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文档简介
2024-2025学年第一学期广东省广州市八年级期末数学培优训练卷
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,满分30分)
1.在以下图形中,不是轴对称图形的是().
D.
2.在函数、='中,自变量x的取值范围是()
A.x<2B.x>2C.x<2且存0D.x<2且*0
3.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
Ax9-b)=ax-bxB,丁-l+ji=(x-lX^+l)+r2
2
C,.X-1=(A-1)(.X+1)Dav+Nr+c=rv(a+b)+c
4.如图,AD//BC,AE=CF,下列选项补充的条件中,能证明尸组的是()
5.若点PL呜点尸‘(1,一关于x轴对称,则点“(3。一"0+6)关于y轴对称的点©的坐标是()
A(T,3)B.n。c.(T-3)D.(*1)
6.如图所示,BC,AE是锐角一4即J高,相交于点。,若AD=BF,AF=1,CF~2,则BD的长
为().
A.2B.3C.4D.5
7.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线所分别交AC,AB边于
E,F点.若点。为BC边的中点,点M为线段所上一动点,则MC+M)的最小值为()
A.6B.8C.10D.12
8.如图,在平面直角坐标中,ZX=90°,OX-2,。8平分/月。/点--)关于不轴的
对称点是().
A.(-2.1)B.(3-2)c.a-DD.(3,-1)
-a<b<a
9.现有一张边长为a的大正方形卡片和两张边长为b的小正方形卡片(?).如图1,取出两
张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2和图3,已知图2中的阴影部分的面积与图3
中的阴影部分的面积相等,则a,6满足的关系式为()
□□□00
级力:b
图I图2图3
A.46=3aB.动=c.6b=5aD55=4a
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边作等边AABE和等边4ADF,分别连接CE,CF
和EF,则下列结论,一定成立的个数是()
①4CDF/△EBC;
②4CEF是等边三角形;
③/CDF=/EAF;
④CE〃DF
C.3D.4
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分.)
11.在平面直角坐标系中,点2(3,-1)关于3轴对称的点的坐标是.
12.等腰三角形两边长为5和8,则三角形周长为一.
13.如图,在一月3C中,AB=AC,DE是犯的垂直平分线,若加=1、BC=S,则—CE的周
长为.
A
14.学习新知时,我们利用图形的拼接得到完全平方公式,小红也想探究一下图形的奥秘,她利用四块长
为a,宽为占的长方形纸片,拼成如图形状.观察图片,写出代数式8+切,{a~b',4b之间的等
量关系;
b
15.如图,在△月3C中,AB=AC,分别以点A、R为圆心,以适当的长为半径画弧,两弧分别交于
E、F,画直线即,。为3C的中点,M为直线E尸上任意T点.若BC=5,AR3C的面积为15,则
BAZ+MD长度的最小值为.
16.如图所示,已知4月3。和》都是等腰三角形,NR4C=ND4H=90°,连接跳),CE交于点
F,连接AE下列结论:①BD=CE;②BF工CF;③人尸平分/CAD;④=4FE=45°.其中正确
结论的有.(注:把你认为正确的答案序号都写上)
三、解答题(本题有9个小题,共72分,解答要求写出文字说明、证明过程或计算步
骤.)
17.分解因式:
(1)ax
(2)纷+4y+2
18.计算:
⑴(2.X+1)(X-3);
⑵(a-3)(a+3)(a3+9)
19.如图,“平面直角坐标系中,'"°」),C(-L4).
(1)在图中画出A4SC关于『轴对称的占月与4;
(2)在'轴上作出一点P,使P4+E3最小,并直接写出点P的坐标.(保留作图痕迹,不要求写作
法)
(3)若点G("+Lb-4)与点。关于》轴对称,求/的值.
20.如图,E、尸是四边形HE。。的对角线力。上两点,AE=CF,DF=BE,DFBE.求证:
(2)AD//CB.
