高考数学一轮复习练习卷：指对幂函数、函数的应用（原卷版+原卷版）

高考仿真重难点训练-指对嘉函数、函数的应用

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若集合4=卜：>“,8=/了=6一工+1},则（）

A.（一8』B.（0,1）C.（0,2）D.（0,1]

2.“a<3”是“函数/（x）=log2[（3-a）x-l]在区间（1,+s）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知幕函数/（》）=（川-2m-2卜心（加仁因是偶函数，且/（x）在（0,+8）上是减函数，贝1]刃=（）

A.-2B.-1C.0D.3

06

4.已知a=,b=4->c=log38,则0,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

5.19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个

世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数

约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量b进制随机数据中，以〃开头的数出现的概率为

8（〃）=lo8叫，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检

n

验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若）/（〃）=1岁（左©N*,A:<2024）,则左的值

念l+log25

为（）

A.674B.675C.676D.677

工3_]X<]

,，，，满足/'（a-l）</（3-a）,则实数。的取值范围是（）

{lnx,x>l

A.（-oo,2）B.（2,+oo）C.（一。,0）D.（0,+。）

7.函数〃x）=e、（x-l）-x-1的所有零点之和为（）

A.0B.-1C.V3D.2

8.已知函数=八，设函数尸（无）=r（x）-2"）+a+2,则函数尸（x）有6个零点的充

\x+2x+3,x<0

要条件是（）

c/IC11-11

A.2＜aV—B.2＜。＜—C.。＜--D.a＞2

555

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列函数中，不能用二分法求其零点的是（）

A./（X）=-X2+2X-1B./（x）=3x-2

C./（x）=l+cosxD.f（x）=Qx-2

10.给出下列五个结论，其中正确的结论是（）

A.函数了=［；］的最大值为g

B.已知函数V=loga（2-ax）（Q〉0且awl）在（0,1）上是减函数则Q的取值范围是（1,2）

c.在同一直角坐标系中，函数了=iog?x与y=i°g［X的图象关于轴对称

2

D.在同一直角坐标系中，函数夕=2"与y=k）g2x的图象关于直线y=x对称

E.已知定义在R上的奇函数在（-oo,0）内有1010个零点，则函数〃x）的零点个数为2021

11.函数“X）的定义域为R，/卜+1）为偶函数，且/（4-尤）=-〃江当xe［T,0）时，f（x）=x",则下

列说法正确的是（）.

A.〃x）在［5,6］上单调递增

2023

B.之/'（，）=0

Z=1

C.若关于x的方程/（耳=能在区间［-2,9］上的所有实数根之和为日，则加=：

2o

D.函数歹=/（耳-他司有2个零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知log?3=a,2"=5则log1？45=.（用含。力的式子表示）

13.已知f(x)=〃zx+l-e*与g(x)=xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则加的取值范围

为.

14.已知函数/(x)=log6(2，+3)g(x)=log3(6'-2”给出下列四个结论:

②存在3«0,1),使得/(0)=8(1)=/；

③对于任意的尤e(l,+℃),都有/(x)<g(x);

其中所有正确结论的序号是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.计算下列各式的值：

1

⑴83+31x22

哨

(2)log327-(1g4+1g25)-logs8log25+72

1+log(2-x)(x<1)

16.设函数/(x)=2

(尤21)

⑴求〃1+1046)及/(/(-2))的直

(2)解关于x的不等式/(x)>4.

17.已知函数y=/(x),其中/(x)=log1咨2+x.

2X-2

(1)求证：了=/(>)是奇函数；

(2)若关于x的方程“X)=嚏1(x+4)在区间［3,4］上有解，求实数上的取值范围.

2

18.2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春

盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基

地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某

款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产x(10000尤eN*)万

12

件产品，还需另外投入原料费及其他费用/(X)万元，且〃x)=「X，O＜尤＜10°,已知每件产品的

21x+21gx-380,x＞100

售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.

(1)写出利润少(x)(万元)关于产量x(万件)的函数解析式.

