高等数学（第三版）课件：导数应用

中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理

费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则费马目录上页下页返回结束证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在

I上必为常数.证:在I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则机动目录上页下页返回结束例2.

证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束例3.

证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束例4.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明机动目录上页下页返回结束例5.

试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:机动目录上页下页返回结束例5.

试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动目录上页下页返回结束3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束4.思考:在即当时问是否可由此得出

不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束作业第二节目录上页下页返回结束费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,备用题求证存在使1.设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动目录上页下页返回结束设证明对任意有证：2.不妨设机动目录上页下页返回结束三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则

微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束(

在x,a之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,机动目录上页下页返回结束存在(或为)推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则定理1目录上页下页返回结束例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!机动目录上页下页返回结束例2.求解:原式思考:

如何求

(n为正整数)?机动目录上页下页返回结束二、型未定式存在(或为∞)定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束1)的情形从而机动目录上页下页返回结束2)的情形.取常数可用1)中结论机动目录上页下页返回结束3)时,结论仍然成立.(证明略)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.定理2目录上页下页返回结束例3.

求解:原式例4.求解:

(1)n为正整数的情形.原式机动目录上页下页返回结束例4.求(2)

n

不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,机动目录上页下页返回结束例3.例4.说明:1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束3)若例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束解:原式例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例7.求解:

利用例5例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例8.求解:注意到～原式机动目录上页下页返回结束例9.求分析:为用洛必达法则,必须改求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2～原式例3目录上页下页返回结束内容小结洛必达法则令取对数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上页下页返回结束原式～分析:分析:3.原式～～机动目录上页下页返回结束则4.求解:令原式机动目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动目录上页下页返回结束求下列极限:解:备用题机动目录上页下页返回结束令则原式=解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动目录上页下页返回结束解:原式=第三节目录上页下页返回结束二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式

特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式机动目录上页下页返回结束1.求

n

次近似多项式要求:故机动目录上页下页返回结束令则2.余项估计令(称为余项),则有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束公式①称为的n

阶泰勒公式.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒目录上页下页返回结束公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1

时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差机动目录上页下页返回结束称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束类似可得其中机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束已知其中类似可得机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.机动目录上页下页返回结束已知例1.

计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为机动目录上页下页返回结束说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.机动目录上页下页返回结束例2.

用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.机动目录上页下页返回结束2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于用洛必塔法则不方便

!用泰勒公式将分子展到项,机动目录上页下页返回结束3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:机动目录上页下页返回结束内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.机动目录上页下页返回结束2.常用函数的麦克劳林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,例如目录上页下页返回结束42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束思考与练习

计算解:原式第四节目录上页下页返回结束作业P1431;4;5;7;8;10(1),(2)泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰他是有限差分理论的奠基人.勒公式.麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他麦克劳林级数.的名字命名的由题设对证:备用题

1.有且机动目录上页下页返回结束下式减上式,得令机动目录上页下页返回结束两边同乘n!=整数+设e为有理数(p,q为正整数),则当

时,等式左边为整数;矛盾!2.

证明

e

为无理数

.

证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.机动目录上页下页返回结束第四节机动目录上页下页返回结束函数的单调性

一、函数单调性的判定法

定理1.设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，（1）若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上单调增加；（2）若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上单调减少.注：定理中[a,b]改为（a,b],[a,b),(a,b)仍成立。注:求函数f(x)单调区间的步骤1.写出f(x)的定义域；2.求，并求出f(x)的驻点与不可导点；f(x)的驻点：的点3.用f(x)的驻点与不可导点作分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论正负符号，由此确定单调区间。在各小区间内的例1.求的单调区间.解:令得驻点：故的单调增区间为和的单调减区间为即：定义域为例2:求的单调区间解：定义域令0，得在上单调增加；在上单调减少。例3:解的单调性讨论定义域为在上单调增加；在上单调减少。例4二、函数单调性的应用1.证明不等式证：令时，即：1.将待证不等式移项（或变形后移项），使一边2.求，由导数的正负得F(x)的单调性3.由F(x)的单调性得出F(x)≥0（或F(x)≤0）。为零，另一边视作F(x)例5证：令所以，即：例6所以，2.讨论方程的根的个数例7证：令，显然在[1,2]上连续，在[1,2]上单调增加，例8解：令（1）作辅助函数，求其单调区间；（2）在每个单调区间内确定是否有根（用零点定理）令0，作业例1.

