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文档简介
构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型.............................................2
题型一:构造尸(x)=x'/(x)或/(》)=华(〃€2,且"0)型.....2
X
题型二:构造/(x)=«(x)或歹(x)=^(〃eZ,且"0)型.....3
e
题型三:构造/(x)=/(x)sinx或/x)=△2型.................4
smx
题型四:构造E(x)=/(x)cosx或/(》)=△^型................5
COSX
三、专项训练.............................................6
一、必备秘籍
1、两个基本还原
①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)=[/(X)g(X)r②/‘(”应(:)一应’。)=[配了
[g(x1)2r“g(x)
2、类型一:构造可导积函数
①6"'[/'(》)+相(创=国'"(创'高频考点1:[/V)+/(%)]=[£w)r
②x〃T[VG)+相(x)]=[x〃/(x)了
高频考点1:W'(x)+/(x)=W(x)]'高频考点2xW'(x)+2/(x)]=[x2/(x)了
一师以上,Xf(X)-/(X)r/(X)V-也以上eXf(X)-2/(X)/(X),
局频考点1:J、),、)=图频考点2J、)J1Tzy
XXXX
⑤/<x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx]r
(6)/'(x)cosx-/(x)sinx=[f(x)cosx\
序号条件构造函数
1/'(x)g(x)+/(x)g'(x)20F(x)=/(x)g(x)
2/Xx)+/(x)<0F(x)=exf(x)
3/'(X)+叭x)<0F(x)=e"(x)
44(x)+/(x)〉0产(x)=xf(x)
5矿(x)+2/(x)W0F(x)=x2f(x)
6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=x-f(x)
7f\x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=f(x)sinx
8/'(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx
3、类型二:构造可商函数
①/'(x)—/?Ax)=[/(X)y高频考点i:/*/(》)=[誉了
②MG)-"f(x)=i/a)了
高频考点1:矿(x);/(1=[小四'高频考点2:矿⑴:2/(x)=[Z孚
XXXX
③八x)sinx-/(x)cosc=
sin2xsinx
⑥八x)cosc+/(x)sinx=1/叫
-cos2XCOSX
二、典型题型
p(x\=/(X)
题型一:构造/x)=x7(x)或3x"("CZ,且"0)型
1.(23-24高二下•湖南长沙•阶段练习)已知函数Ax)为定义在R上的偶函数,当x>0时,
矿(x)+2/(x)>0,则下列四个判断正确的为()
A./(-2)<4/(1)B-/(-2)>4/(1)
C./(-2)<*D./(-2)>与
4
2.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知〃x)的定义域为(0,+8),1(x)是〃x)的导函数,且
x2f'(x)+2xf(x)=lwc,2ef(e)=1,则,/上门口的大小关系是()
A.小m]〈小心B.小心卜唱</"5
C•小11/唱<小'D.小可〈小臼</'4
3.(多选)(23-24高二下•山西太原•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,
#,(x)-/(x)<0,且/(1)=0,则下列结论正确的是()
A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)
C.当0<x<l时,/(%)>0D.当尤<-1时,/(x)<0
4.(多选)(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数的导函数为了'(X),对任意的正
数x,都满足/(X)<货'(x)<2〃x)-2x,则下列结论正确的是()
A/)”
B.〃1)彳“2)
C-/⑴<4/出一2
D.〃1)<力(2)+1
p(x\=/(-
题型二:构造4x)=e"V(x)或e'x(〃eZ,且〃#0)型
1.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)函数/(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x恒有
/'(x)-/(x)>0,则()
A./(-1)>0B./(3)>ef(2)
D.ef(3)>/(4)
2.(2024•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数/(尤)及其导函数7'(x)满足
/(x)</'(x)恒成立,且x>0时/'(x)>0,则下列式子不一定成立的是()
A./⑻>2/(4)B./(4)>2/(2)
C./(2)>2/(1)D./(1)>2/Q]
3.(2020・广东梅州•模拟预测)设/(无)是/'(x)的导函数,定义在(0,+。)上的函数/(x)满
f⑴
足(1)/(x)>0;(2)2/(x)</(x)<3/(x),则彳号的范围为()
J\z)
A-15口B.C.D.
