高考数学一轮复习考点总结-函数的单调性与最值（含解析）

函数的单调性与最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升

练+拓展冲刺练）

m【考试提醒】

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.掌握函数单调性的简单应用.

ill【知识点】

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数人X）的定义域为D,区间/=£＞,如果Vxi,X2©/

定义当X142时，都有於那么当X1＜X2时，都有那么就

就称函数"）在区间/上单调递增称函数外）在区间/上单调递减

jZ版任『）

图象

0距石%

描述O*11^X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数了=段）在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有（严

格的）单调性，区间/叫做y=兀0的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数＞=/）的定义域为。，如果存在实数M满足

(l)Vxd。，都有*x)W跖（l）VxGD,都有於自以；

条件

(2)3x0er>,使得/fa))=M（2）3xoeD,使得疝0）=”

结论“为人X）的最大值M为人x）的最小值

【常用结论】

1.Vxi,X2d/且X1WX2,有刎二^3＞0（＜0）或（XI—X2）［/（X1）—八&）］＞0（＜0）0"）在区间/上单

X1~X2

调递增（减）.

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

3.函数y=/（x）（/（X）>0或/）<0）在公共定义域内与y=—/（x）,的单调性相反.

4.复合函数的单调性：同增异减.

【核心题型】

题型一确定函数的单调性

确定函数单调性的四种方法

（1）定义法；（2）导数法；（3）图象法；（4）性质法.

命题点1函数单调性的判断

【例题1】（2023•浙江•二模）下列函数在区间（0,2）上单调递增的是（）

,1

A.y=（x-2）B.y=------

C.y=sin(x-2)D.y=cos(x-2)

【答案】D

【分析】对于BCD,根据各个选项观察均是/（x）向右平移两个单位长度的形式，根据原函数

的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断Q2）上的单调性得到结论，而根据二次

函数的单调性可判断A的正误.

【详解】对于A选项：y=（x-2>开口向上，对称轴x=2,所以在（-*2）上单调递减，故不

符合题意.

对于B选项：>是了=!向右平移了两个单位长度，所以在在（一*2）上单调递减，故

x-2x

不符合题意.

对于C选项：y=sin（x-2）^y=sinx向右平移了两个单位长度，

所以V=sin（x-2）在（--+2,--+2）上单调递减，在（-万+2,万+2）上单调递增，

因为0<-三+2<2,所以不符合题意.

对于D选项：>=3卜-2）是>=（:05工向右平移了两个单位长度，

所以y=cos（x-2）在（-兀+2,2）上单调递增，则在（0,2）上单调递增，符合题意.

故选D.

【变式1】（2024•北京西城•一模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+e）上单调递增的是

()

A.y=x1+xB.y=cosx

X

C.y=2D.y=log2\x\

【答案】D

【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得

出结果.

【详解】对于选项A,当x=l时，>=1+1=2,当尸一1时，v=l-l=0,即/（一1）*/（1）,

所以选项A不满足题意，

对于选项B,因了=©。立在区间（0,+力）上不单调，所以选项B不满足题意，

对于选项C,因为y=2,图象不关于V轴对称，所以选项C不满足题意，

对于选项D,因为了=1吗忖的定义域为（-8，0）U（0,+s）,关于原点对称，

x

又又-X）=log2rklog?|x|=f（）>所以y=log2|x|为偶函数,

当x>0时，y=log2|x|=log2x,又>=log?x在区间（0,+"）上单调递增，所以选项D满足题

屈、，

故选：D.

【变式2］（2024・陕西西安•二模）下列函数中，既是奇函数又在（-叫+8）上单调递减的是（）

13

A.y=—B.y=x

X

C.y=-x|x|D.y=3~x

【答案】C

【分析】A项，定义域不合题意；B项，单调性不符合；C项，先利用定义判断函数的奇偶

性，由函数在［0,+e）上单调递减，再结合奇函数图象的对称性可得；D项，特殊取值可判断

不是奇函数.

