高考数学总复习《正态分布》专项测试卷（含答案）

高考数学总复习《正态分布》专项测试卷含答案

学校:班级：姓名：考号：

一、单项选择题

1.为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某学校进行一次体能测试，这次体能测试满分为10。分，从高

三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果服从正态分布M70,/）.若。在（50,70）内取值的概

率为04,则。在90分以上取值的概率为（）

A.0.05B.0.1C.0.2D.0.4

2.（2024•河北邢台模拟）已知随机变量X服从正态分布NQ,『）,且P（X<6）=0.7,那么P（-2<X<6）=（）

A.0.2B.0.6

C.0.4D.0.8

3.（2024.安徽六安模拟）已知某批零件的长度X（单位：毫米）服从正态分布32）,从中随机抽取一

件，其长度恰好落在区间口。3,106］内的概率约为（）

（附：若随机变量X服从正态分布冷，则取/一三送《+亦0.6827,尸。/一2七乂q+2加0.9545）

A.0.0456B.0.1359

C.0.2718D.0.3174

4.已知随机变量服从正态分布N（l,/）,若P02）=a,P（0<f<l）=l-3a,则尸（走0）=（）

11

A-4B-3

C1D3

J2,4

5.（2024.山东潍坊模拟）某学校共1000人参加数学测验，考试成绩。近似服从正态分布N（100,<?）,

若尸（80S史100）=0.45,则估计成绩在120分以上的学生人数为（）

A.25B.50

C.75D.100

2

6.有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：mm）都服从正态分布M20,/），且P（19<XS21）=］.

在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间（20,21］的概率为（）

64801640

A,243B,243C,81D-243

二、多项选择题

7.（2024.云南昆明模拟）已知两种不同型号的电子元件（分别记为X,F）的使用寿命均服从正态分布，X〜

N5,况），Y〜Ng,后），这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）

第1页共11页

参考数据：若Z〜N(A,02),则尸a—启Z%+(7户0.6827,P^I-2(7<Z<JU+2(T)~0.9545.

A.—+2(TI)~0.8186

B.尸(臼2)<?(y印i)

C.P(X<(72)<P(X<(71)

D.对于任意的正数f,有尸(xq)>p(左。

8.(2024.山东泰安模拟)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三

系法”制型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业

科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：

x-1002

1200

cm)服从正态分布，其正态密度函数为/(x)=e，尤e(-oo,+GO),则下列说法正确的是()

10y/2:t

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大

9.(2024.广东深圳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,l),令g(x)=P(X%),若x>0,贝心)

A.g(-x)=l-g(x)

B.g(2x)=2g(x)

C.g(x)在(0,+oo)上是增函数

D.P(\X\<x)=2g(x)-1

10.(2024.湖南长沙一中高三月考)医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外

三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为

特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要

的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X〜N(0.9372,0.013

92).则下列结论正确的是(参考数据：若X〜N5,/)(。>0),则尸5一2后X9+2Qa0.9545,尸仍一3dxq

+3o-)=0.9973,0.9772550«0.3164)()

A.P(X<0.9)<0.5

B.P(X>0.9789>0.00135

C.P(X<0.4)<P(X>1.5)

D.假设生产状态正常，记y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2。的数量，则P(聆1卜0.683

第2页共11页

三、填空题与解答题

11.一试验田中的某种作物一株生长的果实个数无服从正态分布M90,^),且P(x<70)=0.2,从试验

田中随机抽取10株，果实个数在［90,110］的株数记作随机变量X,且X服从二项分布，则X的方差为.

12.(2024.山东潍坊模拟)设随机变量X服从标准正态分布X〜N(0,l),那么对于任意a,记夕⑷=P(X<a),

已知0(a)=0.7,则P(因<a)=.

19

13.(2024•辽宁沈阳模拟)已知随机变量GN(1,/)，且P&l)=P0a—3),贝仁+—(0<%<。)的最小

xa—x

值为.

14.(2024.江西赣州模拟)3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为

基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.中国的3D打印技术

在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置.我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种

零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到

检测结果：

质量[6,[7,[8,[9,[10,[11,[12,

指标7)8)9)10)11)12)13]

频率0.020.090.220.330.240.080.02

(1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值x和方差s1同一组的数据用该

组区间的中点值作代表).

