广东省东莞市七校联考2024-2025学年高三年级上册12月月考数学试题（解析版）

东莞市2024-2025学年第一学期七校联考试题

一、单项选择题

1.已知集合小卜If殷殷降2__6<0},则小八()

A.{-2,-1}B.{-1,2}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式可求得集合B,由交集定义可得结果.

【详解】由/一》一6<0得：一2<x<3,即5={x|—2<x<3},，/口台二卜1,2}.

故选：B.

2.已知复数z满足(z+i)(l-i)=l+i,则忖=()

A.0B.1C.百D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法公式，求解z,再求目.

【详解】因为(z+i)(l—i)=l+i,

1+i.(l+i)2

所以Z,T=i-i=0所以目=0.

故选：A.

3.已知万，3满足方二(2,2),忖=2,("3)_13,则A,B的夹角为()

717T7171

A.—B.—C.一D.-

6432

【答案】B

【解析】

【分析】根据,-可，1求得黑B，根据向量的夹角公式求得B的夹角.

【详解】因为("可，所以(。一叶否=。％—办=0,a-b=b=4,

4_V2

2万2-2

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由于伍刃”［0,兀］,所以

故选：B

21

4已知sin。+cos，=一］,coscr+sinP=—,贝!Isin（。+4）=（）

131313

A.-B.—C.--

91818

【答案】C

【解析】

【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角和的正弦公式可求得结果.

21

【详解】因为tsin。+cos/?=-1,cosa+sin,

（

所以（sina+cos,cosa+sin/y=^,

所以sin2a+2sinacos/?+cos2，=：,cos2a+2cos+sin2p=g,

两式相加可得:

sin2a+2sinacos/3+cos2/3+cos2a+2cosasin，+sin2j）二:,

所以2+2sinacos，+2cosasin夕

2+2（sinacos0+cosasin〃）=：,

所以2+2sin（a+夕）=|",解得sin（a+夕）=一13

18

故选：C.

5.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧

面积之比为（）

V2也

---D.百----

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为厂，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为/=2〃,

则圆锥和圆柱的iWi为力=q4r2—户=J5r>

第2页/共20页

19

所以圆锥的侧面积为E=QX2TIZX/=2a,

圆柱的侧面积为邑=2兀/x%=26兀/2,

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为酢=§,

$23

故选:C.

6.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如

1,3,6,10,15,...»我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一

形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个

球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（）

三角锥垛正视

A.190B.171C.153D.136

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考等差数列公式即可求解.

【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列{4},

出=3=1+2,%=6=1+2+3,%=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+5,,

由此得%=l+2+3+L+n,即/J"）,贝=18义（；8+1）=]7],

所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171.

故选：B.

aa<b

7.对任意两个实数a,b,定义min{a1}=r'一若/（x）=2—g（x）=x2,则下列关于函数

=的说法正确的是（）

A.函数〃（x）是奇函数

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B.函数/z(x)在区间(-co,-上单调递增

C函数〃(x)图象与x轴有三个交点

D.函数/z(x)最大值为2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给出的定义先得出函数〃(x)的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判

断即可.

f(x),f(x)<g(x)

【详解】由题意可得:/z(x)=min{/(x),g(x)}=<

g(x),f(x)>g(x)

^2-x2<x2;解得x21或X4—1；令2—》2〉》2;解得一1<X<1；

2-x2,2-x2<x2-x2,xe(-oo,-l]u[l,+oo)

所以/z(x)=<即7z(x)=<

X\2-X2>X2x2,xe(-1,1)

作出函数/z(x)的图像如下:

对于选项A：由图像可知/z(x)为偶函数，故选项A错误.

对于选项B：由图像可知/z(x)在区间(-*-上单调递增,

可得/z(x)在区间(-叫-1］可0,1］上不单调递增，故选项B错误.

对于选项C：由图像可知：函数及(x)图象与x轴有三个交点，故选项C正确.

对于选项D：由图像可知：当％=±1时，函数〃(x)最大值为1,故选项D错误.

故选：C.

