沪教版九年级数学常见题型重难点专练：相似三角形中的“内接矩形”（原卷版+解析）

重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”

【知识梳理】

相关模型:

ATDE

常用结论:

AHBC

【考点剖析】

例1.如图，正方形。EFG的边E尸在AABC的边上，顶点。、G分别在边A3、AC上，是AA5C的

高，2C=6O厘米，A//=40厘米，求正方形。EPG的边长.

例2.AA5C中，正方形EFG8的两个顶点E、尸在BC上，另两个顶点G、反分别在AC,AB±.,BC=15,

8C边上的高A。=10,求正方形EFGH的面积.

例3.如图，在AABC中，矩形。所G的一边DE在BC边上，顶点G、尸分别在AB、AC边上，AH是BC

边上的高，AH与GF交于点K.若AH=32cm,BC=48cm，矩形DEFG的周长为16cm,求矩形DEFG的

面积.

例4.在锐角AABC中，矩形。EFG的顶点。在边上，顶点E、尸在8c边上，顶点G在AC边上，如

果矩形。EPG的长为6,宽为4,设底边BC上的高为x,MBC的面积为y,求y与x的函数关系式.

例5.如图，矩形。EFG的边在AA5C的边8C上，顶点。、G分别在边AB、AC上，为8c边上的

高，AH交DG于点P,已知AH=3,BC=5,设DG的长为无，矩形。EFG的面积为y,求y关于x的函

数解析式及其定义域.

例6.一块直角三角形木板的一条直角边A8长为15w,面积为1.5机2,现需把它加工成一个面积最大的正方

形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）,乙设计方案如图（2）.你认为哪位同学设

计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023・上海浦东新•统考二模）如图，已知正方形。耳6的顶点。、E在的边8C上，点G、F分

别在边AB、AC上，如果BC=8,ABC的面积是32,那么这个正方形的边长是（）

2.（2022秋・上海奉贤•九年级校考期中）如图，正方形DEFG的边E尸在.ABC的边8c上，顶点。、G分

别在边AB、AC上，已知一ABC的边长15厘米，高A”为10厘米，则正方形£>£FG的边长是（）

A.4厘米B.5厘米C.6厘米D.8厘米

二、填空题

3.（2021秋・上海・九年级校考阶段练习）如图，在中，ZC=90°,正方形QEFG的边GF在AB边

上，顶点。、E分别在AC、3C上，AB=12,若ABC的面积为36,则QE的长为.

4.（2021秋・上海闵行•九年级统考期中）如图，已知正方形。EFG的顶点。、E在0ABe的边BC上，顶点

G、歹分别在边A8、AC上，如果BC=4,8c边上的高是6,那么这个正方形的边长是.

5.（2023•上海长宁•统考一模）如图，在一ABC中，ZC=90°,正方形EFGH的边尸G在.ABC的边AB

上，顶点E、H分别在边AC、BC±,如果其面积为24,那么AF-3G的值为.

C

6.（2022秋•上海•九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形。瓦G为一ABC的内接矩形，点G,歹分别

在AB,AC上，AH是3C边上的高，BC=10,AH=6,EF:GF=2:5,则矩形DEFG的面积为

7.（2022秋•上海青浦•九年级校考期中）如图，矩形D£FG内接于ABC,BC=6cm,DE=4cm,

EF=2cm,则BC边上的高的长是

8.（2022秋•上海静安•九年级校考期中）如图，已知在ABC中，边BC=5,高AD=2,正方形EFG”的

顶点RG在边3c上，顶点石、反分别在边AB和AC上，那么这个正方形的面积等于

9.（2022秋•上海松江•九年级校考期中）如图：正方形DGEE的边防在二ABC边3C上，顶点。、G分别

在边AB、AC上，4”，8c于X,交DG于P,已知BC=20,AH=16,那么正方形。GEE的边长为

10.（2022秋•上海浦东新,九年级校考期中）如图，正方形。跳G的边所在..ABC的边3C上，顶点。、

G分别在边A3、AC上.已知3c长为40厘米，若正方形DEfG的边长为25厘米，则ABC的高AH为

厘米.