21.计算:
⑴[(%+x)(x-»-a+4»]+Ay
(4+±-工
(2)先化简l*-Q+l1-va-l,若丁的取值范围是-1SIW1,且为整数,求该式的值.
22.某商场计划购进一批篮球和足球,其中篮球的单价比足球的单价多30元,已知用360元购进的足球和
用480元购进的篮球数量相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)若篮球售价为每个150元,足球售价为每个110元,商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还
多10个,且获利超过1300元,问篮球最少要卖多少个?
23.两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到
两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,AB=AC,AD=
AE,ZBAC=ZDAE,连接8。,CE,则△ABO会ZXACE.
(1)请证明图1的结论成立;
(2)如图2,AABC和△AED是等边三角形,连接3D,EC交于点0,求N20C的度数;
(3)如图3,AB=BC,ZABC=ZBDC=60o,试探究NA与NC的数量关系.
24.问题情境:在学习《图形的平移和旋转》时,数学兴趣小组遇到这样一个问题:如图1,点D为等边
的边3c上一点,将线段也)绕点A逆时针旋转60°得到线段HE,连接CE.
(I)【猜想证明】试猜想8。与CE的数量关系,并加以证明;
(2)【探究应用】如图2,点O为等边自池。内一点,将线段功绕点A逆时针旋转60°得到线段
AE,连接CE,若B、。、E三点共线,求证:颜平分/四°;
(3)【拓展提升】如图3,若A4BC是边长为2的等边三角形,点。是线段3c上的动点,将线段工。
绕点。顺时针旋转60°得到线段。连接CE•点D在运动过程中,JEC的周长最小值=
(直接写答案)
25.如图,点A、8分别是无轴、y轴上的两个动点,以8为直角顶点,以用为腰作等腰RtZiMC.
杖杖
C
图①图0图③
(1)如图①,若点C的横坐标为2,点B的坐标为:
(2)如图②,过C作⑺轴于点。,连接3D.求乙80c的大小;
(3)如图③,移动点A,2的位置,使x轴恰好平分月0,3C交X轴于点M,试猜想线段
MCB、°”之间的数量关系,并说明理由.
2024-2025学年第一学期广东省广州市八年级期末数学培优训练卷
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,满分30分)
1.在以下图形中,不是轴对称图形的是().
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴
对称图形,这条直线叫做对称轴;据此解答即可.
【详解】由分析可知,已知图形中不属于轴对称图形的是图形D.
故选D.
【点睛】掌握轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
2.在函数y中,自变量x的取值范围是()
A.x<2B.x>2C.x<2且#0D.x<2且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0列不等式组求解.
2-x>0
<
【详解】解:根据题意得:I、工°
解得:且XHO.
故选:D
【点睛】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0,二次根式有意义,被开方数是非负数.
3.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A.x(a-b)-ax-bxB,v-1+v-(r-lXx+l)+r-
2
C.T-1=(X-1)(X+1)Dax+by+c=+b)+c
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解的判断,把一个多项式转化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,据此进行
判断即可.
【详解】解:A、是整式的乘法,不符合题意;
B、等式右边不是整式的积的形式,不符合题意;
C、是因式分解,符合题意;
D、等式右边不是整式的积的形式,不符合题意;
故选c.
4.如图,AD//BC,AE=CF,下列选项补充的条件中,能证明△血)尸的是()
A.Z5=ZDB.DF=BEc.ZX=ZCD.AF=CE
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定,根据3(7得到乙4=/C,根据花=CW得到人斤=0后,
结合三角形全等判定即可得到答案;
【详解】解:-:ADBC,
C,
■:AE=CF,
:.AF=CE,
当NB=NO符合角角边定理,
当乙4=NC,DF=39均不满足三角形全等的判定,
故选:A.
5.若点Pia°)与点-2:,关于x轴对称,则点'("一40+”)关于y轴对称的点A'的坐标是()
A.B.口,1c.IT")D.(5」)
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了关于y轴、无轴对称的点的坐标,根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐
标互为相反数,关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答即可.
