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文档简介
专题12三角形中的重要模型之面积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位,等积变形是中学几何里面一个非常重要的
思想,下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的,也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三
角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型,燕尾模型,鸟头模型,沙漏模型,金字塔模型)进行梳理及对应
试题分析,方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.等积变换基础模型..............................................................................................................................1
模型2.蝴蝶(风筝)模型..............................................................................................................................3
模型3.燕尾(定理)模型..............................................................................................................................5
模型4.鸟头定理(共角定理)模型..............................................................................................................8
模型5.金字塔与沙漏模型............................................................................................................................12
.................................................................................................................................................14
模型1.等积变换基础模型
模型1)等底等高的两个三角形面积相等;
如图,当,则;反之,如果,则可知直线。
1AB//CDS△ACDS△BCDS△ACDS△BCDAB//CD
图1图2图3
模型2)两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如图2,当点D是BC边上的动点时,则SABD∶SADC=BD∶DC。
△△
如图3,当点D是BC边上的动点,BE⊥AD,CF⊥AD时,则SABD∶SADC=BE∶CF。
△△
证明:模型1)如图1,过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。∵AB//CD,∴AE=BF。
11
∵S△CDAE;S△CDBF;∴SS。反之同理可证。
ACD2BCD2△ACD△BCD
模型2)如图2,过点A作AH⊥BC。
11
∵S△BDAH;S△CDAH;∴SABD∶SADC=BD∶DC。
ABD2ACD2
△△
如图3,过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。
11
∵S△ADBE;S△ADCF;∴SABD∶SADC=BE∶CF。
ABD2ACD2
△△
例1.(24-25八年级上·山东德州·阶段练习)如图,若点D是边BC上的点,且BD:CD3:2,则△ABD与
ACD的面积之比为()
A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9
例2.(23-24八年级下·河北沧州·期中)如图,E,F分别是ABCD的边,上的点,AF与相交于
点P,BF与相交于点Q,若△APD的面积为2,BQC的面积为4,�A�BC�D�的面积为26,则�阴�影部是
的面积为𝐷.
例3.(2024·上海浦东新·一模)如图,在VABC中,AB4,AC6,E为BC中点,AD为VABC的角平分
:
线,VABC的面积记为S1,VADE的面积记为S2,则S2S1.
例4.(23-24七年级下·江苏镇江·期中)【探究】如图1,AD是VABC中BC边上的中线,△ABD与ACD的
面积相等吗?请说明理由,
【应用】如图2,点A、B、C分别是BD、CE、AF的中点,且SABC4,则图2中阴影部分的面积为;
【拓展】(1)如图3,VABC中,延长CA至点F,使得AFCA,延长AB至点D,使得BD2AB,延长BC
至点E,使得CE3CB,连接EF、FD、DE,如果S△ABC3,那么S△DEF为.
(2)如图4,VABC中,AB12,AC16,点D、E是BC、AC边上的中点,AD、BE交于点F.若VABC
的面积为S,则四边形DCEF面积为(用含S的代数式表示);四边形DCEF的面积存在最大值,这个值
为.
例5.(23-24八年级下·浙江宁波·期中)规律:如图1,直线m∥n,B,C为直线n上的点,A,P为直线
m上的点.如果A,B,C为三个定点,点P在直线m上移动,那么无论点P移动到何位置,VABC与PBC
_________
的面积始终相等,其理由是___.
应用:(1)如图2,B、C、D三点在同一条直线上,VABC与ECD都是等边三角形,连结BE,AE.若
CD2,BC2CD,求ABE的面积.(2)如图3,已知E,F,G,H是矩形ABCD边上的点,且EF∥AD,
GH∥AB,连结GB交EF于点M,连结交GH于点N,连结DN交EF于点P,连结GP,若四边形AEOG
的面积等于5,求四边形GMNP的面积.��
模型2.蝴蝶(风筝)模型
蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则
四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
1)任意四边形的蝴蝶定理:
如图,结论:①或;②。
1S1:S2S4:S3S1S3S2S4AO:OCS1S2:S4S3
证明:由基础模型)知:;;即故;即。
2S1:S2DO:BOS4:S3DO:BOS1:S2S4:S3S1S3S2S4
由基础模型)知:;即。
2S△ABD:S△BCDOA:OCAO:OCS1S2:S4S3
2)梯形蝴蝶定理:
如图,结论:①22;②222。
2S1:S3a:bS1:S3:S2:S4:SABCDa:b:ab:ab:ab
证明:∵四边形为梯形,∴,∴易证,∴22。
ABCDAD//BCAODCOBS1:S3a:b
同理可证得:222。
S1:S3:S2:S4:SABCDa:b:ab:ab:ab
例1.(23-24八年级上·浙江·阶段练习)如图,任意四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,把△AOB、△AOD、
△COD、BOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4,则下列各式成立的是()
A.S1+S3=S2+S4B.S3S2S4S1C.S1S4=S2S3D.S1S3=S2S4
例2.(23-24九年级上·上海松江·期中)如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,2AB3CD,如果对角线
AC与BD相交于点O,△AOD、△BOA、△COB、△DOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4,那么下列
结论中,不正确的是()
A.2S23S1B.2S23S4C.S1S3D.S1S3S2S4
例3.(2024·四川成都·校考一模)如图,梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为
p2、q2,则梯形的面积为.
