高考数学总复习《函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性》专项测试卷（含答案）

高考数学总复习《函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性》专项测

试卷(含答案)

学校:班级：姓名：考号：

►知识梳理

【知识点1函数的单调性与最值的求法】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数产/(g(尤))的单调性应根据外层函数产近)和内层函数占g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断人尤)与犬㈤是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式0)t/(-尤)=0(奇函数)或加)#x)=o(偶函数))是否成立.

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】

1.函数的周期性常用结论3是不为0的常数)

(1)若近尤+。)的»,贝UT=a；

(2)若则T=2a；

(3)若/(x+a)=-y(x),贝！JT=2a；

(4)若,则T=2a；

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(5)若/(%+〃)=-f(?),贝！JT=2a；

(6)若兀什〃)次叶匕)，则T=\a-b\(a^b);

2.对称性的三个常用结论

⑴若函数於:)满足八〃+x)可S-X),则产/(%)的图象关于直线'=a,「对称.

(2)若函数/(x)满足/(〃+x)=;/(/?-%),则产/⑴的图象关于点0卜寸称.

⑶若函数«r)满足/(a+x)t/(/?-%)=c,则产/(x)的图象关于点对称.

►举一反三

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】(2023•海南海口•统考模拟预测)函数/(久)=/一4阳+3的单调递减区间是()

A.(-00,-2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(—2,0)和(2,+8)

【变式1-U(2023上•北京海淀•高一人大附中校考期中)“函数在区间[1,2]上不星增函数”的一个充要条

件是()

A.“存在a,be[1,2],使得a<b且/(a)=/⑹”

B.“存在a,be[1,2],使得a<b且f(a)>/(b)”

C.“存在ae(l,2],使得/(a)W/(l)”

D.“存在a6(1,2),使得f(a)>/⑵”

【变式1-21(2022•江西•校联考二模)已知函数“久)=产[产亍2若f⑷=f(a+3),则g(x)=ax2+x

的单调递增区间为()

A.&+8)B.

c-&+8)D.(一吟)

【变式1-3](2023•全国•高三专题练习)已知函数y=/(%)的定义域为R,对任意久.冷且%1。％2，都有

1,则下列说法正确的是()

x1-x2

A.y=/(%)+久是增函数B.y=/(%)+%是减函数

C.y=/(%)是增函数D.y=/(%)是减函数

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【题型2利用函数的单调性求参数】

_X2_|_2CLX+4XV]

工X〉]'、，是卜g+8)上的减

X，

函数，贝1Ja的取值范围是()

A.B.(-8,—1]

C.[-1,-0D.(-8,—1)

【变式2-1](2023•山西•校考模拟预测)已知/(x)是定义在R上的单调函数，VxeR,/(/(x)-x3-2x+1)=

13,贝厅(5)=()

A.114B.116C.134D.136

【变式2-2】(2023•甘肃兰州•校考模拟预测)命题p"(x)=<-1在％G(一8,1]上为增

函数，命题勺：9(©=今在(2,+8)单调减函数，则命题q是命题p的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-3](2023•北京丰台•统考一模)已知函数f(x)的定义域为R,存在常数t(t>0),使得对任意久eR,

都有/(x+t)=/(%),当久6[0,t)时，f(x)=|x-||.若〃>)在区间(3,4)上单调递减，则f的最小值为()

A.3B.-C.2D.-

35

【题型3利用函数的单调性求最值】

【例3】(2023•江西九江•校考模拟预测)若0<无<6,则6%一工2有()

A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9

【变式3-1](2023上•浙江•高一校联考期中)已知函数/(x)=k一,g(x)=ax+2,x6R,用M(x)表示

/(x),g(x)中的较大者，记为M(K)=max{/(x),g(K)},若M(x)的最小值为1,则实数a的值为()

A.0B.±|C.±V2D.±2

【变式3-2](2023下•山东青岛•高一统考开学考试)已知x>0,y>0,S=—+鼻，贝U()

