河南省新乡市2025届高三年级上册第一次模拟考试数学试卷（含答案）

河南省新乡市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知复数2=言，则目=()

A.V2B.—C.lD.2

2

2.函数/(x)=%3—2e，T+5的图像在点(1,/⑴)处的切线方程是()

A.y=5x-lB.y=x+lC.y=-九+5D.y=x+3

3.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试已知某次跳绳

测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟

跳绳次数的中位数的估计值为(结果精确到整数)()

A^B=0,g],贝U/(a)=()

A.OB.-C.-D.l

42

5.若直线/:y=x+根与圆C:(x-2『+(y+5)2=16的两个交点为A,B,且

|AB|=2A/14,贝h"=()

A.或-3B.-9或-5C.-U或-5D.-9或-3

6.将函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的工3>1),纵坐标不变，再将所

CD

得图像向右平移5个单位长度后得到函数〃％）的图像，若〃龙）在区间|,7T上恰有5

个零点，则。的取值范围是（）

7.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门某商家设计的折

叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠每个侧面梯形的上底长为6

分米，下底长为2百分米，梯形的腰长为旧分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正

三棱台储物凳的储物容积为（）

B.7若立方分米

C.7立方分米D.—立方分米

2

8.当x,y,ze[0,+co）且x,y,z有且只有一个为0时,

/?（x,y,z）=-^^+-^-+-^—,则（）

x+yy+zz+x

A.p（x,y,z）既无最大值，也无最小值

B.p（x,y,z）的最大值为4,最小值为2

C.Mx，y，z）的最大值为4,p（x,y,z）无最小值

D.Mx,y,z）的最小值为2,p（x,y,z）无最大值

二、多项选择题

9.已知cosesin尸=；,则以下等式可能成立的有（）

1414

A.sinacosB=——B.cos2«=-C.sincrsin/?=——D.cos2£=-

2929

10.已知抛物线C：V=8x的焦点为R过点R的直线/的斜率为左，且/与C交于

A,3两个不同的点（点A在x轴的上方），下列说法正确的是（）

A.若左=2,则|AB|=10

B.若网=2|即,则左=2应

C.点A,3的纵坐标之积与左有关

D.若|Q4|=2|O@(。为坐标原点)，则|AF|<2忸耳

11.在四棱锥P—ABCD中，AB=2,AD=CD=1,AB±AD,动点石仁平

面4BCD,且BELCE,R是AE的中点，则()

A.DF〃平面EBCB.DE的长可能为3

C.BA-5EG(1-A/2,1+V2)D.点/在半径为孝的球面上

三、填空题

12.如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位(每个小正方

形的一条边长为一个单位)，要走到3点，不同的走法共有种.

22

13.若椭圆上+匕=1(〃€^)的离心率为6“，则6=

〃+1〃'7

sinCsinB

14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,-=；△ABC的

sinA-sinBb+c

面积s=8，则a+4b的最小值为,此时△ABC的周长为.

五、解答题

15.设函数/(x)=3x-e3A2.

⑴求/(%)的单调区间；

(2)比较/(2°0|)与/(2°m)的大小；

⑶若关于x的不等式/(6<Iga的解集为R,求a的取值范围

16.如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=2AC=4,AD=-AC,AE=-AB^

24

△ADE沿DE折起得到四棱锥A-BCDE,且平面NDE，平面BCDE.

(1)证明：四棱锥4-BCDE的高为手.

(2)求直线AE与平面ABC所成角的正弦值

17.某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编

程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得

60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高

级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分所有的题

答错都不扣分已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为二，

3

高级编程题每题答对的概率为工，且各题答对与否互不影响

3

(1)求甲同学初赛被淘汰的概率；

(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期

望

22

18.已知双曲线C：+-一**=1(。〉°)的左、右焦点分别为耳，F],且闺阊=2石.

ciaI3

(1)求C的渐近线方程

(2)点。为。的左支上一点，且cosN耳3分别为C的左、右顶点，过点

(2,0)的直线交C的右支于E,R两点，其中点E在x轴上方，直线E4与£6交于点P.

