函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】（解析版）-2025年高考数学题型重难点专项突破

热点专题2-2函数单调性与奇偶性15类题型全归纳

近4年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年新高考I卷，第6题,5分近几年的高考情况来看，函数

借助函数图象，会用符

2024年上海卷，第4题,5分的单调性、奇偶性、是高考的

号语言表达函数的单调

一个重点，需要重点关注，与

2023年新高考I卷，第4题,5分

性、最大值、最小值，理

函数图象、函数零点和不等式

2023年新高考H卷，第4题,5分

解它们的作用和实际意义

相结合进行考查，解题时要充

2023年新高考I卷，第8题,5分

分运用转化思想和数形结合思

2022年新高考n卷，第6题,5分

想

2021年新高考I卷，第6题,5分

模块一1热点题型解读(目录)

［题型1］函数的单调性..........................................................2

【题型2】复合函数单调性的判断................................................4

【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围...................................6

【题型4】利用单调性求最值或值域..............................................10

【题型5】由单调性求参数的范围.................................................11

【题型6】结合单调性解函数不等式..............................................13

【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值......................................15

【题型8】函数的奇偶性的判断与证明............................................17

【题型9】函数图像的识别.......................................................23

【题型10］利用单调性，奇偶性比大小...........................................26

【题型11】已知函数的奇偶性求参数.............................................28

【题型12］解奇函数不等式......................................................33

【题型13］解偶函数不等式......................................................36

【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题...................................39

【题型15］存在任意双变量问题42

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】函数的单调性

基础知识

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（X）的定义域为A,区间£）04：

如果对于£）内的任意两个自变量的值不，/当不＜X2时，都有/'（网）＜/（彳2）,那么就说了（X）在区间

£）上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值不，尤2，当天1＜彳2时，都有/'（占）＜/'（X2），那么就说/（X）在区

间。上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量玉，%且％＜工2；

③都有/津）＜/（无2）或③再）＞F（无2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数/（%）在区间。上

具有单调性，。称为函数“X）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）几条常用的判断单调性的结论：

①若/（幻是增函数，则--（无）为减函数；若/（x）是减函数，则-/（无）为增函数；

②若于（x）和g（x）均为增（或减）函数，则在/（尤）和g（x）的公共定义域上/（%）+g（x）为增（或减）函数；

③若/（幻＞。且/（x）为增函数，则函数"后为增函数，人为减函数；

④若/（尤）＞0且/（无）为减函数，则函数J府为减函数，；为增函数.

L（2024•安徽蚌埠•模拟预测）下歹屈数中,满足“对任意的2e（。《）,使得胃口

成立的是（）

A./(x)=-x2-2x+l

B.f(x)=x--

X

C.f(x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【答案】A

【解析】根据题意，”对任意的菁,％e(0,+oo),使得"为)则函数y(x)在(0,+oo)上为

x1-x2

减函数.

对于选项A,/(X)=-X2-2X+1,为二次函数，其对称轴为x=-l,在(0,+⑹上递减，符合题意；

对于选项B,/(x)=x--,其导数/'(x)=l+3，所以/(x)在(0,+8)上递增，不符合题意；

XX

对于选项C,/(x)=x+l为一次函数，所以/(X)在(0,+8)上递增，不符合题意；

对于选项D,由复合函数单调性“同增异减''知，/(x)=log2(2尤)+1在(0,+co)上单调递增，不符合题

意.

【巩固练习1］已知函数/(X)的定义域为R,贝『"(x+l)>/(x)恒成立”是“函数/(x)在R上单调递

增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】函数“X)为R上增函数nVxeR,f(x+r)>f(x),反之不成立，即可判断出结论.

【详解】函数"X)为R上增函数nVxeR,/(x+l)>/(x),反之不成立，

例如定义A”)在(0J上,f(x)=-x,且在R上满足在(x+l)=/(x)+l,则有，

“/(x+l)>/(x)”是“函数/(X)为增函数”的必要不充分条件.