例4.(2024·山西·校考一模)阅读与探究请阅读下列材料,完成相应的任务:
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做
凸四边形.凸四边形是我们数学学习中常见的图形,它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成
的两对对顶三角形的面积之积相等.
例如,在图1中,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点О,且ACBD,VAOB,BOC,△COD,
1
OBOA
SOB
△AOD的面积分别为S,S,S,S,则有S·SSS,证明过程如下:12
12341324S1OD
4ODOA
2
任务:(1)请将材料中的证明过程补充完整;(2)如图2,任意凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
分别记VAOB,BOC,△COD,△AOD的面积为S1,S2,S3,S4,求证S1·S3S2S4;(3)如图3,在四边
形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,SAOD4,S△BOC6,SAOB:SCOD1:3,则四边形ABCD的
面积为____________.
模型3.燕尾(定理)模型
条件:如图,在△ABC中,E分别是BC上的点,G在AE上一点。
结论:S1:S2S3:S4(S1+S3):(S2+S4)BE:EC。
证明:由基础模型)知:;;故;
2S3:S4BE:ECSABE:SAECBE:ECS1:S2BE:EC
即S1:S2S3:S4(S1+S3):(S2+S4)BE:EC。
例1.(23-24七年级下·江苏宿迁·期末)(数学经验)三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.
(经验发展)(1)面积比和线段比的联系:如果两个三角形的高相同,则它们的面积比等于对应底边的比,
SACMAM
如图1,VABC的边AB上有一点M,请证明:;
SBCMBM
CD1CE1
(结论应用)(2)如图2,CDE的面积为1,,,求VABC的面积;
AC4CB3
(拓展延伸)(3)如图3,VABC的边AB上有一点M,D为CM上任意一点,请利用上述结论,证明:
SAM
ADC;
SBDCBM
1
(迁移应用)(4)如图4,VABC中,M是AB的三等分点AMAB,N是BC的中点,若VABC的面
3
积是1,请直接写出四边形BMDN的面积:.
例2.(23-24七年级下·宁夏银川·期末)【问题情境】如图1,AD是VABC的中线,VABC与△ABD的面积
有怎样的数量关系?小旭同学在图1中作边BC上的高AE,根据中线的定义可知BDCD.因为高AE相
=
同,所以SABDSACD,于是S△ABC2S△ABD.
据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.
(1)【深入探究】如图2,点D在VABC的边BC上,点P在AD上.
①若AD是VABC的中线,请判断SAPB与SAPC的大小关系,并说明理由.
②若BD3DC,则SAPB:SAPC______.
(2)【拓展延伸】如图3,分别延长四边形ABCD的各边,使得A,B,C,D分别为DH,AE,BF,CG的中
点,依次连接E,F,G,H得四边形EFGH.直接写出S△HDG,SFBE与S四边形ABCD之间的等量关系;_______.
SABDBD
例3.(23-24七年级下·浙江杭州·期中)已知D是的BC边上一点,连结AD,此时有结论,
SACDCD
�𝐴�
请解答下列问题:(1)当D是BC边上的中点时,ABD的面积ACD的面积(填“>”“<”或“=”).
(2)如图1,点D、E分别为AB,AC边上的点,连结CD,BE交于点O,若BOD、COE、BOC的面
积分别为5,8,10,则ADE的面积是(直接写出结论).
(3)如图2,若点D,E分别是的AB,AC边上的中点,且SABC60,求四边形ADOE的面积.可以
用如下方法:连结AO,由ADD�B�得��SADOSBDO,同理:SCEOSAEO,设SBDOx,SCEOy,则SADOx,
112xy30
SAEOy,由题意得SABESABC30,SADCSABC30,可列方程组为:,解得xy20,
22x2y30
可得四边形ADOE的面积为20.解答下面问题:
如图3,D,F是AB的三等分点,E,G是CA的三等分点,CD与BE交于O,且SABC60,请计算四边
形ADOE的面积,并说明理由.
