2025年中考数学几何模型综合训练专题12三角形中的重要模型之面积模型解读与提分精练(学生版)_第1页
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文档简介

专题12三角形中的重要模型之面积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位,等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想,下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的,也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型,燕尾模型,鸟头模型,沙漏模型,金字塔模型)进行梳理及对应

试题分析,方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等积变换基础模型..............................................................................................................................1

模型2.蝴蝶(风筝)模型..............................................................................................................................3

模型3.燕尾(定理)模型..............................................................................................................................5

模型4.鸟头定理(共角定理)模型..............................................................................................................8

模型5.金字塔与沙漏模型............................................................................................................................12

.................................................................................................................................................14

模型1.等积变换基础模型

模型1)等底等高的两个三角形面积相等;

如图,当,则;反之,如果,则可知直线。

1AB//CDS△ACDS△BCDS△ACDS△BCDAB//CD

图1图2图3

模型2)两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。

如图2,当点D是BC边上的动点时,则SABD∶SADC=BD∶DC。

△△

如图3,当点D是BC边上的动点,BE⊥AD,CF⊥AD时,则SABD∶SADC=BE∶CF。

△△

证明:模型1)如图1,过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。∵AB//CD,∴AE=BF。

11

∵S△CDAE;S△CDBF;∴SS。反之同理可证。

ACD2BCD2△ACD△BCD

模型2)如图2,过点A作AH⊥BC。

11

∵S△BDAH;S△CDAH;∴SABD∶SADC=BD∶DC。

ABD2ACD2

△△

如图3,过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。

11

∵S△ADBE;S△ADCF;∴SABD∶SADC=BE∶CF。

ABD2ACD2

△△

例1.(24-25八年级上·山东德州·阶段练习)如图,若点D是边BC上的点,且BD:CD3:2,则△ABD与

ACD的面积之比为()

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

例2.(23-24八年级下·河北沧州·期中)如图,E,F分别是ABCD的边,上的点,AF与相交于

点P,BF与相交于点Q,若△APD的面积为2,BQC的面积为4,�A�BC�D�的面积为26,则�阴�影部是

的面积为𝐷.

例3.(2024·上海浦东新·一模)如图,在VABC中,AB4,AC6,E为BC中点,AD为VABC的角平分

:

线,VABC的面积记为S1,VADE的面积记为S2,则S2S1.

例4.(23-24七年级下·江苏镇江·期中)【探究】如图1,AD是VABC中BC边上的中线,△ABD与ACD的

面积相等吗?请说明理由,

【应用】如图2,点A、B、C分别是BD、CE、AF的中点,且SABC4,则图2中阴影部分的面积为;

【拓展】(1)如图3,VABC中,延长CA至点F,使得AFCA,延长AB至点D,使得BD2AB,延长BC

至点E,使得CE3CB,连接EF、FD、DE,如果S△ABC3,那么S△DEF为.

(2)如图4,VABC中,AB12,AC16,点D、E是BC、AC边上的中点,AD、BE交于点F.若VABC

的面积为S,则四边形DCEF面积为(用含S的代数式表示);四边形DCEF的面积存在最大值,这个值

为.

例5.(23-24八年级下·浙江宁波·期中)规律:如图1,直线m∥n,B,C为直线n上的点,A,P为直线

m上的点.如果A,B,C为三个定点,点P在直线m上移动,那么无论点P移动到何位置,VABC与PBC

_________

的面积始终相等,其理由是___.

应用:(1)如图2,B、C、D三点在同一条直线上,VABC与ECD都是等边三角形,连结BE,AE.若

CD2,BC2CD,求ABE的面积.(2)如图3,已知E,F,G,H是矩形ABCD边上的点,且EF∥AD,

GH∥AB,连结GB交EF于点M,连结交GH于点N,连结DN交EF于点P,连结GP,若四边形AEOG

的面积等于5,求四边形GMNP的面积.��

模型2.蝴蝶(风筝)模型

蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

1)任意四边形的蝴蝶定理:

如图,结论:①或;②。

1S1:S2S4:S3S1S3S2S4AO:OCS1S2:S4S3

证明:由基础模型)知:;;即故;即。

2S1:S2DO:BOS4:S3DO:BOS1:S2S4:S3S1S3S2S4

由基础模型)知:;即。

2S△ABD:S△BCDOA:OCAO:OCS1S2:S4S3

2)梯形蝴蝶定理:

如图,结论:①22;②222。

2S1:S3a:bS1:S3:S2:S4:SABCDa:b:ab:ab:ab

证明:∵四边形为梯形,∴,∴易证,∴22。

ABCDAD//BCAODCOBS1:S3a:b

同理可证得:222。

S1:S3:S2:S4:SABCDa:b:ab:ab:ab

例1.(23-24八年级上·浙江·阶段练习)如图,任意四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,把△AOB、△AOD、

△COD、BOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4,则下列各式成立的是()

A.S1+S3=S2+S4B.S3S2S4S1C.S1S4=S2S3D.S1S3=S2S4

例2.(23-24九年级上·上海松江·期中)如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,2AB3CD,如果对角线

AC与BD相交于点O,△AOD、△BOA、△COB、△DOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4,那么下列

结论中,不正确的是()

A.2S23S1B.2S23S4C.S1S3D.S1S3S2S4

例3.(2024·四川成都·校考一模)如图,梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为

p2、q2,则梯形的面积为.

例4.(2024·山西·校考一模)阅读与探究请阅读下列材料,完成相应的任务:

凸四边形的性质研究

如果把某个四边形的任何一边向两端延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做

凸四边形.凸四边形是我们数学学习中常见的图形,它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成

的两对对顶三角形的面积之积相等.

例如,在图1中,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点О,且ACBD,VAOB,BOC,△COD,

1

OBOA

SOB

△AOD的面积分别为S,S,S,S,则有S·SSS,证明过程如下:12

12341324S1OD

4ODOA

2

任务:(1)请将材料中的证明过程补充完整;(2)如图2,任意凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

分别记VAOB,BOC,△COD,△AOD的面积为S1,S2,S3,S4,求证S1·S3S2S4;(3)如图3,在四边

形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,SAOD4,S△BOC6,SAOB:SCOD1:3,则四边形ABCD的

面积为____________.

模型3.燕尾(定理)模型

条件:如图,在△ABC中,E分别是BC上的点,G在AE上一点。

结论:S1:S2S3:S4(S1+S3):(S2+S4)BE:EC。

证明:由基础模型)知:;;故;

2S3:S4BE:ECSABE:SAECBE:ECS1:S2BE:EC

即S1:S2S3:S4(S1+S3):(S2+S4)BE:EC。

例1.(23-24七年级下·江苏宿迁·期末)(数学经验)三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.

(经验发展)(1)面积比和线段比的联系:如果两个三角形的高相同,则它们的面积比等于对应底边的比,

SACMAM

如图1,VABC的边AB上有一点M,请证明:;

SBCMBM

CD1CE1

(结论应用)(2)如图2,CDE的面积为1,,,求VABC的面积;

AC4CB3

(拓展延伸)(3)如图3,VABC的边AB上有一点M,D为CM上任意一点,请利用上述结论,证明:

SAM

ADC;

SBDCBM

1

(迁移应用)(4)如图4,VABC中,M是AB的三等分点AMAB,N是BC的中点,若VABC的面

3

积是1,请直接写出四边形BMDN的面积:.

例2.(23-24七年级下·宁夏银川·期末)【问题情境】如图1,AD是VABC的中线,VABC与△ABD的面积

有怎样的数量关系?小旭同学在图1中作边BC上的高AE,根据中线的定义可知BDCD.因为高AE相

=

同,所以SABDSACD,于是S△ABC2S△ABD.

据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.

(1)【深入探究】如图2,点D在VABC的边BC上,点P在AD上.

①若AD是VABC的中线,请判断SAPB与SAPC的大小关系,并说明理由.

②若BD3DC,则SAPB:SAPC______.

(2)【拓展延伸】如图3,分别延长四边形ABCD的各边,使得A,B,C,D分别为DH,AE,BF,CG的中

点,依次连接E,F,G,H得四边形EFGH.直接写出S△HDG,SFBE与S四边形ABCD之间的等量关系;_______.

SABDBD

例3.(23-24七年级下·浙江杭州·期中)已知D是的BC边上一点,连结AD,此时有结论,

SACDCD

�𝐴�

请解答下列问题:(1)当D是BC边上的中点时,ABD的面积ACD的面积(填“>”“<”或“=”).

(2)如图1,点D、E分别为AB,AC边上的点,连结CD,BE交于点O,若BOD、COE、BOC的面

积分别为5,8,10,则ADE的面积是(直接写出结论).