4.(多选)(23-24高二上•安徽滁州•期末)已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),
且对任意的xeR,都有〃x)+/G)>0,则下列说法正确的是()
A.ef(l)</(0)B.ef(D>/(0)
C.2/(ln2)<ef(l)D.2/(ta2)>ef(l)
5.(多选)(2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数〃x),g(x),/(x)的
里”是指数函数,/(0)=0,g(l)=2,则下列说法正
导函数为了'(X),若/'(无)-/(尤)=e*,
X
确的是()
A.g(x)=x-2xB./(X)在R上单调递增
nf(n)7(2);g(e)
C.nGN*,gD.
In2In22e
p(x\=/(X)
题型三:构造b(x)=f(x)sinx或sinx型
1.(23-24高二下•重庆•阶段练习)函数〃x)是定义在(f,0)U(0,兀)上的奇函数,其导函
数为/'(X),且/仁)=0,当0<x<兀时,/'(x)sinx-〃x)cosx<0,贝IJ关于x的不等式/(x)<0
的解集为()
兀
A.
呜2
C.(-兀,O)u[o,T
兀71
2.(23-24高二下•重庆)设/'(X)是函数“X)的导函数,当xe时,
2?2
cos2x-/(x)+sin2x-/z(x)>-/(%),则()
7171
>0
6
D./(-1)/(1)<0
3.(23-24高二下•江苏•阶段练习)函数〃x)的定义域是(0,兀),其导函数是7'(X),若
/'(x)siiixv-/(x)cosx,则关于x的不等式72/(x)sinx的解集为
P(x\=/(X)
题型四:构造E(x)=/(x)cosx或'COSX型
1.(23-24高二上.宁夏石嘴山.)定义在里上的函数1(x),r(x)是它的导函数,且恒
有•/''(》)>/卜)-211》成立.则()
D.Of兀兀
2.(多选)(23-24高二下•安徽滁州•阶段练习)定义在上的函数〃尤),已知/'(x)是
+sinx・/(x)<0成立,则有()
3.(23-24高二下•江苏苏州•期中)己知函数v=/(x),xelo,j,尸(X)是其导函数,恒
有%^>小1,贝U()
sinxcosx
7171>^f71
A./>
2
Tt71
c./<2cosl•/(l)D.f>2/(1)cos1
三、专项训练
1.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)已知/'(X)为函数/(x)的导函数,当x>0时,有
恒成立,则下列不等式一定成立的是()
2.(23-24高二下・四川宜宾•阶段练习)已知函数/(x)的定义域为R,对任意xeR,有
/V)-/(x)>0,则不等式6"(》+1)>5〃2苫-1)的解集是()
A.[x\x<4}B.[x\x<3}C.[x\x<2}D.[x\x<1}
3.(23-24高二下・四川内江•阶段练习)已知函数/'(x)是定义在R上的可导函数,其导函
数为f(x).若/(0)=5,且/(尤)-/'(">2,则使不等式/(关心31+2成立的x的取值范
围为()
A.(-<»,-1]B.[1,+<»)C.(-<»,0]D.[0,+(»)
4.(21-22高三下•西藏拉萨•阶段练习)设函数/⑺是奇函数/(x)(xeR)的导函数,
/(-1)=0,当x>0时,尤)<0,则不等式〃x)<0的解集为()
A.(-oo,-l)u(0,1)B.(-1,0)"1,+8)
C.(-»,-l)U(-l,0)D.(O,l)U(l,+s)
5.(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知函数〃x)的定义域是(-5,5),其导函数为/'(尤),
且〃x)+矿(x)>2,则不等式(2尤-3)/(2尤-3)-(尤>2x-4的解集是()
A.(2,+8)B.(2,6)C.(-4,6)D.(2,4)
6.(22-23高二下•四川绵阳•期中)已知定义在R上的函数〃x)的导函数为/(X),且
r(x)-/(x)<0,/⑴=e,则不等式〃lnx)>尤的解集为()
A.(0,Ve)B.(0,e)C.(五,+s)D.(e,+oo)
7.(22-23高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为尸(尤),
且3/(x)+/,(x)<0J(ln2)=l,则不等式/(x)/>8的解集为()
A.(-oo,2)B.(-co,ln2)C.(ln2,+oo)D.(2,+00)
8.(22-23高二下•江西吉安・期末)若定义在R上的可导函数/(X)满足
(x+3)f(x)+(x+2)f'(x)<0,/(0)=1,则下列说法正确的是()
21?