【巩固练习2】(2024•陕西榆林•一模)已知函数〃尤)在［0,+。)上单调递增，则对实数。>0,6>0,

是"(。)>/修)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为函数/(X)在［0,+8)上单调递增，且。>0,6>0,

由增函数的定义可知，当.>万时，有/(。)>/0)，

充分性成立；当时，若”=6,由函数定义可知矛盾，

若a<b,由函数单调性的定义可知矛盾，则。>6,必要性成立.

即对实数〃〉0,b〉0,“4＞人”是“/(〃)＞/⑻”的充要条件.

【题型2】复合函数单调性的判断

基础知识

复合函数的单调性：“同增异减”

判断复合函数y=/［＜?(%)］的单调性的步3聚，

第一'步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。

第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u二g(x)。

第三步：分别确定这两个函数的单调性。

第四步：用"同增异减"判断函数y=/［g(x)］的单调性

同增异减”的意思如下图:

u=g(x)y=f(u)y=f芭(切

增增增

增减减

减增减

减减增

2.函数＞三_r的单调增区间为()

O—JX—X

A.「A"B,16,；

C.—|,1］和(1,+00)D.(-00,-6)1

【答案】C

【分析】令/=-5x+6,根据二次函数的性质求出f的单调区间，再由复合函数的单调性即可得

函数的单调增区间.

【详解】设，=一/-5x+6,则有xw-6且xwl,

t=-x2-5x+6=-(x+-)2+—,贝|/e(_8,0)lO,—,

所以函数,=-----——^的定义域为：{%|%工一6且工。1},

6—5x—x

由二次函数的性质可知，的单调递增区间为：(-8,-6),1-6,-g；单调递减区间为：-1,1］和(1,+s)；

又因为y在区间(-8,0)和(0,+8)上单调递减，

j和(1,+=°).

由复合函数的单调性可知：函数y=7----------的单调增区间为:

6-5x-x

3.已知/'(x)=8+2x--,若g(x)=/(2-x2),则g(x)()

A.在区间(-1,0)内是减函数B.在区间(0,1)内是减函数

C.在区间(-2,0)内是增函数D.在区间(0,2)内是增函数

【答案】A

【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.

【详解】，。)=8+2工-，在(_8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

r=2-Y在(_8,o)上单调递增，在(0,+“)上单调递减，根据复合函数的单调性：

当xe(ro,-l)时，re(-oo,l),函数单调递增；

当xe(-l,0)时，re(l,2),函数单调递减；

当xe(O,l)时，re(l,2),函数单调递增；

当时，re(-8,l),函数单调递减

【巩固练习1】函数/(X)=，)42>8的单调递增区间是()

A.(-oo,l)B.(-oo,-2)C.(4,+oo)D.(l,+oo)

【答案】A

【解析】函数=的定义域为R,函数a=f-2x-8在(-8』)上单调递减，在。,+«)单

调递增，

而函数y=(g>在R上单调递减，因此函数/(x)在(-吟1)上单调递增，在(1,y)单调递减，

12

所以函数/(X)=(万厂0-8的单调递增区间是(-8,1).

【巩固练习2】函数y=ln(d-2x)的单调递减区间是()

A.B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,+8)

【答案】C

【解析】由y=ln(尤2-2X),

x2-2x>0,解得x<0或x>2,

所以函数y=ln(x2-2x)的定义域为(-8,0)(2,+8),

令"=/-2x,则函数"=/一2%在(-8,0)上单调递减，在(2,+s)上单调递增，

而函数y=In"在(0,+8)上为增函数，

由复合函数单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-8,0).