【详解】选项A,的定义域为（-*0）U（0,+s）,不符合题意，故A错误；

X

选项B,设/'（x）=x3,定义域为R,

因为/（-无）=（-X）3=-丁=-/1（》），

所以y（x）=V为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误;

选项C,设/(x)=-x|x|,定义域为R,

由/(-x)=H-x|=xW=-/(x),故y(x)为奇函数，

当x20时，f(x)=-x2,且/'(同=-/在［0,+旬上单调递减，

又因为函数图象关于原点对称，所以在(F,+8)上单调递减，故C正确；

选项D,设/■(x)=3'贝丫⑴=3,

由/(-l)T(l)，知/(x)不是奇函数，故D错误.

故选：C.

【变式3］(2024•北京门头沟•一模)下列函数中，既是奇函数又在(o,+8)上单调递增的是

()

11

A-y-x^B,y=^c

C.y=tawcD.y=x|x|

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.

【详解】对于A：了=工；定义域为［°，+。)，为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：%:定义域为(-8,0)U(0,+s),为奇函数，但是函数在(0,+司上单调递减，故B

错误；

对于C：y=taiu为奇函数，定义域为+加，左eZ：,但是函数在(0,+动上不单调，

故C错误；

对于D：令y=/(x)=x|x|定义域为R,且〃一力=一司一司=一力|=一/(力，

所以y=x|x|为奇函数，且当x>0时了=充2,函数在(0,+8)上单调递增，故D正确.

故选：D

命题点2利用定义证明函数的单调性

【例题2】(2023•上海奉贤•一模)函数y=■在定义域(-叫+⑹上是()

A.严格增的奇函数B.严格增的偶函数

C.严格减的奇函数D.严格减的偶函数

【答案】A

【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果.

_1

【详解】令=任取王＜/£R，

''2"+1

、，（、_2-12^-1_2（2-2*）

“‘⑺--2』+1-2一+1一付+1）（2*+1）'

因为了=2、是R上的严格增函数，所以2为＜2*2,

2（2国-2巧）

则付：1）（2二）所以/&）＜八%）,

则函数y=|^■是R上的严格增函数；

1-2工

又/（-x）=j^W=£港=Hf=-/仗），即函数「（X）为奇函数，

2，

所以函数y=|^■在定义域（-双+8）上是严格增的奇函数.

故选：A

【变式1］（23-24高三上•河南•阶段练习）已知函数/（x+2）是定义在R上的奇函数，若对

于任意两个实数X产马，不等式（再-%）［/（%）-/（马）］＞0恒成立，则不等式

〃x+2024）＞0的解集是（）

A.（-2022,+oo）B.（2022,+oo）C.（一2024,+s）D.（2024,+8）

【答案】A

【分析】根据条件得出函数/（x）在R上单调递增，再结合奇偶性转化为

“x+2024）＞0=〃2）解不等式即可.

【详解】由任意两个实数网片/，不等式（x「X2）［〃xJ-〃乙）］＞0恒成立，

，函数〃x）在R上单调递增.

又函数/（x+2）是定义在R上的奇函数，得/（2）=0,

所以不等式〃x+2024)>0=〃2)

化为x+2024>2,解得x>-2022,

所以不等式的解集为(-2022,+s).

故选：A.

【变式2](2023•浙江台州•二模)已知函数/(x)同时满足性质:①/(f)=/(x);②当

Vx15x2e(0,1)时,<0,则函数可能为()

A./(x)=x2B-/«=

C./(X)=cos4xD./(X)=ln(l-|x|)

【答案】D

【分析】①/(-x)=/(x)说明/(x)为偶函数，②MMe(0,1),‘0,说明函数

再-x2

在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可.

【详解】①/(一x)=/(x)说明/(X)为偶函数，②Vxr2e(0，l)，K^Z^J<0,说明函数

再-x2

在(0,1)上单调递减.