A./(-l)<2eB./(1)<-C./(2)>—D.八3)>皆
二、多选题
9.(2024•浙江温州•一模)定义在R上的函数/(x)的导函数为r(x),对于任意实数x,都
有〃f)+e2"(x)=0,且满足2/(x)+「(x)=2,则()
A.函数尸(x)=e"(x)为奇函数
a
B.不等式e"(x)-=<0的解集为(O,ln2)
e
C.若方程=0有两个根X],三,则X[+X2>2a
D./(“在(OJ(O))处的切线方程为y=4x
10.(2023•海南海口•模拟预测)已知函数〃x)的定义域为R,其导函数为/'(x),且
2/(x)+r(x)=x,则()
A./(-1)>-2B./(1)>-1
C./(x)在(-巩0)上是减函数D.1(x)在(。,+纥)上是增函数
三、填空题
11.(23-24高二下•上海•期中)设/(x)是定义在R上的偶函数,/'(x)为其导函数,
7(2024)=0,当x>0时,有力'(x)>/(x)恒成立,则不等式#(x)>0的解集为.
12.(23-24高二下•江西南昌•阶段练习)定义在(0,+◎上的函数/⑴的导函数为了'(X),且
切。)+/(%)<0,则不等式1丁)>"2)+若]的解集为.
13.(22-23高二下•吉林长春•期中)已知函数/⑴的导数为/'(尤),若2/(x)+/'(x)>2,
/(0)=5,则不等式/3-463>1的解集为.
14.(22-23高三上•山东•阶段练习)已知/"(x)为定义域R上函数“X)的导函数,且
4
r(x)+r(2-x)=0,X>1,(》-1)-(力+2。勾>0且/(3)=1,则不等式〃x)>7--T
(尤-1)
的解集为.
构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型.............................................2
题型一:构造尸(x)=x'/(x)或/(》)=华(〃€2,且"0)型.....2
X
题型二:构造/(x)=«(x)或歹(x)=^(〃eZ,且"0)型.....3
e
题型三:构造/(x)=/(x)sinx或/x)=△2型.................4
smx
题型四:构造E(x)=/(x)cosx或/(》)=△^型................5
COSX
三、专项训练.............................................6
一、必备秘籍
1、两个基本还原
①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)=[/(X)g(X)r②/‘(”应(:)一应’。)=[配了
[g(x1)2r“g(x)
2、类型一:构造可导积函数
①6"'[/'(》)+相(创=国'"(创'高频考点1:[/V)+/(%)]=[£w)r
②x〃T[VG)+相(x)]=[x〃/(x)了
高频考点1:W'(x)+/(x)=W(x)]'高频考点2xW'(x)+2/(x)]=[x2/(x)了
一师以上,Xf(X)-/(X)r/(X)V-也以上eXf(X)-2/(X)/(X),
局频考点1:J、),、)=图频考点2J、)J1Tzy
XXXX
⑤/<x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx]r
(6)/'(x)cosx-/(x)sinx=[f(x)cosx\
序号条件构造函数
1/'(x)g(x)+/(x)g'(x)20F(x)=/(x)g(x)
2/Xx)+/(x)<0F(x)=exf(x)
3/'(X)+叭x)<0F(x)=e"(x)
44(x)+/(x)〉0产(x)=xf(x)
5矿(x)+2/(x)W0F(x)=x2f(x)
6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)
7f\x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx
8/'(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx
3、类型二:构造可商函数
高频考点I:/OO#V)-2/(x)[/(x).