11.（2022秋・上海•九年级校考期中）如图，已知正方形ED尸G的顶点£）、G分别在「.ABC的边AB、AC

上，顶点石、F在_ABC的边8C上，若3c=4,SAABC=10,那么这个正方形的边长是.

A

12.（2023•上海徐汇•统考一模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,正方形OEFG内接

于,ABC,点G、尸分别在边AC、BC±,点。、E在斜边A3上，那么正方形DEFG的边长是.

13.（2022春•上海•八年级专题练习）如图，矩形OEFG的边。E在财8c的边8C上，顶点G、尸分别在边

AByAC上，已知BC=6cm,DE—3cm,EF—2cm,那么边8C上的高的长是cm.

14.（2021秋•上海闵行•九年级统考期中）如图，已知正方形班EG的顶点。、E在ABC的边BC上，顶

点G、G分别在边AB、AC上，如果BC=4,3C边上的高是6,那么这个正方形的边长是.

15.（2021秋•上海浦东新•九年级校考阶段练习）如图：正方形。GFE的边E尸在边BC上，顶点。、

G分别在边48、AC上，AH08C于H,交DG于P,已知8c=48,AH=16,那么SROGEF=.

A

16.（2022秋•上海徐汇•九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC

边上，顶点G、尸分别在AB、AC上，是BC边上的高，AH与GF交与点、K,若47=32,8C=48,

矩形DEFG周长为76,则DG=.

A

17.（2022秋•上海黄浦•九年级统考期中）如图，正方形EFG”内接于Rt^ABC,NA=90。，BC=12,若

ABC的面积是36,则EH的长是.

18.（2022秋•上海嘉定•九年级统考期中）如图，已知在AABC中，边3c=6,高AO=3,正方形EFGH

的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于.

19.（2022秋•上海宝山•九年级统考期中）如图，矩形DEPG的边OE在，ABC的边BC上，顶点G、F分

别在边AB、AC上.已知BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,那么ABC的面积是cm2.

20.（2022秋•上海长宁•九年级校考期中）如图，在，AfiC中，BC=10,3C上的高A£>=4,矩形EFGH

的顶点£尸在边3c上，G、8分别在边AC、AB上，EF.FG=3:2,则该矩形的面积为.

三、解答题

21.（2022秋•上海浦东新•九年级校考期中）一块三角形余料ABC,它的边长BC=12厘米，高40=8厘

米，要把它加工成正方形零件P0MN,使正方形的一边在5c上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则加

工成的零件边长为多少厘米?

22.（2022•上海•九年级专题练习）已知：如图，点/）、E、尸分另IJ在AABC的边A3、AC,8c上,

DF^AC,BD=2AD,AE=2EC.

⑴如果AB=2AC,求证：四边形ADFE是菱形；

（2）如果A2="4C，且BC=1,连结。E,求。E的长.

23.（2022•上海•九年级专题练习）一块三角形的余料，底边8C长1.8米，高AO=1米，如图.要利用它

裁剪一个长宽比是3回2的长方形，使长方形的长在8C上，另两个顶点在42、AC上，求长方形的长

和宽£下的长.

24.（2022秋•上海•九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形。EFG的边E尸在AASC的边

上，顶点G分别在边A3、AC上，AHLBC,垂足为已知3c=12,AH=8.

⑴当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长;

（2）当矩形DEPG面积为18时，求矩形的长和宽.

25.（2022秋•上海静安•九年级上海市民立中学校考期中）如图，矩形。EFG的边所在.ABC的边BC

上，顶点。、G分别在边AB、AC上，BC=60,高47=40,如果DE=2OG,求矩形DEfU的周长.

重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”

【知识梳理】

相关模型:

ATDE

常用结论:

【考点剖析】

例1.如图，正方形DEPG的边所在AABC的边上，顶点。、G分别在边A3、AC上,

A”是AABC的高，BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的边长.

