函数的概念与性质专项复习（5大考点18种题型）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第一册）

函数的概念与性质专项复习

（5大必考点18种题型）

【考点1:函数的概念与表示】...................................................................1

【题型一：求函数的定义域】....................................................................3

【题型二：求函数的解析式】....................................................................3

【题型三：求函数的值域】......................................................................5

【题型四：分段函数】...........................................................................8

【考点2：函数的单调性及应用】...............................................................10

【题型五：判断函数的单调性】.................................................................16

【题型六：利用单调性求最值】.................................................................16

【题型七：利用函数的单调性解不等式】.........................................................20

【题型八：利用函数的单调性比较大小】.........................................................23

【考点3：函数的奇偶调性及应用】.............................................................28

【题型九：判断函数的奇偶性】.................................................................30

【题型十：利用奇偶性求参数值】...............................................................30

【题型十一：利用函数的奇偶性求解析式】.......................................................32

【题型十二：利用函数的奇偶性比较大小】.......................................................35

【考点4：嘉函数］............................................................................41

【题型十三：幕函数的概念】...................................................................43

【题型十四：塞函数的图象】...................................................................43

【题型十五：幕函数的性质】...................................................................45

【考点5：二次函数】..........................................................................52

【题型十六：求二次函数的解析式】.............................................................53

【题型十七：二次函数的单调性与最值】.........................................................54

【题型十八：二次函数与不等式恒成立、存在性问题】............................................55

【考点1:函数的概念与表示】

【知识点：函数的概念与表示】

1.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y=/(x),xGN中，x叫做自变量，x的取值范围N叫做函数的定义域;

与x的值相对应的j值叫做函数值，函数值的集合｛/(■叫*G㈤叫做函数的值域.显然，值域是集合5的子

集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)同一函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等

的依据.

2.常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)j=x°的定义域是｛x|x#0｝.

4.对于抽象函数定义域的求解

(1)若已知函数形)的定义域为［a,b］,则复合函数虑(x))的定义域由不等式aWg(x)W6求出；

(2)若已知函数危(x))的定义域为［a,b］,则/(x)的定义域为g(x)在加上的值域.

［易错提醒I

陆羲而(x)i颜比叉载招而至X的或值青氤…而示基g(x)的就面南面二

［方法技巧］解决已知定义域求参数问题的思路方法

5.求函数解析式的四种方法

由已知条件/(gG))=尸(%),可将"4)改

「写成关于g(%)的表达式，然后以与替代gG),

配凑法

便得了(%)的解析式

对于形如y=/(g(%))的函数解析式，令

法二行g(%),从中求出％=8(t),然后代入表达式

换元法求出/(力，再将£换成“，得到f(%)的解析式，

要注意新元的取值范围

■

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式

法三

的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，

待定系数法一

通过解方程(组)求出相应的待定系数

1'............./1、.................

法四-x)的表西可，;

I解方程组法「7可根据已知条件再构造出另外一个等式组成!

1---------二1:方程组，通过解方程组求出/G)i

6.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分

段函数.

7.分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

分段函数求值的解题思路

求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出

现加"))的形式时，应从内到外依次求值•

［方法技巧］

泵加殳函数百变量而宿战我围的元国

求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应

自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.

【题型一：求函数的定义域】

(24-25高一上•广东深圳•阶段练习)己知〃x)=43，则/"(x)的定义域为

1.

A/3-X

【答案】(x|x<3)且(XN1)/(-S,1)U(1,3)

【分析】考虑二次根式被开方数大于或等于0,分式的分母不为0,。的0次方无意义，列不等式组计算求

解即可.

x-\w0

【详解】由3—x20n%<3且xwl.

y/3—xw0

所以函数定义域为：{x[x<3且xwl}.

故答案为：{x[x<3且xwl}.

2.（24-25高一上•山东济南•阶段练习）已知片〃2x+1）定义域为（1,3],则kf（x+1）的定义域为.

【答案】（2,6]

【分析】根据3<2x+lW7可得3<x+lW7,即可求解.

【详解】由于y=/（2》+1）定义域为（1,3],故3<2x+lV7,

因止匕N=/（x+l）的定义域需满足3<x+l<7,解得2<xW6,

故y=/（x+l）的定义域为（2,6],

故答案为：（2,6]

3.（2025•河南信阳一模）已知不等式办2+（a+2）x+c>0的解集为{x|-l<x<2},则函数、=必至的

定义域为.