#V)-/(x)=[r高频考点2:
XXx3x2'
色/'(x)sinx-/(x)cosx
二L.J
sin2xsinx
©/(x)cosx+/(x)sinx
=LJ
-cos2Xcosx
二、典型题型
p(x\=/(X)
题型一:构造/x)=x7(x)或3x"("CZ,且"0)型
1.(23-24高二下•湖南长沙•阶段练习)已知函数Ax)为定义在R上的偶函数,当x>0时,
矿(x)+2/(x)>0,则下列四个判断正确的为()
A./(-2)<4/(1)B./(-2)>4/(1)
C./(-2)<*D./(-2)>与
4
【答案】D
【分析】由犷'(X)+2/(x)>0(x>0)结构特征可知矿(x)+2/(%)是函数g(x)=x2/(x)的导数
简单变形得到的,故构造函数并得到函数g(x)=x2/(x)的单调性,再结合函数奇偶性即可判
断选项中各函数值大小.
【详解】令g(x)=x2/(x),则g'(x)=2^(x)+x2f\x)=x(2/(x)+^'(x))>0在(0,+8)恒成立,
所以在®+8)单调递增,所以g⑴<g(2),即/(I)<4/(2),
又因为函数/(x)为定义在R上的偶函数,所以〃1)<4〃-2),即〃一2)>”,
故选:D.
2.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知〃尤)的定义域为(0,+8),/(X)是/⑺的导函数,且
XY(X)+2V(X)=1IU,2炉(e)=l,则/msin]j]tanm的大小关系是()
/</s]n/tanb/sm<//tan
A.Q](zh(l]-(z}Qh(l)
C-小叫卜小尚D.小心]</卜用<佃
【答案】c
【分析】根据f/'(x)+2力(x)=lnx构造函数g(x)=/〃x),代入原式化简后得到
/(x)=xlnx-2g(x),再构造函数以x)=xlnx-2g(x),讨论%x)的单调性即可得到/((x)<0,
X
最后根据的单调性求解即可.
【详解】^^jx2fr(x)+2xf(x)=lnx,BP[x2/(x)]r=lnx,
构造函数g(x)=x»(x),贝!|g'(x)=lnx,/(无)=迎2.
将/(x)=g学代入//'(x)+2MXx)=In尤,得/“(x)="lnx-2g(x).
XX
再构造函数力(x)=xlnx-2g(x),则〃'(%)=lnx+l-2g'(x)=1—lnx,
易知,当x£(0,e)时,h\x)>0,函数〃(%)单调递增;当x£(e,+s)时,、(%)<0,函数右0)单
调递减,所以〃(x)max=A(e)=e-2g(e)=e-2e2<(e),
由于2y(e)=l,所以秋e)=0,所以〃(x)W0,
所以当xe(0,e)时,f\x)<0,函数单调递减;
当xe(e,+s)时,f'(x)<0,函数〃x)单调递减,所以/⑴在(0,+⑹单调递减.
又根据单位圆可得三角不等式sin,<,<tanL,又sin,<sinL,tan-<tan-,所以
3334332
.1
)(tan;)</(;)</(sin》,故/sin—
I4
故选:c.
【点睛】方法点睛:本题考查构造函数,并利用导数比大小的问题.题中条件
尤2/门)+2#(%)=11»可以构造函数81)=/〃乃,进一步构造函数〃(x)=xlnx-2g(x),然
后讨论〃(x)的单调性,由々(x)WO得到/,(x)<0,再由三角不等式得到自变量的大小关系,
最后根据/(x)的单调性求解.
3.(多选)(23-24高二下•山西太原•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,
xf-(x)-/(x)<0,M/(1)=O,则下列结论正确的是()
A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)
C.当0<x<l时,f(x)>0D.当尤<-1时,/(x)<0
【答案】BC
【分析】构造函数g(x)=9,然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】设g(x)=*h
由〃x)是定义在R上的奇函数知,则X/0时,g(x)=20为偶函数,
且x>。时,垢)=矿?73<0,
故g(x)在(0,+8)单调递减,
由偶函数的对称性知,g(无)在(-8,0)单调递增,
故g(-2)>g(-3),即故3/(-2)<2/(-3),B选项正确;
—2—3
当0<x<l时,g(x)="^>g(l)=F=0,故/(x)>0,C选项正确;
当x<_l时,g(x)=^-H<g(-l)=g(l)=0,故/(x)>0,D选项错误;
由B,D选项知,0<3/(-2)<2/(-3),故2〃一2)-3)<3/(-3),A选项错误.
