高考数学专项复习练习卷：概率15（原卷版和解析版）

人教A版数学一概率专题十五

知识点一写出简单离散型随机变量分布列，求离散型随机变量的均值，独立事件的乘法

公式

典例1、为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名

同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，

若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得

10分，另一人得。分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，

则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为g,乙答对每道题目的

概率为:3，且两人每道题目是否回答正确相互独立.

(I)求乙同学最终得10分的概率；

(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.

随堂练习：冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛

项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线的左侧)有一个发球区，

运动员在发球区边沿的投掷线"N将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆

形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心。的远近决定胜负，甲、乙两人进行

投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆。中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2

分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结

果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为；，?；甲、乙得2分的概率分别为：，甲、

3452

乙得1分的概率分别为"

56

N

营垒区

(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；

(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为X,求X的分布列和期望.

典例2、某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、

泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁.通常情

况下，一把紫砂壶的成品率为:，损毁率为，对于烧窑过程中出现的次品，会通过再

次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为;.已知一

把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整

形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元.

(1)求一把紫砂壶能够对外销售的概率；

(2)某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶

的最终获利X的数学期望.

随堂练习：2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正

常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫

情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1

月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电

视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种

商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机

优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都

抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为回、2、方，已知

123

这三种商品都能抢购成功的概率为七，至少一种商品能抢购成功的概率为2

(1)①求百、的值；②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.

(2)求张某抢购成功获得的优惠总金额X的分布列和数学期望.

典例3、2022年4月16日上午9：57神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利返

回地面.半年内，航天员们顺利完成了两次出舱任务，两次“天空课堂”讲课，还组织

了天宫画展、春节跨年以及迎元宵活动，为全国观众留下了深刻印象，也掀起了一股航

天热.邢台市某中学航天爱好者协会为了解学生对航天知识的掌握程度，对该校高一、

高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩

（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了整理的相关信息：

等级EDCBA

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

高一人数123410

高二频率0.10.150.20.30.25

（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？

（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低

于90分的人数记为％用频率估计概率，求X的分布列和期望.

随堂练习：高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各

有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学

解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与

方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.

（1）求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率；

（2）设4为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求4的分布列和数学期望.

典例4、甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前A箱子中装有3个红球3个白球，B

箱子中装有1个红球2个白球.比赛规则是：先由甲同学从A箱子中每次取一个球放入B

箱子中，若从A箱子中放入B箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过

程，直到第一次取到红球并放入2箱子中为止.然后再由乙同学从B箱子中任取一个球，

若取出的是红球则乙同学获胜，否则甲同学获胜.

(1)用X表示甲同学从A箱子中取出放入8箱子中球的个数，求X的分布列及数学期望;

(2)求甲同学获胜的概率.

随堂练习：为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗

2

词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为《，高一年级胜高三年级

的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

(1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的

概率；

(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，

但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

典例5、1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国

选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神，使“乒乓外交”的内

涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运

动之一，今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一

人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王

、小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为

小马与小张比赛小张获胜的概率为［小马与小王比赛小马获胜的概率为1.

（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；

（2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X,求X的分布列和期望.

随堂练习：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.规则如下：参赛选手

按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基

金1000元，2000元，3000元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基

金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零.假

设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是1,21,该嘉宾选择继续闯

4J4

关的概率均为/且各关之间闯关成功与否互不影响.

(1)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；

(2)求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值.

典例6、2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告

(2022)》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较

长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关

系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企

业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占养，统计后得到如下2x2

列联表：

销售额不少于30万元销售额不足30万元合计

线上销售时间不少于8小时75100

线上销售时间不足8小时

合计200

(1)完成上面的2x2列联表；

(2)根据2x2列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上

销售时间有关.

附.2二n.d-bc}_____

**(〃+6)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

尸（力峰左）0.10.050.010.005

k2.7063.8416.6357.879

随堂练习：如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”

和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的

健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位会员

的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为

主的有12人，占30岁以下调查人数的［

（1）根据以上数据完成如下2x2列联表;

有氧运动为主无氧运动为主总计

30岁以下12

30岁及以上

总计4260

（2）能否有99%的把握认为运动方式与年龄有关?