(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？

19.设函数/(x)的定义域为。，若函数/(x)满足条件：存在用a。，使f(x)在［a,6］上的值域为［加a,加6］

(其中加e(O,l］),则称/(x)为区间［a,句上的“倍缩函数”.

⑴若存在［。力仁R，使函数"X)=log?(2、+。为［凡目上的";倍缩函数”，求实数，的取值范围；

(2)给定常数上＞0,以及关于x的函数是否存在实数a,6(。＜6),使“X)为区间［生句上的“1

倍缩函数”.若存在，请求出。)的值；若不存在，请说明理由.

高考仿真重难点训练03指对塞函数函数的应用

一、选择题

1.若集合/=".>l[,8={y|y=er+l},则()

A.B.(0,1)C.(0,2)D.(0,1]

【答案】D

【分析】解分式不等式求出集合/，根据指数函数性质求出集合2,然后由集合的补集运算、交集运算可得.

【解析】解不等式4>1得"=(0,2),

X

因为b*=4>0,所以y=e-*+l>l,所以8=(1,+8),

e

因为％8=(-8,1],所以/c%3=(O,l].

故选：D

2."a<3"是"函数/(x)=log2[(3-在区间。,+⑹上单调递增"的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案

【解析】令“=(3-a)x-l,y=log2u,

当/(x)=log2[(3-a)x-1]在(1,+s)上单调递增时，

因为y=log2〃是(L+(»)上的增函数，

贝！I需使〃=(3-a)x-l是(1,+s)上的增函数且u>0,贝!|3-。>0且3-a-1N0,

解得。42,必有。<3,故必要性成立；

当。<3时，取。="|,可知(3-a)x-l=gx-l在(l,+oo)上有小于零的情况，

此时/(x)无意义，即充分性不成立，

故"a<3"是"函数[(x)=log2[(3-a)x-l]在区间(1,+s)上单调递增，的必要不充分条件.

故选：c.

3.已知幕函数/(%)=(--2冽-2卜心(冽G的是偶函数，且Ax)在(0,+功上是减函数，则加二()

A.-2B.-1C.0D.3

【答案】B

【分析】利用基函数的定义与性质即可得解.

【解析】因为/(%)=(加2—2m—2)x"是幕函数，

所以加2一2加-2=1,解得加=3或加=-1,

又/(%)在(0,+00)上是减函数，则冽-1<0,即加<1,

所以加=-1,此时/。)='一2,易知其为偶函数，符合题意.

故选：B.

06

4.已知.=,b=4-,c=log38,贝1|a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】根据指数以及对数函数的单调性，即可得c<2<0<6.

O61211

【解析】由于“="=2口>2,Z?=4-=2->2-=«>2,c=log38<log39=2,

所以c<a<6,

故选：C

5.19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个

世纪后，物理学家本•福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数

约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量6进制随机数据中，以〃开头的数出现的概率为

《(〃)=10&四，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检

n

验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若f4(〃)=噜尸岁(左eN*,左42024),则左的值

yl+log25

为()

A.674B.675C.676D.677

【答案】B

【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.

【解析】£/(")=/住)+0(左+1)+…+/(2024)=lg丁+lg.+…+lg奇j=lg1一,

〃=kKK\\.K

log?9-log?3=log?3

=lg3,故左=675.

1+log25log210

故选：B

工3_]<[

,，满足/'(a-l)</(3-a),则实数。的取值范围是()

)lux,x>1

A.(―℃,2)B.(2,+co)C.(—8,0)D.(0,+8)

【答案】A

【分析】首先结合幕函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到解出即可.

【解析】当x<l时，/(x)=x3-l,此时/(x)单调递增，

当x21时，/(x)=lnx,此时f(x)单调递增，M/(l)=0=l3-l,

则xeR时，/(x)单调递增,

若有/(0-1)</(3-则有°一1<3-°,解得。<2,

故选：A.