4x2+y2x2+y2

A.S的最大值是总B.S的最大值是不

C.S的最大值是|D.S的最大值是第

【变式3-31(2023上•浙江•高三校联考期中)已知函数/O)的定义域为R+,对于任意的x,yER+,都有/(x)+

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f(y)=/(%y)+1，当％>1时，都有/(%)>1,且/(2)=2,当％e[1,16]时，则/(久)的最大值是()

A.5B.6C.8D.12

【题型4函数的奇偶性及其应用】

【例4】(2023•河南开封・统考模拟预测)函数/Xx)满足/(久)=言，则下列函数中为奇函数的是()

A./(%+1)-2B.f^x+2)-2C./(x-2)+2D./(x+1)+2

【变式4-1](2023・湖南•校联考模拟预测)设函数外行的定义域为R,且f(x+1)是奇函数，f(2x+3)是偶

函数，则()

A./(0)=0B./(4)=0C./(5)=0D./(—2)=0

【变式4-2](2023・四川•校联考模拟预测)已知f⑺是定义在R上的奇函数，当久>0时,f(x)=x2-ax+a-

1,则满足/(久)>0的x的取值范围是()

A.(-00,-1]U[0,1]B.[-1,1]C.[-1,0]U[l,+oo)D.(-00,-1]U

[1,+8)

【变式4-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(久)=ln(后71+%)+27，90)是定义在/?上的偶函数，且

g(x)在(-8,0]上单调递增，则下列判断正确的是()

A.f(x)•|g(x)|是偶函数

B.(%)|•gO)是奇函数

C.f(g(2023))<f(g(2024))

D.5(/(2023))>5(/(2024))

【题型5函数的对称性及其应用】

v2

【例5】(2023•河南信阳・信阳高中校考模拟预测)已知函数/(£)=2：则()

—6X+18

A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数

C./(x)的图象关于直线x=3对称D./(久)的图象关于点(3,1)成中心对称

【变式5-1](2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的函数/(久)满足对任意实数x有/。+2)=以x+1)-

f(x),若y=/(2x)的图象关于直线x=|对称，/(I)=2,则£起1f(k)=()

A.2B.1C.-1D.-2

【变式5-2](2023•四川绵阳•绵阳中学校考一模)若函数y=f(x)满足f(a+久)+f(a-x)=26,则说y=

f(x)的图象关于点(a,b)对称，则函数筌+詈+…+段+潦fl的对称中心是()

A.(-1011,2022)B.(1011,2022)

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C.(-1012,2023)D.(1012,2023)

【变式5-3](2023•甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测)已知函数/(久)的定义域为R,f(x-l)的图象关

于点(1,0)对称，/(3)=0,且对任意的久1，久26(-8,0),X、丰X?，满足<0,则不等式

%2—

0—D/O+1)20的解集为()

A.(—oo,1]U[2,+8)B.[—4,—1]U[0,1]

C.[-4,-1]U[1,2]D.[-4,-1]U[2,+oo)

【题型6函数的周期性及其应用】

[例6](2023・全国•模拟预测)已知/(久+1)=•若〃久)是以2为最小正周期的周期函数，贝1Ja=()

A.2B.1C.-1D.-2

【变式6-1X2023•江西上饶•校联考模拟预测)己知函数f(x)及其导函数尸(x)的定义域均为R,对任意的居ye

R，恒有八x+y)+/o—y)=2/(x)"(y),则下列说法错误的是()

A./(0)=1B./(久)必为奇函数

,「2023.

c./(x)+/(0)>0D,若/⑴贝I〉/(n)=i

2

2Z-in=i

【变式6-2](2023•天津河西•统考三模)已知"无)为定义在R上的偶函数，当%>0时，有/(x+1)=-/(%),

且％C[0,1)时;/(x)=log2(x+l),给出下列命题：①/(2013)+/•(—2014)=0；②函数/(久)在定义域R上

是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数f(%)的值域为其

中正确命题有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式6-3](2023・四川宜宾・统考一模)已知函数/O),g(x)的定义域为R,g(x)的图像关于x=1对称，且

g(2久+2)为奇函数，g(l)=1"(久)=g(3-x)+1,则下列说法正确的个数为()

①g(—3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④通肾/(n)=2024.