①求直线耳。的方程；

②证明：点P到直线片。的距离为定值

19.在平面直角坐标系中，。是坐标原点若点列｛4｝中的3个相邻的点4，4+1，

4+2满足西二=夕国二q砥("eN*),则称关于x的方程必=px-4是｛4｝的特征

方程，将方程必=内一“的实数根称为｛4｝的特征根已知A(1,0),4(0,1),点列

｛4｝的特征根为1和2,函=函］—函;，m=函二-2*

⑴求点纥，G的坐标；

(2)设fn=(/+4〃3_6*+4〃—1)西.E，求数歹u｛力｝的前〃项和S”；

(3)若｛%｝是公差为d(dwO)的等差数列，且各项都为正整数，4和d是已知的常数，

求点列｛dj的特征根

参考答案

1.答案：A

3-i_(3-i)(l+2i)5+5i

解析:=1+i,

l-2i-(l-2i)(l+2i)5

|z|=J1+1="$/2.

故选：A.

2.答案：D

解析：函数/(%)=/_2尸+5,

求导得/'(x)=3/-2e*T,

则/'(1)=1,而/⑴=4,

所以所求切线方程为y-4=尤一1,即y=x+3.

故选：D

3.答案：D

解析：该班共有6+8+12+18+6=50人,

因为6+8=14<25,6+8+12=26>0

所以中位数在区间[120,140)内，设为x,

%-120

贝U6+8+xl2=25

140-120

解得％=二+120公138.

3

故选：D.

4.答案：A

解析：由题意A=[0,1],B=

因为An^=

所以q=解得。=1,

22

所以/(。)="1)=0.

故选：A.

5.答案：B

解析：圆C:(x—2f+(y+5)2=16的圆心C(2,—5),半径r=4,

由题意圆心C(2,-5)到直线/的距离1=用=41，

则塔印二日

71+1

解得机=-5或-9.

故选：B.

6.答案：B

7T

解析：依题意，/(%)=sin[®(x--)],

当xe[]，兀]时，0(x-])e[0,,

由/(X)在区间[j,7T]上恰有5个零点,

得4兀<2"“<5兀,解得6<ct)<—.

32

故选：B

7.答案：D

解析：如图，在正三棱台ABC-4用G中，

AB=26,44=6M=V13

将棱台补全为正三棱锥P-ABC,

设。为底面△ABC的中心，

连接。P,Q4则。平面ABC,

而OAu平面ABC,所以OPLQ4,

1.—

因为所以PA=2B4J=2对，

OA=-ABsin600=2,

3

所以CP=JPA2_Q42=45

则正三棱台ABC-4与G的高/I=gop=26,

该正三棱台的上底面面积S1=gxgx6xsin6()o=^^,

下底面面积S2=；x2Gx26xsin60°=36,

所以该正三棱台储物柜的储物容积

V=g(Si+7^T+S2)/z=m^^+豆+3超X2A/3=y.

故选：D.

8.答案：A

解析：在p(x,y,z)=2K+2y中,

x+yy+zz+x

由x,»z有且只有一个为0,

当尤=0时，则2(0,〉*)=检二+丝=二一+2,

z

y+z1+£

y

ZZ

而y,z£(0,+00),则一>0914—>1,

2

因止匕2<------+2<4,即p(0,y,z)e(2,4)，

1+-

y

同理p(x,0,z)e(2,4),p(x,y,0)G(2,4)

所以p(匹y,z)£(2,4),既无最大值,也无最小值

故选：A

9.答案：BC

解析：对于A,当sinacos/?=-g时，

sin(a—/?)=sinocos/?—cosasin0=,

所以sinacos尸=-；不可能成立，故A错误；

对于B,由cosasin/?=],得§<|cosa|<l,

则cos2a=Zcos?a-l£-^,1,

则cosla=3可能成立，故B正确；

9

「345

对于C,取sina=——，cosa=—,sin/?=—,

556

21

止匕时cosasin/3=—,sincrsin/?=--,

则sinasin/3=一」可能成立，故C正确；

2

22

对于D,由cosasin〃="得]<卜in刈<1,

贝!Jcos2,=l-Zsin?，£-1,^,

则cos2尸=g不可能成立,故D错误;

故选：BC.