【详解】解:点尸(°⑸与点P(1T)关于x轴对称,
则。=1,6=2,
.・.3。-b=1,a+b=3,
•.A•(13),
•.•点H(L3)关于>轴对称的点w,
•••4(T,3)•
故选:A.
6.如图所示,BC,AE是锐角一4即1的高,相交于点若AD=BF,AF=7,CF=2,则BD的长
为().
B
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出NDC2=NBCE=NASF=90°,再根据同角的余角相等得出NADC=NR,根
据AAS证明=^BFC,最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案.
【详解】:BC,AE是锐角二4胪的高
..ZDCA=ZBCF=ZAEF=90°
..ADAC+ZADC=90°.Z.EAF+N斤=90°
;,ZADC=ZF
\AD-BF
:.^ADC^BFC(AAS]
CD=CF=2BC=AC=AF-CF=1-2=5
BD=BC-CD=5-2=3
故选B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
7.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于
E,F点.若点。为BC边的中点,点M为线段所上一动点,则MC+MD的最小值为()
A.6B.8C.10D.12
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD,由于A4BC是等腰三角形,点。是3c边的中点,故AOL2C,再根据三角形的面积
公式求出A。的长,再再根据£尸是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线所的对称点为点A,故
4。的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.
【详解】解:连接AD,
AB
・・・△A3C是等腰三角形,点。是3c边的中点,
:.AD1.BC,
i_2_
SAABC=2BC9AD=2x4xAD=16,
解得AD=8,
VEF是线段AC的垂直平分线,
/.点C关于直线EF的对称点为点A,
:.AD的长为CM+MD的最小值,
.■.MC+MD的最小值为8.
故选:B.
【点睛】本题考查的是轴对称一一最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
8.如图,在平面直角坐标中,乙4=90°,OA-2,03平分N/O1,点2)关于彳轴的
【答案】c
【解析】
【分析】过B点作轴于点c,则AOH夕zocg,即℃=Q4,写出B点坐标,最后求出关于
X轴的对称点的坐标.
【详解】解:如图,过8点作3。LT轴于点c
•.•4=90。
;.ZA=ZOCB=%°
•:。3平分N4。1,
:.^AOB=ZBOC
又:OB=OB
.•.JDAB,,40cB
:.OC=OA
即:。-1=2
解得:°=3
.5(2,1)
...屈二1)关于x轴的对称点是a,-D
故选c
【点睛】本题考查角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,平面直角坐标系点的对称,作辅助线构造
全等三角形是解题的关键.
1L
-a<b<a
9.现有一张边长为。的大正方形卡片和两张边长为b的小正方形卡片(2).如图1,取出两
张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2和图3,已知图2中的阴影部分的面积与图3
中的阴影部分的面积相等,则。,6满足的关系式为()
U,f>b
图I图2图3
A.4b=3aB.令=2ac.6b=5aD.%=4a
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查数形结合,利用代数式表示阴影部分面积,再结合完全平方公式和整式的加减运算
即可求得答案.
【详解】解:图2中阴影部分的面积可表示为(。-6卬,图3中阴影部分的面积可表示为(为一。),
•••图2中的阴影部分的面积与图3中的阴影部分的面积相等,
化解得4b=3a,
故选:A.
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边作等边4ABE和等边AADF,分别连接CE,CF
和EF,则下列结论,一定成立的个数是()
①4CDF之ZXEBC;
②4CEF是等边三角形;
③NCDF=NEAF;
④CE〃DF
A.1B.2C.3D.4
【答案】c
【解析】
【分析】利用“边角边”证明4CDF和aEBC全等,判定①正确;同理求出4CDF和4EAF全等,根据全等
三角形对应边相等可得尸,判定4ECF是等边三角形,判定②正确;利用“8字型”判定③正
确;若CE"DF,则c、F、A三点共线,故④错误;即可得出答案.