【答案】[0,2]

【分析】根据题意，得到-1和2是方程办2+（a+2）x+c=0的两个根，列出方程组，求得的值，得出函

数l4+2x，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由不等式G2+（a+2）x+c>0的解集为{x|-l<x<2},

可得-1和2是方程加+（。+2N+。=0的两个根，且。<0,

-1+2=二

a

则解得。=-1,。=2,所以函数>=y/—x2+2x，

-1x2=-

a

要使得函数y=J-x2+2%有意义,则满足_工2+2%20,

即x2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2,

所以函数、=必+CX的定义域为[0,2].

故答案为：[0,2].

4.（24-25高一上•广东东莞•阶段练习）函数y=I士忖的定义域是（）

X

A.[—2,2]B.（—2,2）

C.[-2,0）u（0,2]D.[-4,0）u（0,4]

【答案】D

【分析】由4-忖？0,且加0,即可求得结果.

f4-lxl>0

【详解】由题意得'，解得-4Wx<4且XHO,

|x片0

所以函数的定义域为[-4,0）。（0,4].

故选：D.

5.（24-25高一上,江西宜春•阶段练习）已知函数/（司=」办2-2姓+1的定义域为R,则实数。的取值范围

是（）

A.（0,1]B.（0,+功C,[1,+co）D.[0,1]

【答案】D

【分析】将问题转化为不等式ax?-2办+120恒成立问题，分类讨论。=0与aw0两种情况，结合根的判别

式得到不等式，从而得解.

【详解】因为/卜）=点=的定义域为R,

所以不等式办+120对任意的xeR恒成立，

当。=0时，120恒成立，满足题意；

>0

当QW0时，贝U人/2/解得0<。<1；

[A=4a-4a<0

综上，OWaWl,即。的取值范围是

故选：D.

【题型二：求函数的解析式】

1.（24-25高一上•天津滨海新•阶段练习）已知/（W+2）=x+l,则/（"=（）

A.x2-4x+5（x>2）B.x2-4x+3（x>2）

C.x2-4x+3(x>0)D.x2-4x+5(x>0)

【答案】A

【分析】由配凑法/(4+2)=x+l=(4+2『一4(&+2)+5和6+222即可得解.

【详解】因为/(6+2)=x+l=(4+2)2-4(五+2)+5,且«+222,

所以/(x)=r2-4x+5(尤22).

故选：A.

2.(24-25高一上•河北保定•阶段练习)完成下列问题：

⑴已知/(2X-1)=4X2+3,求/(x).

(2)己知f(x)是一次函数，且满足3/(x+l)+2/(x-l)=5x+16,求/(x).

【答案】(D/(X)=X2+2X+4

(2)/(x)=x+3

【分析】(1)利用换元法求解即可；

(2)利用待定系数法求解即可.

【详解】(1)令2x-l=f=x=—,所以有/(。=4：+3=r+2/+4,

所以/(x)=Y+2x+4.

(2)设/(x)=Ax+b,得/(x+l)=Ax+左+6,/(工一1)=Ax—左+6,

因为3/(x+l)+2/(x-l)=5x+16,

彳导3{jix+左+Z?)+2(kx—k+b)=5x+16,

整理得(5左一5)x+左+56—16=0,

,口J5左一5=0jk=l

得卜+56-16=()016=3，

所以/(x)=x+3.

3.（24-25高一上•天津和平•开学考试）（1）已知函数/（尤-l）=2x+5,求/（x）的解析式;

(2)已知〃x)-3((-x)=8x+2,求f(x)的解析式.

【答案】(1)/(x)=2x+7；(2)/(x)=2x-l

【分析】(1)直接对所求式子进行变形即可得解；

(2)由方程组法对所求式子进行变形即可求解.

【详解】(1)/(x)=/(x+l-l)=2(x+l)+5=2x+7；

(2)/⑴：/(x)-3/(r)+3["fA3/(x)]8x+2+3(-8x+2)：2、1

—8—8

4.(24-25高一上•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知函数;'(x)是一次函数，且满足了(x-l)+/(x)=2x-l.

