分式的运算与化简求值篇（解析版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训

专题04分式的运算与化简求值

知识回顾

1.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+Z?+c)；

②公式法：平方差公式：a2-b~=(a+b\a-b),完全平方公式：a~±2ab+b2=(a+b^□

③十字相乘法：在f+bx+c中，若c=m/i且m+n=b(m,"，均为整匏，则：

X2+bx+c=(^x+m^x+n)o

2.分式的性质：

分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。

BBCB+C7

3.约分与通分：

①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。公因式等于系数的最大公

约数乘上相同字母或式子的最低次幕。

②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。公分母等于系数的最小公倍数乘上所有

式子的最高次幕。

4.分式的乘除运算：

①乘法运算步骤：I：对分子分母因式分解；

II：约掉公因式；

III：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。

②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。

5.分式的加减运算：

具体步骤：I：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；

II：将分式通分成同分母；

III：分母不变，分子相加减。

6.分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。

专题练习

a1+2aa2

46.(2022•西藏)计算:

aa2-4-a—2

【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加

减，有括号的先算括号里面的.

【解答】解:原式=a(a+2)a2

a(a+2)(a-2)a-2

a_2

a-2a-2

=1.*

47.(2022•兰州)计算:1+

lrx

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=五

Xx2+x

x+1X

XX(x+1)

—_—1.

X

一、*、।任—4%?+2%1

48.(2022.大连)计算：-z------------：-------------------.

x2-4x+42x-4x

【分析】先算除法，后算减法，即可解答.

22

【解答】解：?-4+幺+2三一1

X2-4X+42X-4x

_(x+2)(x-2).2(x-2)_1

(x-2)2x(x+2)x

_--2——1—

XX

_1

——.

X

/工工L、工替。2_庐(廿_2仍)

49.(2022•十堰)计算：-------+a+-----------.

〃(a,

【分析】根据分式的运算法则计算即可.

a2b2

【解答】解：-%(fl+b-2ab)

aa

2,22,2,

a-b(a।b-o/ab)

aaa

一a2-br.2-a2-2Qabu+bu—

aa

(a+b)(a-b).a

a(a-b)?

-a+b

a-b

/2，上、，、f(1〃+3、a?—1

50.(2022•常德)化简：a-l+----+-----.

I41+2y〃+2

【分析】根据分式混合运算的法则计算即可.

2

【解答】解：Q-1+生曳)+月二

a+2a+2

_[(a-1)(a+2)+~+3].a+2

a+2a+2(a+1)(a-1)

a'+2a+l.a+2

a+2(a+1)(a-1)

a+]

a-1

51.(2022•内蒙古)先化简，再求值：(———11'—4.+4,其中苫=3.

\x-lJx-1

【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x=3代入计算即可.

[解答]解：原式=3-底2-1)•X-1

xT晨-2产

=_(x+2)(x-2).x-1

x-1(x-2)2

__x+2

x-2

当％=3时，

原式=叱

3-2

-5.

a6a+9

52.(2022•阜新)先化简，再求值：；^fl—--\其中a=4.

a*I2-2aIa-2)

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把。的值代入计算即可.

【解答】解：原式=」亨3)：+(亘2-」_)

a(a-2)a-2a-2

(a-3)2-a-3

a(a-2)a-2

(a-3)2.&-2

a(a-2)a-3

_

_-a-,3

a

当a=4时，原式==，.

44

53.(2022•资阳)先化简，再求值.fl———其中。=-3.

Ia+lja2-l

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将。的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式="上工+7一包一-

a+1(a+1)(a-1)

a(a+1)(a-1)

-

_-a-,l

a

当a-—3时，

原式二HL二.

-33

54.(2022•黄石)先化简，再求值：+从-3,-1,2中选择合适的0的值代入求

[6Z+lya+1

值.

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将〃的值代入原式即可求出答案.

2

【解答】解：原式=①毡■+<.3)

a+1a+1

=a+3.a+1

a+l（a+3）2

_1

a+3

由分式有意义的条件可知：。不能取-1,-3,

故a—2,

5"

丫2—4v4-3x1

55.（2022•朝阳）先化简，再求值：--------:+^,其中尤=（上）一2.

22

X-4X+4X-2XX+32

【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出尤的值，代入即可.

【解答】解：原式=(x+2)(x：2)•x(x-2)+上

(x-2)2x+3x+3

x2+2x+.x

x+3x+3

_X2+3X

x+3

_x(x+3)

x+3

=Xf

'：X=(A)-2=4,

2

，原式=4.

56.(2022•锦州)先化简，再求值：|—+^—其中％1.

Ix+1x_2Jx—2

【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可.

2x-4x+1_____-i.x-l

【解答】解：原式=(x+1)(x-2)4(x+1)(x-2)'x-2

_3x-3_____.x-l

(x+1)(x-2)'x-2

=3(x-l)vx-2

(x+1)(x-2)x-l

=3

x+1'

当x=V3-1时，

原式=7出——=A/3-

V3-1+1

57.(2022•盘锦)先化简，再求值：■+,1——[―+1],其中x=|—五|+1.

x2-lX2+2X+1U-1)11

【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和

完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x的值；去掉绝对值符号时注意正负,

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将X的值代入原式.

【解答】解：原式=早-+「^—（士+1）

X-1x，2x+lx-1

(x+1)(x-1)x-3x-1x-i

x+1X

x-1x-1

1

X-1

x=I-V2I+1=我+1，

1V2

原式=]

V2+1-1

58.(2022•郴州)先化简，再求值：—4—+^^

其中4=百+1,b=V5-1.

a-bya+ba-b

【分析】先算括号里，再算括号外，然后把。，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：金+(，+2b)

a-ba+b

=ab-a-b+2b

a-b(a+b)(a-b)

=ab.(a+b)(a-b)

a-ba+b

=4。，

当。=遥+1,/?=返-1时，原式=（V5+1）（V5■1）

=5-1

=4.

59.(2022•营口)先化简，再求值：二+］_^^］二2+4.+4,其中。=西+卜2|-(1)

I〃+1J4Z+12

【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式=

亘2,然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幕的意义计算出。的值，最后把。的值代入计

a+2

算即可.

2

［解答］解：原式=(叱！)_-(♦2亘)..a+1

a+1(a+2)2

9

a+2软+1-5-2&.a+1

a+l(a+2)2

一a2-4.a+］

a+l(a+2产

(a+2)(软-2).a+l

a+l(a+2)2

-a-2

一初'

•••a=V9+|-21-(A)-1=3+2-2=3,

2

・•・原式=髭w

1/in

60.(2022•绵阳)(1)计算：2tan60°+|百-