高考数学二轮复习易错重难点提升：三角函数与解三角形（含解析）

三角函数与解三角形

高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sina+cosa-\.

(2)商数关系：tana=吧区a丰三+k兀〉keZ

cosa

2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(cr±)=sincrcos/?±cosorsin/?；

(2)cos(or±=cosacos/?+sinctsinp；

(3)tan(a±0Jana±ta”

1+tanatan0

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a~\=1—2sin2a；

2tana

(3)tan2cr=

1-tan2a

4.辅助角公式

其中b_

asma+bcosa=\a2+b2sin(a+(p)cos(p=,0,sin(p=/b,tan(p=

yla2+b26+^a

5.三角函数的单调性

(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律

“同增异减”.

(2)求形如y=Asin(®x+cp)或了=Acos(a)x+(p)(其中6y>0)的单调区间时，要视“a)x+(p”

为一个整体，通过解不等式求解.但如果。<0,那么一定先借助诱导公式将。化为正数.

(3)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

6.三角函数的奇偶性

对于〉=/sin(ox+9),若为奇函数，则0=航(左EZ)；若为偶函数，贝1+E(左^Z).对于

…jr…

y=/cos(ox+e),若为奇函数，则。二,+配(kwZ)；若为偶函数，贝!)夕=历i(左£Z).对于

irrr

y=Atan(a)x+(p),若为奇函数，则0=彳(左wZ).

7.三角函数的周期性

求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为、=Asin(^x+(p)或》=4cos(ox+e)或

2兀

y-Atan(ox+cp)，，①，9为常数,4W0,GW0)的形式,再应用公式T=(正弦、余弦

3

型)或7=」匚(正切型)求解.

3

8.三角函数的对称性

函数/(x)=/sin3x+0)为常数，//0,0/0)图象的对称轴一定经过图象的最高

点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点(%,0)是不是

函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验/(%)的值进行.

9.正弦定理：在△NBC中，角4瓦。的对边分别为a",c,则一^=上-=^.

sinAsinBsinC

10.正弦定理的常见变形：

(1)a\b\c=smA\sin5:sinC(边角互化).

(2)上=—1=」_=——"止——=2凡其中，R为△ABC外接圆的半径.

sin/sin5sinCsin/+sin_5+sinC

(3)tz=27?sin,6=27?sin5,c=27?sinC(边化角).

(4)sinA=,sin5=—,sinC=—(角化边).

2R2R2R

11.余弦定理：在△NBC中，角/,5,C的对边分别为Q",C,则

a1=b2+C1-2bccosA,b2=c2+a1-leacosB,c1=a1+b2-labcosC.

12.余弦定理的推论：cosA=+C~a,cosB=a+C,cosC=a~C

2bclaclab

13.三角形的面积公式

111zyZ)r»

5*=—absinC=—acsinB=—besmA=----(7?为△48C外接圆的半径).

“A阮BC2224R

易错试题提升

1.已知sin[a+[]=；,则sin[2a+,]的值为()

A.-Zc.i^lD.Z

9999

2.在△羽。中，内角Z,8,C的对边分别是a,b,c,若acosB—bcos/=c，且C=],则NS=()

A.—B,-C.—D.—

105105

3.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.

扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24,内

弧长为10,且该扇面所在扇形的圆心角约为120。，则该扇面画的面积约为()(7i«3)

A.185B.180C.119D.120

4.将函数/(x)=sin]ox-的图象向左平移;个单位长度后得到函数g(x)的图象，若

g(x)在上单调递增，则0的最大值为()

313

A.-B.-C.-D.1

524

5.如图，Z是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则

当滚动的水平距离为2.2m时，下列描述正确的是(参考数据：7兀321.991)()

A.点/在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m

B.点/在轮子的右下位置，距离地面约为0.15m

C.点Z在轮子的左下位置，距离地面约为0.26m

D.点/在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m

6.已知函数/(x)=Zsin(ox+°)Z〉0,o〉0,|9|<]的部分图象如图所示，将/(x)的图象向右

平移合个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的工(4〉0)倍，得到函数g(x)的图象,

若g(x)在[0,可上恰有3个零点，则a的取值范围是()

111723)17里］

6,6J12512J~6,~6)

7.已知函数/(x)=sin(a)x+e)3>0)，若任意°eR,/(x)在上有零点，则口的取值范

围为()

A.(0,+oo)B.(l,+oo)C.(2,+oo)D.(3,+QO)

8.已知函数/(x)="x)s,x-其中0>0.若/(x)在区间(衿]上单调递增，则。的取

值范围是()

B-[M]C-H]D.(。』

9.(多选)ZX/BC的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cosZ=acosC,b=2也,

若边8C的中线4。=3,则下列结论正确的有()

C.ABAC=6口.△45C的面积为3百

10.(多选)已知函数/(x)=sin®x+°)(0>0，0<0<兀)，将y=/(x)的图像上所有点向

右平移g个单位长度，然后横坐标缩短为原来的g倍，纵坐标不变，得到函数>>=8(力的图

像.若g(x)为偶函数，且最小正周期为:则下列说法正确的是()

A.尸/⑴的图像关于x=今对称

B./(x)在上单调递增

C.g(x)，的解集为性+竺四+如］(左eZ)

D.方程/(x)=g］£|在上有3个解

11.已知tan［：+戊］=3,则tan2a=.