1

【巩固练习3]函数/(%)=的单调递减区间是(）

J）」-8x+15

A.(-oo,3)B.(3,4]C.(5,+oo)D.（4,+oo）

【答案】C

【解析】由/(%)=/可得=一8%+15〉0,

7x—8x+15

解得尤<3或x>5,

由,=必一8%+15图象的对称轴为1=4,

则y=必一8%+15在[4,+oo)上单调递增，

故"X)二百士K

的单调递减区间为(5,+8)

【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围

基础知三]

函数/(x)=,在R上为增函数，贝U：

①S(X)在(ro,m]上单调递增；②，(X)在O,+8)上单调递增；③

s(x)xGm

函数/(x)=,一，在R上为减函数，贝h

[/(%),%>m

①5(%)在(Y0,汨上单调递减；②/(%)在(租,+8)上单调递减；③SO)2,O).

—X——ClY<"0

4.(2024新高考1卷真题)已知函数为/(尤)=x,八’八，在R上单调递增，则。取值的

炉+ln(x+l),尤20

范围是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.L-1,1]D.[0,+8)

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为〃x)在R上单调递增，且尤20时，/(x)=e'+ln(x+l)单调递增，

-—^—>0

则需满足J2x(-1),解得

-«<e°+In1

即〃的范围是[T,0].

|丫2।丫<1

5.(2024•陕西商洛•一模)已知函数/(%)=:、二-।是定义在R上的增函数，则。的取

\(3—a)x+2,x>1

值范围是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

—x2+2ax,x<1

【解析】因为/(©=]是定义在R上的增函数,

[(3-6Z)X+2,X>1

>1

-2

所以，3-a>0,解得lWa42.

—1+2a«3—〃+2

6.已知〃x)=j(-十叫的值域为R，则。的最小值为(

A.0B.2C.-D.1

4

【答案】D

【分析】首先判断。>0,再分0<aV2和。>2两种情况讨论，求出。的取值范围,即可得解.

/、[ax-\Ax<d)

【详解】因为小)=[(>2)2,ga)的值域为R，

-l,(x<0)

当a=0时/(%)=(一),刈，显然值域不为R,故舍去;

当Q<0时函数y=依一1(%<。)单调递减，即—

又>=(工一2)220,函数“X)的值域不为R,故舍去；

所以Q>0,

此时当工<〃时f^x)=ax-\,函数单调递增，

又函数y=(1-2)2在(-00,2)上单调递减，在(2,+00)上单调递增，且尤=2时y=。，

当0va<2时，只需满足!”-1-°,解得l«a<2,

0<6Z<2

当a>2时，只需满足1一1""一2),解得°>2,

a>2

综上可得aNl,即[的最小值为1.

/、\(a-2)x+4a-6,x<l—―

【巩固练习1】已知函数〃x)=j：，+2x>]满足对于任意的不，超(5二马)都有

/(%)一/(%)>。成立，则实数。的取值范围是()

【答案】B

/(X)-/(%)_

【解析】根据题意，对于任意的国,％2(%。%2)都有----------->。成立

X]—x2

/、{(a-2)x+4a-6,x<l

贝“函数/(x)=r>+2]>]在R上是增函数

。—2>0

：.<a>1,解得

(a—2)x1+—6Ka1+2

（2«-3）x+2,x<1

【巩固练习2]已知函数/(%)=<a1是R上的减函数，则。的取值范围是(

一,x>I

33

A.0<a<一B.IWa<—

22

3।3

C.0<〃W—D.I<（2<—

22

【答案】B

(2〃-3)X+2,N〈I

【解析】由于函数/(%)=<a是定义在R上的减函数,

一,%>I

所以，函数y=(2〃-3)x+2在区间(-00可上为减函数,

函数y=3在区间(L+8)上为减函数，且有(2a-3)+22a,

x

2a—3<0

33

即Q>0,解得l〈a<一.因此，实数。的取值范围是1,-

2a-\>a2L2

2m、

Y-I------—--3X〉Iq

【巩固练习3】已知函数/(幻=〈■X'一在R上单调递增，则实数机的取值范围为(

(4+m)x-9,x<l

A.[-3,2)B.[-3,2]C.(-3,2)D.[-2,3]

【答案】B

【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求

解.

