自动控制 第五章第一讲学习资料

5-1频率特性5-2典型环节与开环系统频率特性5-3频域稳定判据5-4

频域稳定裕度5-5

闭环系统的频域性能指标第五章线性系统的频域分析法1

频率特性特点物理意义明确,系统或元件的频率特性可以用分析法、实验法确定，用图解法分析；频域稳定性是根据开环特性研究闭环系统的稳定性，不必求闭环特征方程式；对于一阶系统、二阶系统，频域指标和时域指标有固定的对应关系；对于高阶系统，两者存在近似关系；频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求；频率分析法不仅适用于线性定常系统，还可以应用于某些非线性系统。5-1频率特性2

5-1-1频率特性的基本概念(1)频率特性的定义RC网络的传递函数输入正弦信号拉氏反变换，得电容端电压输出电压瞬态分量稳态分量时，第一项趋于零，RC网络的稳态响应表示为RC网络的微分方程RCi(t)u1(t)u2(t)输出的稳态响应与输入是同频率的正弦信号，输出幅值和相角取决于频率。输入正弦信号与输出稳态分量关系图输出稳态分量和输入复数比稳态输出与输入频率相同，振幅和相角不同3

幅频特性相频特性实频特性虚频特性称为系统的频率特性，描述系统在正弦输入时，稳态输出的幅值和相角随输入频率变化的规律。频率特性表达式传递函数表达式即频率特性的描述4

设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。5AB相角问题①稳态输出迟后于输入的角度为：②该角度与ω有BA360oφ=AB③该角度与初始关系∴为φ(ω),角度无关∴,…6

(ω)大于零时称相角超前，小于零时称相角滞后。(2)频率特性的物理意义幅值A()随着频率升高而衰减。例:低频信号高频信号频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。7

设系统稳定，正弦输入时的输出为：∵系统稳定，∴(3)频率特性的推导:求拉氏反变换，得系统输出待定系数8

频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法从频率特性出发研究系统。系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；幅频特性相频特性系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后（或超前）特性。理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在，不稳定系统的频率特性观察不到。稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同;

振幅与输入信号振幅之比为幅频特性；相位与输入信号相位差为相频特性。

输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。三种数学模型的关系如图9

频率特性分析设计系统用几何曲线表示，这些曲线有：5-1-2频率特性的几何表示幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相特性曲线10

为变量，幅值和相角表示在同一复数平面图上，时，向量的端点在复平面上的运动轨迹即的幅相频率特性曲线。绘制幅相特性曲线有两种方法对每一个值计算幅值和相角，然后将这些点连成光滑曲线；对每一个值计算，

然后连接成光滑曲线。图示是惯性环节的幅相曲线，为半圆。正实轴方向相角为零度线，逆时针方向正角度，顺时针方向负角度。曲线上标注增大的方向。1.幅相频率特性曲线：简称幅相曲线（奈氏曲线、极坐标图）11例题例试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：

解：该开环系统由三个典型环节串联组成，它们的幅、相频率特性分别为：

因而开环系统的幅频特性，相频特性：12在MATLAB中，有专门的函数用于绘制开环系统的极坐标图：Nyquist。

g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))Transferfunction:10-------------------0.1s^2+1.1s+1nyquist(g)

13

2．对数频率特性曲线（对数坐标图或伯德图）包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线。频率特性对数幅频特性对数相频特性定义：横坐标是频率，采用对数分度，单位是[rad/s]。对数幅频特性曲线的纵坐标为对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是[dB]。对数相频特性曲线的纵坐标为相频特性的函数值，均匀分度，单位是[°]。绘制伯德图时需要用半对数坐标纸。两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率

，常用lg

分度。幅值相乘变为相加，简化作图。14对数坐标系对数坐标系

横坐标采用lg

的对数坐标分度对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图或Bode图。

15对数频率特性曲线ω与lgω的关系：ω

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Lgω0

0.3010

0.477

0.602

0.699

0.778

0.845

0.903

0.954

116对数频率特性曲线对数幅频、相频特性曲线的优点：1、在有限的坐标区域内表示广阔的频率范围2、将幅值的乘除运算化为加减运算，如：17对数坐标系3.对数幅相特性曲线（尼科尔斯图）它是将对数幅频特性和对数相频特性合起来绘制成一条曲线，横坐标为∠G(jω)，纵坐标为20lg|G(jω)|，频率ω为参变量。18比例环节微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节5-2典型环节的频率特性典型环节重点熟练掌握典型环节的频率特性及几何图形。典型环节：一个复杂的系统总可以分解成几个典型环节的组合。典型环节分为两大类：1、最小相位环节：其开环零、极点在左半s平面2、非最小相位环节：在右半s平面存在零、极点19