A.1B.2C.3D.4

【题型7利用函数的性质比较大小】

【例7】(2023上•河南南阳•高一校联考阶段练习)已知定义在R上的函数/(久)满足f(l+x)=f(l-x),且

X/xr,x2>1,久14久2时，1/(久I)一/(%2)](与一久2)<0，记a=/(¥)，b=f,C=fg),则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【变式7-1](2022.全国•高一专题练习)定义在R上函数y=/0)满足以下条件：①函数y=/(%)图象关于

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X=1轴对称，②对任意办,*2e(—8,1],当/■%2时都有"看)一"犯)<0,则/(。)，/仁)，/⑶的大小关系

%]_-%2\2/

为()

A./(j)>/(0)>/(3)B./⑶>/(0)>/(|)

C./(|)>/(3)>/(0)D./(3)>/(|)>/(0)

【变式7-2](2023上•陕西西安•高一高新一中校考期中)已知函数/。)是偶函数，当04/〈久2时，

[/(%2)-/(%1)](第2-％1)>。恒成立，设a=/(V5),b=/(-V2),c=/(V3),则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

【变式7-3](2023上•四川成都•高三校考阶段练习)定义在R上的函数f(x)满足：-1)=-万%成立且

T1%十力

/(%)在[一2,0]上单调递增，设a=f⑹，b=/(2V2),c=f(4),则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【题型8利用函数的性质解不等式】

【例8】(2023上•广东广州•高一校考期中)己知定义在R上的函数/(©满足/(%)+/(—久)=2,且*20时,

/(x)=x-熹+2,则不等式W(x)<。的解集为()

A.(-8,0)B.(T，0)U(¥，+8)

C.(小D.(三0)

【变式8-11(2023上•辽宁朝阳•高一统考阶段练习)已知/(%)是定义在R上的奇函数，且对任意0</<%2，

均有％2f(/)<久)(%2)，1(3)=3,则不等式/(%)—%>0的解集为()

A.(—8,-3)U(3,+8)B.(—3,3)

C.(-3,0)U(0,3)D.(-3,0)U(3,+oo)

【变式8-2K2022上•辽宁•高一校联考期中)已知函数/⑺=詈悬是定义在(—1,1)上的奇函数，且/(|)=[.

(1)确定函数/(久)的解析式；

(2)当％e(―1,1)时，判断函数八支)的单调性，并证明；

⑶解不等式f(2久+l)+/(|x)<0.

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【变式8-3](2023上•河南•高一校联考阶段练习)已知/(久)是定义在[-2,2]上的奇函数，满足门-2)=-4,

且当m,ri£[―2,2],m丰九时，有"")<0.

m-n

(1)判断函数f(X)的单调性；

(2)解不等式:/(5x-l)>/(x+l)；

(3)若f(x)<2at3-t+4对所有xe[-2,2],ae[-2,2]恒成立，求实数t的取值范围.

【题型9函数性质的综合应用】

【例91(2022上•江苏苏州•高一校考期中)已知奇函数f(x)和偶函数或久)满足/(X)+5(x)=2,

(1)求/(x)和9。)的解析式;

⑵判断并证明g(x)在[0,+8)上的单调性

(3)若对于任意的/e[1,2],存在%2€[1,2],使得g(%i)+何(>2)=5,求实数zn的取值范围

【变式9-1](2023上•湖南株洲•高一校考期中)已知函数y=火%)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充

要条件是y=<p(a+%)-6是奇函数，给定函数/'(X)=%-信.

(1)求函数人久)图象的对称中心；

⑵判断/(%)在区间(0,+8)上的单调性(只写出结论即可)；

(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当xe[0,1]时,g(£)巨函-mx+m.若对任意I[0,2],总存

在上e[1,5],使得gQi)=/(叼)，求实数小的取值范围.

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【变式9-2](2023上•浙江湖州•高一统考阶段练习)我们知道，函数y=f(久)的图象关于原点成中心对称图

形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a")成

中心对称图形的充要条件是函数y=/(%+a)-b为奇函数.