【详解】在口43。。中,^ADC=ZABC,AD=BC,CD=AB,
△ABEsAD.都是等边三角形,
:.AD=DF,AB=EB,^DFA=ZADF=^ABE=6Q°,
:DF=BC,CABE,
,-.ZCZ)F-ZAZ)C-60o,
AEBC=AABC-60°,
:.NCDF=4BC,
'DF=BC
<ZCDF=AEBC
在ACDF和△劭。中,〔0。=旗,
/.ACDF=^.EBC(SAS),故①正确;
在QHBCO中,设AE交CD于O,AE交DF于K,如图:
ZDOJ4=NOAF=60。,
-DOA2DFO,
•"OKD=£AKF,
•••NODF=NOAF,
故③正确;
'CD=EA
,/CDF=ZEAF
在ACD尸和△瓦4尸中,[OF=9
;,^CDF^EAFCSAS),
:.EF-CF,
---CDF^-EBC,
c.CE^CF,
•••EC=CF=EF,
.•.一ECT是等边三角形,故②正确;
则/。尸£=60°,
若CE/O尸时,
则一OWE-Z.CEF60°,
“DFA6Q-CFE,
:/CFE+ADFE+/皿=180°,
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线,故④错误;
综上所述,正确的结论有①②③.
故选:C.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质,解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判
定三角形全等的方法证明.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分.)
11.在平面直角坐标系中,点火关于轴对称的点的坐标是.
【答案】(-3,一口
【解析】
【分析】本题考查关于J轴对称的点的坐标,根据平面直角坐标系中任意一点尸(工】'),关于X轴的对称
点的坐标是(工一】'),关于y轴对称的点的坐标为(一八丁1,从而得出答案.
【详解】解:点火(3,-1)关于j轴对称的点的坐标是(-3.-1),
故答案为:(77).
12.等腰三角形两边长为5和8,则三角形周长为一.
【答案】18或21
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关
键.此类题不要漏掉一种情况,同时注意看是否符合三角形的三边关系.
分情况考虑:当5是腰时或当8是腰时,然后分别求出两种情况下的周长.
【详解】解:当5是腰时,能组成三角形,周长为5x2+8=18;
当8是腰时,能组成三角形,则三角形的周长是8x2+5=21.
故答案为:21或18.
13.如图,在一中,AB=AC,DE是用的垂直平分线,若45=12,BC=S,则ABCE的周
长为.
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质,根据线段垂直平分线的性质得到力E=BE,然后根据三角形
的周长公式求解即可.
【详解】解:•••QE是45的垂直平分线,
:.AE=BE,又M=40=12,5C-8,
AECE的周长为8。+0£+38=3。+。月+羔=3。+幺。=8+12=:!0,
故答案为:20.
14.学习新知时,我们利用图形的拼接得到完全平方公式,小红也想探究一下图形的奥秘,她利用四块长
为。,宽为6的长方形纸片,拼成如图形状.观察图片,写出代数式(“+》)',(a-b),之间的等量
关系;
b
[答案](a=(a-b「+4处
【解析】
【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系,根据图形面积及面积和找到关系式,
【详解】解:由图形面积得:
(a+6)3=(O-6)3+4ab
故答案为:(a+b)'=(a・b)’+4而
15.如图,在乙/BC中,AB=AC,分别以点A、R为圆心,以适当的长为半径画弧,两弧分别交于
E、F,画直线E尸,。为的中点,M为直线E尸上任意一点.若BC=5,443c的面积为15,则
BM长度的最小值为.
c
【答案】6
【解析】
【分析】如图,连接AD,利用三角形的面积公式求出M,再根据两点之间线段最短,线段的
垂直平分线的性质判断即可求解.
【详解】解:如图,连接期,AD.
•.・阕=力。,〃为的中点,
根据等腰三角形三线合一的性质,
AD1BC,
••马“・;BCAD
•.•E尸垂直平分线段/亩,
MB+MD・AM+MD2AD・6,
..BM+QM的最小值为6,
故答案为:6.