附:

P(K2>k]0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc^

参考公式：2其中〃=a+b+c+d.

K=(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

人教A版数学一概率专题十五答案

典例1、答案：（1）盖37（2）分布列见解析，才的数学期望为10

解：（1）记“乙同学最终得10分”为事件4,

则可能情况为甲回答两题且错两题；甲、乙各答一题且各对一题；乙回答两题且

对一题错一题,

,11111413cl312c37

IJIIP\A)=一x—x一x—|—x—x一X—x2H—x—x—x—x2=,

75252525252525100

所以乙同学得10分的概率是急37.

(2)甲同学的最终得分才的所有可能取值是0,5,10,15,20.

11111113,1313164

尸(x=o)=—x—x—x—+—x—x—x—x2+—x—x—x—

252525252525100-25

n/叱1112c1314

X=5=—x—x—x—x2d——x—x—x巳2=生

'72525252510025

14111413^1212369

—X—X—X—x2d——X—X—X—x2H——X—X—X—==—

25252525252510025

尸(X=15)=；x—生4

52510025

P(X=20)=1x|xix1=^4

25

X的分布列为

J05101520

44944

P

2525252525

41Q11

£（X）=0x—+5x—+10x—+15x—+20x—=10,所以X的数学期望为10.

随堂练习：答案：（1）3（2）分布列见解析，期望为：兽

3Ulot）

,121=1

解：（1）由题意知甲得o分的概率为3一厂了百，乙得o分的概率为

甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或。分,

甲得2分乙得1或。分，甲得1分乙得0分

所以所求概率为―+讨+5）+3?丁

(2)X可能取值为0,1,2,3,

p(x=o)q+MLkL…二

v7345256151290

〜11212111111183

P(X=\]=—X——I--X——F—X--F—X—+—X—+—X—=-------

1732545652512156180

173645512215180

3E+

所以，随机变量X的分布列为:

X0123

2983312

P

9018018045

­/V、八29183c3122169

ffrLiE（X）_0xF1x-----F2x-----F3x——-----

、）9018018045180

7

典例2、答案：（1）-（2）440.

719

解：（1）设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件4则尸（/）=1-1-二=二，

则第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率为4=；2x；3=A3，

则一把紫砂壶能够对外销售的概率4=:7+3;=A7,

（2）X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800,-500-50=-550,

-500-50-100-50=-700,

则尸（X=950）=1,尸（X=800）=]W3'，

尸（X.550）=2尸（〜7。。）11-

则X的分布列为：

X950800-550-700

23]_1

P

510510

2311

所以最终获利X的数学期望为：£V=950X-+800X--550X--700X--440

17

随堂练习：答案：（1）①0=〃2=；；②（（2）分布列见解析，数学期望为475元

f111

夕122X]=记，白02=京，1

解：（1）①由题意得＜即1解得：Pi=Pl=~

1_(1_21)0一22)[1_；23

21+02=]，!

32

②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件河・则屈=｛抢购到大屏幕电视机和冰

箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机,

或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱｝.

7

32,

(2)X的可能取值为0,300,500,800,1100,1300,1600

尸—。)=(1-；卜［1-：卜9

H>32

尸(X=300)=[l-；]x]l—:lxr9

32

尸(X=500)=［一；］义；义］1一*

1163

<—

423216'

产(X=1100)=；x(l-；jxg=——

尸(X=1300)=；x；x(l-j

=—P(X=1600>-x-x-=—

'744232

・••张某抢购成功获得的优惠总金额X的分布列为

X0300500800110013001600

9933311

P

32323216323232

张某抢购成功获得的优惠总金额X的数学期望为:

993331115200…

EX=Ox—+300x—+500x—+800x—+1100x—+1300x—+1600x——二-------------二475

3232321632323232

(元)

典例3、答案：(1)(2)分布列见解析；期望为1.