(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标X〜N(〃，/),其中〃近似为样本平均数］，/近似为

样本方差

①若P(心a户0.9772,求a的值；

②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最有可

能是多少？

附参考数据：A/6-2.45,若X〜(r),则「仍一后乂9+0加於？7,P(pi-2o<X<n+2<7)~0.9544,

P(/z-3O<X<4/+3(7)=0.9973.

15.(2023.山东潍坊检测)2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班

级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球.已知这种球的质量指标式单位：g)服从正态分布NQi,<?),

其中〃=270,。=5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出冠军.积分规

则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积。分；而在比赛中以3：

2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球

第3页共11页

队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率

为p(0<p<l).

。一〃

⑴令〃=,，贝〜N(0,l)且孰〃)=尸(汇〃)，求①(-2),并证明①(-2)+⑦(2)=1.

⑵第10轮比赛中，记1班排球队以3：1取胜的概率为用)，求出价)的最大值点P0,并以P0作为P

的值，解决下列问题.

(i)在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X,求X的分布列.

(ii)已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后

一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多).若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：若Z〜N〃，/),则尸俗一区2%+0>0.6827,2dz%+2。户0.9545,Pg3收印+

3o■户0.9973.

高分推荐题

16.柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X〜C(y,xo),

其中当y=l,xo=O时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为加)=一^.已知X〜C(l,0),P(]X\<小)

711十X

21

=W，P(1<X<小)=记，则P(XW—1)=()

A.1B.|C.；D.3

解析版

一、单项选择题

1.为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某学校进行一次体能测试，这次体能测试满分为100分，从高

三年级抽取1。00名学生的测试结果，已知测试结果忑服从正态分布秋70,<?).若忑在(50,70)内取值的概

率为04,则。在90分以上取值的概率为()

A.0.05B.0.1C.0.2D.0.4

第4页共11页

解析：*服从正态分布M70,/),二正态曲线的对称轴是直线犬=70,."在(70,100)内取值的概率为

05°.飞在(50,70)内取值的概率为0.4,二。在(70,90)内取值的概率为0.4,则1f在90分以上取值的概率为0.5

-0.4=0.1.故选B.

答案：B

2.(2024•河北邢台模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2"),且P(X<6)=0.7,那么尸(-2<X<6)=()

A.0.2B.0.6

C.0.4D.0.8

解析：因为随机变量X〜N(2,卢)，P(X<6)=0.7,由正态分布的对称性可知，P(-2<X<6)=1-2P(^6)

=1—2x0.3=0.4.故选C.

答案：C

3.(2024•安徽六安模拟)已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(100,32),从中随机抽取一

件，其长度恰好落在区间口03,106］内的概率约为()

(附：若随机变量X服从正态分布N&,/)，则后X3z+OY).6827,2dxq+20户0.9545)

A.0.0456B.0.1359

C.0.2718D.0.3174

0.9545-0.6827

解析：P(103<X<106)=P(JLI+a<X<fi+---------------------=0.1359.

答案：B

4.已知随机变量。服从正态分布Ml,4)，若P02)=a,P(0<f<l)=l-3a,则P&0)=()

解析：因为随机变量。服从正态分布秋1,拉)，由正态曲线的对称性，知p(oqw)=p(i登：2),又P@l)

=3,尸(2D=尸(1S*2)+P(含2),所以3=1—30+的解得从而尸(后0)=尸(22)=9.故选A.

答案:A

5.(2024.山东潍坊模拟)某学校共1000人参加数学测验，考试成绩。近似服从正态分布N(100,/)，

若「(803公100)=0.45,则估计成绩在120分以上的学生人数为()

A.25B.50

C.75D.100

解析：由已知可得，〃=100,所以P0100)=05又P(80W000)=0.45,根据正态分布的对称性，可得

^(100<e<120)=0.45,所以尸(<>120)=P(2100)—PQ00W光120)=0.5—0.45=0.05.所以，可估计成绩在120

分以上的学生人数为1000x0.05=50.故选B.

答案：B

2

6.有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布M20,/)，且尸(19<乂021)=§.

第5页共11页

在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间（20,21］的概率为（）

A_6£R_80.C1640.