12.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建

造的两座古塔增添了诸多神秘色彩.双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距

离.如图，在与两座山峰，山脚同一水平面处选一点Z,从Z处看塔尖C的仰角是45。，看塔尖

8的仰角是60。，又测量得NR4c=45。，若塔尖8到山脚底部。的距离为20几米，塔尖C

到山脚底部E的距离为30亚米，则两塔塔尖之间的距离为米.

13.已知/(x)=gsin2x,关于该函数有下列四个说法:

①/(x)的最小正周期为2兀；

②/(x)在-上单调递增;

③当XC时，/(X)的取值范围为

63

④/(X)的图象可由g(x)=｝也,+：］的图象向左平移;个单位长度得到.

以上四个说法中，正确的有为.

14.已知△45C的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且《sin。一百sin_5)=(a-6)(sinZ+sinB).

(1)求/；

(2)若△NBC的面积为百，sin8=l+cosC,点。为边5c的中点，求的长.

15.如图，在平面四边形45CD中，/BCD=±，4S=1，ZABC=—.

24

(1)当5。=行，CZ)=V7时，求△/CD的面积;

(2)当/4DC」，/。=2时，求cos/NCZ).

6

答案以及解析

1.答案：D

解析：•/sinf2cr+j=sin2[1+弓)+]=cos21a+£)=l—2sin2(a+~

故选：D.

2.答案：C

解析：由题意结合正弦定理可得sin/cosB-sinBcos/=sinC,即

sinAcos5-sin5cosA=sin(74+B)=sinAcos5+sin5cosA,整理可得sinBcos/=0,由于

5e(0,7i),故sinB>0,据此可得cos/=0,A=~,则8=兀—2-。=兀—巴—巴=里.故选C.

22510

3.答案：C

解析：设外弧长为4,外弧半径为内弧长为小内弧半径为&，该扇面所在扇形的圆心角

为a,•.•扇形的弧长为/=0，.)|=乙=更，々=5="，♦.•扇形的面积为5=工"，

anait2

.•.该扇面画的面积为5=4/访—L/的=Lx24xa—Lxl0x?^=也合119，故选：C.

2227127171

4.答案：C

解析：将/⑴的图象向左平移;个单位长度后得到g(x)=sin/x+T-的图象

兀3兀7169兀兀71

因为X£所以--<a)x-\----------<a)7i——

45T4444

因为g(x)在-工里上单调递增，所以0兀―四〈巴，得0<o<3,所以。的最大值为3.

V7I44J4244

5.答案：A

解析：已知轮子的半径〃=0.3m,轮子滚动一周的水平距离为2a=0.6兀m,又7兀B21.991,

.-.0.771~2.2,.-.0.771-0.671=0,171,X-^=-(J^),:.-x2n=-n,故Z在轮子的左下位置.

0.6兀663

7T1

可得轮子星巨地面星巨离力=0.3—0.3cosi=0.3x5=0.15(m).

.•.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m.故选A.

6.答案：C

所以①

解析：/(x)的最小正周期为T,由题图可得2=2，-=-=7Zr_A=7r>=2,

2312122

2x----卜(p=—F2kji，左cZ，(p-2左兀H—9左cZ，3^<-,所以°=工，

12231123

所以/(x)=2sin2x+5.将/(x)的图象向右平移专个单位长度后得到y=2sin2x+.的图

312

象，再将歹=2sin2、+总的图象上所有点的横坐标缩短为原来的4倍，得到g(x)的图象，故

a

71c71

g(x)=2sin[lax+£)•当X£[O,TI]时，2ax+孑£一,2(771H---,

66

因为g(x)在［0,兀］上恰有3个零点，所以3兀V2即+巴<4兀，得“4口<竺，故选：C.

61212

7.答案：C

解析：由0微,可得GX+0£11,

令，=3+0,因为任意/(x)在［0,5上有零点,

则sin/=0在[+01上有解,

又因为sin/=0在可内有解的最短区间长度为6—a=兀

所以2^+0一。>兀，解得0>2.故选：C.