⑴求/(x)的解析式;

(2)在⑴的条件下，求函数g(x)=/2(x)-2/(x)+2的解析式,并求g(7(2))的值.

【答案】⑴/(x)=x

(2)g(x)=x2-2x+2,g(f(2))=2

【分析】(1)利用待定系数法，结合题目中的函数类型以及所满足的等式，可得答案；

(2)将(1)的答案代入题目中的等式，可得答案.

【详解】(1)由题意可设/(力=区+6(910),代入/(X—1)+/(力=2无一1,

\k=\

贝左(x—l)+b+h+b=2x-l,整理可得2而一人+2b=2x—l,解得〈八，

[p=0

所以/(x)=x.

(2)由/(X)=JC,贝1|g(x)=x"—2x+2；

由"2)=2,贝iJg(〃2))=g(2)=22-2x2+2=2.

5.(24-25高一上•广西玉林•阶段练习)(1)已知/(x)是一次函数，且〃/(x))=9x+4,求〃x)的解析式;

(2)已知函数[(4+2)=X,求函数f(x)的解析式；

(3)已知函数了=/(x)满足/(x)+2/d)=x,求函数了=/@)的解析式；

X

x2

【答案】(1)/(x)=3x+l或/(%)=—3%-2；(2)/(X)=X2-4X+4(X>2)；(3)/(%)=--+—.

33x

【分析】(1)设〃力=丘+6化*0),可用待定系数法求解析式.

(2)令4+2=/,用换元法求解析式.

(3)将x换成[，得/d)+2〃x)=！，用解方程组法求解析式.

XXX

【详解】(1)设/(x)=Ax+b(后w0),贝！J/(/㈤)=无出+6)+6=/%+助+>=9x+4,

于是L[■左2=9A4,解得(k匕=31或L\k=-3

[kb+b=4[P=1[b=-2

所以/(x)=3x+l或/(%)=-3%-2.

(2)令+2=£,贝l]x=(%—2)2/22,于是/(%)=(f—2)2=r—4%+4,

所以/(x)=x2-4x+4,x>2.

(3)由/(x)+2/d)=无，得〃3+2/(X)=L

/(x)+2/(-)=x

,消去了(一)解得:

।y

/(-)+2/(x)=-x

x2

所以小)=丁春.

【题型三：求函数的值域】

1.(24-25高一上•福建漳州,阶段练习)函数了=-x2+2x+3(0VxW3)的值域.

【答案】[0,4]

【分析】先将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定区间找出函数的最大值和最

小值，从而确定值域.

【详解】将函数化为顶点式：^=-X2+2X+3=-(X-1)2+4,

抛物线的二次项系数为-1>0,所以开口向下.对称轴为x=1.

因为xe[0,3],所以当x=l时，y=4,取得最大值兀1ax=4.

当x=3时，J；=-(3-1)2+4=0,取得最小值几山=0.

函数的值域为[0,4].

故答案为：［0,4］.

2.(24-25高一上•重庆•阶段练习)函数y=x+VI=I的值域为()

99

A.(-<»,2]B.[2,+oo)C.—00,—D.

4

【答案】C

【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可.

【详解】根据题意知函数定义域为(-叫幻，令/=H4o,

所以y=x+=T2+/+2=+g,

19(9"|

当/三时，—"不所以函数的值域为心,a-

故选：C.

3.(多选)(24-25高一上广西玉林•阶段练习)下列函数中值域为［0,+⑹的是()

A.y=yfxB.y=x-2x+lC.^=--D.y=|x|T

【答案】AB

【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解.

【详解】对于A,函数y=4的定义域为［0,+8),值域也为［0,+9),A是;

对于B,函数了=--2x+l=(x-l)2定义域为R,值域为［0,+8),B是；

对于C,函数>的定义域为(-巩0)U(0,+S),值域为(-8,0)U(0,+S),C不是；

对于D,函数y=|x|-l的定义域为R,值域为［-1,+8),D不是.

故选：AB

4.(2024高一•全国•专题练习)求函数了=卫工工的值域.

X+X+1

【答案】［1,5］

【分析】根据分式函数的特点，因定义域为R,可将其化成关于%的一元二次方程恒有实根的情况，通过根

的判别式即可求得函数的值域.

