高考数学二轮复习专练：构造函数法解决不等式问题（原卷版+解析版）

构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：构造尸(x)=x'/(x)或/(》)=华(〃€2,且"0)型.....2

X

题型二：构造/(x)=«(x)或歹(x)=^(〃eZ,且"0)型.....3

e

题型三：构造/(x)=/(x)sinx或/x)=△2型.................4

smx

题型四：构造E(x)=/(x)cosx或/(》)=△^型................5

COSX

三、专项训练.............................................6

一、必备秘籍

1、两个基本还原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)=[/(X)g(X)r②/‘(”应(：)一应’。)=[配了

[g(x1)2r“g(x)

2、类型一：构造可导积函数

①6"'[/'(》)+相(创=国'"(创'高频考点1：[/V)+/(%)]=[£w)r

②x〃T[VG)+相(x)]=[x〃/(x)了

高频考点1：W'(x)+/(x)=W(x)]'高频考点2xW'(x)+2/(x)]=[x2/(x)了

一师以上，Xf(X)-/(X)r/(X)V-也以上eXf(X)-2/(X)/(X),

局频考点1:J、)，、)=图频考点2J、)J1Tzy

XXXX

⑤/<x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx]r

(6)/'(x)cosx-/(x)sinx=[f(x)cosx\

序号条件构造函数

1/'(x)g(x)+/(x)g'(x)20F(x)=/(x)g(x)

2/Xx)+/(x)<0F(x)=exf(x)

3/'(X)+叭x)<0F(x)=e"(x)

44(x)+/(x)〉0产(x)=xf(x)

5矿(x)+2/(x)W0F(x)=x2f(x)

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=x-f(x)

7f\x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=f(x)sinx

8/'(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx

3、类型二：构造可商函数

①/'(x)—/?Ax)=[/(X)y高频考点i：/*/（》）=[誉了

②MG)-"f(x)=i/a)了

高频考点1：矿(x)；/(1=[小四'高频考点2：矿⑴:2/（x）=[Z孚

XXXX

③八x)sinx-/(x)cosc=

sin2xsinx

⑥八x)cosc+/(x)sinx=1/叫

-cos2XCOSX

二、典型题型

p（x\=/（X）

题型一：构造/x）=x7（x）或3x"（"CZ,且"0）型

1.（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）已知函数Ax）为定义在R上的偶函数，当x>0时,

矿（x）+2/（x）>0,则下列四个判断正确的为（）

A./(-2)<4/(1)B-/(-2)>4/(1)

C./(-2)<*D./(-2)>与

4

2.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知〃x)的定义域为(0,+8),1(x)是〃x)的导函数,且

x2f'(x)+2xf(x)=lwc,2ef(e)=1,则，/上门口的大小关系是()

A.小m］〈小心B.小心卜唱</"5

C•小11/唱<小'D.小可〈小臼</'4

3.(多选)(23-24高二下•山西太原•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,

#,(x)-/(x)<0,且/(1)=0,则下列结论正确的是()

A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)

C.当0<x<l时，/(%)>0D.当尤<-1时，/(x)<0

4.(多选)(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数的导函数为了'(X),对任意的正

数x,都满足/(X)<货'(x)<2〃x)-2x,则下列结论正确的是()

A/)”

B.〃1)彳“2)

C-/⑴<4/出一2

D.〃1)<力(2)+1

p(x\=/(-

题型二：构造4x)=e"V(x)或e'x(〃eZ,且〃#0)型

1.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有

/'(x)-/(x)>0,则()

A./(-1)>0B./(3)>ef(2)

D.ef(3)>/(4)

2.(2024•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数/(尤)及其导函数7'(x)满足

/(x)</'(x)恒成立，且x>0时/'(x)>0,则下列式子不一定成立的是()

A./⑻>2/(4)B./(4)>2/(2)

C./(2)>2/(1)D./(1)>2/Q]

3.(2020・广东梅州•模拟预测)设/(无)是/'(x)的导函数，定义在(0,+。)上的函数/(x)满

f⑴

足(1)/(x)>0；(2)2/(x)</(x)<3/(x),则彳号的范围为()

J\z)

A-15口B.C.D.

