4恒成立，则实数/的取值范围是()

A.(-<»,3]B.C.[13,-KO)D.(―j+s]

【答案】B

【解析】令g(H=)(xT)—2,贝i]/a)=g(x+l)+2,

由/(a-?)+/-1)44,可得g(a-t+l)+2+g-1+1)+2W4,

即g(a-?+l)+g(a2)<0,g(a-/+l)<-g(a2)=g(-〃2).

因为/(X)是定义在R上的减函数，所以g(x)也是定义在R上的减函数，

t^a-t+l>—a2,即[a+g]+-1>t.

因为昕[-2,3],所以三，即实数f的取值范围是.故选：B

3.(24-25高三上•山东临沂・月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，，(无)在(0,+8)上单调递增，且

/(3)=0,则不等式(x-2)〃x)<0的解集是()

A.(70,-3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

C.(-co,-3)U(3,+℃)D.(-3,0)U(3,+oo)

【答案】B

【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，/(x)在(0,+8)上单调递增，

且"3)=0,则"-3)=-"3)=0,且该函数在(3,0)上为增函数，/(0)=0,

当x<-3时,/(x)</(-3)=0；当-3<x<0时，/(x)>/(-3)=0；

当0<x<3时，/(x)</(3)=0:当x>3时，/(x)>/(3)=0.

因为(x-2)y(x)<0,

当x-2<0时，即x<2时，/(%)>0,贝I—3<x<0或x>3,此时，一3<x<0；

当x-2>0时，即x>2时，/(%)<0,贝！Jx<-3或0<x<3,止匕时，2cx<3.

综上所述，不等式(x-2)/(x)<0的解集是(-3,0)U(2,3).故选：B.

4.(24-25高三上•山东德州•期末)已知函数〃元)是定义在R上的偶函数.且占H%,恒有

若"1)=1,则不等式〃x)<2—Y的解集为()

A.(-oo,l)B.(1,+℃)C.(-<»,-1)u(l,+co)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】不妨设所以"

则“？二⑷>Tn"!-

所以/(xj+k<xf+f(x2),

令g(x)=/(尤)+f，则g—)<gG)，

所以g⑺="X)+/在［0,+8)上单调递增，

又/(X)是偶函数,所以g(—X)=/(-X)+•?=/⑺+f=g⑺，

即g(x)=〃尤)+f也是偶函数，则其在(F,0］上单调递减，

因为/(1)=1，所以g(l)=/(l)+12=2,

则/("〈Z-x2n/^+x2<2ng(x)<g(l),

所以W<1,解之得xe(—1,1).故选：D

题型8函数的周期性及应用

(a是不为0的常数)

(1)若〃x+a)=〃x),则T=a；(2)若/(%+〃)=/(%—〃)，则T=2a；

(3)若/(X+a)=-/(九)，则T=2a；(4)若/(%+。)=/(力，则T=2a；

若f(x+a)=—,

(5)右八)〃x)，则T=2a；(6)若/(X+Q)=/(%+/?),则7=|(awb)；

、l+/(x)

(7)右/(%+〃)_,则T=2〃；(8)若/(x+a)=[)：，则T=4a；

1+/W

1.(24-25高三上•四川华夔・月考)设/(%)是定义域为R的奇函数，且"1+无)=/(-尤).若f

()

【答案】B

【解析】因为了⑺是定义域为R的奇函数，则〃1+X)=/(T)=-/(X),

贝iJ/(x+2)=-/(x+l)=/(x),故/'(尤)是以2为周期的周期函数,

由m则谓)=(小一佃t・故选:b

2.(24-25高三上•黑龙江・月考)已知/(尤)是定义在R上的函数,且/(x+1)-/(x)=l+〃x+l)〃x),

"1)=2,贝叶(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.；

32

【答案】c

【解析】因为y(x+i)-y(x)=i+/(x+i)/(x),

所以当x=0时，/(l)-/(O)=l+/(l)/(O),又/⑴=2,所以〃o)=；.

又由〃x+l)―/(x)=l+〃x+l)/(x),可得=

1J+.x)

所以〃x+2)=/((x+l)+l)=l+"x+l!=—=——二，

八,"-1-小+1)1+/(%)外)

1-小)

〃X+4)=/((X+2)+2)=―/(1+2)=----->=〃x),

〃x)

故函数是以4为周期的函数，所以〃2024)=〃0)=g.故选：C.

3.(24-25高三上・甘肃临夏・期末)已知函数/Q)的定义域为R,7(x)为偶函数，/(x+1)为奇函数，且当

尤金0,1］时,fM=x+b,则啊+/图+/(|)=()

A.-B.0C.—D.—1

22

【答案】A

【解析】因为偶函数，故/(f)=/(x),又因，(尤+D为奇函数，故/(一彳+1)=-/。+1),

则f(-x)=~f(x+2),故有f(x+2)=-/(x),

由/(x+4)=-/a+2)=/(x)可得4是函数/(x)的一个周期.

又因/(x+1)为奇函数，则函数的图象关于点(1,0)成中心对称，

因函数/(x)的定义域为R,则/⑴=1+6=0,解得b=—1,

故当xe［0,l］时，/(x)=x-l,

111,一

+5+5=5.故选：A.

4.(24-25高三上•河北・月考)已知定义在R上的函数/(%),满足“X-3)+/(5-x)=2,/(2x+2)为偶函

2023

数，/(力满足〃2)=2,贝|工/«)=.

Z=1

【答案】2024

【解析】因为/(2x+2)为偶函数，贝U/(2x+2)=/(-2x+2),

所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

因为/(》-3)+/(5-x)=2,所以函数/(x)的图象关于点(1,1)中心对称，

所以函数/(x)的周期T=4X(2—1)=4,

令x=4,则f(4-3)+/(5-4)=2f⑴=2,得"1)=1,则〃3)=川)=1,

又〃2)=2,令x=3,则1(3—3)+/(5-3)=/(0)+八2)=2,得/(0)=0