函数的整点定点定值问题-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

第三章函数

重难点06函数的整点，定点，定值问题

（2种命题预测+5种题型汇总+专题训练+3种解题方法）

【题型汇总】

函数的整点，定点，定值，公共点问题

类型一函数的整点问题

【命题预测】若平面直角坐标系内的p点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”例如

点（4,1）、（3,-4）都是整点.在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等.一般来说，“整点问题”难

度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法，解这类题的关键是掌握通

法！

题型01一次函数的整点问题

函数已知，找整点个数根据整点情况求未知参数

第一步寻找已知函数图像上的整点作为边界分类讨论，找临界状态时未知参数的取值

点（线）

第二步准确画图，确定区域画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在

临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况

第三步关注是否包含边界上的整点关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围

注意事项规范作图，防止画图错误导致点错位找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以

的情况发生.找一个整点时的临界状态.

1.（2023年陕西省西安市高新一中中考六模数学试卷）已知一次函数y=2%+6,点A为其图象第一象限

上一点，过点A作&B1%轴于点B,点8的横坐标为2018,若在线段AB上恰好有2018个整点（包括端点），

则。的取值范围是（）

A.-2018<b<-2017B.-2019<b<-2018

C.-2018<b<-2017D.-2019<b<-2018

2.（四川省内江市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，

已知直线y=tx+2t+2（t>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，

的取值范围是（）

11

A.-<t<2B.-<t<1

22

C.1<t<2D.-<t<2Jl.t1

2

3.（2023年湖北省武汉市青山区武钢实验学校中考5月模拟数学试题）若平面直角坐标系内的点M满足横、

纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”，例如：P（l,0）、Q（2,-2）都是“整点”，四边形0ABe为正方形且B点

坐标为（20,20）,有4条直线y=心刀+生（>=1,2,3,4）,其中自，k2,fc3,%互不相等，则这4条直线在正

方形048C内（包括边上）经过的整点的个数最多是（）

A.81个B.80个C.71个D.70个

4.（2023年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试卷6）在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=kx-

l（k40）与直线x==-/c分别交于点A,B.直线久=一九与y=-/c交于点C.记线段4B,BC,4C围

成的区域（不含边界）为W;横，纵坐标都是整数的点叫做整点.若区域W内没有整点，则上的取值范围

是.

5.（2024年河北省邯郸市第十三中学中考模拟数学试题）如图，平面直角坐标系中，线段MN的端点为

M(15,26),N(—12,—10).

（1）求MN所在直线的解析式；

（2）设线段MN分别交x轴，y轴于4B两点，P（a,a+3）是平面直角坐标系中的一点.

①请判断点P是否可能落在线段MN上?说明理由；

②当点P在的内部（不含边界）时，求a的取值范围；

（3）点C（6,0）在x轴的正半轴上，连接CP.若直线CP使线段MN（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）

分布在它的两侧，且个数相同，序撰写出满足条件的整数a的值.

题型02反比例函数的整点问题

1.（2023年四川省乐山市犍为县九年级调研考试数学试题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标

为（―6,4）,，无轴于点8,已知双曲线y=：（k<0,x<0）把Rt△40B分成购、物两部分，且与2B、

分别交于点C、D.

-B

（1）连接。C,若4。4c=9,则点。的坐标为;

（2）若电内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与肌内（不含边界）的整点个数比为3:4,

则上的取值范围是.

2.（2024年河北省邯郸市中考三模数学试题）如图，双曲线y=^（%>0）经过点（2,2）和点“（4,n）,经

过双曲线上的点2且平行于0M的直线与y轴交于点以点4在点M左上方，设G为y轴、直线48、双曲线y=：

（久>0）及线段OM之间的部分（阴影部分），解决下列关于G（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都

为整数）的问题：

（1）G内整点的个数最多有个；

（2）若G内整点的个数为4,则点B的纵坐标曲的取值范围是.

3.（2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题）在平面直角坐标系xOy中，正方形04BC的边长为n（n

为正整数），点2在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上.若点M（x,y）在正方形。ABC的边上，且x,y均为整数，

定义点M为正方形04BC的“LS点”.

若某函数的图象与正方形。4BC只有两个交点，且交点均是正方形02BC的“LS点”，定义该函数为正方形

0aBe的“LS函数

⑴当71=1时，若一次函数y=kx+t(k*0)是正方形CMBC的“LS函数,,,则一次函数的表达式是(写

出一个即可)；

(2)如图2,当几=3时，正方形O4BC的“整点函数y=?(%>0)的图象经过BC边上的点。，与边4B相交于点

E,请直接写出小的值______.