4.(多选)(23-24高二上•安徽滁州•期末)已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),

且对任意的xeR,都有〃x)+/G)>0,则下列说法正确的是()

A.ef(l)</(0)B.ef(D>/(0)

C.2/(ln2)<ef(l)D.2/(ta2)>ef(l)

5.(多选)(2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数〃x),g(x),/(x)的

里”是指数函数，/(0)=0,g(l)=2,则下列说法正

导函数为了'(X),若/'(无)-/(尤)=e*,

X

确的是()

A.g(x)=x-2xB./(X)在R上单调递增

nf(n)7(2);g(e)

C.nGN*,gD.

In2In22e

p(x\=/(X)

题型三：构造b(x)=f(x)sinx或sinx型

1.(23-24高二下•重庆•阶段练习)函数〃x)是定义在(f,0)U(0,兀)上的奇函数，其导函

数为/'(X),且/仁)=0,当0<x<兀时，/'(x)sinx-〃x)cosx<0,贝IJ关于x的不等式/(x)<0

的解集为()

兀

A.

呜2

C.(-兀,O)u[o，T

兀71

2.（23-24高二下•重庆）设/'（X）是函数“X）的导函数，当xe时,

2?2

cos2x-/(x)+sin2x-/z(x)>-/(%),则()

7171

>0

6

D./(-1)/(1)<0

3.（23-24高二下•江苏•阶段练习）函数〃x）的定义域是（0,兀），其导函数是7'（X）,若

/'(x)siiixv-/（x）cosx,则关于x的不等式72/（x）sinx的解集为

P（x\=/（X）

题型四：构造E（x）=/（x）cosx或'COSX型

1.（23-24高二上.宁夏石嘴山.）定义在里上的函数1（x）,r（x）是它的导函数，且恒

有•/''（》）＞/卜）-211》成立.则（）

D.Of兀兀

2.（多选）（23-24高二下•安徽滁州•阶段练习）定义在上的函数〃尤），已知/'（x）是

+sinx・/（x）＜0成立，则有（）

3.（23-24高二下•江苏苏州•期中）己知函数v=/（x）,xelo,j,尸（X）是其导函数，恒

有%^>小1,贝U()

sinxcosx

7171>^f71

A./>

2

Tt71

c./<2cosl•/(l)D.f>2/(1)cos1

三、专项训练

1.（23-24高二下•广东东莞•阶段练习）已知/'（X）为函数/（x）的导函数，当x>0时，有

恒成立，则下列不等式一定成立的是（）

2.（23-24高二下・四川宜宾•阶段练习）已知函数/（x）的定义域为R,对任意xeR,有

/V）-/（x）>0,则不等式6"（》+1）>5〃2苫-1）的解集是（）

A.[x\x<4}B.[x\x<3}C.[x\x<2}D.[x\x<1}

3.（23-24高二下・四川内江•阶段练习）已知函数/'（x）是定义在R上的可导函数，其导函

数为f（x）.若/（0）=5,且/（尤）-/'（">2,则使不等式/（关心31+2成立的x的取值范

围为（）

A.（-<»,-1]B.[1,+<»）C.（-<»,0]D.[0,+（»）

4.（21-22高三下•西藏拉萨•阶段练习）设函数/⑺是奇函数/（x）（xeR）的导函数，

/（-1）=0,当x>0时，尤）<0,则不等式〃x）<0的解集为（）

A.（-oo,-l）u（0,1）B.（-1,0）"1,+8）

C.（-»,-l）U（-l,0）D.（O,l）U（l,+s）

5.（23-24高三上•陕西•阶段练习）已知函数〃x）的定义域是（-5,5）,其导函数为/'（尤），

且〃x）+矿（x）>2,则不等式（2尤-3）/（2尤-3）-（尤>2x-4的解集是（）

A.（2,+8）B.（2,6）C.（-4,6）D.（2,4）

6.（22-23高二下•四川绵阳•期中）已知定义在R上的函数〃x）的导函数为/（X）,且

r（x）-/（x）<0,/⑴=e,则不等式〃lnx）>尤的解集为（）

A.（0,Ve）B.（0,e）C.（五,+s）D.（e,+oo）

7.（22-23高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知定义在R上的函数/（x）的导函数为尸（尤），

且3/（x）+/，（x）<0J（ln2）=l,则不等式/（x）/>8的解集为（）

A.（-oo,2）B.（-co,ln2）C.（ln2,+oo）D.（2,+00）

8.(22-23高二下•江西吉安・期末)若定义在R上的可导函数/(X)满足

(x+3)f(x)+(x+2)f'(x)<0,/(0)=1,则下列说法正确的是()

21?