(3)如图2,若点D,E分别是的AB,AC边上的中点,且SABC60,求四边形ADOE的面积.可以

用如下方法:连结AO,由ADD�B�得��SADOSBDO,同理:SCEOSAEO,设SBDOx,SCEOy,则SADOx,

112xy30

SAEOy,由题意得SABESABC30,SADCSABC30,可列方程组为:,解得xy20,

22x2y30

可得四边形ADOE的面积为20.解答下面问题:

如图3,D,F是AB的三等分点,E,G是CA的三等分点,CD与BE交于O,且SABC60,请计算四边

形ADOE的面积,并说明理由.

模型4.鸟头定理(共角定理)模型

共角三角形:两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

图1图2

SADAE

(等角型)条件:如图1,在三角形ABC中,D、E分别是AB,AC上的点,结论:ADE。

SABCABAC

SADAE

(互补型)条件:如图2,已知∠BAC+∠DAE=180°,结论:ADE。

SABCABAC

证明:(等角型)如图1,分别过点E,C作EG⊥AB于点G,CF⊥AB于点F,

EGAE

∵∠AGE=∠AFC,又∵∠A=∠A,∴△GAE∽△FAC,∴。

CFAC

1

ADEG

SS△ADEGADAES△ADAE

又△ADE2ADE即ADE。

S1S△ABCFABACS△ABAC

△ABCABCFABCABC

2

(互补型)如图2,过点C作CG⊥AB于G,过点E作EF⊥DA交DA延长线于F,

∴∠EFA=∠CGA=90°,∵∠BAC+∠DAE=180°,∠DAE+∠EAF=180°,

EFCG11

∴∠CAG=∠EAF,∴△CAG∽△EAF,∴,∵S△=DAEF,S△ABC=ABCG,

AEACDAE22

1

SDAEFDAEFDAAE

∴△DAE=2;

1

S△ABCABCGABCGABAC

2

例1、如图,在三角形ABC中,D、E是AB,AC上的点,且AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,三角形ADE的

面积是16平方厘米,则ABC的面积为。

例2.(2023·山西晋中·九年级统考阶段练习)阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补,那么这两个三角形叫做共角三角形,共角三角形的面积比等

于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比,

SADAE

例:在图1中,点D,E分别在AB和AC上,ADE和ABC是共角三角形,则ADE

SABCABAC

△△

证明:分别过点E,C作EG⊥AB于点G,CF⊥AB于点F,得到图2,

EGAE

∵∠AGE=∠AFC,又∵∠A=∠A,∴△GAE∽△FAC,∴

CFAC

1

ADEG

SS△ADEGADAES△ADAE

又△ADE2ADE即ADE

S1S△ABCFABACS△ABAC

△ABCABCFABCABC

2

SADAE

任务:(1)如图3,已知∠BAC+∠DAE=180°,请你参照材料的证明方法,求证:ADE

SABCABAC

S△1AD1

(2)在(1)的条件下,若ADE,,AB9,则AE=.

S△ABC6AC4

例3.(2023·重庆·九年级专题练习)问题提出:如图1,D、E分别在ABC的边AB、AC上,连接DE,已

知线段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d,则SADE,SABC和a,b,△c,d之间会有怎样的数量关系呢?

△△

问题解决:探究一:(1)看到这个问题后,我们可以考虑先从特例入手,找出其中的规律.如图2,若DE

ac

∥BC,则∠ADE=∠B,且∠A=∠A,所以ADE∽△ABC,可得比例式:而根据相似三角形

abcd

△2

SADEa

面积之比等于相似比的平方.可得2.根据上述这两个式子,可以推出:

SABCab

2

SADEaaaacac

2.

SABCababababcdabcd

(2)如图3,若∠ADE=∠C,上述结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;着不成立,请说明理由.

SADEac

探究二:回到最初的问题,若图1中没有相似的条件,是否仍存在结论:?方法回顾:

SABCabcd

两个三角形面积之比,不仅可以在相似的条件下求得,当两个三角形的底成高具有一定的关系时,也可以

1

BDAH

SBD

解决.如图4,D在ABC的边上,做AH⊥BC于H,可得:ABD2.借用这个结论,请

S1DC

ADCDCAH

△2

你解决最初的问题.

延伸探究:(1)如图5,D、E分别在ABC的边AB、AC反向延长线上,连接DE,已知线段AD=a,AB

SADE△

=b,AE=c,AC=d,则.(2)如图6,E在ABC的边AC上,D在AB反向延长线上,连接

SABC

S△

DE,已知线段AD=a,AB=b,AE=c,AC=d,ADE.

SABC

结论应用:如图7,在平行四边形ABCD中,G是BC边上的中点,延长GA到E,连接DE交BA的延长线

于F,若AB=5,AG=4,AE=2,▱ABCD的面积为30,则AEF的面积是.