7.函数"x)=e、(x-l)-x-l的所有零点之和为()

A.0B.-1C.V3D.2

【答案】A

_)_1

【分析】令/卜)=0，即e，(x-l)r-l=0,构造函数？=二与函数y=-r画出函数图象，可知两个函

X-1

数图象相交于两点，设为%,马,得/(占)=/(_±)=0,进而得到超=-%,即玉+尤2=0

【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程/卜)=。的实数根，令/'(x)=0,

则e"(无一1)一丁一1=0,显然xwl,所以e，=q,

x-1

V4-Y+

构造函数>=^与函数j==1，贝!|方程e'==1的根，

X-1X—1

可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，

所以此方程有两个实数根，即函数/(X)=e*(X-1)-尤-1有两个零点，

,~rXi+1招+1

设为三,三，所以—x

1x-1

xx-2

%2

即/(玉)=8-1)-^-l=0,/(x2)=e(x2-l)-x2-1=0,

另外发现，将一玉代入，可得f(f)=尸(f-1)一(一网)一］二一(X："］=一U十，

ece

所以-玉也是函数/'(%)的零点，说明％2二-再，即石+%2=°.

8.已知函数/(x)=］吧;1:x<0'设函数尸⑴=尸⑺-24(x)+a+2,则函数尸(x)有6个零点的充

要条件是()

c/Ic1111-

A.2<。K—B.2<tz<—C.。<—D.。>2

555

【答案】A

【分析】由题意通过数形结合在同一平面直接坐标系内画出直线y=，与函数y=1(x)的图象，研究方程

/(%)=?的根的分布情况，再接着结合关于t的一元二次方程t2-2at+a+2=0的根的个数分类讨论可得关

于/的一元二次方程/一2-+2=0的根的个数只能为2,由此不妨设0<%<2气43或乙=2<3气，根

据二次函数的根的分布情况列出不等式或方程组即可求解.

【解析】由题意先来研究方程［(x)=/的根的分布情况，

我们将其转换为直线了=1与函数了=1(X)的图象的交点分布情况即可，

在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如图所示，

所以当/<0时，方程有0个根；

当/=0时，方程有1个根；

当0<f<2时，方程有2个根；

当"2或"3时，方程有3个根；

当2</43时，方程有4个根；

而关于/的一元二次方程/2-2由+a+2=0的根的个数可能为0,1(两个相等的实数根)，2,

若关于t的一元二次方程/_2或+a+2=0的根的个数为0,贝(I函数尸(x)=f(x)-2)(力+。+2的零点个数

为。，

若关于t的一元二次方程/_2或+a+2=0的根的个数为1,贝(I函数/(x)=f(x)-2«f(x)+a+2的零点个数

至多为4个，

所以关于♦的一元二次方程r-2G+a+2=0的根的个数只能为2,

若函数月(x)有6个零点，

且注意到在0,1,2,3,4这些数中，两个数之和为6只有两种情况：2+4=6和3+3=6,

即设方程〃_2af+a+2=0的两个根为4片才2，

不失一般性，不妨设0<%<2</243或4=2<3<%或%>马>3,

当且仅当此时满足题意，

而若0<%<2</2«3,且注意到二次函数/(/)=/-2af+a+2开口向上，

/（0）=a+2>0

则当且仅当打（2）=6-3“<0,解得2<°q；

/（3）=ll-5a>0?

若4=2<3<弓，且注意到二次函数=〃-2a/+a+2开口向上,

f(2}=f(t,]=6-3a=011

则当且仅当[二n，此时a=2〈丁矛盾；

/(3)=11-5«<05

。>3

若，>12>3,贝卜/(3)=11-5“>0,此时无解，

A>0

综上所述，函数尸(x)有6个零点的充要条件是

故选：A.

【点睛】关键点睛：关键是通过换元不断迭代，利用数形结合的思想来讨论方程的根或者函数的零点分布

情况，由此即可顺利得解.

二、多选题

9.下列函数中，不能用二分法求其零点的是()

A.f(x)=-x2+2x-lB.f(x)=3x-2

C./(x)=l+cosxD.f(x)=eA-2

【答案】AC

【分析】利用二分法的定义结合零点存在定理分析即可得解.

