函数模型的实际应用问题（3大压轴考法）学生版-2024-2025学年高一数学压轴题（人教A版必修第一册）

专题26函数模型的实际应用问题

目录

解题知识必备.................................

压轴题型讲练............................................................2

题型一、二次函数模型....................................................2

题型二、分段函数模型....................................................3

题型三、指对幕函数模型..................................................5

压轴能力测评（8题）....................................................7

♦♦解题知识必备”

一、几种常见的函数模型

1、一次函数模型：y=kx+b（k,6为常数，左。0）

2、二次函数模型：y=ax2-\-bx+c（Q,8c为常数，QWO）

3、指数函数模型：y=bax+c（。,8c为常数，bwO,。>0且awl）

4、对数函数模型：y=mlogax+n（加,a,〃为常数，mwO,a>0且awl）

5、塞函数模型：y=axn+b（〃］为常数，awO）

ax-\-b,x<m

6、分段函数模型：y=\；

cx+d,x>m

二、用函数模型解应用问题的四个步骤

1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型;

3、求模：求解数学模型，得出数学模型；

4、还原：将数学结论还原为实际问题。

三、函数拟合与预测的一般步骤

1、通过原始数据、表格，绘出散点图；

2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；

3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；

5、利用选取的拟合函数进行预测；

6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。

X压轴题型讲练”

【题型一二次函数模型】

一、解答题

1.（24-25高一上•湖南衡阳•阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本》（万元）与年产量X（吨）

之间的函数关系可近似地表示为了=，^2-20工+40000.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求

出最大利润.

2.（24-25高一上•安徽•阶段练习）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换

新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费

者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，

某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元,

每生产x（xeN*）百件，需另投入成本少（x）万元，且0<x<45时，W（x）=3x2+260x；当x“5时，

4900

沙（x）=501x+——-4950,由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能

x+20

全部销售完.

（1）分别写出04x<45与X245时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

3.（24-25高一上•江苏宿迁•阶段练习）如图，宿迁市要在矩形地块/8CZ）上规划出一块矩形地块尸建

造市民休闲中心，为了保护文物，市民休闲中心不能超越文物保护区△/斯的界线环，经实地测量知，

AB=150m,ND=110m,AE=45m,AF=30m,设=

⑴试用无表示尸0,PR；

（2）问：怎样设计矩形市民休闲中心的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？

4.（24-25高一上•广东揭阳•阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国

自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进

一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费

用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后该设备的盈利额为y万

元.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；

（3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：

①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；

②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.

请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为。，。=上）

5.（24-25高一上•上海•期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.

（1）已知阁楼屋顶为高2m,底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.

（i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围；

（ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,若阁楼的

窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？

（2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，

采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.

【题型二分段函数模型】

一、解答题

1.（24-25高一上•吉林长春•期中）某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷

款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30

万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投

入4万元的资料成本费，每年的销售收入R（x）（万元）与产品年产量x（万件）间的函数关系为

24x-2x2,0<x<6

R（X）=L,324,，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费.

126-------,x>6

（1）写出该企业的年利润即（X）（万元）关于产品年产量X（万件）的函数解析式；

（2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？

（3）该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？

2.（23-24高一上•江苏盐城•期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂

糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地

某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内（以

30天计），每件的销售价格单位：元）与时间》（单位：天）的函数关系近似满足/（x）=50+：（人为常数,

且人>0）,日销售量g（x）=a|x-司+6（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示

X1015202530

g(x)5060706050

已知第10天的日销售收入为2650元.

（1）请你根据上表中的数据，求出日销售量g（x）与时间x的函数解析式；

⑵设该工艺品的日销售收入为尸（x）（单位：元），试求当x为何值时，尸（x）达到最小值，并求出最小值.

3.（24-25高一上•广东佛山•阶段练习）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座

八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形48。和EFG”构成的占地面积为100

平方米的十字形地域.计划在正方形四VP0上建一座花坛，造价为每平方米。元；在四个相同的矩形（图中

阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，

造价为每平方米40元.

EF

（1）设/。长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数表达式，并写出函数的定义域;

（2）若市面上花坛造价每平方米225元，求总造价S的最小值，并求此时花坛的造价.

【题型三指对塞函数模型】

一、解答题

1.（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量W进

行监测.第一次监测时的总量为%（单位：吨），此时开始计时，时间用t（单位：月）表示.甲经过一段时

间的监测得到一组如下表的数据：

"月02816

坟/吨2.04.06.07.0

为了研究该生物总量w与时间t的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达卬与t的变化关

系：

①w=c"+dw0；@w=bloga（Z+1）+w0（a>0Ha1）.

（1）请根据表中提供的前2列数据确定第一个函数模型的解析式；

（2）根据第3,4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量卬由“翻一番时经过了2

个月，根据你选择的函数模型，若总量卬再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：1g3yo.48,

lgl7»1.23）

2.（23-24高一上•四川泸州•期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细

菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）

与培养时间x（单位f小时）的关系为：

X23691215

y3.23.53.844.14.2

根据表格中的数据画出散点图如下:

4y（百万个）

4-.,•

7.・

6>|23691215x（/J^）

为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：@y=m\og3x+n,

@y=myJx—3+n,③y=2v-m+n.