10.答案：ABD

解析：设A（%A，%），3（乙，%）

对于A,若％=2,贝U直线/:y=21-4,

y=2x-4

联立

y2=8x

得/一6%+4=0,则4+4=6，

所以|AB|=%A+4+4=1。，故A正确；

对于B,过点A,B分别作准线的垂线，垂足分别为P,Q,

不妨设忸司=加，则忸。|=m，\AF\^\AP\^2m,\AB\=3m

J（3m2）-（2m-mY

则上二tan/P45=±———..........—=242,故B正确;

2m—m

对于C,易得直线/的斜率不为零，设/:x=〃y+2,

联立户+2,

l/=8x

得8冲-16=0,则力力=T6为定值,

所以点A,3的纵坐标之积与左无关，故C错误；

对于D,由|Q4|=2|O@,得总+立=4（后+端，

即无；+SxA=4说+32xB,

即（4+4）2=（2无B+6）2+8/-20,

|S\AF\=XA+2,\BF\=XB+2

得（|”|+2）2=（2忸刊+2）2+8/_20,,

因为点A在x轴的上方，所以演<2,

则8/-20<0,所以（|AF|+2）2<（2|BF|+2丫，

所以|AF|<2忸耳，故D正确

故选：ABD.

11.答案：ACD

解析：对于A,取5E的中点G,连接CG,FG

则FG//AB//CD,^.FG=-AB=CD,

2

所以四边形CDFG为平行四边形，所以DF//CG,

又W平面ESC,CGu平面EBC,

所以平面防C,故A正确；

对于B,设BC的中点为M,连接ME,MD,MA

由题意四边形ABC。为直角梯形，则BC=夜，DM=M

2

因为5ELCE,

所以点E在以航为球心，"为半径的球面上运动（不过平面ABCD）,

2

则。£＜。〃+〃£=巫+变＜3,故B错误；

22

对于c,BA-BE=BA-（BM+ME]=BABM+BAME

=1+|BA|-|ME|COSBA-ME=1+V2COSM-ME,

因为丽，府不共线，所以cos丽•笳4-U），

所以丽・丽e（l—后,1+0）,故C正确；

对于D,设40的中点为N,连接引V,

则FN」ME=正，

24

所以点R在以N为球心，之为半径的球面上运动，故D正确

12.答案：401

解析：如图，当路线经过点C时，从A到C有1种，从C到3有C；种;

当路线经过点。时，从A到。有C；种，从。到3有C；+C；种；

当路线经过点E时，从A到E有C；种，从E到3有或种；

当路线经过点R时，从A到R有C；种，从R到3有C：种;

当路线经过点G时，从A到G有C；种，从G到3有1种,

所以不同的走法共有1xC"C；（C；+或）+Cg+C：C：+1xC；

=28+180+150+36+7=401（种）.

故答案为：401

J2n（n+3）

13.答案：—；」——2

22

22

解析：因为椭圆-1（〃€N*）的离心率为〃

n+1n

所以，=

日二ciA/21

所以,=5-，—=〃+1,

Z-=2+3+-+（n+l）=^—

Z=1ei//

故答案为：叵;33.

22

14.答案：8；5+而

解析：由smC-smB=’和正弦定理可得j=-nc2—

sinA-sinBb+ca-bb+c

—a2—uba?+/—c?=ub

]_

故

2

,.*CG（0,7i）,C=]

S=—absinC=6nab=4,

2

故a+4Z?22J4ab=8,

当且仅当a=4/?=4,即a=4,»=1时取等号，

c?=a?+Z?2-aZ?=16+1-4=13,故c=

此时周长为a+6+c=5+如，

故答案为：8,5+713

15.答案：(1)单调增区间为啊£|,单调减区间为1|,+oo]

(2)/(2001)>/(2002)

⑶(L+8)

解析：(l)r(x)=3-3e3%-2,

当时，/(%)>0,当X〉；，/'(“<0，

所以函数/(%)的单调增区间为单调减区间为3,+00

(2)因为2°s>2°a>l>；,

所以/(2力>/(2。。2)；

⑶因为关于x的不等式/(“<lga的解集为R,

则只需要lga>/(x)1mx即可，

2

由（1）得"X）max=/2—1=1,

所以lga>l,解得a>10,

所以a的取值范围为（1,+8）.