A不满足②，B不满足①，

C不满足②，因为〃x)=cos4x在10,£|单调递减，在单调递增.

对于D,满足①，当无e(0,1),/(x)=In(l-x),单调递减也满足②.

故选：D.

【变式3](2023•山东•模拟预测)下列函数中既是奇函数又是增函数的是()

,1-21

A.y=3xB.y=-C.y=2xD.y=——x

x3

【答案】A

【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.

【详解】A选项，y=3x为奇函数，且单调递增，故A正确；

B选项，>=1是奇函数，在(-8,0),(0,+8)上递减，故B错误；

X

C选项，y=偶函数，故C错误;

D选项，y=是奇函数，且单调递减，故D错误，.

故洗：A

题型二函数单调性的应用

(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

(2)求解函数不等式时，由条件脱去转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义

域.

(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))

或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

命题点1比较函数值的大小

【例题3】(2024•北京西城•一模)设。=1一；乃=/+；,°=乂2+1),其中一1</<0,贝U()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由-l<t<0,故;故a=/-；>0,

由对勾函数性质可得6=:+；<-(1+1)=-2,

c=t(2+t)<0,Ac=t-(2+t)=t2+2t=^+1)2-1>-1,

综上所述，有

故选：C.

【变式1】(2024•云南贵州•二模)已知。=ln(后e),6=出,c=,则。，瓦。的大关系为

e5

()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】根据。也c的特点，构造函数/(X)=2，判断其单调性，得到1mx=/(e)=L

xe

故有〃e)>/(5),/(e)>/(2),再运用作差法比较〃5)J(2)即得.

【详解】设/(*)=叱，贝!l/'(x)=匕”，

XX

当0<x<e时，f\x)>0,/(X)在(0,e)上递增;

当x>e时，f'(x)<0,/(x)在(e,+co)上递减，

故/(x)max=/(e)=-.

e

,1In51In2

则n一>——>---,nnb7>cb7>a；

e5e29

25

由ln5In221n5-51n2ln32八可知。<〃，故b>a>c.

==<U

52-------10--------10

故选：B.

【变式2](23-24高三上•北京顺义•期末)已知了⑴在(。,+功上单调递减，且%>0,则下

列结论中一定成立的是()

+1x

A./(x0+l)>/(x0)B./(xo)</(o)

C.f(x0-l)>f(x0)D./(x0-l)</(x0)

【答案】B

【分析】利用函数的单调性判断即可.

【详解】由得，结合/⑴在(0,+s)上单调递减，

则必有/(Xo+l)</(x。)，显然B正确，A错误，

而当/w(0,l)时不在定义域内，故无法比较，C,D错误.

故选：B

【变式3】(2024•四川攀枝花•二模)已知函数/(x)对VxeR都有〃x)=〃x+4)+〃2),若

函数>=〃x+3)的图象关于直线x=-3对称，且对Vx”％e[0,2],当无产马时，都有

(%-%乂〃/)-〃%))>0,给出如下结论：①〃x)是偶函数；②"2)=0；③〃尤)是最

小正周期为4的周期函数；@/(3)</(-4).其中正确的结论个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性一一判定选项即可.

【详解】由函数V=/(x+3)的图象关于直线》=一3对称，

可知/'(尤)关于x=0对称，即/'(x)是偶函数，故①正确；

由/（x）=/（x+4）+/■⑵n/（-2）=/⑵=/（2）+/（2）=2/（2）,

即/（2）=0,故②正确；

由上可知/（尤）=/（x+4）,即T=4是/'（x）的一个周期，

又对V尤1户2e［0,2］,当x产乙时，都有（％-再乂〃％）-/（再））＞0,

即/■（x）在［0,2］上单调递增，根据偶函数性质可知［-2,0］上单调递减，

则7=4是/（x）的最小正周期，故③正确；

由上面结论可知：/（3）=/（-1）＞/（0）=/（-4）,故④错误.