在[a,b]上连续，在(a,b)内,f(x)在[a,b]上单调增；,f(x)在[a,b]上单调减解:时，例2.在[a,b]上连续，在(a,b)内,f(x)在[a,b]上单调增；,f(x)在[a,b]上单调减解:时，定义域为时，区间分点：导数等于零的点例3.在[a,b]上连续，在(a,b)内,f(x)在[a,b]上单调增；,f(x)在[a,b]上单调减解:时，定义域为时，区间分点：导数不存在的点（1）作辅助函数，求其单调区间；（2）在每个单调区间内确定是否有根（用零点定理）第四节函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法1.定义:(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点；极大值与极小值机动目录上页下页返回结束统称为极值。2.极值必要条件机动目录上页下页返回结束定理1设x0是f(x)的极值点，则注（1）：定理的逆不成立，即驻点和不可导点不一定是极值点；（2）：极值的嫌疑点为“驻点”和“不可导点”。定理1

(极值第一判别法)机动目录上页下页返回结束3.极值充分条件（1）如在x0左侧附近（2）如在x0左侧附近（3）如在x0左右两侧附近例1.求的极值.解:1)求导数2)求极值嫌疑点：驻点为3)列表判别是极小值点，其极小值为注：驻点不一定是极值点。定理2(极值第二判别法)设则是极大值;则是极小值.则不能确定是否为极值（改用一阶导数列表法。）存在，定理2(极值第二判别法)则在点取极大值;证:(1)存在由第一判别法知例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束（不记录）例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别。函数的极小值为：试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为例3求出该极值,并指出它是极大。二、最大值与最小值问题1.闭区间[a,b]上连续函数

f(x)的最大值与最小值求函数最值的方法:(1)求在内的极值嫌疑点(2)计算：(3)比较上述各数的大小，其中最大的就是所求的最大值，最小的就是所求的最小值。分析：最值点在端点在内必为极值点必为极值嫌疑点例4.求在[-1,3]上的最大、最小值.(1)求在内的极值嫌疑点(2)计算：(3)比较上述各数的大小，其中最大的就是所求的最大值，最小的就是所求的最小值。解:令（舍去）2.只有唯一极值点函数的最值【理论】任何区间（开、闭、半开闭、有限、无穷）上的连续函数如果只有一个极值点x0，则（1）若x0是极小值点，则x0是函数在该区间上的最小值点；（2）若x0是极大值点，则x0是函数在该区间上的最大值点；例5.求函数在何处取得最小值。3.实际应用问题中的最值例6.设有盖圆柱体容积V是常数，应如何安排圆柱体的高和底面半径，才能使表面积最小？h、r，则设高、底半径为解：表面积r令h例7.从半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成漏斗，解:问留下扇形的中心角取多大，做成的漏斗的容积最大？RR设漏斗底圆半径为，高为h：R漏斗容积为：令由于，所以（用h表示）作业试求解:2.机动目录上页下页返回结束故所求最大值为

曲线的凹凸与拐点第五节一、曲线的凹凸与拐点凹凸拐点设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上凹与凸分界点称为拐点。图形是凸的.一、曲线的凹凸与拐点1.定义2.凹凸的判定机动目录上页下页返回结束定理设在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，（1）若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上凹；（2）若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上凸；注意：此定理与单调性的判别定理是完全类似的。注:求y=f(x)凹凸区间的步骤1.写出f(x)的定义域；2.求,并求的点和3.列表讨论不存在的点例1.求曲线的凹凸区间及拐点.解:定义域为令得故该曲线在及上凹,拐点为(0,1)及。凹凹凸凸,1.写出函数f(x)的定义域；2.求,并求出的点和3.用点与不存在的点作为定义域的不存在的点的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论在各小区间内的正负符号,由此确定凹凸区间。例2.求的凹凸区间及拐点.解:定义域为令得在，上凹,拐点为(0,1)及。凸,1.写出函数f(x)的定义域；2.求,并求出的点和3.用点与不存在的点作为定义域的不存在的点的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论在各小区间内的正负符号,由此确定凹凸区间。不存在的点为例3.求的凹凸性及拐点.得解:令0在上凸，在凹。定义域为拐点为(0,)例4.用凹凸性证明：设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.解：令，在是凹的，所以，时，即：第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束函数图形的描绘