模型4.鸟头定理(共角定理)模型
共角三角形:两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
图1图2
SADAE
(等角型)条件:如图1,在三角形ABC中,D、E分别是AB,AC上的点,结论:ADE。
SABCABAC
SADAE
(互补型)条件:如图2,已知∠BAC+∠DAE=180°,结论:ADE。
SABCABAC
证明:(等角型)如图1,分别过点E,C作EG⊥AB于点G,CF⊥AB于点F,
EGAE
∵∠AGE=∠AFC,又∵∠A=∠A,∴△GAE∽△FAC,∴。
CFAC
1
ADEG
SS△ADEGADAES△ADAE
又△ADE2ADE即ADE。
S1S△ABCFABACS△ABAC
△ABCABCFABCABC
2
(互补型)如图2,过点C作CG⊥AB于G,过点E作EF⊥DA交DA延长线于F,
∴∠EFA=∠CGA=90°,∵∠BAC+∠DAE=180°,∠DAE+∠EAF=180°,
EFCG11
∴∠CAG=∠EAF,∴△CAG∽△EAF,∴,∵S△=DAEF,S△ABC=ABCG,
AEACDAE22
1
SDAEFDAEFDAAE
∴△DAE=2;
1
S△ABCABCGABCGABAC
2
例1、如图,在三角形ABC中,D、E是AB,AC上的点,且AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,三角形ADE的
面积是16平方厘米,则ABC的面积为。
例2.(2023·山西晋中·九年级统考阶段练习)阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补,那么这两个三角形叫做共角三角形,共角三角形的面积比等
于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比,
SADAE
例:在图1中,点D,E分别在AB和AC上,ADE和ABC是共角三角形,则ADE
SABCABAC
△△
证明:分别过点E,C作EG⊥AB于点G,CF⊥AB于点F,得到图2,
EGAE
∵∠AGE=∠AFC,又∵∠A=∠A,∴△GAE∽△FAC,∴
CFAC
1
ADEG
SS△ADEGADAES△ADAE
又△ADE2ADE即ADE
S1S△ABCFABACS△ABAC
△ABCABCFABCABC
2
SADAE
任务:(1)如图3,已知∠BAC+∠DAE=180°,请你参照材料的证明方法,求证:ADE
SABCABAC
S△1AD1
(2)在(1)的条件下,若ADE,,AB9,则AE=.
S△ABC6AC4
例3.(2023·重庆·九年级专题练习)问题提出:如图1,D、E分别在ABC的边AB、AC上,连接DE,已
知线段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d,则SADE,SABC和a,b,△c,d之间会有怎样的数量关系呢?
△△
问题解决:探究一:(1)看到这个问题后,我们可以考虑先从特例入手,找出其中的规律.如图2,若DE
ac
∥BC,则∠ADE=∠B,且∠A=∠A,所以ADE∽△ABC,可得比例式:而根据相似三角形
abcd
△2
SADEa
面积之比等于相似比的平方.可得2.根据上述这两个式子,可以推出:
SABCab
2
SADEaaaacac
2.
SABCababababcdabcd
(2)如图3,若∠ADE=∠C,上述结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;着不成立,请说明理由.
SADEac
探究二:回到最初的问题,若图1中没有相似的条件,是否仍存在结论:?方法回顾:
SABCabcd
两个三角形面积之比,不仅可以在相似的条件下求得,当两个三角形的底成高具有一定的关系时,也可以
1
BDAH
SBD
解决.如图4,D在ABC的边上,做AH⊥BC于H,可得:ABD2.借用这个结论,请
S1DC
ADCDCAH
△2
你解决最初的问题.
延伸探究:(1)如图5,D、E分别在ABC的边AB、AC反向延长线上,连接DE,已知线段AD=a,AB
SADE△
=b,AE=c,AC=d,则.(2)如图6,E在ABC的边AC上,D在AB反向延长线上,连接
SABC
S△
DE,已知线段AD=a,AB=b,AE=c,AC=d,ADE.
SABC
结论应用:如图7,在平行四边形ABCD中,G是BC边上的中点,延长GA到E,连接DE交BA的延长线
于F,若AB=5,AG=4,AE=2,▱ABCD的面积为30,则AEF的面积是.