故选：C

命题点2求函数的最值

【例题4】（2024•陕西安康•模拟预测）己知函数了=bg?x在［16,256］上的最小值为加，最大

值为且在等差数列｛4｝中，a2=m,a4=M,贝!］4（）=（）

A.17B.18C.20D.24

【答案】C

【分析】利用对数函数单调性先求出函数最小值为加，最大值为"，再由等差数列通项公

式求解.

【详解】因为函数了=1。82%在［16,256］上单调递增，

所以加=log216=4,M=log2256=8,

所以g=4,&=8,所以等差数列｛与｝的公差〃=*1=1=2,

所以“io=%+（10-2）4=4+8x2=20.

故选：C.

【变式1］（2023•全国•模拟预测）已知点P®b）在直线了=2》-2上，若？=4。+弓:，则下

列选项正确的是（）

A.z有最大值字，最小值4B.z有最大值字，没有最小值

44

c.z没有最大值，但有最小值4D.z没有最大值也没有最小值

【答案】C

【分析】利用指数运算将z=4"+化简变形为可以利用基本不等式的形式，然后利用基

本不等式并结合"20=2"进行求解得到最小值，根据指数函数单调性得到没有最大值.

【详解】若点尸(。，为在直线>=2X-2上，则6=2。一2,即2。一6=2,

所以z=4"+[:)=22a+Tb>2^22ax2-b=272^=4,

当且仅当2。=-b=1即。=[*=T时等号成立，此时z取得最小值4,

又因为=4"在R上单调递增，所以。f+oo时4。->+oo,

止匕时因为6=2。-2,所以6f+co,而(口—0，

所以z->+oo,即没有最大值，

故选：C.

【变式2](2024•贵州•模拟预测)已知函数〃X)=2*+2，+3,则〃X)的最大值是.

【答案】16

【分析】求出/=-/+2尤+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/'(x)=2-*+2x+3,而/=f2+2x+3=-(x-l)2+4W4,

因为了=2'单调递增，所以V=2'V24,则/(x)的最大值是16.

故答案为：16

【变式3】(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(无)=|x+U+|2x+4].

(1)求函数7'(x)的最小值；

149

(2)若。也c为正实数，且/(a)+〃，)+/(c)=27,求±+；的最小值.

abc

【答案】⑴1

(2)9

【分析】(1)根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性进行求解即可；

(2)根据(1)的结论，结合基本不等式进行求解即可.

—3x—5,x<-2

【详解】(1)(1)/(x)=|x+l|+|2x+4]=<尤+3,-2Vx<-l,

3x+5,x>-1

“X)在(f,-2)上单调递减，在(-2,y)上单调递增,

所以/■(刈礴=/(-2)=1,即当x=-2时，函数“X)取得最小值;

(2)由(1)可得当x为正实数时，/(x)=3x+5,

则由/(a)+〃6)+f(c)=27可得:a+b+c=4,

匚匚i、il49a+b+ca+b+c9(a+b+c)

所以一+—+—=-------+-------+—--------

abc4(2b4c

当且仅当;=:：用3岁时，

4ab4a4cb4c

246

又〃+6+c=4,即当Q=H，6=§,C=§=2时，等号成立.

149

所以一+y+—的最小值为9.

abc

命题点3解函数不等式

【例题5](2024•内蒙古呼和浩特•一模)已知定义在R上的函数/⑴=尸-尸+(x-厅+/,

满足不等式/(2x-4)+42-3x)22,则1的取值范围是()

22

A.(-oo,-4]B.(-oo,2)C.(-00,-]D.[-,2)

【答案】A

【分析】根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得.