无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”机动目录上页下页返回结束1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束2.斜渐近线斜渐近线若机动目录上页下页返回结束则曲线有例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例3.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动目录上页下页返回结束例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束又因即5)求特殊点为斜渐近线机动目录上页下页返回结束6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动目录上页下页返回结束无定义例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动目录上页下页返回结束水平渐近线;垂直渐近线;

内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束思考与练习

1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束拐点为

,凸区间是

,2.曲线的凹区间是

,提示:及渐近线

.机动目录上页下页返回结束P7513(2);

P1662;5作业第七节目录上页下页返回结束备用题求笛卡儿叶形线的渐近线.解:令

y=t

x,代入原方程得曲线的参数方程:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动目录上页下页返回结束笛卡儿叶形线参数的几何意义:图形在第四象限图形在第二象限图形在第一象限点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动目录上页下页返回结束主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率

一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧长机动目录上页下页返回结束则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:机动目录上页下页返回结束二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!机动目录上页下页返回结束转角为例1.

求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.机动目录上页下页返回结束有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动目录上页下页返回结束说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则机动目录上页下页返回结束例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束解:显然例3.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小机动目录上页下页返回结束求驻点:设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动目录上页下页返回结束计算驻点处的函数值:最大.三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使机动目录上页下页返回结束设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.机动目录上页下页返回结束由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G的渐伸线.机动目录上页下页返回结束屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3目录上页下页返回结束(仍为摆线)例5.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得摆线目录上页下页返回结束摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心机动目录上页下页返回结束思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径

R,并分析何处R

最小?解:则利用机动目录上页下页返回结束作业第八节目录上页下页返回结束P1754；5；7；8；9三、一般迭代法(补充)

机动目录上页下页返回结束第八节可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法二、牛顿切线法及其变形方程的近似解

机动目录上页下页返回结束一、根的隔离与二分法(1)作图法1.求隔根区间的一般方法机动目录上页下页返回结束(2)逐步收索法由图可见只有一个实根可转化为以定步长h一步步向右搜索,若搜索过程也可从b开始,取步长h<0.2.二分法取中点对新的隔根区间重复以上步骤,反复进行,得则误差满足机动目录上页下页返回结束例1.

用二分法求方程的近似实根时,要使误差不超过至少应对分区间多少次?解:设故该方程只有一个实根

,欲使必需即可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值(计算结果见“高等数学”(上册)P177～178)机动目录上页下页返回结束二、牛顿切线法及其变形有如下四种情况:机动目录上页下页返回结束牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与同号的端点为用切线近似代替曲线弧求方在此点作切线,其方程为令y=0得它与x轴的交点其中再在点作切线,可得近似根如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:称为牛顿迭代公式

机动目录上页下页返回结束牛顿法的误差估计:由微分中值定理得则得说明:用牛顿法时,若过纵坐标与异号的端点作切线,则切线与x轴焦点的横坐标未必在机动目录上页下页返回结束牛顿法的变形:(1)简化牛顿法若用一常数代替即用平行则得简化牛顿迭代公式.线代替切线,得优点:因而节省计算量.缺点:逼近根的速度慢一些.机动目录上页下页返回结束(2)割线法为避免求导运算,用割线代替切线,例如用差商代替从而得迭代公式:(双点割线法)特点:逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法.说明:若将上式中则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当.机动目录上页下页返回结束例2.用切线法求方程的近似解,使误差不超过0.01.解:由草图可见方程有唯一的正实根,且机动目录上页下页返回结束得而再求因此得满足精度要求的近似解机动目录上页下页返回结束三.一般迭代法(补充)在隔根区按递推公式则

即为原方程的根.①①称为迭代格式,初值.否则称为发散.机动目录上页下页返回结束例3.

用迭代法求方程解法1将方程变形为迭代格式为发散!解法2将方程变形为迭代格式为迭代收敛,1.32472为计算精度范围内的所求根.机动目录上页下页返回结束定理.(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.机动目录上页下页返回结束可以证明下述定理:内容小结1.隔根方法作图法二分法2.求近似根的方法二分法牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点.……习题课目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束作业(习题3-8)P1801;3二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用机动目录上页下页返回结束中值定理及导数的应用

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理机动目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.机动目录上页下页返回结束例1.

设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.机动目录上页下页返回结束例2.

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点机动目录上页下页返回结束例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证机动目录上页下页返回结束例4.

设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定