13

【详解】因为一+》+1=。+5)2+1>0恒成立，故X6R,

则由了=：可得,。一2)x2+(y+l)x+y—2=0,

X+X+1

当夕=2时，x=0,适合题意；

当yw2时，由于XCR,故(y_2)x2+(y+l)x+y_2=0恒有实数根,

故△=3+1)2-4(一)220,解得5且尸2,

综上可得，y=-X+2的值域为"5].

X+X+1

5.(24-25高一上•广东中山•阶段练习)求下列函数的值域:

小4x2+4x+9八、

Wy=---------------(zx>0)

x

(2)y=x-2s/X+1

【答案】⑴[16,+8)

(2)[-2,+8)

【分析】(1)由基本不等式求出即可；

(2)设:工节，结合二次函数的性质求解即可；

/、*后4、,«、4x2+4x+9.9l~9.，/

【详解】(1)y=--------------=4x+—+4>2/4xx—+4=16,

XXA\X

当且仅当=9=：3时取等号，

x2

所以函数的值域为[16,+8),

(2)设，=Jx+1,Z>0,贝!Jx=/一1,

所以>=%—2&TT=»T-2"(”1)2—2,

所以值域为[-2,+8).

【题型四：分段函数】

x2-2x,x>-2

1.(24-25高一上•广东中山•阶段练习)已知函数/(%)=则/(〃-4))=()

x+3,x<-2

A.-1B.3C.-3D.24

【答案】B

【分析】由分段函数定义域范围直接代入计算即可；

【详解】由题意可得，当x=-4<-2时，4)=-4+3=-1,

当x=_]>_2时，/(-1)=(-1)2-2X(-1)=3,

所以-4))=3.

故选：B.

2.(24-25高一上•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知函数〃x)=「2Jc，则〃〃1))=

\2,x—x<U

A.14B.5C.1D.-1

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.

【详解】=

[2x-3x,x<0

.-./(l)=/(-l)=5,

，/(〃l))=〃5)=/⑶=〃1)=/(T)=5.

故选：B.

/、f2x+l,x<1

3.(24-25高一上•福建宁德•阶段练习)己如函数无)=2°।

(2)若求实数。的值;

⑶作出函数y=f（x）在［-2,2）区间内的图像.

【答案】⑴/(T=-IJ/=1：

（2）2或。

⑶图象见解析

【分析】（1）代入求值即可；

（2）分。＜1与。＞1两种情况，列出方程，求出实数”的值，去掉不合要求的解.

（3）根据分段函数解析式即可作出函数图象.

【详解】(1)易知/(-1)=一2+1=-1,//(；)=/(2'；+1]=/(2)=22-3=1

（2）当aWl时，2a+l=l,解得。=0,满足要求,

当时，/_3=1,解得。=2或。=一2（舍）

综上可得a=2或0

（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示:

-x2+20x-64,xG[3,12),

4.⑵-25高一上・安徽・阶段练习）已知函数一到+76,92,4。］.

⑴求/(〃10))的值;

（2）若实数。满足a275a+36＜0且/⑷=0,求。的值;

（3）求“X）的最大值.

【答案】（1）31

(2)4

（3）40

【分析】（1）由分段函数解析式代入计算，即可得到结果;

(2)由不等式可得3<a<12,然后代入计算，即可求得。；

(3)分别求得xe[3,12)与xe[12,40]时，函数/(x)的最大值，然后比较大小即可得到结果.

【详解】(1)H^l/(10)=-102+20x10-64=36,

则/(/(10))=〃36)=-36+76=31；

(2)由a。-15a+36<0可得3)(a-12)<。,解得3<a<12,

且〃。)=0,则-/+20.-64=0,解得。=4或a=16(舍).

(3)当xe[3,12)时，/(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,

当x=10时，/(x)有最大值，最大值为"10)=36；

当xe[12,40]时，/(x)=-x--+76=-|x+—L76<-2.%•—+76=-2xl8+76=40,

xVx)Vx

当且仅当X=^时，即x=18时，等号成立，则最大值为/(18)=40；

X

综上所述，当x=18时，〃尤)有最大值为40.

5.(24-25高一上•广东深圳•阶段练习)给定函数/(x)=x+l,g(x)=(x+l)2,xeR.