【答案】24.

【解析】设正方形跳6。的边长为X,

DGADAP

DG//BC,

BC~AB~AH

x_40-x

x=24,

60-40

正方形EFGD的边长为24.

【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系.

例2.AABC中，正方形EPGW的两个顶点£、e在2C上，另两个顶点G、X分别在AC,

A8上，BC=15,BC边上的高AD=10,求正方形EFG”的面积.

A

【答案】36.

【解析】设正方形石尸GH的边长为〃，易知:

HE//AD,HG//BC.

HEBHHGAH

'AD~BA'BC~AB

HEHG1

.——+——=l,

ADBC

：.正方形EFGH的面积为36.

【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点.

例3.如图，在AABC中，矩形DEFG的一边。E在8C边上，顶点G、尸分别在A3、AC边

上，A8是8C边上的高，A8与G尸交于点K.若AH=32cro,BC=48cm,矩形。E/G的

周长为76cm求矩形。EFG的面积.

【答案】360cm2.

【解析】解：设。G=xa〃，FG=（38-x）cm

・,矩形DEFG,:.GF//BC,ZGDB=90,

AH是高，:.ZAHB=90,

BCAB

:.ZGDB=ZAHB:.DG//AH,

DGBGDGGF,

/.-----=-----，：.--------H--------=l,

AHABAHBC

x38_JQ

2

------1-----------=I,/.％=20,DG=20cm，FG=18cm,/.S矩形DEFG=360cm.

3248

【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识.

例4.在锐角AABC中，矩形。EFG的顶点。在A8边上，顶点E、尸在8C边上，顶点G

在AC边上，如果矩形。E/G的长为6,宽为4,设底边BC上的高为％,AABC的面积

为y,求y与冗的函数关系式.

【解析】解：如图，・.,矩形DEFG,

:.GD//BC,/DEC=9。,

GDAD

又•:AH是高，

.\ZAHC=90.

:.ZDEC=ZAHC,

DE//AH,

DE_BD

~AH~~AB

DGDE

--------1--------

BCAH

又：S^^y^-BC-AH,

x-4

【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识.

例5.如图，矩形0MG的边E尸在AABC的边8C上，顶点。、G分别在边A3、AC上，AH

为5C边上的高，A”交OG于点P,已知AH=3,BC=5,设。G的长为％,矩形OMG

的面积为y,求y关于％的函数解析式及其定义域.

A

BC

EHF

3

【答案】y=x2+3x（0<x<5）.

【解析】解：•矩形DEFG,「.G。//3cZD£C=90,

又AH是高，:.ZAHC=90,

BCAB

:.ZDEC=ZAHC,:.DE//AH,

DEBDDGDE1

AHABBCAH

%DEy

.二+丁=1,S^DEFG=y=x»DE,:.x=2Q,:.DE=--,

%v3

-+-=1,y=一+3x（0<x<5）.

【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识.

例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5相，面积为1.5〃落现需把它加工成一个

面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）,乙设计方

案如图（2）.你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果

中可保留分数）.

【答案】甲同学方案好，理由略.

2

【解析】解：SMRC=-AB»BC=l.5m,XAB=1.5m,:.CB=2m

/.在Rt^ABC中，AC=2.5m.

①按甲的设计：设=正方形DEFB,:.EDIIBF,EFIICB,

DE_CE_EF_AEDEEF.二x_

"AB-G4ZCF-AC?"BA+Ci-'''13+2~'

②按乙的设计：过点5作交AC于点H,得DG//BH,——二——,

BHAB

设。石=兄，则。G=x,，正方形DGFE,:.EDIIAC,DE=DG,

DEBDDEDGA

----=-----,1.------1---------=1,

ACBACAHB

I1nxx

S^=-AB^BC=-AC^BH,:.BH=-m,—+^=1,

MBBCC2252.56

5

3009002

-'-X=~m,^JEDGFE=.eg机；

综上，甲设计方案好.