【解析】对于A,/(x)=-x2+2x-l=-(x-l)2<0,则A中的函数不能用二分法求零点，故A正确；

对于B,=且则B中的函数能用二分法求零点，故B错误；

对于C,因为-iVcosxVl,所以/(尤)=l+cosx20,则C中的函数不能用二分法求零点，故C正确；

对于D,/(ln2)=0,_&/(0)-/(1)<0,则D中的函数能用二分法求零点，故D错误.

故选：AC.

10.给出下列五个结论，其中正确的结论是()

A.函数y=的最大值为g

B.已知函数V=log〃(2-办)(Q〉0且QW1)在(0,1)上是减函数则o的取值范围是(1,2)

C.在同一直角坐标系中，函数V=log,x与yTogjX的图象关于y轴对称

2

D.在同一直角坐标系中，函数>=2"与y=log2x的图象关于直线y=x对称

E.已知定义在R上的奇函数/(x)在(-叫0)内有1010个零点，则函数/(x)的零点个数为2021

【答案】DE

【解析】根据指数函数，对数函数性质判断AB,由对称性判断CD,由奇函数性质及零点的概念判断E.

【解析】A错，令：=_》2+1,贝宜的最大值为1,的最小值为，

\a>\,

B错，••・函数在(。,1)上是减函数，2_Q解得

c错，在同一直角坐标系中，函数y=log,x与了=l°gi尤的图象关于X轴对称；

2

D正确，在同一直角坐标系中，函数了=2,与y=log2》的图象关于直线了=尤对称；

E正确，：定义在R上的奇函数/⑴在(-8,0)内有1010个零点，二/⑴在(0,+8)内有1010个零点，，函

数/(x)的零点个数为2x1010+1=2021.故选DE.

【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，考查函数的对称性，奇偶性，考查零点概念，考查的知识

点较多，属于中档题.

11.函数〃X)的定义域为R,/(x+1)为偶函数，且7(4-无)=当xe［-l,o)时，y(x)=J,则下

列说法正确的是().

A./(x)在［5,6］上单调递增

2023

B.Z/(/)=0

Z=1

C.若关于x的方程/(x)=7M在区间［-2,9］上的所有实数根之和为?，则加=：

2o

D.函数y=/(x)-|lnx|有2个零点

【答案】BD

【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合

周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出/(x)的图像，数形

结合来处理.

【解析】由于/(x+1)为偶函数，则/⑴关于x=l对称，贝lj/(x+l)=/(-x+1),故〃x)=〃2-x),

结合/(4-x)=-/(x)可得，/(4-x)+/(2-x)=0,用2-x取代x,得到〃x+2)=-/(x),

用x+2取代工,得到/(%+4)=-/(1+2)=/(%),于是/(x)的周期为4,

由/(x)=/(2-%)可得/(-x)=/(2+x),结合+2)=-/(%)可得/(-%)=-/(、),故/(%)为奇函数.

A选项，根据幕函数的性质，/(x)=/在x«-l,0)上递增，根据奇函数性质，在［0,1］上递增，

又/(x)关于x=l对称，则/(x)在［1,2］上递减,又/(x)的周期为4,故/⑴在于6］上递减,A选项错误;

B选项，奇函数〃x)的定义域为R,故"0)=0,由于/(x)的周期为4,故〃4)=/(0)=0,

由/(4-x)=-〃x),取x=l得至！1/(1)+〃3)=0,取x=2,得到〃2)=0,

故/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,由于/⑶的周期为4,故

2023

E/(0=505(/(l)+/(2)+/(3)+/(4))+/⑴+〃2)+43)=0

J=1

c选项，先作出y=/(》)在［-2,9］上的图像,

若加=-1时，横坐标交点之和为9,

若加=1时，横坐标交点之和为15

若-1〈加40,根据y=/(x)的对称性可得，交点的横坐标之和为2x(-l+3+7)=18,

故0〈加＜1,除了交点A之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：2X(1+5)=12,

设A的横坐标为。，则12+八万，解得。=万，当xe［0,l］时，〃x)=x3，，(引=荻，

根据周期性，/［3［=/［；］=专wg，C选项错误；

D选项，在同一坐标系下作出V=〃x)和了=|lnx|的图像如下，由图像可知有两个交点，故y=/(x)-|lnx|有

2个零点，D选项正确.