A./(-l)<2eB./(1)<-C./(2)>—D.八3)>皆

二、多选题

9.(2024•浙江温州•一模)定义在R上的函数/(x)的导函数为r(x),对于任意实数x,都

有〃f)+e2"(x)=0,且满足2/(x)+「(x)=2,则()

A.函数尸(x)=e"(x)为奇函数

a

B.不等式e"(x)-=<0的解集为(O,ln2)

e

C.若方程=0有两个根X],三，则X[+X2>2a

D./(“在(OJ(O))处的切线方程为y=4x

10.(2023•海南海口•模拟预测)已知函数〃x)的定义域为R,其导函数为/'(x),且

2/(x)+r(x)=x,则()

A./(-1)>-2B./(1)>-1

C./(x)在(-巩0)上是减函数D.1(x)在(。,+纥)上是增函数

三、填空题

11.(23-24高二下•上海•期中)设/(x)是定义在R上的偶函数，/'(x)为其导函数，

7(2024)=0,当x>0时，有力'(x)>/(x)恒成立，则不等式#(x)>0的解集为.

12.(23-24高二下•江西南昌•阶段练习)定义在(0,+◎上的函数/⑴的导函数为了'(X),且

切。)+/(%)<0,则不等式1丁)>"2)+若]的解集为.

13.(22-23高二下•吉林长春•期中)已知函数/⑴的导数为/'(尤)，若2/(x)+/'(x)>2,

/(0)=5,则不等式/3-463>1的解集为.

14.(22-23高三上•山东•阶段练习)已知/"(x)为定义域R上函数“X)的导函数，且

4

r(x)+r(2-x)=0,X>1,(》-1)-(力+2。勾>0且/(3)=1,则不等式〃x)>7--T

(尤-1)

的解集为.

构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：构造尸(x)=x'/(x)或/(》)=华(〃€2,且"0)型.....2

X

题型二：构造/(x)=«(x)或歹(x)=^(〃eZ,且"0)型.....3

e

题型三：构造/(x)=/(x)sinx或/x)=△2型.................4

smx

题型四：构造E(x)=/(x)cosx或/(》)=△^型................5

COSX

三、专项训练.............................................6

一、必备秘籍

1、两个基本还原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)=[/(X)g(X)r②/‘(”应(：)一应’。)=[配了

[g(x1)2r“g(x)

2、类型一：构造可导积函数

①6"'[/'(》)+相(创=国'"(创'高频考点1：[/V)+/(%)]=[£w)r

②x〃T[VG)+相(x)]=[x〃/(x)了

高频考点1：W'(x)+/(x)=W(x)]'高频考点2xW'(x)+2/(x)]=[x2/(x)了

一师以上，Xf(X)-/(X)r/(X)V-也以上eXf(X)-2/(X)/(X),

局频考点1:J、)，、)=图频考点2J、)J1Tzy

XXXX

⑤/<x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx]r

(6)/'(x)cosx-/(x)sinx=[f(x)cosx\

序号条件构造函数

1/'(x)g(x)+/(x)g'(x)20F(x)=/(x)g(x)

2/Xx)+/(x)<0F(x)=exf(x)

3/'(X)+叭x)<0F(x)=e"(x)

44(x)+/(x)〉0产(x)=xf(x)

5矿(x)+2/(x)W0F(x)=x2f(x)

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7f\x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/'(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx

3、类型二：构造可商函数

高频考点I：/OO#V)-2/(x)[/(x).