故选:BC
4.(多选)(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数/(x)的导函数为了'(X),对任意的正
数x,都满足/(x)<#'(x)<2/(x)-2x,则下列结论正确的是()
A.“I)”
B./⑴3⑵
C.Z(l)<4/[1]-2
D./(l)<^/(2)+l
【答案】BC
【分析】设g(尤)=中(尤>0),利用导数求出g(x)的单调性,据此即可判断A和B选项,
设Mx”了,4%码根据导数求出〃(x)的单调性,据此即可求解C和D选项.
【详解】设g(x)=#(尤>0),则gd'(?;/(Q>o,
所以g(x)在(0,+s)上单调递增,
由g(l)>得/⑴>故A项错误;
由g⑴<g(2)得/⑴<;八2),故B项正确;
设J(x)j2x(x>0),则
川⑴I""一2)"-(/(X)-2@.2xxf\"®-2》<0,
所以〃(x)在(0,+⑹上单调递减,
由可1)<彳£|得/⑴<”[,2,故C项正确:
由从1)>乂2)得1,故D项错误.
故选:BC.
/(X)=/(”)
题型二:构造E(x)=e"V(x)或*(〃eZ,且-0)型
1.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)函数/(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x恒有
/'(x)-/(x)>0,则()
A./(-1)>0B./(3)>e<(2)
D.ef(3)>/(4)
【答案】B
【分析】首先构造函数g(x)=室,根据导数判断函数的单调性,再结合选项,依次判
断.
=
【详解】设g(x)一-,贝Ug(x)=2.r~x,
eee
由条件可知,r(x)-/(x)>0,所以g'(x)>0,则函数g(x)在R上单调递增,
因为函数/(x)是定义在R上的奇函数,则/(0)=0,即/(-1)</(0)=0,故A错误;
由函数的单调性可知,/甲〉理,得/(3)>W(2),故B正确;
ee
由/[J/[J,得故C错误;
由早<9,得歹(3)<〃4),故D错误.
ee
故选:B
【点睛】关键点点睛:本题的关键是构造函数g(x)=*h从而可以根据函数的单调性,
判断选项.
2.(2024•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数/(尤)及其导函数/'(x)满足
/(x)</'(x)恒成立,且x>0时/(力>0,则下列式子不一定成立的是()
A./⑻>2/(4)B./(4)>2/(2)
C./(2)>2/(1)D./(1)>2/Q^
【答案】D
【分析】构造函数尸(x)=*,利用尸(x)的单调性可得结果.
r、辛铲】、儿,、/(x)用%「缶)一/'(x)e—(x)e[小)一小)
【详解】设尸(x)=UA因为'(Xb2-V,
e(e)c
又〃力</(尤),所以F(x)>0,即尸(x)在R上为增函数,
选项A:因为尸(8)>尸(4),即坐>£生,化简得/⑻>e4/(4)>2〃4),故A成立;
ee
选项B:因为尸(4)>F(2),即邛>』字,化简得了(4)>e"(2)>2/(2),故B成立;
ee
选项C:因为尸(2)>/⑴,即9>"1,化简得〃2)>叭故C成立;
ee
选项D:因为尸(1)>尸[3],即
,化简得而
"e£
故D不一定成立;
故选:D.
【点睛】本题关键是构造函数下(X)=",利用函数的单调性判断结果.
3.(2020•广东梅州•模拟预测)设/'(x)是/'(X)的导函数,定义在(0,+句上的函数〃x)满
f⑴
足(1)/(x)>0;(2)2/(x)</(x)<3/(x),则条的范围为()
J\z)
a-[74}b-c-d-
【答案】B
【分析】构造g(x)=9,求导得到单调性,根据g⑴<g(2)得到第<《,构造
e八2)e
〃(司=中,求导得到单调性,根据〃(1)>刈2)得到法>1,得到答案.