1尸

।।।111Illi

।।।111111Illi

LJ_L；51____I___J_____；5__J_L1J

111111Illi

111：4111：4Illi

111111Illi

111：3111：3Illi

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II|111______||||jlIlli»

-l'(9-i'o1112J3;4x

5位运jl；2：34x-5；-4-3：-2

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r-i—rr~\v-rr-\1

1111111

L1L_.?2.JLJ1____*___1_____-2_JLJJ

1I।Illi

111r3Illi

111Illi

：-41____1___i_____(4____1___1_____1___J

⑴在同一直角坐标系中画出函数/(无)，g(x)的图象;

(2)观察图象，直接写出不等式(x+l)2<x+l的解：

(3)VxeR,用M(x)表示/(X),g(x)中的较大者，记为加(力=0^]〃》)名")}.例如，当x=2时,

M⑵=max{/(2),g(2))=max{3,9}=9.请分别用图象法和解析法表示函数“⑴.

【答案】(1)图象见解析

(2)—1<x<0

(x+1)*,x<-1

(3)M(X)=<x+1,-1<x<0

(x+1)2>0

【分析】(1)根据函数/(x),g(x)的解析式即可作出图象;

(2)(3)结合图象即可求得答案;

【详解】(1)画出函数/(x),g(x)的图象如图:

(2)观察图象，可得不等式(x+l)2<x+l的角率为一l<x<0；

(3)结合(1)可用图象法表示M(x)如图:

由(X+1)2=X+1可得％=0或%=-1,

(x+l)2,x<-1

故M(x)=<x+l,-l<x<0.

(x+1)",x>0

【考点2：函数的单调性及应用】

【知识点：函数的单调性及应用】

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数小)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量X1，X2

定义

当巧<血时，都有加1)勺M),那么就说当巧今2时，都有鹤且皿，那么就

函数於)在区间与上是增函数说函数Ax)在区间D上是减函数

y=f(«)

y\/f^

图象描述

0W1i2Xo\_«2X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.单调区间的定义

若函数v=/U)在区间0上是增函数或减函数,则称函数y=/(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区

间D叫做函数y=/(x)的单调区间.

3.复合函数单调性的规律

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们

的复合函数为减函数.即“同增异减”.

4.函数单调性的性质

(1)若於)，g(x)均为区间4上的增(减)函数，则/(x)+g(*)也是区间N上的增(减)函数.更进一步，有增

+增增，增一减f增，减+减f减，减一增f减.

(2)若A>0,则相x)与外)单调性相同；若A<0,则破x)与/)单调性相反.

(3)在公共定义域内，函数y=/(x)(Ax)WO)与)=」-单调性相反；函数了=/日)(如)?0)与P=

心)

(4)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.

［易错提醒］

一一石漳福反商戛比交城画在「友茶蕈词反而前应疥泰比父嬴在Q嘀床近

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符

号“U”连接，也不能用“或”连接.

一［万法技司

香亍语示再要施脑法

［提醒］上述g(x)与"X)的值域应在外层函数外)的定义域内.

［易错提醒］

(i语函函至反商记一百王草词「而法西豪蓑应辰词而荏薄字反响王屯亮孽函嬴

(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

5.函数的最值

前提设函数八X)的定义域为/,如果存在实数"满足

对于任意XC/,都有

对于任意xG/,都有存在

条件/U)WM；存在沏右/，使得

xoe/,使得

结论Af为最大值M为最小值

6.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

7.利用函数的单调性求解函数最值的步骤

(1)判断或证明函数的单调性；

(2)计算端点处的函数值；

(3)确定最大值和最小值.

8.分段函数的最值

由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函

数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值

中的最小者作为分段函数的最小值.

［方法技巧］求函数最值的五种常用方法

方法步骤

单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值

图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

出最值

导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值

换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

【题型五：判断函数的单调性】

4

1.（24-25高一・上海•课堂例题）求函数＞=x+—的单调区间.

x

【答案】增区间:（-*-2）,（2,+8）,减区间：（-2,0）,（0,2）,

【分析】利用定义法进行取值、作差、因式分解最后分析正负即可.