#V)-/(x)=[r高频考点2：

XXx3x2'

色/'(x)sinx-/(x)cosx

二L.J

sin2xsinx

©/(x)cosx+/(x)sinx

=LJ

-cos2Xcosx

二、典型题型

p(x\=/(X)

题型一：构造/x)=x7(x)或3x"("CZ,且"0)型

1.(23-24高二下•湖南长沙•阶段练习)已知函数Ax)为定义在R上的偶函数，当x>0时,

矿(x)+2/(x)>0,则下列四个判断正确的为()

A./(-2)<4/(1)B./(-2)>4/(1)

C./(-2)<*D./(-2)>与

4

【答案】D

【分析】由犷'(X)+2/(x)>0(x>0)结构特征可知矿(x)+2/(%)是函数g(x)=x2/(x)的导数

简单变形得到的，故构造函数并得到函数g(x)=x2/(x)的单调性，再结合函数奇偶性即可判

断选项中各函数值大小.

【详解】令g(x)=x2/(x),则g'(x)=2^(x)+x2f\x)=x(2/(x)+^'(x))>0在(0,+8)恒成立，

所以在®+8)单调递增,所以g⑴<g(2),即/(I)<4/(2),

又因为函数/(x)为定义在R上的偶函数，所以〃1)<4〃-2),即〃一2)>”，

故选：D.

2.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知〃尤)的定义域为(0,+8),/(X)是/⑺的导函数，且

XY(X)+2V(X)=1IU,2炉(e)=l,则/msin]j]tanm的大小关系是()

/</s]n/tanb/sm<//tan

A.Q](zh(l]-(z}Qh(l)

C-小叫卜小尚D.小心]</卜用<佃

【答案】c

【分析】根据f/'(x)+2力(x)=lnx构造函数g(x)=/〃x),代入原式化简后得到

/(x)=xlnx-2g(x),再构造函数以x)=xlnx-2g(x),讨论%x)的单调性即可得到/((x)<0,

X

最后根据的单调性求解即可.

【详解】^^jx2fr(x)+2xf(x)=lnx,BP[x2/(x)]r=lnx,

构造函数g(x)=x»(x),贝!|g'(x)=lnx,/(无)=迎2.

将/(x)=g学代入//'(x)+2MXx)=In尤，得/“(x)="lnx-2g(x).

XX

再构造函数力(x)=xlnx-2g(x),则〃'(％)=lnx+l-2g'(x)=1—lnx,

易知，当x£(0,e)时，h\x)>0,函数〃(%)单调递增；当x£(e,+s)时，、(%)<0,函数右0)单

调递减，所以〃(x)max=A(e)=e-2g(e)=e-2e2<(e),

由于2y(e)=l,所以秋e)=0,所以〃(x)W0,

所以当xe(0,e)时，f\x)<0,函数单调递减;

当xe(e,+s)时，f'(x)<0,函数〃x)单调递减，所以/⑴在(0,+⑹单调递减.

又根据单位圆可得三角不等式sin,<,<tanL,又sin,<sinL,tan-<tan-,所以

3334332

.1

）（tan；）</（；）</（sin》,故/sin—

I4

故选：c.

【点睛】方法点睛：本题考查构造函数，并利用导数比大小的问题.题中条件

尤2/门)+2#(%)=11»可以构造函数81)=/〃乃，进一步构造函数〃(x)=xlnx-2g(x),然

后讨论〃(x)的单调性，由々(x)WO得到/，(x)<0,再由三角不等式得到自变量的大小关系，

最后根据/(x)的单调性求解.

3.(多选)(23-24高二下•山西太原•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,

xf-(x)-/(x)<0,M/(1)=O,则下列结论正确的是()

A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)

C.当0<x<l时，f(x)>0D.当尤<-1时，/(x)<0

【答案】BC

【分析】构造函数g(x)=9,然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.