3

【详解】令x—1=%,则X=%+1“£R,原函数化为f(t+V)=e？—e'+t+t+1f

令g(。=/(/+1)-1=e?+t3+t,显然g(V)=e一一e‘一S-E=-g(t),

即函数g⑺是奇函数，又函数了=巴歹=-r/=r+，都是区上的增函数,

因此函数g⑺是R上的增函数，不等式

f(2x-4)+/(2-3无)22of(2x-4)-l+/(2-3x)-l>0,

则g(2x-5)+g(l-3x)>0^g(2x-5)>-g(l-3x)=g(3x-l),

于是2x-5N3x-l,解得xW-4,

所以x的取值范围是(-8，-4].

故选：A

【变式1】(2024•辽宁・模拟预测)已知〃x)是定义在R上的奇函数，g(x)=f'(x)-2ex+x

也是定义在R上的奇函数，则关于x的不等式g(l-x2)+g(2x+2)>0的解集为()

A.(-oo,-l)u(3,+oo)B.(-oo,-3)u(l,+oo)

C.(-1,3)D.(-3,1)

【答案】A

【分析】根据g(»为奇函数及f'(x)为偶函数可求g(»，利用导数可判断g(x)为R上的减

函数，从而可求不等式的解.

【详解】因为g(x)=7'(x)-2e，+x,故广(无)-21+尤+广(一尤)一2b一尤=0,

故/'(x)+/'(-x)=2e，+2er,

因为/(无)是定义在R上的奇函数，故/'(xH/ex”。，

故/'(x)-r(-x)=0,故/(力=/+尸,故g(x)=-e'+eT+X,

此;时g[x)=-e，-eT+lV-2+l<0,故g(x)为R上的减函数，

而g(j2)+g(2x+2)>0等价于g(14)>g(-2x-2),

SPl-x2<-2x-2X2-2X-3>0,故X<-1或X>3

故选：A.

【变式2](2024•北京延庆•一•模)已知函数/(x)=3x-2x-l,则不等式/(x)<0的解集是()

A.(0,1)B.(0,+<»)C.(-<»,0)D.(-oo,0)u+

【答案】A

【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在0<%<1,再由函数的单调性及

/(0)=/(I)=0可得不等式的解集.

【详解】因为/'(x)=3,3-2单调递增，且/''(0)=ln3-2<0,八l)=31n3-2>0,

所以存在唯一(0,1),使得八x0)=0,

所以当x</时，f'{x)<0,当X〉/时，/V)>0,

所以函数/(x)在(-8,X。)上单调递减，在(%,+<»)上单调递增，

又/(0)=/(1)=0,且0f

所以由〃x)<0可得0<x<l,

故选：A

【变式3】(2024•青海一模)已知函数/(x)=e"-er+x,贝！|不等式/(2加-2)+/3+1)>0

的解集为.

【答案】

【分析】根据奇偶性定义和函数单调性的性质可化简所求不等式，得到自变量的大小关系,

解不等式即可求得结果.

x

【详解】:/(x)的定义域为R,f(-x)=e--e-x=-f(x),

\/(x)为定义在R上的奇函数；

•.•>=二与了=》均为口上的增函数，>为R上的减函数，

\/(x)为定义在R上的增函数；

由/(2比一2)+/(加+1)>0得：/(2m-2)>-/(m+l)=f(-m-1),

2m-2>-m-l,解得：,二一2)+〃机+1)>0的解集为(g,+co).

故答案为：

命题点4求参数的取值范围

【例题6】(2024・湖南邵阳,二模)已知无>0/>0,若，4尤2+3冲+/+优历>2x+y恒成

立，则实数加的取值范围是

【分析】根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到

结果.

2x+y-yj4x2+3xy+y2

【详解】原不等式等价于冽〉

2x+y-+3xy+y2

令Z=

X

令％=2,且此2班，

X

1

贝ljz二4i^\

t+^t2

i—2^/^"-JF,.，.m>2y/2—y/l~.

’z<2后+a

故加的范围是仅亚-S,+。）.