人24313-243J81243

21

解析：由题知正态曲线的对称轴为直线x=20,又因为P（19<XW21）=1,故P（20<XW21）=§.故在每条生

产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间（20,21］的概率为尸=%下义除2=翡故选D.

答案：D

二、多项选择题

7.（2024•云南昆明模拟）已知两种不同型号的电子元件（分别记为X,冷的使用寿命均服从正态分布，X〜

N",冼），Y〜Ng,侯），这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）

参考数据：若Z〜『），贝1］尸3—后2%+。户0.6827,P^t-2o<Z<t/+2a）~0.9545.

A.尸（/zi-g<X<〃i+26）M.8186

B.尸（我2）<p（y印i）

C.P（X<（72）<P（X<（71）

D.对于任意的正数r,有尸（X9>p（左。

解析：对于A,尸@1一。1VXV〃i+2ci户（0.6827+0.9545）x3=0.8186,A选项正确；

对于B,由正态分布密度曲线，可知〃1<〃2,

所以P（0，2）vp（a，i）,B选项正确；

对于C,由正态分布密度曲线，可知6<及，

所以P（X372）>P（X371）,C选项错误；

对于D,对于任意的正数十,由图象知P（xg）表示的面积始终大于P（左。表示的面积，所以P（X<t）>P（Y<t）,

D选项正确.

答案：ABD

8.（2024.山东泰安模拟）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三

系法”和型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业

科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：

X-10（）2

1200

cm）服从正态分布，其正态密度函数为危）=e+功,则下列说法正确的是（）

105

A.该地水稻的平均株高为100cm

第6页共11页

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大

1—亍

解析：正态密度函数为八x)=e,xe(-oo,4-GO),由题意知〃=100,/=100,所以该地

y[2Tto

水稻的平均株高为100cm,方差为100,故A正确，B错误；因为正态密度曲线关于直线x=100对称，所

以P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正确；P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故D错误.故选

AC.

答案：AC

9.(2024•广东深圳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,l),令g(x)=P(Xq),若x>0,贝女)

A.g(-x)=l-g(x)

B.g(2x)=2g(x)

C.g(x)在(0,+oo)上是增函数

D.P(因9)=2g(尤)一1

解析：：随机变量X服从正态分布N(0,l),...正态曲线关于直线x=0对称，g(x)在(0,+与上是增函数，

选项C正确；

•••g(x)=P(XWx)(x>。)，根据正态曲线的对称性可得g(—x)=P(XW—x)=P(心x)=1—g(x),选项A正确；

g(2x)=P(X<2x),2g(x)=2P(XWx)，选项B错误;P(因Wx)=P(-x<X<x)=1-2g(-x)=1-2[1-^(x)]=2g(x)

-1,选项D正确.故选ACD.

答案：ACD

10.(2024.湖南长沙一中高三月考)医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外

三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为

特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要

的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X〜N(0.9372,0.013

92).则下列结论正确的是(参考数据：若X〜N也,由9>0),则尸@—2^X31+2*0.9545,尸侬一3后X&z

+3。户0.9973,0.9772550«0.3164)()

A.P(X<0.9)<0.5

B.P(X>0.9789>0.00135

C.P(X<0.4)<P(X>1.5)

D.假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2。的数量，则尸(处1户0.683

6

解析：由题意，可知正态分布的〃=0.9372,。=0.0139.对于A,因为所以尸(XW0.9)<P(Xq)=

0.5,故A正确；对于B,因为P(X>0.9789)=尸(X>〃+3Q,且尸〃一3后X&/+3o•户0.9973,所以尸(X>0.978

第7页共11页

1-0.9973

9)~—2——=0.00135,故B正确;对于C,因为|〃一0.4|<|1.5—川,所以尸(X<0.4)>P(X>1.5),

1—09545

故C错误；对于D,因为一只口罩的过滤率小于或等于〃+2。的概率约为0.9545+—b—=0.97725,

所以P(少1)=1-37=0户1—0.977255°乜).6836,故D正确.故选ABD.

答案：ABD

三、填空题与解答题

11.一试验田中的某种作物一株生长的果实个数尤服从正态分布M90,『)，且P(x<70)=0.2,从试验

田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布，则X的方差为.

