广东广州市2024-2025学年上学期八年级期末数学培优训练卷（含答案）

2024-2025学年第一学期广东省广州市八年级期末数学培优训练卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）

1.在以下图形中，不是轴对称图形的是（）.

D.

2.在函数、='中，自变量x的取值范围是（）

A.x<2B.x>2C.x<2且存0D.x<2且*0

3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）

Ax9-b)=ax-bxB,丁-l+ji=(x-lX^+l)+r2

2

C,.X-1=(A-1)(.X+1)Dav+Nr+c=rv(a+b)+c

4.如图，AD//BC,AE=CF,下列选项补充的条件中，能证明尸组的是（）

5.若点PL呜点尸‘（1，一关于x轴对称，则点“（3。一"0+6）关于y轴对称的点©的坐标是（）

A（T，3）B.n。c.（T-3）D.（*1）

6.如图所示，BC,AE是锐角一4即J高，相交于点。，若AD=BF,AF=1,CF~2,则BD的长

为（）.

A.2B.3C.4D.5

7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线所分别交AC,AB边于

E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段所上一动点，则MC+M）的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

8.如图，在平面直角坐标中，ZX=90°,OX-2,。8平分/月。/点--）关于不轴的

对称点是（）.

A.（-2.1）B.（3-2）c.a-DD.（3，-1）

-a<b<a

9.现有一张边长为a的大正方形卡片和两张边长为b的小正方形卡片（？）.如图1,取出两

张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2和图3,已知图2中的阴影部分的面积与图3

中的阴影部分的面积相等，则a,6满足的关系式为（）

□□□00

级力：b

图I图2图3

A.46=3aB.动=c.6b=5aD55=4a

10.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边AABE和等边4ADF,分别连接CE,CF

和EF,则下列结论，一定成立的个数是（）

①4CDF/△EBC；

②4CEF是等边三角形；

③/CDF=/EAF；

④CE〃DF

C.3D.4

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分,共18分.)

11.在平面直角坐标系中，点2（3,-1）关于3轴对称的点的坐标是.

12.等腰三角形两边长为5和8,则三角形周长为一.

13.如图，在一月3C中，AB=AC,DE是犯的垂直平分线，若加=1、BC=S,则—CE的周

长为.

A

14.学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长

为a,宽为占的长方形纸片，拼成如图形状.观察图片，写出代数式8+切,{a~b',4b之间的等

量关系；

b

15.如图，在△月3C中，AB=AC,分别以点A、R为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于

E、F,画直线即，。为3C的中点，M为直线E尸上任意T点.若BC=5,AR3C的面积为15,则

BAZ+MD长度的最小值为.

16.如图所示，已知4月3。和》都是等腰三角形，NR4C=ND4H=90°,连接跳），CE交于点

F,连接AE下列结论：①BD=CE；②BF工CF；③人尸平分/CAD；④=4FE=45°.其中正确

结论的有.（注：把你认为正确的答案序号都写上）

三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步

骤.）

17.分解因式:

(1)ax

(2)纷+4y+2

18.计算:

⑴(2.X+1)(X-3)；

⑵(a-3)(a+3)(a3+9)

19.如图，“平面直角坐标系中，'"°」)，C(-L4).

(1)在图中画出A4SC关于『轴对称的占月与4；

(2)在'轴上作出一点P,使P4+E3最小，并直接写出点P的坐标.(保留作图痕迹，不要求写作

法)

(3)若点G("+Lb-4)与点。关于》轴对称,求/的值.

20.如图，E、尸是四边形HE。。的对角线力。上两点，AE=CF,DF=BE,DFBE.求证:

(2)AD//CB.

21.计算：

⑴[(%+x)(x-»-a+4»]+Ay

(4+±-工

(2)先化简l*-Q+l1-va-l,若丁的取值范围是-1SIW1,且为整数，求该式的值.

22.某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和

用480元购进的篮球数量相等.

(1)篮球和足球的单价各是多少元？

(2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还

多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？

23.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到

两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，AB=AC,AD=

AE,ZBAC=ZDAE,连接8。，CE,则△ABO会ZXACE.