模型5.金字塔与沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

ADAEDEAF22

条件:如图所示,DE//BC;结论:①;②S△:S△AF:AG。

ABACBCAGADEABC

证明:∵DE//BC;易证:△ADE∽△ABC;△ADF∽△ABG;△AFE∽△AGC;

ADAEDEAF

∴;S:SAD2:AB2AF2:AG2。

ABACBCAGADEABC

例1.(2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习)如图,已知点D、E分别是AB、AC边上的点,且

△ADE∽△ABC,面积比为1:9,AGBC交DE于点F.则AF:AG()

A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1

例2.(2023·江苏扬州·二模)如图,D、E分别是VABC的边AB、AC上的点,且DE∥BC,BE、CD相

交于点0,若DOE的面积与△COB的面积的比为4:25,则AD:DB等于()

A.2:3B.2:5C.3:5D.4:25

例3.(2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习)如图,ABC中,DE∥BC,BE与CD相交于点F.如果

DF:FC1:3,那么SADE:SABC等于()

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

例4.(2023春·北京海淀·九年级校考开学考试)如图,ABC是等边三角形,被一矩形所截,AB被截成三

等分,EH∥BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形BCGF的面积为()

A.8B.9C.10D.11

1.(2024·贵州·校考一模)如图,梯形ABCD被对角线分成4个小三角形,已知VAOB与BOC的面积分别

为25m2和35m2.那么梯形的面积是()m2.

A.144B.140C.160D.无法确定

2.(24-25八年级上·山东德州·阶段练习)如图所示,VABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的

中点,AD、BE、CF交于一点G,BD2DC,S△GEC3,S△GDC4,则VABC的面积是()

A.25B.30C.35D.40

3.(22-23七年级下·江苏扬州·期中)如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是AB,BC,CD,DA中

点,O是四边形内部一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为8、11、13,四边

形DHOG面积为()

A.10B.11C.12D.13

4.(24-25八年级上·四川德阳·阶段练习)如图,若VABC的面积为a,且点A,B,C分别是EC、AF、BD

的中点,则求阴影部分的面积(用含a的式子表示),()

A.6aB.6.5aC.5.5aD.5a

5.(24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图,在VABC中,AD是BAC的平分线,延长AD至E,使

AB

ADDE,连接BE,VBDE的面积为10,VABC的面积是13,则的值为()

AC

1013

A.B.C.3D.2

310

6.(2023·陕西西安·模拟预测)如图,在VABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,若

CDAD4,则△DCE的面积是()

A.4B.3C.2D.1

7.(2023·江苏·模拟预测)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,AC与BD相交于点

O,则ABO的面积与CDO的面积的比为()

A.1:2B.2:2C.1:4D.2:4

8.(23-24八年级上·天津河东·期中)如图,VABC的两条中线AM,BN相交于点O,已知ABO的面积

为4,BOM的面积为2,则四边形MCNO的面积为()

A.2B.3C.4D.3.5

9.(2024·甘肃酒泉·二模)如图,在平行四边形ABCD中,如果点M为的中点,AM与相交于点N,

=𝐶��

若已知SVDMN4,那么SADN等于()

A.4B.8C.12D.16

10.(23-24九年级·重庆·课后作业)如图,AB为半圆O的直径,弦AD,BC相交于点P,如果CD3,AB4,

那么SPDC:SPBA等于()

A.16∶9B.3∶4C.4∶3D.9∶16

11.(22-23七年级下·江苏南京·期末)如图,在VABC中,D是边AB的中点,E、F分别是边AC上的三等

分点,连接BE、BF分别交CD于G、H点,若VABC的面积为90,则四边形EFHG的面积为.

12.(2024·上海·校考一模)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BC2AD,点F在BC的延长线上,AF与

BD相交于点E,与CD边相交于点G.如果AD2CF,那么DEG与CFG的面积之比等于.

BDaS△ABDa

13.如图1,点D在ABC边BC上,我们知道若,则;反之亦然.如图2,BE是ABC

CDbS△ACDb

AFOE

的中线,点F在边AB上,BE、CF相交于点O,若m,则.

BFOB

14.(23-24九年级上·福建泉州·阶段练习)已知VABC中,AD是BC边上的中线,点G为VABC重心,

GE∥AC,若VABC的面积为12,则△BGE的面积是.

15.(2024·河南郑州·九年级校考期中)如图,矩形EFGH内接于ABC(矩形各顶点在三角形边上),E,F

在BC上,H,G分别在AB,AC上,且ADBC于点D,交HG于点N.(1)求证:△AHG∽△ABC(2)若AD3,

BC9,设EHx,则当x取何值时,矩形EFGH的面积最大?最大面积是多少?