(1)求函数/(x)=-x3+3/图象的对称中心；

(2)若函数y=/(乃的图象关于点P(a,b)对称，证明：/(x)+/(2a-x)=2b；

⑶已知函数8)=久一9+lnW，其中c>。，若正数a，6满足八痣)+/(盥)+/(芸)+…+

/蓝)31011(a+b),且不等式4(a+2c)6W2ac+a?+2/?2恒成立，求实数4的取值范围.

【变式9-3](2023上•江苏无锡•高一校考期中)设a€R,函数f(x)=言(e为常数，e=2.71828...).

(1)若a=l,求证：函数/(%)为奇函数；

(2)若a<0.

①判断并证明函数/(%)的单调性；

②若存在％6[1,2],使得/(/+2a%)>/(4-M)成立，求实数a的取值范围.

►直击真题

1.(2023.全国.统考高考真题)若/(*)=(x+a)ln差为偶函数，则a=().

1

A.-1B.0C.-D.1

2

2.(2022•天津•统考高考真题)函数/(久)=宁的图像为()

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3.(2021•全国•统考高考真题)设函数f(x)=窜，则下列函数中为奇函数的是()

A.f(%—1)—1B.f(x—1)+1C.f(x+1)—1D.f(x+1)+1

4.(2022.全国•统考高考真题)已知函数/(%)的定义域为R,且/(%+y)+/(%—y)=1,

则£匕f(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

5.(2021•全国•统考高考真题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则()

A.=0B./(-1)=0C./⑵=。D./⑷=。

6.(2021•全国・高考真题)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(一行.若f(一I)=I，则f(J)=()

A.--B.--C.-D.-

3333

7.(2020•山东•统考高考真题)已知函数f(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数不，总有

>0成立，则函数/(x)一定是()

%2Tl

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

8.(2020•山东・统考高考真题)若定义在R的奇函数人元)在(-8,0)单调递减，且犬2)=0,则满足WQ—1)20

的尤的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+oo)B.[―3,—1]U[0,1]

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C.[-1,0]U[l,+oo)D.[-1,0]U[1,3]

9.(2021.全国.统考高考真题)设函数/(%)的定义域为R,/(%+1)为奇函数，/(%+2)为偶函数，当％G[1,2]

时，/W=CLX2+b.若f(0)+/⑶=6,则/(3)=()

937，

A.--B.--C.-D.-

4242

■.(2022•全国•统考高考真题)已知函数f(%),g(%)的定义域均为R,且f(%)+g(2-%)=5,g(%)--

4)=7.若y=g(%)的图像关于直线久=2对称，g(2)=4,则，跄"(左)=()

A.-21B.-22C.-23D.-24

参考答案

►举一反三

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】(2023•海南海口・统考模拟预测)函数/(久)=/一4|尤|+3的单调递减区间是()

A.(-oo,-2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(—2,0)和(2,+8)

【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求

【解答过程】/(x)=x2-4|x|+3=归一产+产2,

则由二次函数的性质知，当x20时，y=%2-4%+3=0-2)2-1的单调递减区间为(0,2)；

当x<0,y=%2+4%+3=(x+2)2-1的单调递减区间为(-8,-2),

故/(乃的单调递减区间是(—8,—2)和(0,2).

故选：B.

【变式1-11(2023上•北京海淀•高一人大附中校考期中)“函数f(x)在区间[1,刀上不星增函数”的一个充要条

件是()

A.“存在a,be[1,2],使得a<b且f(a)=/(b)”

B.“存在a,be[1,2],使得a<b且/(a)>f⑹”

C.“存在a6(1,2],使得/(a)W/⑴”

D.“存在ae(1,2),使得/'(a)2f(2)”

【解题思路】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.

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【解答过程】若函数在区间[1,2]是增函数，

即任意a,be[1,2],使得a<b且f(a)<f(任,

则若函数f(x)在区间[1,2]不是增函数，

即存在a,b€[1,2],使得a<b且f(a)>f(b).

故选：B.