JQ_|--2--m-----3-Y>-]

【详解】因为函数〃尤)=x'一，在R上单调递增，

(4+m)x-9,x<I

2m—3

当2机—3<0时，由于丁=%和>=-----均在犬21单调递增函数，

x

故/（%）=%+2m3在x21上单调递增,

X

1+2m-3>4+m-9

3

所以4+m>0,解得一3«相<一,

2m-3<0"

当2帆-3>0时，根据对勾函数的性质可知，若/（%）在上单调递增,

N21n-3<1

贝1卜2加一3>0,解得万<相42,

1+2m—3>4+m-9

\x,x>l

当2旭-3=0时，m=~,此时/（幻=11,显然满足/（X）在R上单调递增,

2——X-9X<1

129

综上，—3WmW2.

【巩固练习4】已知函数/（%）=x',若/（尤）的值域为[2,6],则实数c的取值范围是

X2-2x+3,c<x<3

（）

A.-l,-4B.-1，0C.[-1,0）D.—1，—《

_4」4J2_

【答案】A

【分析】首先分析函数y=2%+3的取值情况，从而判断c«l,再结合2c+3<6得到-IWcWl,

再分OKcWl和—1WcvO两种情况讨论，当一1VcvO时结合函数y=-'+2在（一8,0）上的单调性，

x

得到-』+2W6,从而求出c的取值范围.

C

【详解】对于函数y=x,—2了+3=（尤一1）2+2,当x=3时，y=6,当X=1时，y=2,

而-Lwo,即有-J_+2W2,依题意可得C«1,又02_2C+3W6,解得-IVCV3,

XX

所以-IWcWl；

当0<c<l时，函数/（x）在（F,0）上的取值集合为（2,+8）,不符合题意，

当一1<。<0,函数y=-一+2在（一oo,c）上单调递增，

x

11-----1-2461

贝]2<一—+2<一一+2,所以<c,解得一IVCV——，

xc[,八4

-l<c<0

所以实数c的取值范围是-1,-y.

4

—x+2,x<1

【巩固练习5］若函数〃x）=幺“＞］的值域为（0,+8）,则实数。的取值范围为（）.

、尤，

A.（0,1］B.（-1,0）C.（1,+8）D.［L+8）

【答案】D

【分析】求出函数/（%）=-元+2在（-8,1）上的值域，由已知可得函数在［L+OO）上的值域包

X

含（0,1］,再列出不等式求解即得.

【详解】当］＜1时，函数/（%）=-%+2在（—8,1）上单调递减，/（%）在（-8,1）上的值域为（1,+00）,

因为函数于（X）在R上的值域为（0,+8）,则函数/（X）=£在［1,+«）上的值域包含（0,1］,

显然。＞0,否则当X21时，-＜0,不符合题意，

X

于是函数/（无）=9在口,"）上单调递减，其值域为（。㈤，因此（0,1］=（。,风则

所以实数。的取值范围为［1,+8）.

【题型4】利用单调性求最值或值域

基础知识

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结论：

1、如果函数'=/（%）在区间（a，b］上是增函数，在区间\b,c）上是减函数，则函数y=/（x）（xea，c）

在元=｝处有最大值/S）.

2、如果函数'=/（*）在区间（。，句上是减函数，在区间屹，c）上是增函数，则函数丁=/（尤）（％£々，c）

在元二b处有最小值/（〃）.

3、若函数V=/（尤）在［。，句上是严格单调函数，则函数y=/O）在［。，加上一定有最大、最小值.

4、若函数y=/。）在区间3,勿上是单调递增，则y=的最大值是/3）,最小值是了⑷.

5、若函数丁=/（兀）在区间［。，切上是单调递减，则y=的最大值是/⑷，最小值是/S）.