（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达

到5百万个.

3.（24-25高一上•上海•课堂例题）声音强度。（分贝）由公式。=10眩［正市J给出，其中/（W/cm）为声

音能量.能量小于lOFw/cn?时，人听不见声音.强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听

力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性

失聪.

⑴求/TOFw/cn?时的声音强度；

（2）求噪音的能量范围；

（3）当能量达到多少时，人会暂时性失聪？

4.（23-24高一上•广东揭阳•阶段练习）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的

水质.省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019

年2月底测得蒲草覆盖面积为36m,2019年3月底测得蒲草覆盖面积为48m°,蒲草覆盖面积N（单位：

m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=上优（左＞0,。＞1）与y=加f+〃（加＞0）可供选择.

⑴分别求出两个函数模型的解析式；

（2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为20^2,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少

到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过810m2?（参考数据：lg220.30,1g3go.48）

5.（23-24高一上・河南•期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观

察，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用》表示此病毒的数量，单位为万个,

（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个?

参考数据：V522.236,V6a2.449,lg2〜0.301,lg620.778.

X压轴能力测评♦♦

一、解答题

1.（24-25高一上•湖北•阶段练习）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为

了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每

1Ox2+100x,（0<x<40）

生产X（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且C（x）=L“8100Q，由市场调

804x+---------13000,（x240）

研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2023年的利润£（》）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量x售价一成本）；

（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.

2.（22-23高一上•福建厦门•期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分,

搭载神舟十五号载人飞船的长征二号尸遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十

五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量x（单位：kg）是箭体质量M

（单位：kg）和燃料质量入（单位：kg）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v

（单位：km/s）和x的函数关系是v=alnx+61nA/,其中d6为常数，且当燃料质量为0kg时，火箭的最

大速度为Okm/s.已知某火箭的箭体质量为"kg,当燃料质量为（e2-l）"kg时，该火箭最大速度为4km/s.

（1）求该火箭的最大速度v与起飞质量x之间的函数关系式；

（2）当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8km/s?

3.（23-24高一上・吉林・期末）茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋

代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料（茶叶、咖啡和可可）之一，并将成为21世纪的饮料大王.中国茶

文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是

To℃,空气温度是7ZC,那么ftnin后物体的温度7（。（单位：°C）可由公式7（。=（4求得,

其中先是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是9（TC,放在室

温20。（2的环境中自然冷却，10分钟后茶水的温度是55。€\

（1）求左的值；

（2）经验表明，当室温为25。12摄氏度时，该种普洱茶用85。（2的水泡制，自然冷却至65笛时饮用，可以产生

最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为25°C时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

（结果精确到0.1）

（附:参考值ln2a0.7,ln3el.l）

4.（24-25高一上•广西柳州•阶段练习）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类

制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至

2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业积极响应国家垃圾分类

号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.

已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为loo吨.日加工处理总成本y（单位：元）与

日加工处理量尤之间的函数关系可近似地表示为y=gx2+40x+3200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化

工产品的售价为100元.

（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余

垃圾处于亏损还是盈利状态？

（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种.

①每日进行定额财政补贴，金额为2400元；

②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x.

请分别计算两种补贴方式下的最大利润，如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴

方式进行补贴？为什么？

5.（22-23高三上・安徽亳州•阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如

桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽亳州的诗句，亳州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.亳州自商汤

建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了亳州医药

的发展，到明、清时期亳州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.亳州建有全球规模最大、设施最

好、档次最高的“中国（亳州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校

数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年

的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价M（x）（单位：元/千克）与第x天

（l<x<3O,xe2V*）的函数关系满足M（X）=£+20（左为正常数）.该中药材的日销售量N（x）（单位：

千克）与x的部分数据如下表所示：

X4102030

N(x)149155165155

已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价x日销售量）

（1）求后的值;

（2）给出以下四种函数模型：①N（x）=a、+b,@N（x）=a{x-2^+b,③N（x）=a|x-20|+6,④

N（x）=elog/,请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日

销售量N（x）与尤的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入/（x）（单位：元）的最小值.

6.（23-24高一上•四川南充•阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型

一：若用水量不超过基本月用水量an?,则只付基本费8元和损耗费c元（c<5）；若用水量超过基本月用

水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按b元/n?进行付费；模型二：用函数模型了=上加-9+〃

（其中左，m,〃为常数，加>0且机W1）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量x（m3）的函数关系.

已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为9m3,15U?和21m工支付的费用y分别为9元，19元和31元.

（1）写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量x（n?）的函数解析式；

（2）写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量x（n?）的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型

哪个更合理？

7.（23-24高一上•重庆九龙坡•阶段练习）为研究一款额定功率是1.5kw、自带水温显示的电动热水壶的加

热效果，在壶中水温从加热之初的室温10℃升至10（F