重庆育才中学教育集团2025年九年级第一次自主作业数学试题（模拟三）（卷后带解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页重庆育才中学教育集团2025年九年级第一次自主作业数学试题（模拟三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，绝对值最小的是（

）A． B． C．0 D．2．在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．4．如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（

）A． B． C． D．5．下列四个命题中，假命题是（

）A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形6．已知，则实数m的范围是（

）A． B． C． D．7．如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有个小圆点，第②个图形中一共有个小圆点，第③个图形中一共有个小圆点，，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（

）A． B． C． D．8．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（

）A．9 B． C． D．9．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（

）A． B． C． D．10．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（

）①若，，为方程的两根，则；②若，则；③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数；④若，，要使得成立，则至少为4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．计算：．12．3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为．13．如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则．14．若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为．15．如图，为的直径，弦于点，点在圆上，且，，交于点，则，．16．我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为．三、解答题17．计算：(1)；(2)．18．云飞神州彩凤舞，霞舞中华巨龙飞．在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分）进行整理、分析（得分用表示，共分为四组，：，：，：，：），下面给出部分信息：初一名学生的成绩：，，，，，，，，，初二名学生在组中的成绩：，，两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数初一初二根据以上信息，回答以下问题：(1)______，______，______；(2)根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)已知初一年级共有名学生，初二年级共有名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？19．在中，，于点，点为直线上一点，连接，．用直尺和圆规，在的上方作，使得，射线交直线于点，此时点是点关于直线的对称点，连接．小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空：证明：，，_____①______．又，，，______②_____．，______③______．四边形是平行四边形又，四边形是菱形．小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形____④___．20．“阅百十风华，致生涯广大”——我校将迎来办学周年庆活动，文创产品深受校友们的喜爱．某工厂计划生产文创产品“烟雨伞”把，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间主产烟雨伞的数量比甲车间生产烟雨伞的数量的倍少把．(1)求甲、乙两车间各生产多少把烟雨伞？(2)在生产过程中，乙车间每天生产烟雨伞的数量是甲车间每天生产烟雨伞数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前天完成任务，求甲车间每天生产多少把烟雨伞？21．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）22．“十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上）

(1)求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）；(2)结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）．23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中点为．