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8.定义在R上的函数y=/(x)满足/(4—x)=/(x),(x-2)/'(x)<0,若再<%且再+/〉4,则

()

A./(西)</(々)B./(%1)>/(%2)C./(^)=/(%2)D./(西)与/(9)的大小

不确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据/(4—x)=/(x),得到函数/(x)的图象关于直线x=2对称，又(x—2)/'(x)<0,所以

/(x)在(—8,2)上递增，在(2,+8)上递减，根据西+%〉4,分%>再>2和％>2>网两种情况讨论

求解.

【详解】因为/(4-x)=/(x),

所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

又因为(x—2)/'(x)<0,

所以/(x)在(-8,2)上递增，在(2,+。)上递减，

当马>%>2时，/(xj>/(x2)>

当％2>2>王时，因为玉+工2〉4,所以%>4-再〉2,

所以/(4—玉)>/(%),

所以/(4—再)=/(再)>/(%2),

综上：/(%;)>/(%2).

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的对称性和导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于

中档题.

二、多项选择题

9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(〃2，b；)，其正态分布

的密度曲线如图所示，

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附：若随机变量X服从正态分布N(〃口2),则P(〃—b<X<〃+b)它0.6826.

A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近

D.若巧=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即

可.

【详解】解：由图象可知，甲的图象关于x=75对称，乙的图象关于x=85对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，

故选项A正确，B错误；

因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，

所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，

则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，

故选项C正确；

若巧=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为1一°：826x0.1587,

故选项D正确.

故选：ACD.

10.对于函数/(HuGsinxcosx+sin?、-：,给出下列结论，其中正确的有()

A.函数y=/(x)的图象关于点对称

7127r]

B.函数y=/(x)在区间上的值域为一万」

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C.将函数y=/(x)的图象向左平移三个单位长度得到函数y=-cos2x的图象

D.曲线》=/(%)在》=:处的切线的斜率为1

【答案】BD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换公式化简J=/(x)的表达式，采用验证法即可判断A；结合正弦函数的值域可

判断B；根据三角函数图象的平移变换可判断C；根据导数的几何意义可判断D.

【详解】由题意知/(x)=V3sinxcosx+sin2x-^-=n

sin2x--cos2x=sin\2x--

26

5兀571兀二sin”二20,

对于A,fsin

~6632

0)对称，A错误;

故函数y=/(x)的图象不关于点

，一兀2兀__,_7717711777兀1

对于B,因为-，所以2x—―?--

o36oo6,o6

贝ijsin(2%--^--11

€B正确;

2''

TT

对于c,将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位长度得到函数

3

7171

y=sin2|x+—|--=sin2x+-=cos2r的图象，C错误;

362

,7171

对于D,/(x)=2cosf2x-1-j,则/'2cos=2sin—=1,

2~66

故曲线>=/(》)在1=:处的切线的斜率为1，D正确,

故选：BD

2

11.已知双曲线C：二=l(a〉0,Z?>0)的左右焦点分别为片，用，且阳闾=4,A,P、5为双曲线

ab2

上不同的三点，且4、5两点关于原点对称，直线尸/与尸5斜率的乘积为1,则下列正确的是()

A,双曲线C的实轴长为J5

B.双曲线C的离心率为J5

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C.若丽•庵=0,则三角形助片的周长为4+2指

D.2x-y的取值范围为［后,+oo）

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意可知1Ggi=2c=4,设/（石,乂）,0（后,贝,），则5（—玉,—乂），代入可

求解出。=6,对A,根据C2=/+62,可求得实轴长为2a,可判断；对B,根据离心率e=二，可判断

a

选项；对C,根据两•再［=0,可知所,班，则|而再=（2c）2|两H朋||=2a，可求得

户可+|A瓦所以三角形尸片片的周长为|图|+户尺|+2c,可判断；对D,设2x-y=掰与双曲线联立,

若有解，需要△20解之可求出机取值，可判断选项.