7.（2024.江西上饶.一模）.函数段）=-x+［在［―2,—刍上的最大值是（）

op

A.-B.--C.-2D.2

23

【解题思路】由题可知#%）在［-2,一寸上是减函数，从而可求出其最大值

【解答过程】解：因为函数丫=一％和y=：-1在［一2,一-寸1上均为减函数，

所以危)在［-2,一勺上是减函数,

・••府)max=/1-2)=2甘,

【巩固练习1】当xe0，U"+co］时，则函数y=勺值域为()

)8-5%

A.(fO)B.

C.(-oo,0)u；，+°0)D.

【答案】C

【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.

【详解】令8—5x=/,因为,所以％£(°，8］5-0°,。)，

o1

当te(0,8］时，函数/⑺=：单调递减，故〃。2〃8)="

当re(-oo,0)时，即r<0,所以/(。=：<0,

所以函数的值域为：(-°o,0)U—,+ooj.

【巩固练习2】已知函数/(x)=f-2x,xe［2,5］,则函数的最大值为()

A.15B.10C.0D.-1

【答案】A

【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.

【详解】函数解幻=炉-2%在［2,5］上单调递增,则“幻网=『(5)=52-2x5=15,

所以函数/(x)的最大值为15.

【题型5】由单调性求参数的范围

基础知识

若已知函数的单调性，求参数。的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不等式,

利用下面的结论求解.

1、若1>/(%)在［加，川上恒成立=在［加，川上的最大值.

2、若av/(x)在［加，网上恒成立oa</(x)在O,2上的最小值.

8.若函数〃x)=(f2+6x-5)在区间-2,加+2)内单调递增，则实数机的取值范围为(

2

一51「57|「5』「5八

A.—,+°°B.不3C.—,2D.；,2

L3)[3」[3」L3)

【答案】D

【解析】由已知得-尤2+6x—5>0,解之得xe(l,5),即的定义域为(1,5),

又/■(x)在区间(3机-2,〃?+2)内单调递增，根据复合函数的单调性,

3m—2>3解得gw根<2.

可得:

3m—2<m+2<5

9.(2024•广东佛山•二模)已知。<。<1且awg,若函数/(x)=Zlog/Togz/在(0,+8)上单调

递减，则实数。的取值范围为()

A.(―,—)B.(0,—)C.(,—)1(―,1)D.(0,4)(]」)

【答案】D

”、21nxInx2In2tz-Intz,In4a,

【解析】依题意,j(x)=-----------=------------lnx=-----------In],

In(2InlaIna•(In2a)Ina•(In2d)

显然函数y=ln尤在(0,+s)上单调递增，而函数,⑺在(0,+8)上单调递减，

In4a八、[lna<0111

因此---n一、一°,而0<a<2〃<4。，则1114〃<0或〈日八，解得0<a<—或一<〃<1,

Ina•(In2a)[In2a>042

所以实数。的取值范围为(0,3u(L1).

42

【巩固练习1】(2024•广东揭阳•二模)已知函数/(%)=-/+3+1在(2,6)上不单调，贝布的取值范

围为()

A.(2,6)B.(―co,2]U[6,+oo)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.

【解答过程】函数“X)=—/+a尤+1的图象对称轴为刀=/依题意，2<]<6,得4<a<12,

所以a的取值范围为(4,12).

【巩固练习2】(2023•天津河北•一模)设a€R,则“a>-2”是“函数/(无)=2/+4ax+1在(2,+8)

上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，

即可得到结果.

【解答过程】函数/(X)=2x2+4ax+1的对称轴为x=—a,

由函数f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上单调递增可得-a<2,即a>-2,

所以“a>—2”是“函数f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上单调递增”的充分不必要条件.