【详解】设g(x)=*h

由〃x)是定义在R上的奇函数知，则X/0时，g(x)=20为偶函数，

且x>。时，垢)=矿?73<0,

故g(x)在(0,+8)单调递减，

由偶函数的对称性知，g(无)在(-8,0)单调递增，

故g(-2)>g(-3),即故3/(-2)<2/(-3),B选项正确；

—2—3

当0<x<l时，g(x)="^>g(l)=F=0,故/(x)>0,C选项正确；

当x<_l时，g(x)=^-H<g(-l)=g(l)=0,故/(x)>0,D选项错误；

由B,D选项知，0<3/(-2)<2/(-3),故2〃一2)-3)<3/(-3),A选项错误.

故选：BC

4.(多选)(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数/(x)的导函数为了'(X),对任意的正

数x,都满足/(x)<#'(x)<2/(x)-2x,则下列结论正确的是()

A.“I)”

B./⑴3⑵

C.Z（l）＜4/[1]-2

D./（l）＜^/（2）+l

【答案】BC

【分析】设g（尤）=中（尤＞0）,利用导数求出g（x）的单调性，据此即可判断A和B选项,

设Mx”了,4%码根据导数求出〃（x）的单调性，据此即可求解C和D选项.

【详解】设g（x）=#（尤＞0）,则gd'（?;/（Q＞o,

所以g（x）在（0,+s）上单调递增，

由g（l）＞得/⑴＞故A项错误；

由g⑴＜g（2）得/⑴＜；八2）,故B项正确；

设J（x）j2x（x＞0）,则

川⑴I""一2）"-（/（X）-2@.2xxf\"®-2》＜0,

所以〃（x）在（0,+⑹上单调递减，

由可1）＜彳£|得/⑴＜”[,2,故C项正确：

由从1）＞乂2）得1,故D项错误.

故选：BC.

/（X）=/（”）

题型二：构造E（x）=e"V（x）或*（〃eZ,且-0）型

1.（23-24高二上•江苏宿迁•期末）函数/（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有

/'(x)-/(x)>0,则()

A./(-1)>0B./（3）＞e＜（2）

D.ef（3）＞/（4）

【答案】B

【分析】首先构造函数g(x)=室，根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判

断.

=

【详解】设g(x)一-，贝Ug(x)=2.r~x，

eee

由条件可知,r(x)-/(x)>0,所以g'(x)>0,则函数g(x)在R上单调递增，

因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，则/(0)=0,即/(-1)</(0)=0,故A错误；

由函数的单调性可知，/甲〉理，得/(3)>W(2),故B正确；

ee

由/[J/[J,得故C错误；

由早<9,得歹(3)<〃4),故D错误.

ee

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数g(x)=*h从而可以根据函数的单调性,

判断选项.

2.(2024•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数/(尤)及其导函数/'(x)满足

/(x)</'(x)恒成立，且x>0时/(力>0,则下列式子不一定成立的是()

A./⑻>2/(4)B./(4)>2/(2)

C./(2)>2/(1)D./(1)>2/Q^

【答案】D

【分析】构造函数尸(x)=*,利用尸(x)的单调性可得结果.

r、辛铲】、儿,、/(x)用％「缶)一/'(x)e—(x)e[小)一小)

【详解】设尸(x)=UA因为'(Xb2-V,

e(e)c

又〃力</(尤),所以F(x)>0,即尸(x)在R上为增函数,

选项A：因为尸(8)>尸(4),即坐>£生，化简得/⑻>e4/(4)>2〃4),故A成立；

ee

选项B：因为尸(4)>F(2),即邛>』字，化简得了(4)>e"(2)>2/(2),故B成立；

ee

选项C：因为尸(2)>/⑴，即9>"1,化简得〃2)>叭故C成立；

ee

选项D：因为尸(1)>尸[3],即

，化简得而

"e£

故D不一定成立;

故选：D.

【点睛】本题关键是构造函数下(X)=",利用函数的单调性判断结果.

3.(2020•广东梅州•模拟预测)设/'(x)是/'(X)的导函数，定义在(0,+句上的函数〃x)满

f⑴

足(1)/(x)>0；(2)2/(x)</(x)<3/(x),则条的范围为()

J\z)

a-[74}b-c-d-

【答案】B

【分析】构造g(x)=9,求导得到单调性，根据g⑴<g(2)得到第<《，构造

e八2)e

〃(司=中，求导得到单调性，根据〃(1)>刈2)得到法>1，得到答案.