【点睛】本题考查作图一基本作图,线段的垂直平分线的性质,三角形的面积,两点之间线段最短、等腰
三角形的性质,解题的关键是学会利用垂线段最短来解决最值问题.
16.如图所示,已知乙加。和L4DE都是等腰三角形,/a4。=一£悭=90°,连接3D,CE交于点
F,连接4足下列结论:①BD=CE;②BF1CF;③从尸平分NCAD;④乙4?E=45°.其中正确
结论的有.(注:把你认为正确的答案序号都写上)
B
VD
【答案】①②④
【解析】
【分析】如图,作于M,AN_LEC于N,设A。交所于0.证明△BA。丝△CAE,利用全等三
角形的性质可判断①②,再证明=结合角平分线的性质可判断③,由AF平分NC4D逆向推导
出与题干互相矛盾的结论,可判断④,从而可得答案.
【详解】解:如图,作于M,AN_LEC于N,设4。交所于0.
VZBAC=ZDAE=90°,
ZBAD=ZCAE,
\9AB=AC,AD=AE,
:.ABAD^ACAE(SAS),
:.EC=BD,ZBDA=ZAEC,故①符合题意;
・・・ZDOF=ZAOE,
:.ZDFO=ZEAO=90°,
:.BD±EC,故②符合题意,
VABAD^ACAE,AMLBD,ANLEC,
:.AM=AN,
;・FA平分NEFB,而80_LCE,
:.ZAFE=45°,故④符合题意,
若③成立,则/应
ZAFE=ZAFB,
:.ZAEF=ZABD=ZADB,推出AB=AO,
由题意知,AB不一定等于A。,所以AF不一定平分/OLD,故③不符合题意,
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,角平分线的性质定理的应用,等腰直角三角形的性质等知
识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
三、解答题(本题有9个小题,共72分,解答要求写出文字说明、证明过程或计算步
骤.)
17.分解因式:
(1)
⑵1"+4J,+2.
【答案】⑴。(工+丁)。-丁)
⑵2("】广
【解析】
【分析】本题主要考查用提公因式法和公式法分解因式,熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的
关键.
(1)先提公因式。,再运用平方差公式分解因式即可;
(2)先提公因式2,再运用完全平方公式分解因式即可.
【17题详解】
解:原式=力二『"("「®r);
【18题详解】
解:原式-为+1)=2(】,+】)〔
18.计算:
⑴(2x+l)(i-3);
⑵(a-3)("3归+9)
【答案】⑴2--5x-3
(2)a4-S1
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算,涉及多项式乘以多项式、平方差公式等知识,灵活掌握整式加减乘法
运算法则是解决问题的关键.
(1)利用多项式乘以多项式法则,再由整式加减合并同类项即可得到答案;
(2)根据整式结构特征,利用整式乘法中的平方差公式逐步求解即可得到答案.
【小问1详解】
解:(2x+l)(x-3)
--6T+I-3
【小问2详解】
解:(。・3)3+3)(『+9)
=(1一9乂1+9)
=/-51.
19.如图,在平面直角坐标系中,‘Lil,'(-1.4).
(1)在图中画出关于J轴对称的△月马弓;
(2)在X轴上作出一点p,使产H+尸3最小,并直接写出点P的坐标.(保留作图痕迹,不要求写作
法)
(3)若点*2a+34)与点C关于¥轴对称,求一的值.
【答案】(1)见解析(2)尸(T,°)
(3)1
【解析】
【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值,熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征
是解答的关键.
(1)根据关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数得到对应点,再顺次连接即可画出对称图
形;
(2)找到点A关于X轴的对称点4,连接48交X轴于点尸,此时24+尸B最小,由图知点尸坐标;
(3)根据关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程,求得a、b值代入
求解即可.