16.答案：（1）证明见解析

37

Af1

解析：（1）依题意COS/BAC=^^=5，则N£L4C=60°,

因为AB=2AC=4,AD=-AC,AE=-AB

所以AD=AE=1,

所以△ADE和△AZ）石都是边长为1的正三角形,

取的中点连接AM,

则AMLDE,A'M=—,

2

因为平面ADE，平面BCDE,

平面47）石口平面AEu平面A'QE,

所以A'M，平面6cDE,

所以AM即为四棱锥4-BCDE的高，

所以四棱锥A'-BCDE的高为正；

2

（2）如图所示，以点C为原点建立空间直角坐标系，

则C（0,0,0）,5（2后0,0卜E孚|，0，A专,；

故。3=（2百,0,0）‘CA'=当，"|岑'A，E=手;一

设平面ArBC的法向量为n=（x,y,z）,

nCB=2y[3x=Q

则有一可6573，

n-CA=—x+—yH-----z=0

〔442

可取为=（0,-2百,5）,

曲"同3逝3&TT

则|cosn,AE\=：.=-~r=-=-------,

11\n\\A'EV37xl37

所以直线AE与平面ABC所成角的正弦值为.

17.答案：（1）〃

（2）分布列见解析，E（X）=子

解析：（1）若甲同学初赛不被淘汰，

则他答对中级编程题的数量至少为史上»=3,

10

则甲同学初赛不被淘汰的概率为cjg],+C：（皆=!|­

所以甲同学初赛被淘汰的概率为1

⑵由题意X可取70,80,90,100,110,120,130

则P（X

p（x=

p（x=—1x—2=20

3381

P（X=100）=C'x-x-xC1x-x-=—

'7"332,3381

P（X=110）=

12f1Y4

尸（X=120）=C；X—X—X—=——

33UJ81

2

2

P（X=130）=IXI1卷

所以X的分布列为:

X708090100110120130

41620161744

p

81818181818181

416201744290

故E（X）=70x^+80x3+90x型+100x3+110x—+120x—+130x—=—

',818181818181813

18.答案：（l）y=±2x

（2）①x=-g；②证明见解析

解析：（1）由题意可知闺周=2力2+。2+3=2石,

解得＜2=1,则6=A/5-I=2,

2

所以双曲线C:Y-匕=1,

4

所以C的渐近线方程为y=±2x；

⑵①设|耳。=入则优Q|=f+2,

由余弦定理得比Q「+|项2「—2区Q眄Q|cos"；QE=闺鸟「，

°4

即r+Q+2）-丑+2）=20,

解得£=4（负根舍去），

所以忻。=4,闺Q|=6,

所以寓Q『+闺阊2引或2「，则耳。，耳月,

所以直线耳。的方程为x=-6；

②易知直线所的斜率不为零，

则可设直线EF的方程为x="y+2,

设E（%，Y），尸（孙％）

x=my+2

联立|2y2，

f-乙=1

I4

得（4毋-l）y2+16冲+12=0,

A=（16m）*2-48（4m2-1）=16（W+3）＞0恒成立,

制…，__16m,、,、，_12

由题意得—1w0且=s＜0，

所以——＜根＜一,

22

则直线EA:y=」」（x+l）,

VI1'/

直线FB:y=—%,

*2-]

联立可得金=伍-1）%=（叼2+l）X

X+1（为+1）%（7町+3）%

（4m+）

阴为为+3%

解得x=L,故动点P在直线x=!上，

22

所以点P到直线FXQ