故答案为：（2V2-V7,+8）

【变式1］（23-24高三上•内蒙古赤峰•开学考试）已知。〉0,且QW1,函数

3a-x,x<2

/(x)=g（i）一1q2在R上单调，则。的取值范围是（）

]_2

A.(1,+(»)B.C.D.

353§9

【答案】D

【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减，建立不等关系解出即可.

【详解】因为函数/（x）在R上单调,

由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意,

故了=/（力在R上单调递减,

0<Q<1

所以

3。一2>log^l-l

解得：—<tz<1.

故选：D.

【变式2】(2023•陕西商洛•一模)已知函数〃》)=是定义在R上的增函数,

[(3—a)x+2,x>1

则。的取值范围是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在x=l时，一次函数的值不小于二次函

数的值，然后解不等式组可求得结果.

-x2+2ax,x<1

【详解】因为〃x)=是定义在R上的增函数,

(3-“)x+2,x〉1

-^>1

-2

所以3—Q>0,解得14a42.

—1+2QW3—a+2

故选：B

【变式3】(2024•陕西榆林•一模)已知函数〃x)=e"-e，在[0,+司上单调递增，则。的取值

范围是()

A.[0,+oo)B.(l,+oo)C.(e,+oo)D.[2e,+oo)

【答案】B

【分析】分情况讨论，当aW0时直接代入可得函数递减；当。>0时，求导，构造函数，

g(x)=xe\jce[0,+«9),再由g'(x)=(x+l)e*20得到抽象函数g(ax)Wg(x),求出aNl,最

后再讨论。=1时的情况，综合得出结果.

【详解】当。<0时，函数〃无)=e"-e'在[0,+功上单调递减，不符合题意，所以a>0,

OT

由题可知/'卜)=海口-6*20恒成立，即aeZe".令g(x)=xe*,xe[0,+<»),

则g'(x)=(x+l)e、20,所以g(x)在[0,+司上单调递增，由ae减2e3

可得“xe3m即g(ax)2g(x),所以62x“，所以

当。=1时，/(x)=0,不符合题意，故a的取值范围是(1,+8).

故选：B

1【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=&］，则使得成立的正实数。的

取值范围是()

A.1，+°°］B.(ofC.(0,1)D.(1,+®)

【答案】A

【分析】根据奇偶性定义判断出/(x)为偶函数，再根据x>0上的单调性得到参数。的取值

范围.

【详解】由题意可知“X)的定义域为R,且〃一切［'：'］；〃》)，所以为偶

函数.

当x>0时，函数〃x)=(£|,/(x)单调递减.

若/(2a)</(a-l)成立，则解得.<-1或a>；.

又。>0,所以正实数。的取值范围是，,+8).

故选：A.

2.(2024•吉林•二模)已知函数/(x)=log2价+1)七+尸了，则关于x的不等式

/(x+2)>/(2x)解集为()

2

A--E、

32

幺

蛛

钝

21幺1

、

C-E、2B>.-E

舞

-藤

--要

，

32滕22

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域为(-叫-1］口［1,+8),所以定义域关于原点对称，然后得到

/(-x)=/(x),所以函数/(X)是偶函数，判断出函数在［1,+⑹上的单调性得出距离y轴越

|x+2>|2x|

远函数值越大，并且注意函数的定义域，得出Jx+2N1,解不等式组即可.