【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问

题.

【过关检测】

—＞单选题

1.（2023•上海浦东新•统考二模）如图，已知正方形。EPG的顶点。、E在，ABC的边BC

上，点G、尸分别在边AB、AC上，如果BC=8,一ABC的面积是32,那么这个正方形的

边长是（）

【答案】A

【分析】过点A作于H,交GP于M,如图，先利用三角形面积公式计算出

AH=8,设正方形。跳G的边长为尤，贝==再证明

AGF^ABC,则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可.

【详解】解：如图，过点A作A”,3c于H,交G歹于

0ABC的面积是32,BC=8,

S-BCAH=32,

2

0AH=8,

设正方形DEFG的边长为x,则GP=x,MH=x,AM=8-x,

B1GF//BC,

团AGF^ABC,

GFAM

回一=

BC~AH

x8—x

.•彳=一，解得回x=4,

oo

即这个正方形的边长是4.

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题

的关键.

2.（2022秋•上海奉贤•九年级校考期中）如图，正方形ZJEFG的边E尸在J1BC的边BC

上，顶点。、G分别在边AB、AC上，已知；ABC的边长15厘米，高力”为10厘

米，则正方形DEfG的边长是（）

A.4厘米B.5厘米C.6厘米D.8厘米

【答案】C

【分析】由OG〃3C得△ADGAABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列

方程求解即可.

【详解】解：设正方形的边长为尤.

团正方形DEFG得，

S1DG//EF,即DG〃3C,

S1AH±BC,

EAP±DG.

B1DG//BC

S1AADGAABC

DGAP

团---=----.

BCAH

回PH_LBC,DE±BC

AHPH

国PH=ED,AP=AH-PH9^—=~,

BCAH

0BC=15,AH=10,DE=DG=x,

x10-x,

0—=-------,解得x=6.

1510

故正方形DEFG的边长是6cm.

故选C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点.由平行线得

到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键.

二、填空题

3.（2021秋•上海•九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，ZC=90°,正方形DEFG的

边G尸在AB边上，顶点。、E分别在AC、3C上，AB=12,若..ABC的面积为36,贝U

DE的长为.

【答案】4

【分析】过点C作CHLAB于点”，交DE于点M,设正方形。跳G的边长为x,利用

1ABe的面积求出CH=6,证明△CDEs/\c4B,则C三M=二D小F列方程即可求得答案.

CHAB

【详解】解：过点。作SLAB于点H,交于点”，

设正方形DEFG的边长为x,

团ABC的面积为36,AB=12,

团CH=6,

国DE〃AB,

团CM_LQ£,ACDE^ACAB,

CMDE

团---=---,

CHAB

解得X=4,

即£>£的长为4,

故答案为：4

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是是解题的关

键.

4.（2021秋•上海闵行•九年级统考期中）如图，已知正方形。EEG的顶点。、£在0ABe的

边BC上,顶点G、尸分别在边A3、AC上，如果BC=4,8c边上的高是6,那么这个正

方形的边长是—.

【分析】作于8，交G尸于设正方形。EPG的边长为x,则GF=x,MH=x,

x6—x

AM=6-x再证明"G死她BC,则根据相似三角形的性质得了==，然后解关于x的方程

f46

即可.

【详解】作AH03C于交Gb于如图，

团8C边上的高是6,

即AH=6

设正方形。跖G的边长为％,则MH=X,AM=6-X,

[EG/nzlBC,

盟lAG/HMlABC,

「GFAMx6-x

团——=--,BnPn—=----,

BCAH46

12

解得

12

即正方形DEFG的边长为（.

12

故答案为：—.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图

形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的

一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比

计算相应线段的长.也考查了正方形的性质.

5.（2023・上海长宁,统考一模）如图，在oABC中，ZC=90°,正方形EFG"的边FG在

ASC的边A3上，顶点E、H分别在边AC、3C上，如果其面积为24,那么AFIG的

值为.