【详解】设g(x)=42,贝!jg,(x)=/'(x):2/(尤)>0,g(x)在(0,+动上单调递增,
ee
则g⑴<g(2),即曾<小,£<:;
ee八到e
设〃(x)=*,则4(x)=/‘(”"⑺<0,力(可在(0,+。)上单调递减,
则〃⑴/⑵,即驾>里),黑>g;
综上所述:卜段<m
故选:B
【点睛】关键点睛:本题考查了利用导数确定单调性,再根据单调性确定不等关系,意在考
查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中,构造g(x)=§和〃(x)=?2,
求导确定单调区间是解题的关键,构造法是常考的数学方法,需要熟练掌握.
4.(多选)(23-24高二上•安徽滁州•期末)已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),
且对任意的xeR,都有/(x)+/'(x)>0,则下列说法正确的是()
A.ef(l)</(0)B.ef(D>/(0)
C.2/(ln2)<ef(l)D.2/(ta2)>ef(l)
【答案】BC
【分析】令g(x)=</(x),可得g(x)在(-8,+8)上单调递增,取自变量的值可得结果.
【详解】令g(x)=e"(x),所以g'(x)=e"(x)+e'/'(x)=e[/(x)+/'(x)]>0,
所以g(x)在(-8,+8)上单调递增,
所以g(O)<g(D,即以0)〈炉⑴,故A错误,B正确;
又g(ln2)<g⑴,所以eln2/(ln2)<炉⑴,
即2/(ln2)<H(l),故C正确,D错误.
故选:BC.
【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形.
⑵构造新的函数〃(x).
⑶利用导数研究〃(x)的单调性或最值.
⑷根据单调性及最值,得到所证不等式.
5.(多选)(2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数〃x),g(x),/⑴的
导函数为/(X),若广(x)=e,,里»是指数函数,/(0)=0,g⑴=2,则下列说法正
确的是()
A.g(x)=x-2*B./(x)在R上单调递增
殁〈幽
C.〃£N,gD.
2e
【答案】AC
【分析】由/'(x)-/(x)=e,及"0)=0可得函数/(x)的解析式,结合导数即可判断B;由出
是指数函数及g⑴=2可得g(x)的解析式,可判断A;由解析式计算可判断C;D选项代入
后为比较e?与2,的大小关系,可转化为比较电士与竽的大小关系,构造函数双》)=生工,
e2x
结合导数研究即可得.
r(x)-/(x)
【详解】由r(x)-/(x)=e\即
“可得聿……为常数),
又/(0)=0,故。=0,所以/(x)=xe
对于选项A,3=/(a>0且awl),由g⑴=2,得a=2,
故g(x)=x,2",故A正确;
对于选项B,/r(x)=(x+l)ex,当x<—1时,f(x)<0,
故在(-*-1)上单调递减,故B错误;
n
对于选项C,g^ln2,而2京=20°g2e)〃-
In2e
n岩,故gn=((),故c正确;
故g
m2In2m2
对于选项D,「,等*,
设以刈=也,则〃(无)=匕少
XX
令/(x)>0,贝!]0<x<e;令〃'(x)<o,则x>e,
故〃(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,
,/、IneIn2,…
所以/z(e)=——>—=/?(2),
e2
故"j出=2"故D错误,
e
故选:AC.
p(x\=/(X)
题型三:构造E(x)=f(x)sinx或sinx型
1.(23-24高二下•重庆•阶段练习)函数/(x)是定义在(r,0)U(0,兀)上的奇函数,其导函
71
数为/'(x),且/=0,当0<%v兀时,//(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于x的不等式/(x)<0
的解集为()
兀兀
A.B.2,7E
4。卜呜2
(-7i,o)ufo,|-D.(一兀,O)U1|•,兀
C.