△
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型沙漏模型
ADAEDEAF22
条件:如图所示,DE//BC;结论:①;②S△:S△AF:AG。
ABACBCAGADEABC
证明:∵DE//BC;易证:△ADE∽△ABC;△ADF∽△ABG;△AFE∽△AGC;
ADAEDEAF
∴;S:SAD2:AB2AF2:AG2。
ABACBCAGADEABC
例1.(2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习)如图,已知点D、E分别是AB、AC边上的点,且
△ADE∽△ABC,面积比为1:9,AGBC交DE于点F.则AF:AG()
A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1
例2.(2023·江苏扬州·二模)如图,D、E分别是VABC的边AB、AC上的点,且DE∥BC,BE、CD相
交于点0,若DOE的面积与△COB的面积的比为4:25,则AD:DB等于()
A.2:3B.2:5C.3:5D.4:25
例3.(2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习)如图,ABC中,DE∥BC,BE与CD相交于点F.如果
DF:FC1:3,那么SADE:SABC等于()
A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8
例4.(2023春·北京海淀·九年级校考开学考试)如图,ABC是等边三角形,被一矩形所截,AB被截成三
等分,EH∥BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形BCGF的面积为()
A.8B.9C.10D.11
1.(2024·贵州·校考一模)如图,梯形ABCD被对角线分成4个小三角形,已知VAOB与BOC的面积分别
为25m2和35m2.那么梯形的面积是()m2.
A.144B.140C.160D.无法确定
2.(24-25八年级上·山东德州·阶段练习)如图所示,VABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的
中点,AD、BE、CF交于一点G,BD2DC,S△GEC3,S△GDC4,则VABC的面积是()
A.25B.30C.35D.40
3.(22-23七年级下·江苏扬州·期中)如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是AB,BC,CD,DA中
点,O是四边形内部一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为8、11、13,四边
形DHOG面积为()
A.10B.11C.12D.13
4.(24-25八年级上·四川德阳·阶段练习)如图,若VABC的面积为a,且点A,B,C分别是EC、AF、BD
的中点,则求阴影部分的面积(用含a的式子表示),()
A.6aB.6.5aC.5.5aD.5a
5.(24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图,在VABC中,AD是BAC的平分线,延长AD至E,使
AB
ADDE,连接BE,VBDE的面积为10,VABC的面积是13,则的值为()
AC
1013
A.B.C.3D.2
310
6.(2023·陕西西安·模拟预测)如图,在VABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,若
CDAD4,则△DCE的面积是()
A.4B.3C.2D.1
7.(2023·江苏·模拟预测)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,AC与BD相交于点
O,则ABO的面积与CDO的面积的比为()
A.1:2B.2:2C.1:4D.2:4
8.(23-24八年级上·天津河东·期中)如图,VABC的两条中线AM,BN相交于点O,已知ABO的面积
为4,BOM的面积为2,则四边形MCNO的面积为()
A.2B.3C.4D.3.5
9.(2024·甘肃酒泉·二模)如图,在平行四边形ABCD中,如果点M为的中点,AM与相交于点N,
=𝐶��
若已知SVDMN4,那么SADN等于()
A.4B.8C.12D.16
10.(23-24九年级·重庆·课后作业)如图,AB为半圆O的直径,弦AD,BC相交于点P,如果CD3,AB4,
那么SPDC:SPBA等于()
A.16∶9B.3∶4C.4∶3D.9∶16
11.(22-23七年级下·江苏南京·期末)如图,在VABC中,D是边AB的中点,E、F分别是边AC上的三等
分点,连接BE、BF分别交CD于G、H点,若VABC的面积为90,则四边形EFHG的面积为.
12.(2024·上海·校考一模)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BC2AD,点F在BC的延长线上,AF与
BD相交于点E,与CD边相交于点G.如果AD2CF,那么DEG与CFG的面积之比等于.
BDaS△ABDa
13.如图1,点D在ABC边BC上,我们知道若,则;反之亦然.如图2,BE是ABC
CDbS△ACDb
AFOE
的中线,点F在边AB上,BE、CF相交于点O,若m,则.
BFOB
14.(23-24九年级上·福建泉州·阶段练习)已知VABC中,AD是BC边上的中线,点G为VABC重心,
GE∥AC,若VABC的面积为12,则△BGE的面积是.
15.(2024·河南郑州·九年级校考期中)如图,矩形EFGH内接于ABC(矩形各顶点在三角形边上),E,F
在BC上,H,G分别在AB,AC上,且ADBC于点D,交HG于点N.(1)求证:△AHG∽△ABC(2)若AD3,
BC9,设EHx,则当x取何值时,矩形EFGH的面积最大?最大面积是多少?