【分析】通过证明Rt一AFEsRt_“G3,则AFxBGnEFxHG,即可得到答案.

【详解】NC=90。，正方形£FGH的四个顶点在三角形的边上，

;.ZA+ZB=90，

NB+NBHG=90,

.-.RtAFEsRtHGB,

:.AFxBG=EFxHG=24.

故答案为24.

【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

6.（2022秋•上海•九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形。EFG为..ABC的内接矩

形，点G,尸分别在ABAC上，A”是5c边上的高，BC=10,AH=6,EF:GF=2-.5,则

矩形DEFG的面积为.

【答案】y

【分析】设跖=2x,G尸=5无，可得AK=6-2x,根据AAGF~AABC,可得==J,

AHBC

可求出无，即可求解.

【详解】解：回EF:G/=2:5,

团可设EF=2x,GF=5%,

团矩形OEFG为的内接矩形，AH是3c边上的高,

⑦KH=EF=2x,GF//BC,

国AK=6-lx,AH八FG,

团G/〃BC,

团AAGb〜AABC,

AKGF

团---=---,

AHBC

6-2x5x

即an-----=—，

610

解得：

团EF-葭,FG-6,

1272

团矩形DEFG的面积为防?BG6?yy.

72

故答案为：—

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，关键是利

用相似三角形对应边成比例得到比例式.

7.（2022秋•上海青浦•九年级校考期中）如图，矩形。E/G内接于.ABC,BC=6cm,

DE=4cm,EF=2cm,则BC边上的高的长是

当

//

RDEC

【答案】6cm/6厘米

【分析】过点A作AMLBC于点交尸G于点N,先根据矩形的性质可得

MN=EF=2cm,FG=DE=4cm,再证△AG^S4MC,利用相似三角形对应高线之比

等于相似比列出等式，即可求解.

【详解】解：如图，过点A作于点M,交尸G于点N,

矩形DEFG中，OE=4cm,E/=2cm,

:.MN=EF=2cm,FG=DE=4cm,FG//DE,

:.ANLFG,

FG//DE,

ZAGF=ZB,ZAFG=ZC,

,\AAGF^AABC,

.ANGF

'AM~BC"

设AM=%cm,则A7V=(x-2)cm,

.——2_4

x6'

解得x=6,

即AM=6cm,

则3c边上的高的长是6cm,

故答案为：6cm.

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明

是解题的关键.

8.(2022秋・上海静安•九年级校考期中)如图，已知在中，边BC=5,高AD=2,

正方形EFG”的顶点尸、G在边5。上，顶点石、〃分别在边AB和AC上，那么这个正方

形的面积等于.

a100-2

【答案】再〃而

【分析】利用正方形的性质可知9〃3C,再利用平行线分线段成比例定理的推论可得

AAEH6八般,利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边

长，进而获得答案.

【详解】解：如下图所示，设E"与AD交于点

团四边形EFG"是正方形,

⑦EH〃BC,EH=FG,

⑦ZAEH=ZABC,

^ZEAH=ZBACf

团△AEW^/\ABC,

AEEH

团------,

ABBC

又回

0AD±£H,EH=EF=MD,

^EH//BC,

AMAE口口AMEH

回——，即---=——

ADABADBC

设EH=x,则AM=AZ)—MD=2—x,

2-xx口10

回——=—，解倚x=~

SEH=—,即这个正方形的边长为W,

77

回这个正方形的面积为(])2=詈.

故答案为：殍

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、平行

线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

9.(2022秋•上海松江•九年级校考期中)如图：正方形。GFE的边所在&ABC边BC上，

顶点。、G分别在边A3、AC上，AH_LBC于H,交。G于P,已知3c=20,

AH=16,那么正方形DGFE的边长为.

【分析】根据DG〃台C得出△AZBAABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似

比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案.

【详解】解：设正方形DGFE的边长为北

由正方形QGFE得，DG//BC,

0AH1BC,

团AP_LDG.