【详解】设g(x)=42,贝!jg，(x)=/'(x):2/(尤)>0,g(x)在(0,+动上单调递增，

ee

则g⑴<g(2),即曾<小，£<：；

ee八到e

设〃(x)=*,则4(x)=/‘(”"⑺<0,力(可在(0,+。)上单调递减，

则〃⑴/⑵，即驾>里)，黑>g；

综上所述：卜段<m

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定单调性，再根据单调性确定不等关系，意在考

查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造g(x)=§和〃(x)=?2，

求导确定单调区间是解题的关键，构造法是常考的数学方法，需要熟练掌握.

4.(多选)(23-24高二上•安徽滁州•期末)已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),

且对任意的xeR,都有/(x)+/'(x)>0,则下列说法正确的是()

A.ef(l)</(0)B.ef(D>/(0)

C.2/(ln2)<ef(l)D.2/(ta2)>ef(l)

【答案】BC

【分析】令g(x)=</(x),可得g(x)在(-8,+8)上单调递增，取自变量的值可得结果.

【详解】令g(x)=e"(x),所以g'(x)=e"(x)+e'/'(x)=e[/(x)+/'(x)]>0,

所以g(x)在(-8,+8)上单调递增，

所以g(O)<g(D，即以0)〈炉⑴,故A错误，B正确；

又g(ln2)<g⑴，所以eln2/(ln2)<炉⑴，

即2/(ln2)<H(l),故C正确，D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形.

⑵构造新的函数〃(x).

⑶利用导数研究〃(x)的单调性或最值.

⑷根据单调性及最值，得到所证不等式.

5.(多选)(2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数〃x),g(x),/⑴的

导函数为/(X),若广(x)=e，，里»是指数函数，/(0)=0,g⑴=2,则下列说法正

确的是()

A.g(x)=x-2*B./(x)在R上单调递增

殁〈幽

C.〃£N,gD.

2e

【答案】AC

【分析】由/'(x)-/(x)=e，及"0)=0可得函数/(x)的解析式，结合导数即可判断B；由出

是指数函数及g⑴=2可得g(x)的解析式，可判断A；由解析式计算可判断C；D选项代入

后为比较e?与2,的大小关系，可转化为比较电士与竽的大小关系，构造函数双》)=生工，

e2x

结合导数研究即可得.

r(x)-/(x)

【详解】由r(x)-/(x)=e\即

“可得聿……为常数),

又/(0)=0，故。=0,所以/(x)=xe

对于选项A,3=/(a>0且awl),由g⑴=2,得a=2,

故g(x)=x，2"，故A正确;

对于选项B,/r(x)=(x+l)ex,当x<—1时，f(x)<0,

故在(-*-1)上单调递减，故B错误;

n

对于选项C,g^ln2，而2京=20°g2e)〃-

In2e

n岩，故gn=(()，故c正确；

故g

m2In2m2

对于选项D,「，等*,

设以刈=也，则〃(无)=匕少

XX

令/(x)>0,贝!]0<x<e；令〃'(x)<o,则x>e,

故〃(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

­,/、IneIn2,…

所以/z(e)=——>—=/?(2),

e2

故"j出=2"故D错误,

e

故选：AC.

p(x\=/(X)

题型三：构造E(x)=f(x)sinx或sinx型

1.(23-24高二下•重庆•阶段练习)函数/(x)是定义在(r,0)U(0,兀)上的奇函数，其导函

71

数为/'(x),且/=0,当0<%v兀时，//(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于x的不等式/(x)<0

的解集为()

兀兀

A.B.2,7E

4。卜呜2

(-7i,o)ufo,|-D.(一兀,O)U1|•，兀

C.