2

【变式1-2](2022.江西•校联考二模)己知函数/(*)=俨:y亍心若/⑷=f(a+3),则以久)=ax+x

的单调递增区间为()

A.&+8)B.(-co.i)

C.&+8)D.(-oo,j)

【解题思路】先根据题目条件求出a的值，再根据二次函数的性质求出g(x)的单调递增区间

【解答过程】解：依题意，卜+3:/匕+?2-2,解得故g(x)=—/+为可知g(x)在(―83)上

单调递增

故选：D.

【变式1-3](2023•全国•高三专题练习)已知函数y=/(x)的定义域为R,对任意刈，冷且修力冷，都有

fG)-f但)>一1,则下列说法正确的是()

xr-x2

A.y=/(x)+x是增函数B.y=/(x)+x是减函数

C.y=/(K)是增函数D.y=/(x)是减函数

【解题思路】对题中条件"小一"不)>—1进行变化,构造新函数g(x)=/(%)+x,根据增、减函数的定义即

%1一X2

可.

【解答过程】不妨令X1<%2，•••%1-%2<0，

1•'>一1Qf(%1)-f(x2)<-(%i-x2)Q+%i<f(x2)+犯，

令g(x)=f(x)+%，；・J<g(%2)，

又X]<乂2，，g(x)=f(久)+x是增函数.

故选:A.

【题型2利用函数的单调性求参数】

2

(—X+2ax+4,x<1,rd、

【例2】(2023上•江西鹰潭•高三校考阶段练习)已知函数/(久)=1%>1是卜支+8)上的减

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函数，贝Ua的取值范围是()

A.[-1,-j]B.(-8,-1]

C.[-1,-0D.(-co,-1)

【解题思路】首先分析知，x>l,函数单调递减，贝版41也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小

关系即可列出不等式组，解出即可.

【解答过程】显然当X>1时，/(%)=(为单调减函数，fix)</(I)=1

当x41时，/(%)=—X2+2ax+4,则对称轴为x=-m/(I)=2a+3

若/(x)是卜+8)上减函数，则｛a~2解得ae[—1,—,,

故选：A.

【变式2-1](2023•山西•校考模拟预测)已知f(x)是定义在R上的单调函数，Vxe/?,/(/(%)-%3-2x+1)=

13,则/⑸=()

A.114B.116C.134D.136

【解题思路】借助换元思想即可解答.

【解答过程】由题意可知/(无)—/一2久+1是一个常数，

设/(x)-%3—2%+1=t,则/'(x)=%3+2%+t-1,

因为(%)-x3-2x+l)=13,

所以f(t)=/+3t—1-13,

因为/"(t)=t3+3t-1在R上单调递增，且/'(2)=13,

所以t=2,

所以f(x)-x3+2x+1,

则f(5)=53+2x5+1=136.

故选：D.

【变式2-2】(2023•甘肃兰州•校考模拟预测)命题p"(x)=仍2+色；8，7三广：在％e(—8,1]上为增

函数，命题4：9(©=今在(2,+8)单调减函数，则命题q是命题p的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】求出命题p,q中a的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.

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【解答过程】若/(X)=优+工；27在Xe(-00,1]为增函数，

I(QzIA*J5CLf<.1.

(-7--1/

则J-a+4>0，解得3Wa<4；

((-I)2+a-(-1)-8>(-a+4)-(-1)-3a

g(x)=立11=a2(x-2)+2a2-4=+至zl在Q,+8)为减函数,贝ij2a2-4>0,即a>&或a<-a,

X—2X—2X—2

因为"3<a<4"能推出“a>&或a<-夜”，反之不成立，

所以命题q是命题p的必要不充分条件，

故选:B.

【变式2-3](2023•北京丰台•统考一模)已知函数/(久)的定义域为R,存在常数t(t>0),使得对任意久eR,

都有〃久+t)=/(久)，当xe[0,6时，/(%)=|%-||.若/(%)在区间(3,4)上单调递减，则f的最小值为()

pO

A.3B.-C.2D.-

35

【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.

【解答过程】因为存在常数t(t>0),使得对任意％eR,都有/(尤+1)=fix),

所以函数的周期为t,

当xe[0,t)时，函数f(x)=,―刍在[呜)单调递减，

所以当久>0时，函数f(x)=k―,在[林,誓与56N*)上单调递减，

因为/(%)在区间⑶4)上单调递减，

(3

(nt<3t<-只

所以有k2n+l)t1g=>-<t<3,

故选：B.