^\DG//BC,

团△ADGSAABC,

DGAP

团---=----，

BCAH

国PHLBC,DE上BC,

⑦PH=DE,AP=AH-PH=AH-DE,

nnDGAH-DE

CBAH

由5c=20,AH=16,DE=DG=x,

4口x16-x

kb

解得X=?.

QA

回正方形D£FG的边长是

on

故答案为：—.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质.解题的关键是由平行线得

到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程.

10.（2022秋•上海浦东新•九年级校考期中）如图，正方形。跳G的边E尸在,ABC的边

3c上，顶点。、G分别在边A3、AC上.已知5c长为40厘米，若正方形DEFG的边长

为25厘米，则ABC的高AH为________厘米.

【分析】由£）G〃3C得ABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列

方程求解.

【详解】解：设ABC的高为尤厘米.

由正方形。EFG得，DG//EF,即OG〃台C,

⑦AHLBC,

团AP_LOG.

^DG//BC,

团ADGsABC,

APDG

团----=-----.

AHBC

国PHLBC,DE上BC,

也PH=ED,AP=AH—PH,

SBC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米,

x-2525

0--------=——,

x40

w200

解得彳=亍

即AH=一厘米.

生小方二

故答案为：-2^0―0

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是由平行线得到相似三角形，利用相

似三角形的性质列方程.

11.（2022秋・上海・九年级校考期中）如图，已知正方形即尸G的顶点。、G分别在

的边A3、AC上，顶点E、尸在ABC的边3C上，若BC=4,SAABC^10,那么这个正

方形的边长是

【分析】作高A"交。G于M,设正方形。EFG的边长为无，则£>E=MH=x,所以

3=5r,再证明△ADGSAABC,即可得到台V，然后根据比例的性质求出'的值

即可.

【详解】解：作高Aff交DG于如图,

A

团AH=5,

设正方形DEFG的边长为龙,

则。石=也=%,

:.AM=AH-MH=5-x,

DG//BC

.「ADGsABC,

DGAM

,正一而‘

x_5—x

,正方形的边长为亍,

故答案为回至.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图

形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的

一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质.

12.（2023・上海徐汇•统考一模）如图，在中，ZC=90°,AC=2,BC=l,正方

形。E/G内接于，1BC,点G、尸分别在边AC、BC上，点。、E在斜边A3上，那么正

方形DEFG的边长是.

【答案】2叵《石

77

【分析】过点C作酸，居于点M,交G歹于点N,首先由勾股定理得出A3的长，由面

积法即可求出CN的长，可证得CGBSC4B,再根据相似三角形的性质，即可得出答

案.

【详解】解:如图：过点C作±四于点交GF于点、N,

22

AB=VAC+BC=A/22+12=s/5，

SZALX/,IDRCr2^-ACBC^2-ABCM,

n»ACBC2x12小

AB有5

团正方形DEFG内接于一ABC,

:.GF=EF=MN,GF//AB,

:&GFs^CAB,

2非

,CNGF^5EF

'2^5一书'

r

解得：EF=巫,

7

故答案为：—.

7

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确

作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

13.(2022春•上海•八年级专题练习)如图，矩形。EEG的边QE在0ABe的边BC上，顶点

G、尸分别在边A3、AC上，已知BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,那么边8C上的高的长

是___cm.

【分析】由题意过A作于交GP于M,由矩形的性质得G/BC,

DG=EF=2cm,GF=DE=3cm,再证EAGFIHABC,求出AM=2(cm),贝!|

(cm),即可求解.

【详解】解：过A作AH08C于交GB于如图所示:

0AH0BC,四边形。EFG是矩形，

团四边形麻RM是矩形，则MH=EF=2cm,回四边形。EFG是矩形，EIG加BC,

DG=EF=2cm,GF=DE=3cm,HGflSBC,SSAGI^EABC,0^-=—,即一”"=「,解

AHBCAM+26

得：AM=2(cm),0AH=AM+MH=4(cm),即边3c上的高的长是4cm.

故答案为：4.