解析：因为无〜M90,/)，且P(x<70)=0.2,所以P(尤>110)=0.2,

所以P(90<x<110)=0.5-0.2=0.3,

所以X〜2(10,0.3),

X的方差为10x03x(1—差3)=21.

答案：2.1

12.(2024.山东潍坊模拟)设随机变量X服从标准正态分布X〜N(。,D,那么对于任意a,记0(a)=P(X<a),

已知贝。)=0.7,则P(因<a)=.

解析：由题可知，P(因<a)=P(—a<X<a)=1-2P(X>a)=1-2[1-9(a)]=1-2x(1-0.7)=0.4.

答案：0.4

i9

13.(2024.辽宁沈阳模拟)已知随机变量:〜N(l,/)，且尸(生1)=P(金〃-3),贝仁+——(04<。)的最小

xa—x

值为.

解析：由随机变量。〜Ml,而，知正态分布曲线的对称轴为直线(f=l,又因为P(走l)=P(2a-3),所

1Q(1.9、x+4-x(4—x1110+2、历

以1+(“-3)=2,所以a=4,当。4<4时，有嚏+==«+匚；/「一=[10+丁+=Jx庐:~—

4—XQr

=4,当且仅当丁=之，即彳=1时等号成立，故最小值为4.

答案：4

14.(2024.江西赣州模拟)3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为

基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.中国的3D打印技术

在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置.我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某种

零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到

检测结果：

质量[6,[7,[8,[9,[10,[11,[12,

指标7)8)9)10)11)12)13]

频率0.020.090.220.330.240.080.02

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(1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值X和方差S2(同一组的数据用该

组区间的中点值作代表).

(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标X〜NQ,/),其中〃近似为样本平均数/近似为

样本方差

①若P(心a户0.9772,求a的值；

②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最有可

能是多少？

附参考数据：止245,若X〜o2),则+a户0.6827,P(/i-2a<X<pi+2<7)~0.9544,

P(A-3O<X<M+3a)»0.9973.

解：(1)由题意可得：

T=6.5x0.02+7.5x0.09+8.5x0.22+9.5x0.33+10.5x0.24+11.5x0.08+12.5x0.02=9.5,

?=(6.5-9.5)2x0.02+(7.5-9.5)2x0.09+(8.5-9.5)2x0.22+(9.5-9.5)2x0.33+(10.5-9.5)2x0.24+(11.5-

9.5)2x0.08+(12.5-9.5)2x0.02=1.5.

(2)由(1)可得〃=x=9.5,(T2=1.5,。=VL5=-------1.22,即X〜N(9.5,1.5).

y[6

①因为尸(X学-2(T)=3+；P(M—2dxq+2。户0.9772,

所以a=〃-2o=9.5—2xl.22=7.06.

②由①可知P(心7.06户0.9772,

设这500件零件中质量指标不少于7.06的件数为Y,则/〜8(500,0.9772),

可得p(y=%)=C§ooxO.97729(1—0.9772)50°-1—孙…,500,

PY=k>PY=k+\,

令｛

[PY=li>PY=k-l,

'C§ooxO.9772*xl-0.9772500-k>

CWxO.9772/:+1xl-0.9772499-k,

即《

ClooxO.9772kxi-0.9772500~*>

<CWx0.9772/Txl—0.9772501-\

解得488.5772必989.5772,

且左GN,贝株=489,即当上=489时，概率最大，

所以这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最有可能是489.

15.(2023•山东潍坊检测)2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班

级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球.已知这种球的质量指标式单位：g)服从正态分布N(〃，/),

其中〃=270,。=5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出冠军.积分规

第9页共11页

则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：

2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球

队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率

为p(0<p<l).

W—a

⑴令〃=,，则〃〜N(0,l)且。⑷=P(〃％),求我—2),并证明。(―2)+。(2)=1.

(2)第10轮比赛中，记1班排球队以3：1取胜的概率为用)，求出价)的最大值点po,并以po作为p

的值，解决下列问题.

(i)在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X,求X的分布列.

(ii)已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后

一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多).若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：若Z〜N〃，/),则Pa-dZ9+o>0.6827,P(Ju-2o<Z<4/+2<7)=0.9545,PQz-3o<Z<4/+

3o■户0.9973.

A270

解：(1)由题意知〃,

所以0(-2)=P(//<-2)=P(^<260),