【详解】任取再应e（-8,0）u（°，+8）,且再＜马，

4

•••/（%）=%+-,

X

_（%一工2）（占/一4）

二（再一工2）］-----二

x{x2

当再<马<一2时，xr-x2<0,xxx2>0,

（再一毛）（再七一4）〈0

xrx2>4,

xxx2

即〃再）-/（尤2）＜0=＞/（再）＜〃々），故“X）在（7,-2）上是增函数,

同理，“X）在（2,+⑹上是增函数，在（-2,0）上是减函数，在（0,2）上是减函数，

4

.•）=X+—的增区间:（_8,—2）,（2,+8）,减区间:（-2,0）,（0,2）.

2.（24-25高一上•全国•课堂例题）证明函数在区间（2,+8）上单调递减.

【答案】证明见解析

【分析】根据单调性的定义，即可作差求证.

【详解】证明:e（2,+℃）,且再＜%,

11_x-x（%一再乂9+川）

/(xi)-/(^2)=2x

；-4xf-4(%；_4)卜;_4)（片-9G一4）

因为2＜%＜%2，

所以马-%>0,Xj+x2>0,x；〉4,xf>4,

所以/(xJ-/(X2)>0,

即/（巧）>/（工2）.

所以函数/（x）=了匕在（2,+8）上单调递减.

—x2+2ax—4x<]

3.（24-25高一上•云南红河•阶段练习）已知函数/（x）=/八；一，满足对于任意实数X”/且看

^a-l）x,x>1

都有"再）一"々）>0成立，则a的取值范围是_________.

玉-x2

【答案】（1,4]

【分析】由条件可得函数函数/（X）为增函数，结合二次函数，一次函数及函数单调性的定义列不等式可得

结论.

【详解】由已知函数〃无）的定义域为R,

因为对于任意实数国逃2且、户々，都有「‘八2'》0成立,

再-x2

所以函数/'（X）为R的增函数，

z、—1?+2ax—4,xV1

又〃『（"1）21，

所以函数了=-/+2◎-4在（-8』上为增函数，

且函数V=（a-l）x在（L+8）上增函数，-l+2«-4<（z-l,

所以<7-1>0,a<4,

所以l<aW4,

所以。的取值范围是（1,4]

故答案为：。,4].

4.（23-24高一上呐蒙古巴彦淖尔•期末）已知函数/'（x+lbT――

X十/X十/

（1）求/（X）的解析式；

⑵判断/（X）在（0,+8）上的单调性，并根据定义证明.

【答案】（1"（X）=±

⑵/（x）在（0,+纥）上单调递减，证明见解析

【分析】（1）由配凑法可得函数解析式；

（2）根据函数单调性的定义证明即可.

【详解】（［）因为/（x+l）=；―、:，

（X+1）+1

所以〃》）=£•

（2）“X）在（0,+8）上单调递减.

证明如下：

令0＜%＜%2，则％2-玉＞0，

）一f（x}=_I______1=（%2+%1）（工2-%1）:

“J/（J一亦而-卜；+加；+1），

即/（%）＞/（工2），

所以〃x）在（0,+司上单调递减.

5.（2024•山东济南•三模）已知函数/（x）=x+‘，且/⑴=2.

X

（1）求加的值；

（2）判断函数“X）在（1,+⑹上是增函数还是减函数，并证明.

【答案】⑴1

（2）增函数，证明见解析

【分析】（1）将/（1）=2代入函数求值即可；

（2）利用单调性的定义判断即可.

【详解】（1）•••/（1）=2,

:A+m=2

:.m=\

（2）函数为增函数，证明如下：

设再、Z是（1，+8）上的任意两个实数，且1＜占＜》2,

则/（为）-/（、2）=再+---X2+—

Xl<X2）

=再-x2+-...-

x,—x?

=xx-x2——------

XxX2

1石工2）

当1<玉〈工2时，X\X2-1>0,玉一々〈O,

从而/（芭）-/（工2）<。，即/（七）</（七），

・•・函数/'（x）=g+x在（1,+8）上为增函数.

6.（2024高三•全国•专题练习）函数/（尤）的定义域为（0,+8）,且对一切x>0/>0都有

d=/（x）-/3,当X>1时，有〃x）>0.