【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，

证明0AGF0EABC是解题的关键.

14.(2021秋•上海闵行•九年级统考期中)如图，已知正方形ZJEFG的顶点。、E在，15c

的边3C上，顶点G、G分别在边A3、AC上，如果3c=4,3c边上的高是6,那么这

个正方形的边长是.

【分析】作A/M8C于反，交GF于M,如图，先设正方形。EBG的边长为x,则GF=x,

Y6—Y

MH=x,AM=6-x,再证明△AGfMABC,则根据相似三角形的性质得了,然后解关于

46

尤的方程即可.

【详解】解：作AX08c于交GF于M,如图，

设正方形DEFG的边长为无，则GF=x,MH=x,AM=6-x,

EIGR38C,

m^GF^ABC,

GFAMx6-x

团——=——,即Rn—=----

BCAH46

解得％喈12,

12

即正方形DEFG的边长为二.

1?

故答案为：—.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图

形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的

一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比

计算相应线段的长.也考查了正方形的性质.

15.（2021秋•上海浦东新•九年级校考阶段练习）如图：正方形OGFE的边斯在她5。边

BC±,顶点。、G分别在边A3、AC上，团5C于〃，交。G于尸，已知5C=48,AH=

16,那么.

A

【分析】根据0603c得出△AOGfflABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列

方程求出正方形的边长，则可得出答案.

【详解】解：设正方形。GM的边长为x.

由正方形OEFG得，DG0EF,即0G

她用。G.

团。G08C,

fflADGfflABC,

DGAP

团---=----

BCAH

团尸DE^\BC,

^\PH=ED,AP=AH-PH,

DGAH-PH

即Rn---=

CBAH

由BC=48,AH=16,DE—DG—x,

4口x16-x

解得尤=12.

国正方形DEFG的边长是12,

EIS正方形DGEF=DE2=122=144.

故答案为：144.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质.解题的关键是由平行线得

到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程.

16.（2022秋,上海徐汇•九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC中，矩形DEfG的

一边DE在BC边上,顶点G、尸分别在AB、AC上，A”是边上的高，与GB交与

点K,若AH=32,3c=48,矩形。EFG周长为76,则DG=.

【答案】20

【分析】设DG为x,根据矩形的性质得出G厂为（38-力，再由相似三角形的判定和性质

得出空="，然后将各线段代入求解即可.

AHBC

【详解】解：设OG为x,

团矩形。石厂G的周长为76,

团G厂为（38-力,

团四边形。及G是矩形，

国GF〃BC,

团AGFABC,

团AH是3c边上的高，与G厂交于点K,

AKGF

团----=----，

AHBC

国KH=GD,

32-x38-x

回

3248

解得：x=20,

0DG=2O,

故答案为：20.

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相

似三角形的判定和性质是解题关键.

17.（2022秋•上海黄浦•九年级统考期中）如图，正方形EFGH内接于RtaABC,

Z4=90。，BC=12,若他。的面积是36,则E"的长是.

【分析】易证△AEHs△形。，可得：—,再由两平行线间的距离相等，即可得

出."=E结合缁篝即可得出||=器，可求解切的长.

【详解】解：如图所示：过A作AD13C于D,交EH于M,

0-BCxAD=36,

2

0—x12xAD=36,

2

团AD=6,

.•正方形EFGH内接于RtAABC,

/.EH//FG,设EH=EF=FG=HG=x,

:.NAEH=NB,ZAHE=ZCf

AEEH

团---=---

ABBC

AD±BC,

^ZADG=90°,

^\EH//FG,

^\ZADG=ZAMH=90°f

s.AMLEH,

又团团〃/G,ADIBC,

Z，LLE,AEAM

：.DM=EF=EH=x,

ABAD

团AM=6-x

AEEH

团---二-----

ABBC

EHAM

BCAD

x6-x

团——=-----

126

团x=4,

回£H=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质,

证明4AEH^ABC是解题的关键.