网一

4》+］〉0

{JJ〉。，解得：X>l^X<-\,

所以函数的定义域为：（-*-l］u［l，+8），

因为/㈠）-］。82（4-“+1）+X+（-%）2-1

X2

二log2(1+4^-log24*+x+y/x-1

x2x2

=log2(l+4)-10g22+x+Vx-1

=log2(1+4")-2x+x+Jf-1

2

=log2(1+4*)-x+Vx-1=于(A),

所以函数/(x)=log2x+42—1是偶函数,

因为当时，

2

f(x)=log2(4X+1)-x+\lx-l

2

=log2+1)-xlog22+y]x-1

xX2

二log2(A+1^-log22+A/X-1

=10g2t+F+E

令，=2、+（,贝/在［1,内）上单调递增，

且y=log21在（0,+司上单调递增，

所以…g2*+?在［L+⑹上单调递增,

因为了=必二I在［1，+s)上单调递增，

所以/(无)=10g2(4"+l)-x+8二T在［1,+8)上单调递增，

所以函数f(x)=log?价+1)七+广7在(-叫-1］上单调递减,

x+2>\2x\

因为;■(x+2)>〃2尤)，所以x+2±l,解得：或;wx<2,

2X|>1322

幺,1车外

所以不等式/(x+2)>/(2x)解集为藤不曦,2.

葬32滕

故选：C

3.(2024•陕西西安•二模)已知函数/(町=：%2-2》+111乂若/(。+1)2/(2。-1),则。的取

值范围是()

A.B.(-1,2］C.⑵+⑹D.Q,2

【答案】D

【分析】利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据已知转化出。+1220-1>0,再解

出结果.

【详解】因为/O)=gx2-2x+lnx,xe(0,+co),

所以"X)=X_2+)=X22X+1=(X1)“，

XXX

所以/(x)是(o,+句上的增函数，所以若+1)»/(2a-1)

则a+122a—1>0,解得—<a42.

2

故选：D

4.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有

f(x+y)=f(x)+f(y)-l,当x>0时，且"2)=5,则关于x的不等式

〃x)+/(4-3x)<6的解集为()

A.(l,+oo)B.(2,+co)C.(—8,1)D.(—co,2)

【答案】A

【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.

【详解】任取无1<彳2,

从而/02)-/(%)=/(%-%+%1)-/(%1)

=/(X2-X1)-l,

因为％-再>0,所以/'(工2-再)>1，

所以/(%)-/(再)>0，

则[(X)在R上单调递增.

不等式〃x)+/(4-3x)<6等价于不等式

/(x)+/(4-3x)-l<5,

即〃x+4-3x)<〃2).

因为/'(x)在R上单调递增，

所以4-2尤<2,解得尤>1.

故选：A.

二、多选题

5.(2024・湖北•模拟预测)已知x21,>>1,且唠=4,则()

A.l<x<4,l<y<4B.4<x+y<5

C.1的最小值为;，最大值为4D.4x+r的最小值为12

【答案】BD

44

【分析】对于选项A:由已知得％=—21,y=->l,整理即可判断；对于选项B:结合双钩

y%

2

函数的单调性即可判断；对于选项C:结合题意可得2=匕，通过构造函数利用单调性即可

x4

判断；对于选项D:设MX)=4X+/=4X+1|,借助导数分析单调性即可求最值.

44

【详解】对于选项A:由已知得尤=—21,>=

yx

则lVx<4,.故A错误；

对于选项8:令》=》+九

则/=》+>=》+&在尤e[l,2]单调递减，在xe[2,4)单调递增，

X

得4Wx+yW5,故B正确；

22

对于选项C：结合题意可得?=3,令/(田=3，

则=,在ye(l,4]上单调递增，得;<(V4,故C错误.

对于选项D:设〃(x)=4x+「=4x+—,贝!J"(x)=4——-,

当xe[l,2]时，〃(x)单调递减，当xe[2,4)时，A(x)单调递增，

所以力(力逅=力⑵=12.故D正确.

故选:BD.

6.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)对任意x,"R恒有/(x+y)=/(x)+/(y),且当

x<0时，/(x)<0,/(2)=3,则下列结论中正确的是()

A./(x)的图象关于V轴对称

B./(x)在R上单调递增

C.(尤)|43的解集为[-2,2]

D.若/卜)-4<3根2+面对於€[-2,2],04-4,4]恒成立，则实数机的取值范围为

[44]

【答案】BC

【分析】对于A,对抽象函数的等式分别赋值％=了=0和y=-x即可判断/(x)是奇函数；

对于B,利用函数的单调性定义推理即得；对于C,利用A,B项分析得到的函数的奇偶性和

单调性求解抽象不等式即可；对于D,利用C的结论得出函数/(x)在[-2,2]上的最大值，

将/(x)-4<3m2+研等价转化为3/+皿+1>0在。e[-4,4]上恒成立，结合关于”的一次

函数g(a)=〃za+3〃/+l的图象即得参数冽的范围.