⑴求/⑴的值；

（2）判断f（x）的单调性并证明；

【答案】⑴0

（2）/（力在（0,+纥）上是增函数，证明见解析

【分析】⑴令x=〈=i,代入巾］=〃x）_/3可求/⑴;

（2）设0<玉<工2，由/（马）_/（占）=/1>0

，得/（%）>/（*）,可证/'（X）在（0,+力）上是增函数.

【详解】（1）"1）="，=/⑴-〃1）=0.

（2）/（x）在（0,+纥）上是增函数.

证明：设0<±<%，贝IJ由/二，/卜）-/5）,

得〃xJ=W，

因为强＞1，所以/卫＞0.

玉

所以/(々)-/(再)＞0,即/(切＞/(%),

即“X)在(0,+纥)上是增函数.

【题型六：利用单调性求最值】

1.(多选)(24-25高一上•广东深圳•阶段练习)已知函数7'(x)=一，下列选项正确的是(

x-6

A.若/(x)=2,贝i]x=14

B.函数/(x)在定义域内是减函数

C.若x«2,8]时,则/(x)的值域是[T5]

D.若xeN,则函数/(x)有最小值也有最大值

【答案】AD

Q

【分析】求得函数/(x)=l+-7的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可.

x-6

【详解】对于A,由/(x)=2,可得号=2,解得x=14,故A正确；

x-6

对于B,/(x)=号=1+—的定义域为(-叱6)U(6,+⑹,

x-6x-6

所以/(X)在(-8,6)上单调递减，且

所以/(X)在(6,+8)上单调递减,且/(力＞1,

故"X)在(F,6)U(6,+CO)上不是单调函数，故B错误；

对于C,由B可得，当xe[2,6)时，/(x)＜/(2)=-l,

当尤w(6,8]时,/(x)＞/(8)=5,所以〃无)的值域是(-叫T35,+8),

当x=6时，/(无)无意义，故C错误；

当xeN且xe[0,6)时，-7=/(5)WW”0)=-；，

当xeN且xw(6,+co)时，l</(x)V/(7)=9,

所以若xeN,则函数/（x）有最小值也有最大值，故D正确;

故选：AD.

2.（24-25高一上•广东江门,阶段练习）已知函数f（x）=

3x-l

⑴先判断函数“X）在区间+s］上的单调性,再用定义法证明；

（2）求函数/（x）在区间［1,5］上的最值.

【答案】（l）/（x）在］,+，|上单调递减，证明见解析；

（2）最大值为了⑴=g,最小值为/（5）=g

【分析】（1）将令;"5应用作差法判断〃%）,/（%）的大小判断单调性；

（2）利用/（X）的单调性求区间的最值.

【详解】⑴/（x）=丁二在佶,+s］上单调递减，

31一1）

令;＜西＜2，

则/'（演）一/（尤2）=-

3再-13X2-1

3%-1-（3再-1）3X2—3石

一（3再—1）（3皆一1）—（3匹—1）（3%—1）

3（X2-XJ

一（3石-1）（3々-1）'

X3^-1＞0,3x2-1＞0,,x2-Xj＞0,

所以/（石）-/（%2）＞。，故/（不）＞/（%2），

则〃x）在区间Q,+“］上的单调递减.

（2）由（1）知：“X）在，,+e］上的单调递减，所以/（x）在［1,5］上递减，

即/（X）max=/⑴=Ax）1nm=/（5）=毅匕=:，

故函数/（X）在区间工5］上的最大值为/（1）=\,最小值为"5）=［.

214

2

3.（24-25高一上•广东东莞•阶段练习）已知函数/（司=三三，且/⑴=10.

⑴求a；

（2）判断函数/（x）在［3,+8）上的单调性,并用定义法证明；

⑶求函数7'（x）在区间［3,6］上的最大值和最小值.

【答案】⑴9

（2）函数f（x）在［3,+s）上单调递增，证明见解析

⑶最大值为最小值为6.

2.

【分析】（1）直接由/⑴=10代入〃x）=土詈，即可求得a；

（2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性；

（3）利用函数的单调性计算最值即可.

2

【详解】（1）函数/（尤）=三/，因为/⑴=10,

所以7（1）=11^£=10,则4=9.

（2）函数/（x）在［3,+co）上单调递增,

由（1）知，/（X）==x+—,

XX

下面证明单调区间，

设34再<%2，则/（再）一）（%2）=玉一%2+-----------（X1-X2）----