（1）请证明图1的结论成立；

（2）如图2,AABC和△AED是等边三角形，连接3D,EC交于点0,求N20C的度数；

（3）如图3,AB=BC,ZABC=ZBDC=60o,试探究NA与NC的数量关系.

24.问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1,点D为等边

的边3c上一点，将线段也）绕点A逆时针旋转60°得到线段HE,连接CE.

（I）【猜想证明】试猜想8。与CE的数量关系，并加以证明；

（2）【探究应用】如图2,点O为等边自池。内一点，将线段功绕点A逆时针旋转60°得到线段

AE,连接CE,若B、。、E三点共线，求证：颜平分/四°；

（3）【拓展提升】如图3,若A4BC是边长为2的等边三角形，点。是线段3c上的动点，将线段工。

绕点。顺时针旋转60°得到线段。连接CE•点D在运动过程中，JEC的周长最小值=

（直接写答案）

25.如图，点A、8分别是无轴、y轴上的两个动点，以8为直角顶点，以用为腰作等腰RtZiMC.

杖杖

C

图①图0图③

（1）如图①，若点C的横坐标为2,点B的坐标为:

(2)如图②，过C作⑺轴于点。，连接3D.求乙80c的大小；

(3)如图③，移动点A,2的位置，使x轴恰好平分月0,3C交X轴于点M,试猜想线段

MCB、°”之间的数量关系，并说明理由.

2024-2025学年第一学期广东省广州市八年级期末数学培优训练卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）

1.在以下图形中，不是轴对称图形的是（）.

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴

对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可.

【详解】由分析可知，已知图形中不属于轴对称图形的是图形D.

故选D.

【点睛】掌握轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.在函数y中，自变量x的取值范围是（）

A.x<2B.x>2C.x<2且#0D.x<2且

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0列不等式组求解.

2-x>0

<

【详解】解：根据题意得：I、工°

解得：且XHO.

故选：D

【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义,分母不为0,二次根式有意义，被开方数是非负数.

3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）

A.x(a-b)-ax-bxB,v-1+v-(r-lXx+l)+r-

2

C.T-1=(X-1)(X+1)Dax+by+c=+b)+c

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查因式分解的判断，把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行

判断即可.

【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意;

B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意;

C、是因式分解，符合题意;

D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意;

故选c.

4.如图，AD//BC,AE=CF,下列选项补充的条件中，能证明△血）尸的是（）

A.Z5=ZDB.DF=BEc.ZX=ZCD.AF=CE

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查三角形全等的判定，根据3（7得到乙4=/C,根据花=CW得到人斤=0后，

结合三角形全等判定即可得到答案；

【详解】解：-：ADBC,

C,

■：AE=CF,

：.AF=CE,

当NB=NO符合角角边定理，

当乙4=NC,DF=39均不满足三角形全等的判定，

故选：A.

5.若点Pia°）与点-2：，关于x轴对称,则点'（"一40+”）关于y轴对称的点A'的坐标是（）

A.B.口，1c.IT"）D.（5」）

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了关于y轴、无轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐

标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可.

【详解】解：点尸（°⑸与点P（1T）关于x轴对称，

则。=1,6=2,

.・.3。-b=1,a+b=3,

•.A•（13），

•.•点H（L3）关于>轴对称的点w,

•••4（T,3）•

故选：A.

6.如图所示，BC,AE是锐角一4即1的高，相交于点若AD=BF,AF=7,CF=2,则BD的长

为（）.

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得出NDC2=NBCE=NASF=90°,再根据同角的余角相等得出NADC=NR,根

据AAS证明=^BFC,最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案.

【详解】：BC,AE是锐角二4胪的高

..ZDCA=ZBCF=ZAEF=90°

..ADAC+ZADC=90°.Z.EAF+N斤=90°

；,ZADC=ZF

\AD-BF

:.^ADC^BFC(AAS]

CD=CF=2BC=AC=AF-CF=1-2=5

BD=BC-CD=5-2=3

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.