故选：BD

【点睛】本题综合考察了黑函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可

作出函数图像，数形结合是解题的关键.

三、填空题

12.已知1(^3wa,2"=5则logn45=..（用含的式子表示）

■田2a+b

【答案］--

a+2

【分析】根据指数与对数的关系得到log?5=6,再由换底公式及对数的运算性质计算可得.

【解析】因为2"=5,所以log25=6,又log23=a,

log?45=log?(5x9)=log?5+log29

所以10gl245=

log?12log2(3x4)log23+log24

log25+2log23_2a+b

log23+2log22a+2

2a+b

故答案为:

a+2

13.已知/卜）=如:+1-/与g（x）=xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则比的取值范围

为.

【答案】（e-l,y）

【分析】由题意可得/（x）=-g（x）在（0,+网上有两个解，即机=-lnx+工匚在（0,+功上有两个解，令

X

〃(x)=-lnx+吐%>0),即直线>=加与y=h(x)在(0,+s)上有两个交点,利用导数求出函数”(无)的最小值

X

即可得答案.

【解析】由题意可得/(x)--g(x)在(0,+8)上有两个解，

所以切％+1-e"=-xInx在(0,+8)上有两个解，

T—1

即加=-Inx+——在(0,+8)上有两个解，

x

QX_1

令h(x)=-Inxd-----(%>0),

x

则直线V=冽与>=Kx)在(0,+oo)上有两个交点,

则垢)」+一11)+1=(1)尸),

XXX

因为x>0,所以e*>l,ex-l>0，

所以当xe(0,l)时，”(x)<0,"(x)单调递减；

当xe(l,+oo)时，h\x)>0,/z(x)单调递增；

所以〃(x)min=〃(l)=e-l,且当X-0时6(x)f+00,当Xf+8时”(尤)f+<»,

则〃(x)的图象如下所示：

由图可知加〉e-1,即加的取值范围为(e-1,+8).

故答案为：(e-1,+8).

14.已知函数/(力=1嗝(2，+3，)，g(x)=log3(6:2)给出下列四个结论:

①心d

②存在/e(0,1),使得〃Xo)=g(无。)=%；

③对于任意的无€(1,+℃),都有［(x)<g(x);

(4)|l-/(l)|<|g(l)-(

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【分析】

构造函数，根据函数的单调性可判断各选项.

故1°§6(C+6)>—.

/I-、2

而仔旧-1年耳(。

^log3(V6-72)<1,故/

故①错误.

对于②,设〃(x)=/(x)-x=log6(：+g],

因为y=g,y=g在R均为减函数，故访(x)为R上的减函数，

而〃⑼=log62>0,/z(l)=log6|<0,故〃(x)为(0,1)上存在唯一零点七,

且〃(%)==。即2X°+3&=6X°即3"。=6'°-2&，

故现3(63-2*。)=苫0,所以g(尤o)-Xo=0,

故存在％w(O,l),使得/(%)=8(%0)=%.故②正确.

对于③，由②的分析可得A(x)=〃x)-x=log6[g+g]在(1,+s)上为减函数,

故力(x)<h(l)=log6f<0BP/(x)<x恒成立.

6

设s(x)=g(x)-尤=k>g32r-Rj,

同理可得S(x)为(1,+co)上的增函数，故s(x)>s⑴=log3g>0,故g(无)>无，

对于④，由/⑴=1嗨5<1,g(l)=log34>l,

所以”/(l)|=10g6"|<10g6：<10g3,建>1］，④正确；

故答案为：②③④.

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看

似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能

起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法,

这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多

问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

15.计算下列各式的值:

6

2/2I

⑴8§+(3-4+3^x22

(2)log327-(lg4+lg25)-log58.log25+7喻：

【答案】(1)84；

(2)0.

【分析】(1)结合指数的运算性质即可求解;

(2)结合对数的运算性质即可求解.