O

解：(1)从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于90分的概率去=；,

从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于90分的概率为J,

4

因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率为

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有0,1,2,3.

贝U尸(X=0)=；x[£|=

224432

尸(X=2)\G—,P(X=3)」1

32IJ232

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

91571

P

32323232

91571

£(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=l.

v732323232

随堂练习：答案：(1)'(2)分布列见解析，期望为1

解：(1)设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A,

“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件以

C22C22

由于事件A、B相互独立，且尸(/)=£=公,尸(g)=W=E，

所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为

224

P(AB)=P(A)-P(B)=-x-=-.

(2)由题意，随机变量J可能的取值为0,1,2,3,

可得一=。)=(,尸(『)=|••等+3・！■嚏，

r1ii9

Pc=3)=.也=£，尸4=2)=1—尸4=0)—尸4=1)一尸4=3)=x,

L6L6rJ9

所以随机变量4的分布列为：

40123

42221

P

1545945

所以随机变量J的数学期望EIOx2+1*||+2*/3*去=1.

典例4、答案：(1)分布列见解析，数学期望为:(2)言

解：(1)X的可能取值是X=1,2,3,4,

313x2x33

尸(X=1)二=5,P(X=2)=—=—P(X=3)=

6x5106x5x420

n/v八3x2x1x31

P(X=4)=---------=——,

6x5x4x320

故X的分布列是

X1234

331

P

102020

故X数学期望为E(X)=lx；+2x5+3x方+4x*(,故X的数学期望是：.

（2）X=1时，表示B箱子中装有2个红球2个白球，则甲获胜的概率小=9：=：,

X=2时，表示B箱子中装有2个红球3个白球，甲获胜的概率％=也在

X=3时，表示B箱子中装有2个红球4个白球，甲获胜的概率八=亮乂,专,

X=4时，表示B箱子中装有2个红球5个白球，甲获胜的概率八=5*[=5,

ZU/Zo

故甲获胜的概率。甲=夕1+。2+03+。4=:+5++=:

4JuiUZoi/J

9Q7

随堂练习：答案：（1）竟（2）分布列见解析；期望为哈

o25y

解：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为R

33|4297

则尸=P（x=3）+尸（x=4）=C；1|+I-625

(2)由题意可知X=2,3,4,5,

则尸（X=2）

9

尸(X=4)=C；x；x4

27

故才的分布列为

2345

]_44

P16

9272727

1441638

£(X)=2x—+3x——+4x——+5x——

v79272727~9

711

典例5、答案：（1）|（2）分布列答案见解析，数学期望：?

/0

解：（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件4小马与小张比赛小张获胜记为事件H

小马与小王比赛小马获胜记为事件8且4,B,。相互独立.

211

则尸（4）=5,尸（为=5尸（。）=§

设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M,

则

_____—?1111??

P{M}=P{A-C-B)+P(A-B-e>=P{A}-P^-P{B)+P(A)-P^-P^=-^-+^-^-

JJ乙J4Jy

(2)一的可能取值为1,2

P(X=1)=P(ACB)+P(ABC)=P{A}-P(C)•P(B)+P(A)-P(B).P(C)

P(X=2)=\-P(X=1)=-

则X的分布列为

12

1_5

P

66

则E(X)=lx»2**=2

3

随堂练习：答案：（1）/；（2）分布列见解析，均值为H25元.

16

解：（1）事件a“第一关闯关成功且获得公益基金为零”，4二"第一关闯关成功第二关

闯关失败"，4="前两关闯关成功第三关闯关失败”，

显然4与4互斥，且4=4+4,

3121312111

尸(4)=——(1——)=—,夕(4)=-----------(1——)=—

14238~4232216

113

尸（“）=尸（4+4）=尸（4）+2（4）=—I.......——

81616

所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为白3;

10

⑵该嘉宾获得的公益基金总金额X为随机变量，X的可能值为0,1000,3000,6000,