【巩固练习3]已知函数/(》)=加+》_3,若对任意的工,%€工+8),且百/马，/(%)_/(%)<3恒

%一％2

成立，则实数〃的取值范围是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.(-Qo,0)D.(-Qo,0]

【答案】D

【分析】不妨设g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,由题分析可得函数g(%)在口,+(x))上单调

递减，讨论。=0和〃W0时，要使g(%)在口依)上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.

【详解】不妨设1K%<%2,则玉-工2<0,根据题意，可得〃石)一/(%2)>3(石一%2)恒成立，即

)-3^>〃无2)-3%恒成立.令g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,

则g&)>g(X2)恒成立，所以函数g(%)在口,+°°)上单调递减.

当〃=0时，g(x)=-2x—3在[1,+co)上单调递减，符合题意；

当awO时，要使且(%)=奴2一2%一3在口,+8)上单调递减，

a<Q,

则<-2解得a<0.

一丁(1，

、2a

综上所述，实数〃的取值范围是(-8,0].

【题型6】结合单调性解函数不等式

基础知识

求解函数不等式时，由条件去掉“了"，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域.

的X的取值范围是()

(33

【答案】D

【分析】由已知有0W2x-l<§,即可求取值范围.

【详解】因为函数f(x)是定义在区间［0,+8)上的增函数，满足/(2x-l)</

112

所以0V2x—l<§,

11.已知函数以支)=(—_3：Y；T-：2，丫：V；0，则不等式/(a)>/(3a—4)的解集为()

VX十3XNU

5

A.(_g+8)B.(2,+8)C.(—00,2)D.(_8,_j)

【解题思路】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式.

【解答过程】根据题目所给的函数解析式，可知函数/(%)在(-8,+8)上是减函数,

所以a<3a—4,解得a>2.

【巩固练习1】已知函数“X)是定义在［0,+⑹上的单调减函数：若则。的取值

范围是()

【答案】D

11?

【详解】由已知042。一1<§,解得gWaV］

【巩固练习2】(2024.湖北武汉•二模)已知函数〃力=小|,则关于x的不等式〃2x)>〃l一x)的

解集为()

【答案】A

【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.

fY2Y>0

【详解】由"了)=无国=<；一,故”元)在R上单调递增，

-x,%<0

HU‘若〃2")>〃力则实数”的取值范围是()

【巩固练习3］已知函数/(%)=

A.(-0o,-l)j(2,+oo)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(r°,-2)(1,-KO)

【答案】D

【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.

【详解】因y=-/-4x为开口向下的二次函数，对称轴为x=-2,故函数在［0,+8）上单调递减；

y=1—4x为开口向上的二次函数，对称轴为x=2,故函数在上单调递减，且7（0）=0,因

f—尤2—4犬x>0/\

此函数/（%）=<2，—在R上单调递减，则/（2-4）>/（々）02-。2<〃0々2+［一2>。，即

［x-4x,x<0

（〃+2）（〃一1）>0,

解得a>1或av—2,

所以实数〃的取值范围是（r°,-2）（1,-H3o）

【巩固练习4】（23-24高三上•山东青岛•期中淀义在（0,+8）上的函数/（x）满足""三""）<。，

且"2）=4,则不等式〃x）-2x>0的解集为（）

A.（2,+co）B.（0,2）C.D.

【答案】B

【分析】根据题意可得函数△^在（0,+e）上单调递减，结合"2）=4可将不等式化为/H>小，

xx2

可得不等式解集为（0,2）.

［详解］根据定义域为（0,+8）且%<0可知召［!：）—

再一元2

f（x,）f（x2）

又占,马,所以对V为w（0,+co）,占无2<0恒成立;

%一工2

即可知函数y=4"在（0,+8）上单调递减；

X

又〃2）=4,可得*1=2,

不等式，（力一2%>。可化为小1>2=/^1,解得0<彳<2,

x2

可得不等式〃x）-2x>0的解集为（0,2）.

【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值

基础知识

使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间（或对称区间的子区间）上的

解析式.

解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量Z；

第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的Z的取值范围；

第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.