图1

图2

图3(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，点为直线上一动点，轴于点，连接，，，当的面积取得最大时，求的最小值；(3)如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交轴于点，点，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．24．已知为等边三角形，是平面内的一个动点．(1)如图1，点在内部，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的度数；(2)如图2，点，在外部，满足，连接，其中为中点，连接；若，求证：；(3)如图3，点在外部，，将沿着翻折，得到，连接，为线段上一点，且，连接；若，当线段的长取最小值时，直接写出的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《重庆育才中学教育集团2025年九年级第一次自主作业数学试题（模拟三）》参考答案题号12345678910答案CACDCDCAAC1．C【难度】0.85【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较【分析】绝对值的性质是正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．分别计算各选项绝对值比较即可．【详解】分别计算各选项绝对值，，，，，比较大小：，所以绝对值最小的是0，故答案选：C．2．A【难度】0.85【知识点】轴对称图形的识别【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：、是轴对称图形，符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意；故选：．3．C【难度】0.85【知识点】用反比例函数描述数量关系【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴反比例函数的图象一定经过的点是，故选：．4．D【难度】0.65【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵与是以点O为位似中心的位似图形，∴，∴．故选：D5．C【难度】0.65【知识点】判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、判断命题真假【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可．【详解】解：A.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意；D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；故选：C6．D【难度】0.65【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果．【详解】解：，，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D．7．C【难度】0.65【知识点】图形类规律探索【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形可得第个图形有个圆点，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键．【详解】解：第①个图形中一共有个小圆点，第②个图形中一共有个小圆点，第③个图形中一共有个小圆点，第④个图形中一共有个小圆点，，∴第个图形一共有个小圆点，∴当时，第⑩个图形中小圆点的个数是，故选：．8．A【难度】0.65【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积【分析】本题主要考查勾股定理．先求出，，，再根据进行计算即可．【详解】解：直角三角形中，，，∴，，，∴，∴，故选：A．9．A【难度】0.15【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长【分析】过点F作交于H，利用证明可得，，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：过点F作交于H，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，,'∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，'∴，∵，∴，∴，∵，∴．故选:A．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键．10．C【难度】0.4【知识点】已知字母的值，求代数式的值、整式的混合运算、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④．【详解】解：∵，，为方程的两根，∴，，∴，故①正确；∵，∴设，则，∵，∴，解得：或，∴或，故②错误；∵对于整数，，若为奇数，∴不防设为奇数，为偶数，∴为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确；∵，，∴，选和，则，选和，则，选和，则，此时，故要使得成立，则至少为4，故④正确；综上所述，正确的有①③④，共个故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．11．/【难度】0.85【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数【分析】此题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂计算即可．【详解】解：故答案为：12．【难度】0.85【知识点】列表法或树状图法求概率【分析】本题主要考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”3张卡片分别记为、、，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的结果有2种，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为，故答案为：．13．【难度】0.65【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、已知正切值求边长【分析】连接，根据中位线的性质可得，根据矩形对角线相等可得，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得的长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵点、分别为、边的中点，∴是的中位线，∴∵四边形是矩形，∴∵，∴∴在中，∵点为的中点，∴故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．【难度】0.65【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．先解不等式组并结合题意确定的范围，再解出分式方程确定的范围，进而确定的所有取值，最后求满足条件的所有整数的和即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴，∵不等式有解，且最多有两个偶数解，∴解得：．解分式方程解得：．∵分式方程的解为正整数，且∴∴∴满足条件的所有整数的和为，故答案为：．15．【难度】0.4【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，延长交于点，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，证明，得到，证明，得到，计算即可．【详解】解：如图，连接，，并延长交与点，为的直径，，，设，,，，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：①，②．16．2095624【难度】0.65【知识点】新定义下的实数运算、y=ax²+bx+c的最值【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，得，根据二次函数的性质可得或时，“合十数”最小；设m与n的十位数字为y，则，，，根据已知推出是整数，要使“合十数”A最大，则优先取最大数，优先代入的最大值，若满足是整数，再得出的值，代入m与n，再由即可得A的最大值．【详解】解：由题意得，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，∴，，∴，∵，∴当或时，“合十数”最小为；设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，则n的个位数字为，∴，，∴，，∴，∵能被3整除，∴是整数，要使“合十数”A最大，则优先取最大数，当时，不能为整数，当时，不能为整数，当时，，或时，可以为整数，∴当，时，满足条件的“合十数”A最大，此时，，，；故答案为：209；5624．17．(1)(2)【难度】0.65【知识点】整式的混合运算、分式加减乘除混合运算【分析】本题考查了分式的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是根据计算法则和公式法来解答．（1）先提取公因式，然后利用单项式乘以多项式计算方法进行计算即可；（2）先用通分的方法算出小括号里的结果，再把除法转化为乘法，进行约分即可．【详解】（1）解：；（2）．18．(1)，，．(2)初二年级的国学知识竞赛成绩较好，理由见解析．(3)估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人．【难度】0.85【知识点】借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的某项数目、求中位数【分析】（1）结合扇形统计图和题中的数据即可计算出、、的值；（2）结合两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表进行分析，言之有理即可；（3）结合题意得到初一的优秀率是，初二的优秀率是，则初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有．【详解】（1）解：依题得：组竞赛成绩占比为，初二抽取的学生成绩扇形统计图中组竞赛成绩占比为，；根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的中位数为，；根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的众数为，．故答案为：；；．（2）解：初二年级的国学知识竞赛成绩较好，因为初二年级的国学知识竞赛成绩中位数大于初一年级的国学知识竞赛成绩中位数．（3）解：依题得：初一年级的优秀率为，初二年级的优秀率为，（人）．估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人．【点睛】本题考查的知识点是求扇形统计图的某项数目、求中位数、求众数、借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是能正确利用样本所占百分比估计总体的数量．19．①，②，③，④是菱形，【难度】0.65【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形【分析】先根据三线合一定理推得，证明后根据全等三角形的性质，再结合平行线的判定可证明四边形是平行四边形，又根据即可证明平行四边形是菱形，最后根据证得的结论将命题补充完成即可．【详解】解：根据题意可得：，，，则根据等腰三角形的三线合一定理可得，为中线，即，在和中，，，，，，四边形为平行四边形，又，即，四边形为菱形．根据题意可得，命题可补充为：在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形是菱形．综上：①；②；③；④是菱形．【点睛】本题考查的知识点是三线合一定理、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定及菱形的判定，解题关键是利用证明四边形是平行四边形．20．(1)甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞(2)甲车间每天生产把烟雨伞．【难度】0.65【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的工程问题【分析】（）设甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；（）设甲车间每天生产把烟雨伞，则乙车间每天生产把烟雨伞，根据题意，列出分式方程即可求解；本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和分式方程是解题的关键．【详解】（1）解：设甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞，由题意可得，，解得，答：甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞；（2）解：设甲车间每天生产把烟雨伞，则乙车间每天生产把烟雨伞，由题意可得，，即，解得，经检验，是原方程的解，答：甲车间每天生产把烟雨伞．21．(1)，；，；(2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小(3)【难度】0.85【知识点】用描点法画函数图象、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可．（1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解；（2）描点画图即可；（3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解；【详解】（1）解：∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，；，；（2）解：描点画图如下：由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小（3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方，∴当时，22．(1)的长度为米(2)选择2号路线更快【难度】0.65【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】（1）过C作于H，延长相交于F，再中可求得的长，再中可求得的长，即可求出答案；（2）分别计算出两条路线的长度，可求得时间，比较即可得出答案．【详解】（1）解：如图，过C作于H，延长相交于F，