【题型3利用函数的单调性求最值】

【例3】(2023•江西九江•校考模拟预测)若0<x<6,则6x-久2有()

A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9

【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.

【解答过程】令y=6久--=—37+9,对称轴为x=3,开口向下，

因为0<x<6,所以当x=3时，6x-/有最大值%没有最小值，

故选：D.

【变式3-1](2023上•浙江•高一校联考期中)己知函数/(x)=卜一三，g(x)=a%+2,x6R,用M(x)表示

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/(%),g(%)中的较大者，记为M(x)=max{/(%),g(%)},若M(%)的最小值为1,则实数Q的值为()

A.0B.+工C.+V2D.+2

-2——

【解题思路】画出/(x)=k―三的图象，分a=0,a>0和a<0三种情况，画出M(x)的图象，数形结合得

到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.

【解答过程】令h(x)=久-g定义域为(一8,0)u(0,+8),令h(x)=0,得x=±&，

且在(-8,0),(0,+8)上单调递增，

画出函数图象如下：

若a>0,则画出M(x)的图象如下:

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显然函数在a点取得最小值,

令）X=1,解得X=-2,正值舍去,

令—2a+2=1,解得a=

若a＜0,则画出M（x）的图象如下:

显然函数在B点取得最小值,

令解得工=2,负值舍去,

令2a+2=1,解得a=—

综上，a=±|.

故选：B.

【变式3-2】（2023下•山东青岛•高一统考开学考试）己如＞0,、＞0,5=悬+寿，贝1M）

A.S的最大值是总B.S的最大值是平

C.S的最大值是|D.S的最大值是学

【解题思路】根据题意整理得5=三学令1=三+=利用基本不等式求得te[2或,+8）,进而整理可

（用）+iy*

得S=2,结合对勾函数求最值.

2xyxy_2xy(x2+y2)+xy(4x2+y2)6x3y+3xy33（三）3管+9

【解答过程】：s222222224224

4x+yx+y(4x+y)(x+y)4x+5xy+y管+y©+5一管+3+】'

2%y

令t=It

y%

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Vx>0,y>0,贝此=—+->2/—x-=2A/2,当且仅当三=即y=时等号成立，

yxy]yxyx

故te[2&,+8),可得S==^=^1,

又；")=t+1a[2V2,+8)上单调递增，则/⑴>/(2V2)=2/+壶=竽，

S==W磊=乎，即S的最大值是乎.

t+-33

t4

故选：B.

【变式3-3)(2023上•浙江•高三校联考期中)已知函数/0)的定义域为R+,对于任意的乃yeR+,都有/(x)+

f(y)=f(xy)+1,当x>1时，都有f(x)>1,且/(2)=2,当久e[1,16]时,则f(x)的最大值是()

A.5B.6C.8D.12

【解题思路】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断

函数单调性即可求出最大值即可.

【解答过程】令x=y=1,贝，(1)=1,且/(2)+/(2)=/(4)+1

故f(4)=3,/(4)+/(4)=/(16)+1,故/"(16)=5

且令%=%y=募,可得fOi)+/管)=f(x2)+1

设冷>xv则募>1，/(%i)-/(%2)=l-fQ)<0

贝，01)</(%2)，故/(X)在R+上单调递增

/(X)的最大值是八16)=5

故选：A.

【题型4函数的奇偶性及其应用】

【例4】(2023•河南开封•统考模拟预测)函数/(x)满足/(©="，则下列函数中为奇函数的是()

A./(%+1)-2B.f(x+2)-2C.f(x-2)+2D.f(x+1)+2

【解题思路】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.

【解答过程】A：/(%+1)-2=善—2=±,定义域为｛x|x于1｝,不关于原点对称，不符合;

B：f(x+2)—2—-----2—定乂域为｛K|X丰0｝关于原点对称，且工——符合;

C：f(x-2)+2=香+2=岂”，定义域为｛加久74｝,不关于原点对称，不符合;

D：/。+1)+2=言+2=含，定义域为｛x|x力1｝,不关于原点对称，不符合;

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故选：B.

