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文档简介

曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、弧微分二、曲率的定义及计算三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率

一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧长

或二、曲率的定义及计算在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率转角为

注意:

直线上任意点处的曲率为0!例1.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.

有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由

例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.

例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解:显然

三、曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使

设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径

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