16.(23-24八年级下·湖南永州·期末)课题学习:平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用

1

阅读理解:如图1,已知直线ab,直线a,b的距离为h,则三角形ABC的面积为SABh.

△ABC2

(1)【问题探究】如图2,若点C平移到点D,求证:S△AOCS△BOD;

(2)【深化拓展】如图3,记SAOCS1、S△BODS2、S△CODS3、S△BOAS4,根据图形特征,试证明:

S1S2S3S4;

(3)【灵活运用】如图4,在平行四边形ABCD中,点E是线段AD上的一点,BE与AC相交于点O,已知

SVABE10,且EO:EB2:5,求四边形CDEO的面积.

17.(23-24八年级下·山东青岛·期末)问题解决:如图1,VABC中,AF为BC边上的中线,则

SABF______SABC.

问题探究:(1)如图2,CD,BE分别是VABC的中线,SBOC与S四边形ADOE相等吗?

11

解:VABC中,由问题解决的结论可得,SS,SS.

BCD2ABCABE2ABC

∴SBCDSABE∴SBCDSBODSABESBOD即SBOCS四边形ADOE.

(2)图2中,仿照(1)的方法,试说明SBODSCOE.

(3)如图3,CD,BE,AF分别是VABC的中线,则SBOC______SABC,SAOE______SABC,

S△BOD______S△ABF.

问题拓展:(1)如图4,E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点,请直接写出阴影部分的面积与四

边形ABCD的面积之间的数量关系:S阴影=______S四边形ABCD.

(2)如图5,E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点;请直接写出阴影部分的面

积与四边形ABCD的面积之间的数量关系:S阴影=______S四边形ABCD.

18.(24-25九年级上·广东深圳·期中)阅读理解:两个三角形中有一个角相等或互补,我们称这两个三角形

是共角三角形,这个角称为对应角.根据上述定义,判断下列结论,正确的打“”,错误的打“”.

(1)三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形.(_____)

(2)两个等腰三角形是共角三角形.(_____)

问题提出:小明在研究图1的时发现,因为点D,E分别在AB和AC上,所以VADE和VABC是共角三角

SADEADAE

形,并且还发现.以下是小明的证明思路,请.帮.小.明.完.善.证.明.过.程..

SABCABAC

证明:分别过点E,C作EGAB于点G,CFAB于点F,得到图2,

EGAE

AGEAFC,又AA,△GAE∽(),.

_____CF__②___

1

ADEG

SS△ADEGADAESADAE

△ADE2,ADE,即ADE.

S1S△ABCFABACSABAC

△ABCABCFABCABC

2

SADAE

延伸探究:如图3,已知BACDAE180,请你参照小明的证明方法,求证:ADE.

SABCABAC

结论应用:(1)如图4,在平行四边形ABCD中,G是BC边上的点且满足2BGGC,延长GA到E,连接

DE交BA的延长线于F,若AB6,AG5,AE2.5,ABCD的面积为60,则△AEF的面积是.

(2)如图5,ABCD的面积为2,延长ABCD的各边,使BEAB,CF2BC,DG3CD,AH4AD,

则四边形EFGH的面积为.

19.(2023·山东青岛·二模)【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比.

SABDBD

已知,如图1,VABC中,D为线段BC上任意一点,连接AD,则有:.

SACDCD

【模型应用】(1)如图2,任意四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD边的中点,连接CE、AF,若四

边形ABCD的面积为S,则S四边形AECF___________.

(2)如图3,在任意四边形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点,连接

AF、CE,若四边形ABCD的面积为S,则S四边形AECF___________.

(3)如图4,在任意四边形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点,连接

AF、CE,若四边形ABCD的面积为S,则S四边形AECF___________.

【拓展与应用】(4)如图5,若任意的十边形的面积为100,点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是AB、

CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点,连接BL、

DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP,则图中阴影部分的面积是___________.

20.(23-24七年级下·安徽宿州·期末)(1)探索发现:如图1,在VABC中,点D在边BC上,△ABD与△ADC

S1BD

的面积分别记为S1与S2,试判断与的数量关系,并说明理由.

S2CD

(2)阅读分析:小明遇到这样一个问题:如图2,在Rt△ABC中,ABAC,BAC90,射线AM交BC

于点D,点E、F在AM上,且1290,试判断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系.

小明利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.图2中的BF、CE、EF三条线段之间的数量关系为

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