【小问1详解】
解:如图,△月401即为所求作:
r【小问2详解】
解:如图,作点A关于无轴的对称点H,连接43交X轴于点P,此时24+出最小,
由图知,尸(一L°);
【小问3详解】
解:•.•点CQ+O-4)与点C关于X轴对称,
/.2a+1=-1,6-4=-4,
:.a=-1,3-0,
.a*=(-1)°=1
20.如图,E、R是四边形即CD的对角线力。上两点,AE=CF,DF=BE,DF//BE.求证:
D_
X
(i)AD=CB.
(2)AD//CB.
【答案】(i)证明见解析;
(2)证明见解析;
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定和性质,证明bSABCE是解题的关
键;
(1)由=推导出<H=CE,由Z)月〃BE,证明N"O=NCEE,根据“SAS”证明
△ADFABCE,即可得出结论;
(2)由全等三角形的性质得ND1歹=4CE;则应)”C3.
【小问1详解】
证明:••.HE=CF,
,AE+EF=CF+EF,
AF-CE,
-DF//BE,
-ZAFD=ACEB,
在_4)尸和ABCE中
AF=CE
<ZAFD=ZCEB
LDF=BE,
△ADF—BCE,
AD=CB.
【小问2详解】
证明:...△幺0斤°A8CE,
ADAF-ZBCE,
AD//CB.
21.计算:
⑴[(>+x)("»~(x+4y旷卜4y
(F-l1)?
——---+---**
⑵先化简Ix'-M+l1-vJX-1,若K的取值范围是-1三1,且为整数,求该式的值.
【答案】⑴fix;
(2)x,-1.
【解析】
【分析】(1)先根据乘法公式计算,合并同类项后,再利用多项式的除法计算即可;
(2)先把分子分母因式分解,再把除法运算化为乘法运算,然后约分后进行通分进行分式的减法运算,
得到最简结果,把合适的尤的值代入计算即可求出值.
【小问1详解】
解.[(>+x)(x-»-(x+4j力+Ay
=(.T3-4y3-x3-Sri--16y2卜4v
=(-20j,2-8v)+4y
=-53'-2x.
【小问2详解】
(?-11
------+——
解:-2-T+I1-.T
(X+1)(T-1)1
=------5--+----
(x-l)1-Xx-1
Jx+11]x-1
(x-1T-1Jx2
.x-1.x3
X,
X-1HO,iwO,
V-1<A-<1,且为整数,
AA=-1,
原式T
【点睛】本题考查了整式的混合运算,分式的化简求值.解(2)题的关键是掌握分式混合运算顺序和运
算法则.
22.某商场计划购进一批篮球和足球,其中篮球的单价比足球的单价多30元,已知用360元购进的足球和
用4so元购进的篮球数量相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)若篮球售价为每个150元,足球售价为每个110元,商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还
多10个,且获利超过1300元,问篮球最少要卖多少个?
【答案】(1)足球单价为90元,篮球单价为120元;
(2)获利超过1300元,篮球最少要卖31个.
【解析】
【分析】(1)利用分式方程即可求出篮球和足球的单价;
|-m+10|
(2)设购买篮球)”个,则购买足球(3J个,根据题意列不等式即可;
本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用,解题的关键是弄清题意找准等量关系和不等量关系,正
确列出方程和不等式.
【小问1详解】
解:设足球单价为:v元,则篮球单价为('+3°)元,
360_480
由题意得:xx+30,
解得工=90,
经检验:x=90是原分式方程的解,
则x+30=90+30=120,
答:足球单价为90元,篮球单价为120元;
【小问2详解】
(—m+10]
解:设购买篮球加个,则购买足球13J个,
(150-120)加+(110-90)x已加+101>1300
由题意得:13),
解得力>30,
..•加为整数,
篮球最少要卖31个,
答:获利超过1?00元,篮球最少要卖31个.
23.两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到
两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,AB^AC,AD=
AE,ZBAC=ZDAE,连接BO,CE,则g△ACE.