【答案】B

【分析】由题意可构造函数g(x)=W,利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判

sinx

断g(x)=&)的正负情况，结合/'(x)<0,即可求得答案.

sinx

【详解】令g(x)=£H,贝ijg〈x)=/z(x)sinx-/(x)cosx

sinxsin2x

由于当0<%<加时，/,(x)sinx-/(x)cosx<0,故止匕时g'(x)<0,

则g(x)在(0,兀)上单调递减，

由于函数〃x)是定义在(-兀,0)U(0,兀)上的奇函数，

则g(-x)="/?=/°)=g(x)，即g(x)为(f,0)U(0,兀)上的偶函数,

sm(-x)-sinx

则g(x)在(-兀,。)上单调递增，

故当0<%<,或一g<x<0时，g(x)>0,当4<%<兀或一兀—N时，g(x)<0,

2222

/、fsinx>0fsinx<0兀兀

由可得。x)<o*g(x)>。,解得5。<兀或F<x<。,

故不等式〃x)<0的解集为(goUT,

故选：B

【点睛】关键点点睛：关键是构造函数g(x)=/5,并得出其单调性、奇偶性，由此即可

sinx

顺利得解.

2.(23-24高二下•重庆)设厂(x)是函数/⑴的导函数，当曰-盟］时，

cos2x・7(x)+sin2x,/'(x)〉一/(x),则()

A-43<0B.

C.〈后D./(T)/⑴<0

【答案】B

【分析】

利用三角函数公式化简已知，再构造函数g(x)=sinr-7(x),利用函数单调性依次判断选项.

【详解】,**cos2x-/(x)+sin2x,/r(x)>-/(r),

/.(2COS2X-1)-f(x)+2sinxcosx-/―/(x)>0

/.cosx-f(x)+sinx-/'(x)>0

设g(x)=sinx-/(x),g'(x)>0,.-.g(x)在单调递增,

■••gf^>g(0)=0^/W>0,所以A错误；

g(W>g.W=sm/Dsm(一2U=

所以0,所以B正确；

ggg用小呜山>叫心5心—心所以C错误；

g(0)>g(-l)^>sin0-/(0)>sin(-l)-/^1^>0>-sinl-ffl)=>/fl>0,,

g(l)>g(O)^sinl./(l)>sinO./^))=>/^>0,所以D错误.

故选：B

3.(23-24高二下•江苏•阶段练习)函数/(无)的定义域是(0㈤，其导函数是尸(尤)，若

厂(x)sinx<-/(x)cosx,则关于x的不等式也/1(亦加的解集为.

【答案】

【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)=/(x)sinx,xe(O,兀)，根据已知条

件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式.

【详解】/z(x)sinx<-/(x)cosx变形为/r(x)sinx+f(x)cosx<0,

V2/(x)sinx变形为/(x)siwc</1力sin：,

故可令g(x)=/(x)sinx,xe(0,7i),

则g'(x)-/'(x)sinx+f(x)cosx<0,

.\g(x)在(0,兀)单调递减,

不等式/(x)sinx</Qsin;即为g(x)Vg(；),

则xeg'j，

故答案为：［%兀］

F(x)=/(”)

题型四：构造"x)=/(x)cosx或COSX型

1.(23-24高二上咛夏石嘴山•)定义在(0,方上的函数小)，f'(x)是它的导函数，且恒

有/''(x)>/(x)-tanx成立.则()

B.V3/(l)<2cosl-f

【答案】A

【分析】

根据条件构造函数g(x)=/(x)cosx,求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项,

即得到结论.

【详解】

当X£10,5,cosX>0

则不等式/,(力/⑴5等价为小>小)言,

即cosxfr(x)-sinxf(x)>0,

设g(x)=/(x)cosx,xe0,3,

则s'(%)=cosxfr(x)-sinxf(x)>0,

即函数g(x)在(0,?上单调递增,

cosl/(l)>^/|71

2cosl./(l)>V3/^j,得不出百〃l)<2cosl-/m，故B错误.

V6/^<2/^,故C错误.

行故口错误•

故选：A.

2.(多选)(23-24高二下•安徽滁州•阶段练习)定义在,日上的函数/(力，已知/(x)是

它的导函数，且恒有88%-/'(力+$10%・/^)<0成立，则有()

【答案】CD

【分析】构造函数g(x)=〃»,结合题目所给性质可得g(x)在。］上单调递减，结合函

COSX、)

数单调性计算即可得.

［详解］令g(x)=3,则g,(x)=qg^i