典型环节零极点分布图G(s)=sG(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+11j0微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=T2s2+2ξTs+11G(s)=KG(s)=T2s2+2

Ts+120

典型环节零极点分布图-Ts+11G(s)=-Ts+1G(s)=T2s2-2ξTs+1G(s)=G(s)=T2s2-2ξTs+11j0G(s)=K21

幅相特性G(s)=K(1)比例环节对数频率特性与频率ω无关。是实轴上的一个点，坐标为（k，j0）。K>1时，分贝数为正；K<1时，分贝数为负。对数幅频曲线升高或降低,相频曲线不变改变K

22

幅相曲线一个负的纯虚矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0矢量的模随着ω的增大而减小G(s)=s1(2)积分环节23①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均为-900是一条直线，斜率-20dB/dec积分环节对数频率特性曲线24

对数曲线求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=对边邻边=La-Lbωa-ωb×lg

ωa-lg

ωb25

例5.1求截止频率ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∵ω=1时,得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96，再用一次斜率公式：26

幅相曲线G(s)=s一个纯虚矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234矢量的模随着ω的增大而增大(3)微分环节27①G(s)=s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20dB/dec][+20dB/dec]微分环节对数频率特性曲线②G(s)=2s③G(s)=0.1s相角均为900[+20dB/dec]90000-900是一条直线，斜率+20dB/dec28

(4)惯性环节0.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.-68.2-76-840.450.370.240.05幅相曲线(T=0.5)29

证明:频率特性分解为实部和虚部惯性环节的幅相特性曲线为半圆G(jω)=U(ω)+jV(ω)即配方后30

惯性环节对数幅频渐近曲线的分析0分贝水平线低频渐近线斜率[-20dB/dec]的斜线高频渐近线ω=1/T为惯性环节的交接频率31①G(s)=10.5s+1②G(s)=100s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100惯性环节对数频率特性曲线[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90oω=1/T为惯性环节的交接频率交接频率ω=5交接频率ω=24段直线方程怎么求得？32

用渐近线的方式表示幅频特性,必然存在误差。最大误差发生在交接频率处，最大误差为利用误差曲线对近似曲线修正即得精确曲线。（图示误差曲线）33

幅相曲线实部恒为1，虚部随ω增大而增大的矢量矢量的模随着ω的增大从1变化到无穷G(s)=Ts+1jIm[G(jω)]Re[G(jω)]012341(5)一阶微分34①G(s)=0.5s+1L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-20201000o+30o+45o+60o+90o[+20]ω=1/T为一阶微分环节的交接频率与惯性环节以横轴互为镜像对称一阶微分对数频率特性曲线交接频率ω=235

(6)振荡环节(0<ξ<0.707)出现谐振，ωr、Mr为谐振频率和谐振峰值得令,0d)(dA=ww360j1幅相曲线（Nyquist曲线）37

曲线与虚轴交点坐标为；频率为ωn，谐振峰值ζ越小，ωr越接近ωn，Mr越大；当ζ→0时，ωr趋于ωn，Mr趋于无穷大。谐振频率ζ较小时，幅频特性出现谐振峰值，(0<ξ<0.707)ζ越小，曲线与虚轴交点的幅值越大，即38振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]-90o0o-180oφ

(ω)o39

较小时，在ω=ωn附近，A(ω)出现峰值，即产生谐振。出现谐振的条件是

0.707谐振峰值Mr对应的频率为谐振频率ωr。40

幅相曲线矢量的虚部始终为正Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01(7)二阶微分G(s)=T2s2+2ξTs+141

二阶微分的对数频率特性对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dB[+40]ωn0<ξ<0.707时有峰值：42

对数坐标图的对比

(dB)101/T

10ω

0.11/T

040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω20-40二阶微分与振荡环节1/jω和jωω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω积分与微分环节ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T