7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于

E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段所上一动点，则MC+MD的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【解析】

【分析】连接AD，由于A4BC是等腰三角形，点。是3c边的中点，故AOL2C,再根据三角形的面积

公式求出A。的长，再再根据£尸是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线所的对称点为点A,故

4。的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解：连接AD,

AB

・・・△A3C是等腰三角形，点。是3c边的中点,

：.AD1.BC,

i_2_

SAABC=2BC9AD=2x4xAD=16,

解得AD=8,

VEF是线段AC的垂直平分线，

/.点C关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为CM+MD的最小值，

.■.MC+MD的最小值为8.

故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称一一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

8.如图，在平面直角坐标中，乙4=90°,OA-2,03平分N/O1,点2)关于彳轴的

【答案】c

【解析】

【分析】过B点作轴于点c,则AOH夕zocg,即℃=Q4,写出B点坐标，最后求出关于

X轴的对称点的坐标.

【详解】解：如图，过8点作3。LT轴于点c

•.•4=90。

；.ZA=ZOCB=%°

•：。3平分N4。1，

：.^AOB=ZBOC

又：OB=OB

.•.JDAB，,40cB

：.OC=OA

即:。-1=2

解得：°=3

.5(2,1)

...屈二1)关于x轴的对称点是a，-D

故选c

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系点的对称，作辅助线构造

全等三角形是解题的关键.

1L

-a<b<a

9.现有一张边长为。的大正方形卡片和两张边长为b的小正方形卡片（2）.如图1,取出两

张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2和图3,已知图2中的阴影部分的面积与图3

中的阴影部分的面积相等，则。，6满足的关系式为（）

U，f>b

图I图2图3

A.4b=3aB.令=2ac.6b=5aD.%=4a

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查数形结合，利用代数式表示阴影部分面积，再结合完全平方公式和整式的加减运算

即可求得答案.

【详解】解：图2中阴影部分的面积可表示为（。-6卬，图3中阴影部分的面积可表示为（为一。），

•••图2中的阴影部分的面积与图3中的阴影部分的面积相等，

化解得4b=3a,

故选：A.

10.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边4ABE和等边AADF,分别连接CE,CF

和EF,则下列结论，一定成立的个数是（）

①4CDF之ZXEBC；

②4CEF是等边三角形；

③NCDF=NEAF；

④CE〃DF

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】

【分析】利用“边角边”证明4CDF和aEBC全等，判定①正确；同理求出4CDF和4EAF全等，根据全等

三角形对应边相等可得尸，判定4ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正

确；若CE"DF,则c、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案.

【详解】在口43。。中，^ADC=ZABC,AD=BC,CD=AB,

△ABEsAD.都是等边三角形，

:.AD=DF,AB=EB,^DFA=ZADF=^ABE=6Q°,

：DF=BC,CABE,

,-.ZCZ)F-ZAZ)C-60o,

AEBC=AABC-60°,

：.NCDF=4BC,

'DF=BC

<ZCDF=AEBC

在ACDF和△劭。中，〔0。=旗，

/.ACDF=^.EBC(SAS),故①正确；

在QHBCO中，设AE交CD于O,AE交DF于K,如图：

ZDOJ4=NOAF=60。，

-DOA2DFO,

•"OKD=£AKF,

•••NODF=NOAF，

故③正确；

'CD=EA

，/CDF=ZEAF

在ACD尸和△瓦4尸中，［OF=9

；,^CDF^EAFCSAS),

：.EF-CF,

---CDF^-EBC,

c.CE^CF,

•••EC=CF=EF，

.•.一ECT是等边三角形，故②正确；

则/。尸£=60°,

若CE/O尸时，

则一OWE-Z.CEF60°,

“DFA6Q-CFE,

:/CFE+ADFE+/皿=180°,

则C、F、A三点共线

已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；

综上所述，正确的结论有①②③.

故选：C.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判

定三角形全等的方法证明.

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11.在平面直角坐标系中，点火关于轴对称的点的坐标是.

【答案】（-3,一口

【解析】

【分析】本题考查关于J轴对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点尸（工】'），关于X轴的对称

点的坐标是（工一】'），关于y轴对称的点的坐标为（一八丁1,从而得出答案.

【详解】解：点火（3，-1）关于j轴对称的点的坐标是（-3.-1）,

故答案为：（77）.