【详解】对于A,令x=0,y=0,得/(0)=/(0)+/(0),所以"0)=0,令〉=r,则

/(O)=/(x)+/(-x),BP/(x)+/(-x)=0,则/(-x)=-/(x),

所以/'(X)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误;

对于B,设玉<工2，则玉-X2<0,又当x<0时，/(x)<0,则有f(%一3)<0,

即/小-々)=/&)+/(F)=/(%)一/(/)<0，则/(网)<)，故/(x)在R上单调递

增，故B正确；

对于C,根据选项B可知，函数/(X)在R上单调递增，又因为/(0是定义在R上的奇函数,

/(2)=3,所以/(-2)=-3,则|/(可上3的解集为[-2,2],故C正确；

对于D,因为/(尤)在R上单调递增，所以当xe卜2,2]时，/(x)</(2)=3,

又/(x)<3/+M+4对Vxe[-2,2],ae[-4,4]恒成立，所以浙？+圳+4>3,即

3m2+M+1>0在。e[-4,4]上恒成立，

将歹=3〃/+。机+1看成关于。的一次函数g(a)=〃7a+3〃/+l,则需

g(-4)=-4m+3m2+1>0①

g(4)=4m+3m2+1>0@,'

由①可得">i或加<；,由②可得加<一1或冽〉-L故加的范围为">1或加<一1,

33

故D错误.

故选：BC.

三、填空题

7.(2024•山东淄博・一模)设方程e"+x+e=0,lnx+尤+e=0的根分别为0,q,函数

/(x)=e，+(p+q)x,令a=”0)力=f[£|,c=/1!■)贝Ua,b,c的大小关系为.

【答案】a>c>b

【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出。+4,再计算判断即得.

【详解】由e*+x+e=0,得e-T-e,由lnx+x+e=0,得lnx=-x-e,

依题意，直线>=f-e与函数y=e，,y=lnx图象交点的横坐标分别为P,4,

而函数y=e，,y=lnx互为反函数，它们的图象关于直线了=》对称，又直线>垂直于

直线了=x,

因此直线N=f-e与函数歹=e\y=Inx图象的交点关于直线了=x对称，即点(p,q)在直线

y=-x-e±.,

则？+q=Y,4x)=/-ex,于是/(0)=lJ(g)=6-：e<l,

f(~)=/-ge=e(Ve--1)<3x^=1,而/§)-/(；)=-e-Ve=Ve(e-Ve-1)>0,

31

所以〃0)>〃5)>/(1)，即。>c>6.

故答案为：a>c>b

【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线了=无对

称.

8.(2024•安徽淮北•一模)记不超过x的最大整数为国.若函数/(x)=|2x-[2x+(]既有最大

值也有最小值，则实数f的值可以是(写出满足条件的一个f的值即可).

【答案】|(答案不唯一，取用内得任一值即可).

【分析】根据题意取2尤+1=机+〃，meZ,ne[0,1),则，(司=|〃-:|,将问题转化为

=在区间[0,1)上既有最大值，又有最小值，然后/V0,0</<|,1<?<1>1

四种情况分析讨论即可求出答案.

【详解】取2%+/=加+〃，mGZ,nG[0,1).

贝!Jf(x)=|2x-[2x+4]=|(加+〃——加|=I"—.

题意等价于虱〃)=|〃­|在区间[0,1)上既有最大值，又有最小值.

当心0时，g(〃)=〃一在[0/)上为增函数，只有最小值g(0),无最大值；

当0</<：时，g⑺在