(3)当n=4时，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点B.若该函数是正方形。4BC的"S函数”，求a的取值

范围；

4.(2024年湖北省荆州市中考二模数学试题)如图，直线3y=—异+并y轴交于点3与直线公丫二小

交于点A,双曲线y=>0)过点A.

(1)求反比例函数y=:的解析式；

(2)①若将直线。射线4B方向平移，当点A到点8时停止，则直线G在平移过程中与x轴交点的横坐标的取

值范围为;

②直接写出直线k与双曲线y=§(x>0)围成的区域内(图中阴影部分，不含边界)整点(横坐标和纵坐标

都是整数)的坐标.

5.(2024年广西南宁市第八中学六月初中毕业班适应性测试数学试题)生活中许多问题的解决既可以采用

“代数”的方法解决.也可以从“图形”的角度来研究.某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4,周长为

机的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系.小组成员进行了如下研究：

【问题探究】

（1）设矩形的长和宽分别为X,y,当血=10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽;

如果不存在，请你说明理由.

（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y=（（x>0）,从矩形的周长为10可得到y与x的函

数关系式为：」将满足要求的（x,y）可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标.观察图象可看出交

点坐标为一，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的.

（3）根据上述方法请直接写出机的取值范围

【拓展应用】

（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图2,函数y=1（%>0）的图象G经过点4（4,1）,直线/：

y=+b与图象G交于点8,与y轴交于点C.记图象G在点A,B之间的部分与线段04OC,BC围成

的区域（不含边界）为W.若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围.

题型03二次函数的整点问题

1.（2024年河北省邯郸市馆陶县中考二模数学试题）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛

物线G：丫=一/+2久+4与。2：、=0-巾）2（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能

是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐

标都是整数的点称为“整点”.

（1）抛物线y=/-2x-1与x轴围成的区域内（不包括抛物线和%轴上的点）整点有一个；

（2）若抛物线y=ax2-4ax+4a-3与％轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，

则a的取值范围是—.

3.（2021年江苏省扬州市江都区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的

点称为整点.若反比例函数y=：（k>0）与二次函数y=-4/+16x-12的图象在第一象限围成的封闭图

形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数k的取值范围为.

4.（2024年河北省石家庄市第十七中学中考二模数学试题）在平面直角坐标系久Oy中，抛物线y=x2-2x+

m-2.我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”.

⑴当m=—1时，

①求该抛物线的顶点坐标；

②求该抛物线与%轴围成的图形边界上的整点数

(2)若该抛物线与直线y=5围成的区域内(不含边界)有4个整点，直接写出m的取值范围.

5.(2024年河南省周口市沈丘县2校联考一模数学模拟试题)如图，抛物线y=久2+法+。的图象交%轴于

X(-l,0),B两点，交y轴于点C(0,-5),直线y=znx+n的图象经过点4,交抛物线位于第四象限的图象于

点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上一个动点，若点P与点C之间部分(含点P与点C)图象最高点和最低点纵坐标之差等于6时，

求点P的坐标；

(3)连接BD,若A48。内部(不含边)有7个整点(横、纵坐标都是整数的点叫做整点)，直接写出小的取值

范围.

6.(2023年安徽省合肥市庐江县中考二模数学试题)如图，直线=b和直线加y=x-b分别与y轴交于

点4,点、B,顶点为C的抛物线=-/+bx与x轴的右交点为点D.

(1)若4B=8,求b的值和抛物线L的对称轴；

(2)当点C在m下方时，求顶点C与爪距离的最大值；

⑶在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b=2023时“整点”的

个数.

类型二函数的定点问题

【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而

变化，图像变化过程中，有时始终会经过某个固定的点.定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好

定点问题的本质即可快速解决.

解题方法(以一次函数定点问题为例)：将一次函数化成+3=0(，”为参数F-:即

[3=0[y=b

经过的顶点坐标为(a,b).

1.(2023•黑龙江大庆•模拟预测)二次函数y=kx2-x-4k(k为常数且k丰0)的图象始终经过第二象限

内的定点4设点4的纵坐标为若该函数图象与y=ni在1<x<3内没有交点，贝味的取值范围是.

2.(2024年云南省昆明市中考二模数学试题)如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称

为确定的点，简称定点.比如点(1,2)就是一个定点.对于一次函数y=kx-k+3(k是常数，k0),由

于y=kx-k+3=k(比一1)+3,当x-l=0即x=l时，无论k为何值，y一定等于3,我们就说直线y=

kx-k+3一定经过定点(1,3).设抛物线y=mx2+(2-2m)x+m-2(6是常数，znH0)经过的定点为

点D，顶点为点P.

(1)抛物线经过的定点。的坐标是；

(2)是否存在实数小，使顶点P在x轴上？若存在，求出小的值；若不存在，请说明理由；

(3)当血=-凯寸，在y=kx+3的图像上存在点Q,使得这个点到点P、点D的距离的和最短.求k的取值范

围.