【详解】根据题意可知阳阊=2c=4,所以c=2,设/（芍,必）,p（x。,%）,则5（—国,一乃）,

将/（斗乂）,夕（X。,九）分别代入到双曲线后相减可得当三马=7,kpA，kpB=三五•九二h=1代入

%。XCLX。"1"0+

可求解出a=b,

对A,根据。2=/+/,解之可得°=啦，所以双曲线C的实轴长为2行，故A错误；

对B,根据离心率e=£,将。=后,°=2代入可得e=0，故B正确；

a

对C,根据两•成=0,可知所,班，则|所再=（2C）2

|西|T厄||=2a,可求得|两|+|班卜J西『+|比『+2百|.苗卜之痴，

所以三角形助片的周长为|两|+忸及|+左=2指+4,故C正确；

对D,设2x—y=机与双曲线/一产=2联立可得3/一4加x+加2+2=0，若有解，

需要△=16/—12（疗+2）20解之可求出或mW-瓜,故D正确.

故选：BCD

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.过点尸（2,4）引圆（x—1）2+3一1）2=1的切线，则切线方程为

【答案】x=2或4x-3y+4=0

【解析】

【详解】圆心坐标（1』），半径外=1,•••直线与圆相切，...圆心到直线距离d=r=l,若直线无斜率，其方

程为x=2符合题意，若直线存在斜率，设其方程为y-4=k（x-2）,即日—y+4-2左=0,

\k-\+A-2k\\i-k\4

d=[~r-——'=^^=1,解得左.♦.切线方程为x=2或4x—3y+4=0,故答案为无=2或

■+1病+i3

4x-3j+4=0.

点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确

定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线

有两条，此时应注意斜率不存在的切线.

13.在V45c中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，且N3边上的中线长为2,则V45c面积的最

大值为•

【答案】473

【解析】

【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出C=g,由题设函=；（M+与）两边同时平方计算，

再由基本不等式和三角形面积公式求解即可.

【详解】asin2^+sin2S+sirL4sia8=sin2C1由正弦定理可得4+而十4=，

即=_打，所以cosC=a―。又0＜。＜兀，

2ab2

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所以C=—,sinC=sin—=—，设45边上的中线为C£),

332

=^(G4+C5)2=^(a2+/)2-«/?)=4,

则丽=g(B+3),贝“丽

所以16=Q?+〃-Q6»2ab-ab=ab,当且仅当a=b=4时等号成立，

所以(邑电。)=!(仍)1mx-sinC=4百.

故答案为：473.

14.已知函数/(x)=(x+l乂x+a)(x+»为奇函数，则函数y=/(x)在xe[0,2]上的最小值为.

【答案】—冬8##—2百

99

【解析】

【分析】令/(x)=0,求出所对应的方程的解，再根据奇函数的对称性得到函数解析式，利用导数说明函

数的单调性，即可求出函数的最小值.

【详解】令/(x)=0,即(x+l)(x+a)(x+b)=O,解得再=T,x2=-a,x3=-Z?,

因为函数/(%)=(%+1)(%+(2)(%+6)为奇函数，

则函数图象关于原点对称，又/(1)=-/(-i)=0,

即一。、―3中必有一个为1,则另一个为0,

所以f(x)=x(x+=x3-x,

则/(-x)=(-X)3+x=-(x3-x)=-/(x),符合题意；

(/TV八

贝U/'(X)=3/-1=3XH----x--——■,

、33,

所以当0<x<，时/'(x)<0,当g<x<2时/'(x)>0,

所以/(x)在0,^-上单调递减，在,2上单调递增，

\7\7

又/-y-=-2及，所以函数V=/(x)在xe[0,2]上的最小值为一2我.

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故答案为：_巫

9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取

样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩

合计

优秀不优秀

优秀503080

数学成绩

不优秀4080120

合计90110200

（1）根据a=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

（2）在人工智能中常用心（用Z）=京产表示在事件A发生的条件下事件8发生的优势，在统计中称为

似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，8表示“选到的学生数学成绩不优

秀”.请利用样本数据，估计的值.