图3
(1)请证明图1的结论成立;
(2)如图2,AABC和A4即是等边三角形,连接2。,EC交于点O,求N20C的度数;
(3)如图3,AB=BC,NABC=NBDC=60°,试探究NA与NC的数量关系.
【答案】(1)见解析(2)60°
(3)ZA+ZBCD=180°,理由见解析
【解析】
【分析】(1)利用等式的性质得出/BAD=/CAE,即可得出结论;
(2)同(1)的方法判断出瓦格△相<£,得出/AOB=/AEC,再利用对顶角和三角形的内角和定理
判断出/BOC=60。,即可得出答案;
(3)先判断出是等边三角形,得出8。=8尸,ZDBP=6Q°,进而判断出△AB。名(SAS),
即可得出结论.
【小问1详解】
解:证明:VZBAC=ZDAE,
:.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,
:.ZBAD=ZCAE,
在△ABO和△ACE中,
AB=AC
<ABAD=ZCAE
、AD=AE,
AAABD^AACE(SAS);
【小问2详解】
如图2,
:AABC和△ADE是等边三角形,
:.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,
:.ZBAD=ZCAE,
在△AB。和aACE中,
AB=AC
<乙BAD=Z.CAE
,AD=AE,
AAABD^AACE(SAS),
・•・ZADB=ZAEC,
令AO与CE交于点G,
*.*/AGE=/DGO,
:.180°-ZAZ)B-ZZ)GO=180o-ZAEC-ZAGE,
JZDOE=ZDAE=60°,
:.N8OO6O。;
【小问3详解】
ZA+ZBC£>=180°.理由:
如图3,延长OC至尸,使DP=DB,
:/BDC=60°,
是等边三角形,
:.BD=BP,ZDBP=60°,
,:ZABC=60°=ZDBP,
:.ZABD=ZCBP,
':AB=CB,
:.AABD^ACBP(SAS),
ZBCP=ZA,
":ZBCD+ZBCP=1?,O°,
:.ZA+ZBCD=1SQ°.
【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和
性质,构造等边三角形是解本题的关键.
24.问题情境:在学习《图形的平移和旋转》时,数学兴趣小组遇到这样一个问题:如图1,点。为等边
的边3c上一点,将线段4D绕点A逆时针旋转60。得到线段抽,连接CE.
(1)【猜想证明】试猜想80与CE的数量关系,并加以证明;
(2)【探究应用】如图2,点。为等边上加。内一点,将线段4?绕点A逆时针旋转6。°得到线段
AE,连接CF,若B、D、£三点共线,求证:EB平分/4EC;
(3)【拓展提升】如图3,若以4BC是边长为2的等边三角形,点。是线段上的动点,将线段加
绕点。顺时针旋转60°得到线段。后,连接C之.点。在运动过程中,&DEC的周长最小值=
(直接写答案)
【答案】(1)BD=CE,证明见解析
(2)见解析(3)2+万
【解析】
【分析】(1)由旋转的性质可得拉^DAE=60°,由“SAS”可证一△幺CE,可得
BD=CE;
(2)由旋转的性质可得=^DAE=60°,由“SAS”可证占451)24月。后,可得
ZADB=ZAEC=\20°,从而求得/AEB=N5EC=60°,即可得出结论;
(3)连接花,由旋转可得力D=OE,/DDE=60。,则LHDE是等边三角形,所以DE=/D,由
(1)知BD=CE,所以△Z)CE的周长=CZ)+CE+DE=CD+BD+«AD=3。+4)=2+4?,所
以当心最小时,△QCE的周长最小,最小值=2+幺0,所以当4)18。时,4D最小,此时
BD——BC=1>-
的周长最小,由等边三角形性质求得2,由勾股定理求得4D=43,即可求解.
【小问1详解】
解:BD=CE,
证明:♦.•将线段位)绕点A逆时针旋转60°得到AE,
:.AD=AE,ADAE
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