12.等腰三角形两边长为5和8,则三角形周长为一.

【答案】18或21

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关

键.此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系.

分情况考虑：当5是腰时或当8是腰时，然后分别求出两种情况下的周长.

【详解】解：当5是腰时，能组成三角形，周长为5x2+8=18；

当8是腰时，能组成三角形，则三角形的周长是8x2+5=21.

故答案为：21或18.

13.如图，在一中，AB=AC,DE是用的垂直平分线，若45=12,BC=S,则ABCE的周

长为.

【解析】

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到力E=BE,然后根据三角形

的周长公式求解即可.

【详解】解：•••QE是45的垂直平分线，

:.AE=BE,又M=40=12,5C-8,

AECE的周长为8。+0£+38=3。+。月+羔=3。+幺。=8+12=：!0,

故答案为：20.

14.学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长

为。，宽为6的长方形纸片，拼成如图形状.观察图片，写出代数式（“+》）'，（a-b）,之间的等量

关系;

b

［答案］（a=（a-b「+4处

【解析】

【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式,

【详解】解：由图形面积得：

（a+6）3=（O-6）3+4ab

故答案为：（a+b）'=（a・b）’+4而

15.如图，在乙/BC中，AB=AC,分别以点A、R为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于

E、F,画直线E尸，。为的中点，M为直线E尸上任意一点.若BC=5,443c的面积为15,则

BM长度的最小值为.

c

【答案】6

【解析】

【分析】如图，连接AD,利用三角形的面积公式求出M,再根据两点之间线段最短，线段的

垂直平分线的性质判断即可求解.

【详解】解：如图，连接期，AD.

•.・阕=力。，〃为的中点，

根据等腰三角形三线合一的性质,

AD1BC,

••马“・；BCAD

•.•E尸垂直平分线段/亩，

MB+MD・AM+MD2AD・6,

..BM+QM的最小值为6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查作图一基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，两点之间线段最短、等腰

三角形的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短来解决最值问题.

16.如图所示，已知乙加。和L4DE都是等腰三角形，/a4。=一£悭=90°,连接3D,CE交于点

F,连接4足下列结论：①BD=CE；②BF1CF；③从尸平分NCAD；④乙4?E=45°.其中正确

结论的有.（注：把你认为正确的答案序号都写上）

B

VD

【答案】①②④

【解析】

【分析】如图，作于M,AN_LEC于N,设A。交所于0.证明△BA。丝△CAE,利用全等三

角形的性质可判断①②，再证明=结合角平分线的性质可判断③，由AF平分NC4D逆向推导

出与题干互相矛盾的结论，可判断④，从而可得答案.

【详解】解：如图，作于M,AN_LEC于N,设4。交所于0.

VZBAC=ZDAE=90°,

ZBAD=ZCAE,

\9AB=AC,AD=AE,

：.ABAD^ACAE(SAS),

：.EC=BD,ZBDA=ZAEC,故①符合题意；

・・・ZDOF=ZAOE,

：.ZDFO=ZEAO=90°,

：.BD±EC,故②符合题意，

VABAD^ACAE,AMLBD,ANLEC,

：.AM=AN,

；・FA平分NEFB,而80_LCE,

：.ZAFE=45°,故④符合题意，

若③成立，则/应

ZAFE=ZAFB,

：.ZAEF=ZABD=ZADB,推出AB=AO,

由题意知，AB不一定等于A。，所以AF不一定平分/OLD,故③不符合题意,

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的应用，等腰直角三角形的性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题(本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步

骤.)

17.分解因式：

(1)

⑵1"+4J，+2.

【答案】⑴。(工+丁)。-丁)

⑵2("】广

【解析】

【分析】本题主要考查用提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的

关键.

(1)先提公因式。，再运用平方差公式分解因式即可；

(2)先提公因式2,再运用完全平方公式分解因式即可.

【17题详解】

解：原式=力二『"("「®r)；

【18题详解】

解：原式-为+1)=2(】,+】)〔

18.计算:

⑴(2x+l)(i-3)；

⑵(a-3)("3归+9)

【答案】⑴2--5x-3

(2)a4-S1

【解析】

【分析】本题考查整式的混合运算，涉及多项式乘以多项式、平方差公式等知识，灵活掌握整式加减乘法

运算法则是解决问题的关键.