8.答案：A

解析：由题意得，函数/(X)的增区间为-兀+2E<2左兀(keZ)，且0>0,

每次日—兀+兀左兀

解4倚口——24<x<—4—F2(我Z)，

CD3

—Ti+2kli—卜2kli

由题意可知:44(左6Z).

①'CD

7

—兀+2AJI

4______

于是3,解得一？左口(Q

0~+641+p/eZ).

43

-+2kit

42里

G)4

又0>0，于是。<o<L故选：A.

3

9.答案：ACD

解析：根据正弦定理，由

(2b-c)cosA=acosCn2sin3cosA-sinCcosA

=sinAcosCn2sin5cosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(/+C)=sin(兀-B)=sin5,因为

1jr

5e(0,7T),所以sinBwO,因此2cos/=1ncos/=万.因为Ze(0,兀)，所以/=§,因此选项

A正确，选项B不正确；

------*1>>------->2*2*2------*

因为/。是中线，所以+==++.

ZC^36=C2+12+2X2^X-C^C=2^或c=—(舍去).因止匕益•"=2若*2A/IX工=6,

22

所以选项C正确；

△45C的面积为L6csin/=Lx2VIx26x包=36,所以选项D正确，故选ACD.

222-一

10.答案：BCD

解析：将函数/(x)=sin(ox+e)的图像上所有点向右平移当个单位长度,

得至1Jy=f[x--=sin[<y(x--)+(p\=sin(ox+cp-,

然后横坐标缩短为原来的工倍，纵坐标不变，

2

得至Ug(x)=sin(2s+0-^^)，

若g(x)最小正周期为四，则有女=4,得①=2,

22co2

又因为g(x)=sin(4x+°-与)为偶函数，

［九

4兀7兀1

所以夕-——二左兀+一，左cZ即0=左兀H-----,kGZ

326

又0<°<兀，所以0=k=-L，

5%

故g(x)=sin(4x-卞=-cos4x，/(x)=sinl2x+

~6

对于A,/(A)=o^±l，所以y=/(x)的图像不关于x=a对称，A错误;

对于B,2kn~—<2x+—<2kn+—>Mbr--<x<kn-—keZ，

26236

当左=1时，函数/(x)的单调递增区间为四,2],

36

所以/(x)在今]上单调递增，B正确；

对于C,由g(x)2；，得-cos4x2；，所以cos4x<--，

2

所以2左兀+g<4x<2左兀+F(左GZ)，

itkititkit

解得X£—+——+一(左£Z),C正确;

6232

对于D,/⑴=gg]等价于sin12x+g]=-cos2x,

即—cos2x=-^-sin2x9所以tan2x=V3，

22

所以2x=女+左兀(左£Z)，即x--+—(k€Z)，

362

兀2兀77i

又故当左=0，1,2时，可得x=­，——，——

636

即方程/(x)=g曰在0,曰上有3个解，D正确.

故选：BCD.

n.答案：1

3

解析：因为tan[巴+a]=1+tana=3,所以tana=!，

14)1-tana2

2x—

所以tan2a=上处^=—.故答案为：

1—tan2a.133

i—

4

12.答案：206

-。CE30.”

解析：在RtZk/EC中，。£=30亚米，NE4C=45。，则sin45°~亚一米，

V

同理，在Rt^4D6中，48=40亚米，

在△NBC中，45=40亚米，NC=60米，NBAC=45°，

由余弦定理，得BC7AB2+AC?-24B•ACcos45。

=^3200+3600-2x40^x60x=，2000=20出米,

故答案为：2Qy/5-

13.答案：②

_1___,77

解析：因为/(x)=]Sin2x,所以/(x)的最小正周期为T=彳=兀，故①不正确；

因为xe「二，M，令/=2xJ-巴,巴],而y=Jsin/在上递增，

4422.222

所以/⑺在-若上单调递增,故②正确;

71兀兀2兀

因为xe所以2xesin2xG

65?

所以/(x)eW,g,故③不正确;

由于g(x)=gsin(2x+：)=；sin2(x+,

所以/(x)的图象可由g(x)=|sin(2x+：)的图象向右平移方个单位长度得到，故④不正确.

故答案为：②.

14.答案：(1)见解析

（2）见解析

解析：（1）因为《sinC-百sin8）=（a—6）（sinN+sin5）,

所以由正弦定理可得c（c—闻）=（a—b）（a+b），BPb2+c2-a2=^3bc-

由余弦定理可得cosZ="2+1一,=®=也,又/40,兀），所以/=工.

2bc2bc26

（2）因为sin5=1+cosC

tAsin5=1+cosf--5=1+cos-cosB+sin-^sin5=1-^-cosB+Lin8，

I6J6