则，，矩形，由题意得：，，，∵中，，，∴，，∵中，，∴，∴米，答：的长度为米．（2）解：由题意得：，，∵中，，∴，，2号路线所用时间分钟，1号路线所用时间分钟，因为，∴选择2号路线更快．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．23．(1)(2)(3)或【难度】0.15【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)【分析】（1）先求，两点坐标，再将，两点坐标代入抛物线解析式，可得二元一次方程组，解方程组即可求得与的值，进而得出抛物线解析式；（2）过点作轴交于点，设，则，可得，，于是可得当时，取得最大值，此时，由题意可知四边形为矩形，于是可得，，进而可得，可知当点，，共线时，取得最小值，据此即可得出答案；（3）先求出平移后的新抛物线解析式，过点作轴于点，易证得四边形是正方形，由正方形的性质可知，进而可得，过点作交于点，过点作轴于点，利用可证得，于是可得，，，因而可得，设的函数解析式为，将，代入，得，解方程组即可求出的函数解析式为，将的函数解析式与抛物线的函数解析式联立，可得，解方程即可求出点的坐标；作点关于直线的对称点，设交抛物线于点，易知，根据轴对称的性质可得，即，设的函数解析式为，将，代入，得，解方程组即可求出的函数解析式为，将的函数解析式与抛物线的函数解析式联立，可得，解方程即可求出点的坐标；综上，即可求出所有符合条件的点的坐标．【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点，令，则，令，则，解得：，点，，直线与抛物线交于，两点，将，两点坐标代入抛物线解析式，可得：，解得：，该抛物线解析式为；（2）解：如图，过点作轴交于点，设，则，点是直线上方抛物线上一动点，，，，当时，取得最大值，此时，四边形为矩形，轴于点，，，，当点，，共线时，取得最小值，，的最小值为；（3）解：由（1）可知：该抛物线解析式为，其顶点坐标为，令，则，解得：，，平移前抛物线与轴的右侧交点为，将抛物线沿着水平方向平移，且平移后的抛物线经过点，该平移是