(1)利用多项式乘以多项式法则，再由整式加减合并同类项即可得到答案；

(2)根据整式结构特征，利用整式乘法中的平方差公式逐步求解即可得到答案.

【小问1详解】

解:(2x+l)(x-3)

--6T+I-3

【小问2详解】

解：（。・3）3+3）（『+9）

=（1一9乂1+9）

=/-51.

19.如图，在平面直角坐标系中，‘Lil,'（-1.4）.

（1）在图中画出关于J轴对称的△月马弓；

（2）在X轴上作出一点p,使产H+尸3最小，并直接写出点P的坐标.（保留作图痕迹，不要求写作

法）

（3）若点*2a+34）与点C关于¥轴对称,求一的值.

【答案】（1）见解析（2）尸（T，°）

（3）1

【解析】

【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征

是解答的关键.

（1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图

形；

（2）找到点A关于X轴的对称点4,连接48交X轴于点尸，此时24+尸B最小，由图知点尸坐标；

（3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入

求解即可.

【小问1详解】

解：如图，△月401即为所求作：

r【小问2详解】

解：如图，作点A关于无轴的对称点H,连接43交X轴于点P,此时24+出最小,

由图知，尸(一L°)；

【小问3详解】

解：•.•点CQ+O-4)与点C关于X轴对称,

/.2a+1=-1,6-4=-4,

:.a=-1,3-0,

.a*=(-1)°=1

20.如图，E、R是四边形即CD的对角线力。上两点，AE=CF,DF=BE,DF//BE.求证：

D_

X

(i)AD=CB.

(2)AD//CB.

【答案】(i)证明见解析；

(2)证明见解析；

【解析】

【分析】本题考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定和性质，证明bSABCE是解题的关

键；

(1)由=推导出＜H=CE,由Z)月〃BE,证明N"O=NCEE,根据“SAS”证明

△ADFABCE,即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得ND1歹=4CE；则应)”C3.

【小问1详解】

证明：••.HE=CF,

,AE+EF=CF+EF,

AF-CE,

-DF//BE,

-ZAFD=ACEB,

在_4）尸和ABCE中

AF=CE

<ZAFD=ZCEB

LDF=BE，

△ADF—BCE,

AD=CB.

【小问2详解】

证明：...△幺0斤°A8CE,

ADAF-ZBCE,

AD//CB.

21.计算：

⑴[(>+x)("»~(x+4y旷卜4y

(F-l1)?

——---+---**

⑵先化简Ix'-M+l1-vJX-1,若K的取值范围是-1三1,且为整数，求该式的值.

【答案】⑴fix；

(2)x,-1.

【解析】

【分析】(1)先根据乘法公式计算，合并同类项后，再利用多项式的除法计算即可；

(2)先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算,

得到最简结果，把合适的尤的值代入计算即可求出值.

【小问1详解】

解.[(>+x)(x-»-(x+4j力+Ay

=(.T3-4y3-x3-Sri--16y2卜4v

=(-20j，2-8v)+4y

=-53'-2x.

【小问2详解】

(?-11

------+——

解：-2-T+I1-.T

(X+1)(T-1)1

=------5--+----

(x-l)1-Xx-1

Jx+11]x-1

(x-1T-1Jx2

.x-1.x3

X,

X-1HO,iwO,

V-1<A-<1,且为整数,

AA=-1,

原式T

【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值.解（2）题的关键是掌握分式混合运算顺序和运

算法则.

22.某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和

用4so元购进的篮球数量相等.

（1）篮球和足球的单价各是多少元？

（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还

多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？

【答案】（1）足球单价为90元，篮球单价为120元；

（2）获利超过1300元，篮球最少要卖31个.

【解析】

【分析】（1）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；

|-m+10|

（2）设购买篮球）”个，则购买足球（3J个，根据题意列不等式即可；

本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找准等量关系和不等量关系，正

确列出方程和不等式.