18.（2022秋•上海嘉定•九年级统考期中）如图，已知在AABC中，边BC=6,高

AD=3f正方形£FG〃的顶点石、/在边3c上，顶点H、G分别在边A5和A。上，那

么这个正方形的边长等于.

【答案】2

【分析】利用正方形的性质可知"G//BC,再利用平行线分线段成比例定理的推论可得

AAHGs^ABC,利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边

长.

【详解】解：如图所示:

BEDFC

四边形比小W是正方形，

:.HG〃BC,HG=EF,

:.ZAHG=/B,

QNBAC=NBAC,

:._AHG^_ABC,

.AHHG

,下一记’

又二AD±BCf

:.AD^HG,HG=EF=MD,

HG//BC,

AMAHAMHG

/.=——，即nn——二——，

ADABADBC

设HG=x,则=MD=3—x,

3—YX

二一=：,解得：x=2,

36

:.HG=2,

这个正方形的边长为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定

理，是各地中考考查相似三角形常见题型.

19.（2022秋•上海宝山•九年级统考期中）如图，矩形。EFG的边DE在一ASC的边BC

上，顶点G、尸分别在边AB、AC上.已知8c=6cm,DE=3cm,EF-2cm,那么

ABC的面积是cm2.

【答案】12

【分析】过A作ANLBC于H,交G尸于由矩形的性质得G/〃3C,

DG=EF=2cm,GF=DE=3cm,再证,AGF。ABC,求出AM=2cm,则

AH=AM+MH=4cm,即可求解.

【详解】解:过A作AH,3c于交GF于M,如图，

则MW=EP=2cm,

团四边形。EFG是矩形，

^GF//BC,DG=EF=2cm,GF=DE=3cm,

^\GF//BC,

团AGF^ABC,

AMGF

团---=---，

AHBC

口nAM3

AM+26

解得：AM=2cm,

AH^AM+MH^4cm,

0ABC的面积=，BC-A"=Lx6x4=12（cm2）,

22v'

故答案为：12.

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性

质，证明,.AGbs_A3C是解题的关键.

20.（2022秋•上海长宁•九年级校考期中）如图，在ABC中，3c=10,BC上的高

AD=4,矩形EFGH的顶点E、/在边BC上，G、X分别在边AC、A3上，

EF.FG=3:2,则该矩形的面积为

【分析】如图，证明△AGHs^ACB,运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解

决.

【详解】解：fflEF:FG=3:2,

团设EF=3左，则尸G=20

由题意得：

HGIIBC,KD=FG=2k,HG=EF=3k；

团△AG〃SZ\ACB,而ADJ.BC,AK±HG,

HG祭即寺4—2左

团——二

BC4

解得：k=^~,

4

团EF=3Z="，EH=2k=~.

42

团该矩形的面积为族=2

42X

故答案为：.

O

【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关

定理来分析、判断、推理或解答.

三、解答题

21.（2022秋•上海浦东新•九年级校考期中）一块三角形余料ABC,它的边长3c=12厘

米，高45=8厘米，要把它加工成正方形零件PQMN,使正方形的一边在BC上，其余两

个顶点分别在48、AC上，则加工成的零件边长为多少厘米？

【答案】加工成的零件边长为4.8厘米

【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△APNSAABC,从而得

出边长之比，进而求出正方形的边长；

【详解】解：设正方形零件的边长为。，

在正方形PMW。中，PN//BC,/PQM=NQPN=90°,

回AD是ABC的高，即AD13C,

团NADQ=90。，

^ZPQM=ZQPN=ZADQf

团四边形为矩形，

团PQ=DE=a,

团AE=AD—DE=8—a,

⑦PN〃BC,

^\ZAEP=ZADB=90°,

团A石为_APN的高，

^PN//BC,

团△APNSA4BC,

AEPN

团---=---，

ADBC

解得：a=4.8,

国加工成的零件边长为4.8厘米.

【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的应用，正方形的性质，矩形的判定和性

质，平行线的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形.

22.（2022・