16.(23-24八年级下·湖南永州·期末)课题学习:平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
1
阅读理解:如图1,已知直线ab,直线a,b的距离为h,则三角形ABC的面积为SABh.
△ABC2
(1)【问题探究】如图2,若点C平移到点D,求证:S△AOCS△BOD;
(2)【深化拓展】如图3,记SAOCS1、S△BODS2、S△CODS3、S△BOAS4,根据图形特征,试证明:
S1S2S3S4;
(3)【灵活运用】如图4,在平行四边形ABCD中,点E是线段AD上的一点,BE与AC相交于点O,已知
SVABE10,且EO:EB2:5,求四边形CDEO的面积.
17.(23-24八年级下·山东青岛·期末)问题解决:如图1,VABC中,AF为BC边上的中线,则
SABF______SABC.
问题探究:(1)如图2,CD,BE分别是VABC的中线,SBOC与S四边形ADOE相等吗?
11
解:VABC中,由问题解决的结论可得,SS,SS.
BCD2ABCABE2ABC
∴SBCDSABE∴SBCDSBODSABESBOD即SBOCS四边形ADOE.
(2)图2中,仿照(1)的方法,试说明SBODSCOE.
(3)如图3,CD,BE,AF分别是VABC的中线,则SBOC______SABC,SAOE______SABC,
S△BOD______S△ABF.
问题拓展:(1)如图4,E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点,请直接写出阴影部分的面积与四
边形ABCD的面积之间的数量关系:S阴影=______S四边形ABCD.
(2)如图5,E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点;请直接写出阴影部分的面
积与四边形ABCD的面积之间的数量关系:S阴影=______S四边形ABCD.
18.(24-25九年级上·广东深圳·期中)阅读理解:两个三角形中有一个角相等或互补,我们称这两个三角形
是共角三角形,这个角称为对应角.根据上述定义,判断下列结论,正确的打“”,错误的打“”.
(1)三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形.(_____)
(2)两个等腰三角形是共角三角形.(_____)
问题提出:小明在研究图1的时发现,因为点D,E分别在AB和AC上,所以VADE和VABC是共角三角
SADEADAE
形,并且还发现.以下是小明的证明思路,请.帮.小.明.完.善.证.明.过.程..
SABCABAC
证明:分别过点E,C作EGAB于点G,CFAB于点F,得到图2,
EGAE
AGEAFC,又AA,△GAE∽(),.
_____CF__②___
1
ADEG
SS△ADEGADAESADAE
△ADE2,ADE,即ADE.
S1S△ABCFABACSABAC
△ABCABCFABCABC
2
SADAE
延伸探究:如图3,已知BACDAE180,请你参照小明的证明方法,求证:ADE.
SABCABAC
结论应用:(1)如图4,在平行四边形ABCD中,G是BC边上的点且满足2BGGC,延长GA到E,连接
DE交BA的延长线于F,若AB6,AG5,AE2.5,ABCD的面积为60,则△AEF的面积是.
(2)如图5,ABCD的面积为2,延长ABCD的各边,使BEAB,CF2BC,DG3CD,AH4AD,
则四边形EFGH的面积为.
19.(2023·山东青岛·二模)【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比.
SABDBD
已知,如图1,VABC中,D为线段BC上任意一点,连接AD,则有:.
SACDCD
【模型应用】(1)如图2,任意四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD边的中点,连接CE、AF,若四
边形ABCD的面积为S,则S四边形AECF___________.
(2)如图3,在任意四边形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点,连接
AF、CE,若四边形ABCD的面积为S,则S四边形AECF___________.
(3)如图4,在任意四边形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点,连接
AF、CE,若四边形ABCD的面积为S,则S四边形AECF___________.
【拓展与应用】(4)如图5,若任意的十边形的面积为100,点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是AB、
CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点,连接BL、
DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP,则图中阴影部分的面积是___________.
20.(23-24七年级下·安徽宿州·期末)(1)探索发现:如图1,在VABC中,点D在边BC上,△ABD与△ADC
S1BD
的面积分别记为S1与S2,试判断与的数量关系,并说明理由.
S2CD
(2)阅读分析:小明遇到这样一个问题:如图2,在Rt△ABC中,ABAC,BAC90,射线AM交BC
于点D,点E、F在AM上,且1290,试判断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系.
小明利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.图2中的BF、CE、EF三条线段之间的数量关系为
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