【小问1详解】

解：设足球单价为:v元，则篮球单价为（'+3°）元，

360_480

由题意得：xx+30,

解得工=90,

经检验：x=90是原分式方程的解，

则x+30=90+30=120,

答：足球单价为90元，篮球单价为120元；

【小问2详解】

(—m+10]

解：设购买篮球加个，则购买足球13J个，

(150-120)加+(110-90)x已加+101＞1300

由题意得：13),

解得力＞30,

..•加为整数，

篮球最少要卖31个，

答：获利超过1?00元，篮球最少要卖31个.

23.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到

两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，AB^AC,AD=

AE,ZBAC=ZDAE,连接BO,CE,则g△ACE.

图3

(1)请证明图1的结论成立；

(2)如图2,AABC和A4即是等边三角形，连接2。，EC交于点O,求N20C的度数；

(3)如图3,AB=BC,NABC=NBDC=60°,试探究NA与NC的数量关系.

【答案】(1)见解析(2)60°

(3)ZA+ZBCD=180°,理由见解析

【解析】

【分析】(1)利用等式的性质得出/BAD=/CAE,即可得出结论；

(2)同(1)的方法判断出瓦格△相＜£,得出/AOB=/AEC,再利用对顶角和三角形的内角和定理

判断出/BOC=60。，即可得出答案；

(3)先判断出是等边三角形，得出8。=8尸，ZDBP=6Q°,进而判断出△AB。名(SAS),

即可得出结论.

【小问1详解】

解：证明：VZBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE

、AD=AE，

AAABD^AACE(SAS)；

【小问2详解】

如图2,

:AABC和△ADE是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE,

在△AB。和aACE中，

AB=AC

<乙BAD=Z.CAE

,AD=AE，

AAABD^AACE(SAS),

・•・ZADB=ZAEC,

令AO与CE交于点G,

*.*/AGE=/DGO,

：.180°-ZAZ)B-ZZ)GO=180o-ZAEC-ZAGE,

JZDOE=ZDAE=60°,

：.N8OO6O。；

【小问3详解】

ZA+ZBC£>=180°.理由：

如图3,延长OC至尸，使DP=DB,

:/BDC=60°,

是等边三角形,

：.BD=BP,ZDBP=60°,

,：ZABC=60°=ZDBP,

：.ZABD=ZCBP,

'：AB=CB,

：.AABD^ACBP(SAS),

ZBCP=ZA,

"：ZBCD+ZBCP=1?,O°,

：.ZA+ZBCD=1SQ°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，构造等边三角形是解本题的关键.

24.问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1,点。为等边

的边3c上一点，将线段4D绕点A逆时针旋转60。得到线段抽，连接CE.

（1）【猜想证明】试猜想80与CE的数量关系，并加以证明；

（2）【探究应用】如图2,点。为等边上加。内一点，将线段4?绕点A逆时针旋转6。°得到线段

AE,连接CF,若B、D、£三点共线，求证：EB平分/4EC；

（3）【拓展提升】如图3,若以4BC是边长为2的等边三角形，点。是线段上的动点，将线段加

绕点。顺时针旋转60°得到线段。后，连接C之.点。在运动过程中，&DEC的周长最小值=

（直接写答案）

【答案】（1）BD=CE,证明见解析

（2）见解析（3）2+万

【解析】

【分析】（1）由旋转的性质可得拉^DAE=60°,由“SAS”可证一△幺CE,可得

BD=CE；

（2）由旋转的性质可得=^DAE=60°,由“SAS”可证占451）24月。后，可得

ZADB=ZAEC=\20°,从而求得/AEB=N5EC=60°,即可得出结论；

（3）连接花，由旋转可得力D=OE,/DDE=60。,则LHDE是等边三角形，所以DE=/D,由

（1）知BD=CE,所以△Z）CE的周长=CZ）+CE+DE=CD+BD+«AD=3。+4）=2+4?,所

以当心最小时，△QCE的周长最小，最小值=2+幺0,所以当4)18。时，4D最小，此时

BD——BC=1>-

的周长最小，由等边三角形性质求得2,由勾股定理求得4D=43,即可求解.

【小问1详解】

解：BD=CE,

证明：♦.•将线段位)绕点A逆时针旋转60°得到AE,

:.AD=AE,ADAE