2

2<1Y0(11Y

【解析】⑴83+-一(3-兀)+33x22

3x——x6

=23+32-1+33x22

=4+9-1+32X23

=84；

(2)Iog327-(lg4+lg25)-log58log25+7嘀?

=3-lglOO-^8-妲+2

lg5lg2

=3—2—log28+2=0

2Jl+log(2-x)(x<l)

1C6.设函数〃x)=2

〔2(x>1)

⑴求/(1+1叫6)及/(/(-2))的值.

(2)解关于x的不等式/(x)>4.

【答案】(1)6,4

(2){x|x<-6或x>3}

【分析】(1)根据分段函数求函数值的方法代入求解即可；

(2)根据分段函数的分类来分类讨论，列出各部分不等式分别求解再取并集即可.

【解析】⑴〃1+1呜6)=2脸6=6

/(/(-2))=/(3)=4

(2)当x<l时，/(x)=1+log2(2-x)>4,

3

即log2(2-x)>3=log22,

即2-x〉8,解得x<-6

当时，/(x)=2^>4,

即2*T>22，

即解得x〉3

综上，不等式的解集为卜|工<-6或x>3}

2+x

17.已知函数了=/(x),其中〃x)=log1

2X-2

⑴求证：y=f(x)是奇函数；

出若关于尤的方程/四=嘘1(》+左)在区间[3,4]上有解，求实数左的取值范围.

2

【答案】(1)证明见解析

(2)[-1,2]

【分析】(1)结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证;

(2)分离参数，将原问题等价转换为后=±-》+1在［3,4］上有解，由此转换为求函数值域问题.

x—2

2+无

【解析】(1)函数”1啤。的定义域为。=(-巴-2)“2,+8),

在。中任取一个实数x,都有一xe。，并且/(r)=log|—；=logI==log/WY=-/(x).

5—1—251+22J

2+x

因此，y=bgi—^是奇函数.

2X-2

(2)〃龙)=bg2(x+G)等价于》+左=五2即八叶2-尤=/--X+1在［3,4］上有解.

2x-2x-2x-2

4r1

记g(x)=---X+1,因为g(无)在［3,4］上为严格减函数，

x—2

所以，gCOmax=g(3)=2,g(X)m,n=g(4)=-1,

故g(x)的值域为［-1,2］,因此，实数上的取值范围为［-1,2］.

18.2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春

盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基

地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某

款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产耳10000了€z)万

12

件产品，还需另外投入原料费及其他费用/(无)万元，且〃x)=「X,已知每件产品的

21x+21gx-380,x>100

售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.

⑴写出利润少(x)(万元)关于产量x(万件)的函数解析式.

⑵该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？

'12

、20x——x*-5,0<x<100

【答案】⑴少(x)=2；

-x-21gr+375,x>100

⑵当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元.

【分析】(1)由销售额与成本费用之差，计算利润；

(2)利用配方法和函数的单调性，求最大值.

【解析】(1)当0cx<100时，W(x)=20x-^x2-5.

当x2100时，=20x-(21x+21gx-380)-5=-x-21gx+375,

’12

/、20x——X2-5,0<X<100

所以少(x)=2.

-x-21gr+375,x>100

(2)当0<x<100时，少(无)=20x—万龙~—5=—5(无一20)-+195,

则当尤=20时，乎(x)取得最大值，最大值为195；

当X2100时，用(力=--21”+375,且少(x)单调递减，

则当尤=100时，用(x)取得最大值，最大值为271.

综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元.

19.设函数的定义域为。，若函数/(x)满足条件：存在［a/仁。，使/⑺在［a,0上的值域为［加凡血?］

(其中机e(0,l］),则称/'(x)为区间［a,b］上的"加倍缩函数

(1)若存在［〃肉UR，使函数"X)=log2(2、+。为［a,目上的《倍缩函数"，求实数：的取值范围；

⑵给定常数斤>0，以及关于x的函数〃无)=1-：,是否存在实数6(。<方)，使/'(x)为区间［应"上的"1

倍缩函数”.若