(a+Z))(c+d)(a+c)0+d)

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

Q

【答案】（1）能（2）-

3

【解析】

【分析】（1）计算出％2,与a=0.01的临界值比较，得出结论；

（2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计1（到2）的值.

【小问1详解】

第11页/共20页

零假设为笈0：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得

200(50x80-30x40)2

216,498>6,635，

z90x110x120x80

根据a=0.01的独立性检验，我们推断X。不成立，认为数学成绩与语文成绩有关.

【小问2详解】

A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有

尸（皿=黑P（项糕

尸(叫

尸伊⑷_尸(/)_P(AB)_80_8

所以

P伍⑷~P(AB)~P(A成~30~3

尸⑷

则估计“8⑷的值为|.

16.如图，在四棱锥N8CO中，底面/BCD为矩形，尸2,平面为尸。的中点.

（1）证明：必//平面4EC.

（2）若平面D4E与平面/EC的夹角为60°,4P=1,4D=G，求45的长.

【答案】（1）证明见解析

3

（2）AB=-

2

【解析】

【分析】（1）证明尸再由线面平行的判定定理得证；

（2）由以，AD,48两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解.

【小问1详解】

连接AD交/C于点O,连接。E,如图，

第12页/共20页

p

因为。为8。的中点，E为尸。的中点，

所以PB〃0E.

又OEu平面/EC,四二平面/EC,

所以PBII平面AEC.

【小问2详解】

因为R4J_平面N3CZ),AD,45u平面N5CD,

所以PZ_L4D,PALAB.

又AB工AD,所以为，AD,两两互相垂直，

故以/为原点，AB,AD,/P所在直线分别为x轴，＞轴，z轴，建立空间坐标系如图所示,

设48=。，则/(0,0,0),C(a,50),尸(0,0,1),£>(0,V3,0).E0,—

所以/C=(a,百,0),AE=0,^-,—.

显然应=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量.

设平面4CE的一个法向量为元=O,y,z),

ax+4^y=0,

n-AC=0

则《—，即V31八

n-AE=0——y+—z=0.

、22

令z=^3，得元=—,-1,V3，

a

因为平面DAE与平面AEC的夹角为60°，

第13页/共20页

所以|cos〈泣克〉卜

333

解得。=—或。=——（舍去），即48=—

17.已知数列｛%｝的前，项和为用，%=1,数列是以1为公差的等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

111

（2）若对于任意正整数〃，都有——+——+•-•+------＜丸，求实数2的最小值.

【答案】（1）%=2〃-l（"eN*）

(2)T

【解析】

【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前〃项和求通项公式的方法求解作答即可；

（2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值.

【小问1详解】

是以1为公差的等差数列，且县=%=1,

V数列

1)-1=«,Sn=n

当〃22时,an=Sn-Si=/_(〃_ip=2〃一1；

经检验，当〃=1时，/=S]=1满足上式.

an=2〃eN*)

【小问2详解】

由」-=_______1______=xp_______

田%a用(2«-1)(2«+1)2⑵-12〃+)'

11T11(1(11)1(11

a{a2a2a3a„tz„+12(3)2(35)2(2"-12〃+l

1-3+3-5+"+2«-1-2«+1

2〃+1

第14页/共20页

而;711—7；---7I<—,所以42—，即丸的最小值为;.

2[2〃+)222

1

18.已知函数/(x)=Inx+aax9-(a+l)x

(1)当。=1时，求曲线V=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程;

19

(2)若函数g(x)=/(工)-万方有两个不同的零点为，x2.

①求实数。的取值范围；

②证明：＞e2.

31

【答案】(1)y=—；(2)®-1＜6/＜—1；②证明见解析.

2e

【解析】

【分析】

3

(1)当。=1时，求出导函数，进而求出/'(1)=0,再由/⑴二—万即可求解.

In丫1nY

(2)①根据题意将问题转化为方程a+l=——有两个不同实根毛，x2,令以乃=——，作出。(x)的大

XX

致图象以及＞=。+1,数形结合即可求解；②由题意不妨设0＜西＜》2，山X]=(。+1)西，lnx2=(o+l)x2,

In-i/)西+—+

将两式分别相加、相减可得h强=/_占，只需证明比(占马)=土产出生＞2,设，咛"＞1),

占“**1

4

构造函数/。)=山/+-----2,利用函数的单调性即可证明.