3.(湖北省十堰市实验中学名校教联体2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题)材料一：经过一

点(成。的直线解析式总可以表示为：)/=乂％-6)+1比如过一点(2,3)的直线解析式可以表示为：y=

fc(x—2)+3.

材料二:二次函数y=x2+bx+c的图象若与直线y=践有两点交点(/，门),(不，n)，则此二次函数可表示为：

y=a(x-xt)(x-x2)+n,我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；

(1)由材料一：直接写出直线y=+1)+8经过的定点坐标；

(2)由材料二：若二次函数丫=/+6%+<:经过(一1,8),(4,3),(5,8),试求该二次函数的解析式.(结果写

成一般式)

(3)若一次函数y=kx+/与(2)中的抛物线交于点(5,8),试用Z表示出另一交点的横坐标.

4.(2024年云南省初中学业水平考试模拟数学模拟预测题(二))已知抛物线:y=(m+1)/—(4m+l)x+c,

且c=4m(m#0).

(1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；

(2)抛物线y=(zn+1)/一(4m+l)x+c不经过第三象限，且经过点(一m,11m),若一元二次方程

4a&+竺。_2时

(ni+1)/-(4m+l)x+c=0的两根分别是a、b,求证：―~§——=2.

2a3卞+5ab+4a

5.(2022年山东省日照市中考数学试卷)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线产-/+2mx+3相，点A(3,

(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)证明：无论相为何值，抛物线必过定点D,并求出点。的坐标；

(3)在(1)的条件下，抛物线与y轴交于点氏点P是抛物线上位于第一象限的点，连接尸。交于点

尸。与y轴交于点N.设5=5«①酎一SABMN,问是否存在这样的点P,使得S有最大值？若存在，请求出点

尸的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由.

6.(2022年四川省成都市中考数学真题)如图，在平面直角坐标系％0y中，直线y=kx-3(k力0)与抛物

线y=—刀2相交于a,B两点(点4在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为9.

(1)当/c=2时，求4B两点的坐标；

(2)连接。4OB,AB',BB',若△828的面积与△04B的面积相等，求k的值；

(3)试探究直线是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

7.(2024年福建省三明市大田县部分学校中考一模数学试题)如图1,抛物线y=a/+bx+c的顶点为

P(1,O)，与y轴交于点C(o,—今，以点P为顶点作NMPN=90。，角两边分别与抛物线交于点M,N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,若PM=PN,求MN的长；

(3)判断直线MN是否经过定点并说明理由.

8.(福建省福州市鼓楼区福州立志中学2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题)已知抛物线y=

32—2£1%+£：与工轴交于4(一1,0)、B两点，顶点为尸，与y轴交于C点，且△ABC的面积为6.

(1)求抛物线的对称轴和解析式；

(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E,顶点。在原抛物线上，当四边形2PQE是平行四边形时,

求平移后抛物线的表达式；

(3)若过定点K(2,l)的直线交抛物线于M、N两点(N在M点右侧)，过N点的直线y=-2%+b与抛物线

交于点G,求证：直线MG必过定点.

9.(2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题)如图，抛物线y=a%2+故一3a与x轴交于4(-1,0),

B两点，与y轴交于点C(0,—3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点P在抛物线上，若tanNP4B=2，求点P的坐标；

（3）如图，直线y=kx+k+1与抛物线交于M,N两点，在抛物线上存在定点Q,使得任意实数k,都有NMQN=

90°,求出点Q的坐标.

类型三二次函数的定值问题

【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和（差）面积，比值等.利用二次函

数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选

取其中的变量（如线段长，点坐标），设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得

定值.

1.（2024・湖南・中考真题）已知二次函数y=-/+c的图像经过点人（一2,5）,点。（如光）是此二

次函数的图像上的两个动点.

（1）求此二次函数的表达式;

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点3,点P在直线48的上方，过点尸作PC，无轴于点C,

交A2于点D,连接4C,DQ,PQ.若%2=的+3,求证健变的值为定值；

(3)如图2,点尸在第二象限，*2=—2勺，若点M在直线PQ上，且横坐标为右―1,过点M作MN，无轴于

点、N,求线段MN长度的最大值.

2.(2023・四川绵阳•中考真题)如图，抛物线经过△40D的三个顶点，其中。为原点，4(2,4),D(6,0),点

产在线段4。上运动，点G在直线4。上方的抛物线上，CFIIAO,GE1。。于点E,交4。于点I,4H平分N02D,

(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；

(2)当点厂运动至抛物线的对称轴上时，求A4FH的面积；

(3)试探究詈的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由.

G1

3.(2022・四川巴中・中考真