12.已知函数〃力,g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且〃x)+g(x)=f-x+1,则g(3)

的值是.

【答案】-3

【解析】因为/(x)+g(x)=f-x+1①，所以/(-x)+g(-x)=x2+X+1

由函数/(X),gQ)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，贝Ijf(x)=f(-x),g(x)=-g(-x)

所以/(尤)-g(尤)=X?+%+1②

则①-②可得：2g(x)=-2x,所以g(x)=-x

则g(3)=-3.

13.(2024.广东湛江.二模)已知奇函数=<八则g")=_______.

g(x)+l,x>0,

【答案】-X2+3^-1

【解析】当x>0时，—x<0,/(x)=g(x)+1=-/(-x)=-[(-x)2-3-(-x)J=-x2+3%,

贝Ig(x)=f2+3，-l.

14.(2024・海南•三模)已知函数/(乃为奇函数，g(x)为偶函数，且/(乃-g(x)=/,则*=()

2_i_-i2_1-1_2-12

A.二B.二C.yD.6

ee1+e"e

【答案】c

【解题思路】根据解析式，分别代入x=l和刀=一1,再结合函数的奇偶性，即可求解f(l)和g(l),

再求其比值.

【解答过程】取久=1得/(I)一g(l)=e①，取X=—1得了(一1)一9(-1)=[,

即—f(l)—g(l)=:②，①一②得2/(1)=e-5,①+②得—2g(l)=e+：,

所以*=二

。⑴1+e2

【巩固练习1】若定义在R上的偶函数和奇函数g(x)满足“尤)+g(x)=e",则g(x)的解析式

为g(x)=.

【答案】三匚

【解析】由题意得：/(-x)+g(-x)=e^,即〃x)—g(x)=eT①,/(x)+g(x)=e'②，②-①得:

2g(x)=e-e'解得:g(x)=

【巩固练习2】(2024・山西吕梁•一模)已知函数/(%)为定义在R上的奇函数，且当％Z0时，/(%)=

2X+%—1,则当％V0时，f(%)=()

A.2-x-x-lB.2-x+x+l

C.-2-x-%-1D.-2-x+%+1

【答案】D

【解题思路】根据奇函数的性质进行求解即可.

【解答过程】当％V0时，则一无>0,因为f(%)是奇函数，

所以/(第)=—/(-%)=-2~x4-%+1.

【巩固练习3】已知函数/(%)对一切实数x都满足/(x)+/(-x)=0,且当x<0时，〃x)=2f—x+1,

则"x)=.

-2x?-x-1,x>0

【答案】<0,x=0

2尤2-x+l,x<0

【解析】函数〃X)对一切实数X都满足/(x)+/(-x)=0,

所以“0)=0,

设x>0,则一x<0,/(-%)=2尤2+x+l,

又因为/(x)+〃—x)=。即/(力=一/(一力，

所以fM--2x2-x-1

—2x?—x—1,%〉0

所以/(%)=<°，%=。

2x2-x+l,x<0

【题型8】函数的奇偶性的判断与证明

基础知识

一、函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(无)的定义域内任意一个X,都有/(-%)=f(x),

偶函数关于y轴对称

那么函数/(X)就叫做偶函数

奇函数如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(T)=—/(X),关于原点对称

那么函数/(X)就叫做奇函数

二、判断奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(x)是偶函数o函数/(x)的图象关于v轴对称；

函数/(X)是奇函数O函数/(X)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=/(x)在％=0处有意义，则有/'(())=0；

偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(]xI).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称

的两个区间上单调性相同.

(5)若函数〃幻的定义域关于原点对称，则函数/(无)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.

记g(x)=+/(-%)],人(尤)=-/(-%)],则f(无)=g(x)+h(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得

的函数，如/(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)xg(x),/(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶土偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇；偶、(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/Tg(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

(l+

奇函数：①函数/(x)=m(S(x