【变式4-1](2023・湖南•校联考模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+l)是奇函数，f(2久+3)是偶

函数，贝U()

A./(0)=0B.f(4)=0C.f(5)=0D./(-2)=0

【解题思路】由奇函数、偶函数的性质求解即可.

【解答过程】因为/(x+1)是奇函数，所以/(—x+l)=—/(x+1),则/(l)=0.

又/(2x+3)是偶函数，所以/(一2x+3)=/(2x+3),所以/1(5)=/(I)=0.

故选：C.

【变式4-2](2023•四川•校联考模拟预测)已知/(%)是定义在R上的奇函数,当x>,f(x)=x2-ax+a-

1,则满足f(久)>0的x的取值范围是()

A.(-00,-1]u[0,1]B.[-1,1]C.[-1,0]U[l,+oo)D.(-00,-1]U

[1,+8)

【解题思路】先通过函数为奇函数求出a,再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.

【解答过程】依题意/(x)是奇函数，所以f(0)=a—1=0,即a=1,

则/'(x)=x2—x,x>0,

当x>0时，令/(x)>0,解得x>1或久=0,

根据对称性，当一1<%<0时，/(%)>0,

故满足/O)>0的x的取值范围是[一1,0]U[1,+oo).

故选：C.

【变式4-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/'(x)=+久)+2久3,g(x)是定义在R上的偶函数，且

江久)在(-8,0]上单调递增，则下列判断正确的是()

A./(%)•|g(x)|是偶函数

B.|/(x)|-g(x)是奇函数

C./(g(2023))</(g(2024))

D.5(/(2023))>5(/(2024))

【解题思路】利用函数的奇偶性的定义判断选项A,B；利用函数的单调性判断选项C,D.

【解答过程】易知函数久久),g(x)的定义域均为R.当x20时，易知函数f(x)在[0,+8)上单调递增，

又/'(—%)+f(x)=ln(Vx2+1—%)-2x3+ln(Vx2+1+%)+2x3=Ini=0,所以/'(x)为奇函数,

易知/'(0)=0,所以函数f(x)在(一8,+oo)上单调递增.

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因为g(x)是定义在R上的偶函数，且在(-8,0］上单调递增，所以g(x)在［0,+8)上单调递减.

选项A：因为/(一%)•|g(T)|=-/⑺•|g(x)|,所以/⑺•|g(%)|是奇函数,所以A错误;

选项B：因为|f(—x)|,g(T)=|f(x)|-g(x),所以|f(x)|•g(x)是偶函数,所以B错误；

选项C：因为g(2023)>g(2024),所以/(g(2023))>/(g(2024)),所以C错误；

选项D：因为0=f(0)(2023)<f(2024),所以(2023))>(2024)),所以D正确.

故选：D.

【题型5函数的对称性及其应用】

v2

【例5】(2023•河南信阳・信阳高中校考模拟预测)已知函数八乃=2：-n，则()

A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数

C.的图象关于直线x=3对称D./O)的图象关于点(3,1)成中心对称

v2

【解题思路】对AB,根据/(—x)=：判断即可;对C,举反例判断即可；对D,计算可得f(6-x)+

X^2+oX+—lo

/(x)=2即可判断.

【解答过程】对AB,由/(-*)=2：。，易知选项A,B不正确；

Jxz+6x+18

对C,易得f(2)=1，/(4)=I，故f(2)力/(4),故选项C不正确；

对D,W，故/(6-％)+/(%)=J'-?+X：=2:冶+36=2,

故/O)的图象关于点(3,1)中心对称.

故选：D.

【变式5-1］(2023・全国•模拟预测)已知定义在R上的函数/(%)满足对任意实数%有/(%+2)=/(%+1)-

/(%),若y=/(2%)的图象关于直线久=|对称，/(I)=2,贝!JE起1/(£)=()

A.2B.1C.-1D.-2

【解题思路】由题意f(%4-2)=/(%+1)-/(%)=>/(%+3)=f(x+2)-/(x+1)