【答案】B
【分析】由题意可构造函数g(x)=W,利用导数判断其单调性,结合其奇偶性,即可判
sinx
断g(x)=&)的正负情况,结合/'(x)<0,即可求得答案.
sinx
【详解】令g(x)=£H,贝ijg〈x)=/z(x)sinx-/(x)cosx
sinxsin2x
由于当0<%<加时,/,(x)sinx-/(x)cosx<0,故止匕时g'(x)<0,
则g(x)在(0,兀)上单调递减,
由于函数〃x)是定义在(-兀,0)U(0,兀)上的奇函数,
则g(-x)="/?=/°)=g(x),即g(x)为(f,0)U(0,兀)上的偶函数,
sm(-x)-sinx
则g(x)在(-兀,。)上单调递增,
故当0<%<,或一g<x<0时,g(x)>0,当4<%<兀或一兀—N时,g(x)<0,
2222
/、fsinx>0fsinx<0兀兀
由可得。x)<o*g(x)>。,解得5。<兀或F<x<。,
故不等式〃x)<0的解集为(goUT,
故选:B
【点睛】关键点点睛:关键是构造函数g(x)=/5,并得出其单调性、奇偶性,由此即可
sinx
顺利得解.
2.(23-24高二下•重庆)设厂(x)是函数/⑴的导函数,当曰-盟]时,
cos2x・7(x)+sin2x,/'(x)〉一/(x),则()
A-43<0B.
C.〈后D./(T)/⑴<0
【答案】B
【分析】
利用三角函数公式化简已知,再构造函数g(x)=sinr-7(x),利用函数单调性依次判断选项.
【详解】,**cos2x-/(x)+sin2x,/r(x)>-/(r),
/.(2COS2X-1)-f(x)+2sinxcosx-/―/(x)>0
/.cosx-f(x)+sinx-/'(x)>0
设g(x)=sinx-/(x),g'(x)>0,.-.g(x)在单调递增,
■••gf^>g(0)=0^/W>0,所以A错误;
g(W>g.W=sm/Dsm(一2U=
所以0,所以B正确;
ggg用小呜山>叫心5心—心所以C错误;
g(0)>g(-l)^>sin0-/(0)>sin(-l)-/^1^>0>-sinl-ffl)=>/fl>0,,
g(l)>g(O)^sinl./(l)>sinO./^))=>/^>0,所以D错误.
故选:B
3.(23-24高二下•江苏•阶段练习)函数/(无)的定义域是(0㈤,其导函数是尸(尤),若
厂(x)sinx<-/(x)cosx,则关于x的不等式也/1(亦加的解集为.
【答案】
【分析】根据已知条件和要求解得不等式,构造函数g(x)=/(x)sinx,xe(O,兀),根据已知条
件判断其单调性,根据单调性即可求解要求解的不等式.
【详解】/z(x)sinx<-/(x)cosx变形为/r(x)sinx+f(x)cosx<0,
V2/(x)sinx变形为/(x)siwc</1力sin:,
故可令g(x)=/(x)sinx,xe(0,7i),
则g'(x)-/'(x)sinx+f(x)cosx<0,
.\g(x)在(0,兀)单调递减,
不等式/(x)sinx</Qsin;即为g(x)Vg(;),
则xeg'j,
故答案为:[%兀]
F(x)=/(”)
题型四:构造"x)=/(x)cosx或COSX型
1.(23-24高二上咛夏石嘴山•)定义在(0,方上的函数小),f'(x)是它的导函数,且恒
有/''(x)>/(x)-tanx成立.则()
B.V3/(l)<2cosl-f
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数g(x)=/(x)cosx,求函数的导数,利用函数的单调性,一一判断各选项,
即得到结论.
【详解】
当X£10,5,cosX>0
则不等式/,(力/⑴5等价为小>小)言,
即cosxfr(x)-sinxf(x)>0,
设g(x)=/(x)cosx,xe0,3,
则s'(%)=cosxfr(x)-sinxf(x)>0,
即函数g(x)在(0,?上单调递增,
cosl/(l)>^/|71
2cosl./(l)>V3/^j,得不出百〃l)<2cosl-/m,故B错误.
V6/^<2/^,故C错误.
行故口错误•
故选:A.
2.(多选)(23-24高二下•安徽滁州•阶段练习)定义在,日上的函数/(力,已知/(x)是
它的导函数,且恒有88%-/'(力+$10%・/^)<0成立,则有()
【答案】CD
【分析】构造函数g(x)=〃»,结合题目所给性质可得g(x)在。]上单调递减,结合函
COSX、)
数单调性计算即可得.
[详解]令g(x)=3,则g,(x)=qg^i
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