/+1

【详解】解：(1)当a=1时，/(x)=Inx+^-x2-2x,xe(0,+oo),

…)」+工_2,

X

3

所以/")=0,/(1)=--,

3

所以曲线y=/(x)在点(1?/(1))处的切线方程是V=-万.

1o

(2)函数=有两个不同的零点七，x2,

Inv

等价于方程。+1=一有两个不同实根为，x2.

x

人/、Inxe，/、1-lnx

①令9(x)=——，则°(x)=——；—，

XX

第15页/共20页

所以o(x)=——在(0,e)上单调递增,在(6+8)上单调递减,

x

Inx\

所以当x=e时，9(x)=」取得最大值—，

xe

由于。⑴=0,当xe(0,1)时,(p(x)＜0；

当xe(1,+00),(p(x)＞0,

9(x)的大致图象如图所示：

所以，当a+le]。,一即—1＜。＜—1时，

1,

函数g(x)=/(x)-5a厂有两个不同的零点为，%.

②证明：不妨设0＜占＜》2，InX=(。+1)苞，Inx2=(«+l)x2,

两式相加得出(Xi%)=(a+l)(%i+x2),

两式相减得山二=(<7+1)(X2-X1),

X\

In(看》2)_X]+%

所以M强/_芭.

要证XR2〉e2,只需证出(占马)=干上山区〉2.

•^2

(\

2强-1

即证In上〉2迤二土

X]x2+x11+上

第16页/共20页

x4

设£=二。>1),令7?«)=ln，+-----2,

xi1+1

则/)="D：>0,

所以函数/⑷在（1,+8）上单调递增，且R⑴=0,

所以E（/）〉0,即再%>02.

【点睛】关键点点睛：本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，解题的关键是

4

构造关于/的函数/（。=山/+-----2,还考查了转化化归的思想、分类讨论的思想和运算求解的能力.

Z+1

19.通过研究，已知对任意平面向量方=（%/）,把方绕其起点/沿逆时针方向旋转6角得到向量

AP=（xcosO-ysin0,xsmO+ycos6>）,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转。角得到点P,

（1）已知平面内点/卜百,26），点5（/,-2百），把点8绕点/逆时针旋转三得到点P,求点P的坐

标：

22

（2）已知二次方程/+/—孙=i的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆二+二=1（。>6>0）绕原

ab

IT

点。逆时针旋转一所得的斜椭圆C,

4

G）求斜椭圆C的离心率；

132，［作与两坐标轴都不平行的直线4交斜椭圆C于点”、N,过原点。作直线4与直线

（ii）过点。

V2]

/1垂直，直线，2交斜椭圆C于点G、H,判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请

|阿卡|0叫2

说明理由.

【答案】（1）（6,3）

(2)(i)—；(ii)是，2

3

【分析】（1）借助所给定义计算即可得;

（2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得;

（ii）法一：设出直线/r12,联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出

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V21

计算即可得;

\MN\\OH\

法二：将所有点、直线与曲线都绕原点。顺时针旋转上77后，再设出直线/1、4旋转后方程，联立标准方程

4

421

可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出其将+^一）计算即可得.

\MN\\0H\P

【小问1详解】

由已知可得加=（2e48）,则Q=（6+百,3-2行），

设？=（%,%）,贝|］万=（%+百,y°_2G）=（6+6,3—26）,

所以x（）=6,%）=3,即点尸的坐标为（6,3）；

【小问2详解】

(i)由V=X与Y+/一切=1交点为(J)和(T,—1),则/=2,

/、(

由V=-X与+「—町=1交点为—和

3333J

2G

24

则〃=—,所以。2=—23Z=必;

33V2-3

V2/6\

（ii）法一：设直线小—kx---产，"（再/2）、凶＞2而，

y