2025年中考数学几何模型综合训练专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分精练（学生版）

专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1双角平分线模型（双内角）..............................................................................................................1

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）..................................................................................................4

模型3.双角平分线模型（双外角）..............................................................................................................6

...................................................................................................................................................9

模型1双角平分线模型（双内角）

双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。

1）两内角平分线的夹角模型

图1图2图3

1

条件：如图1，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：P90A。

2

△11

证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴PBCABC，PCBACB。

22

111

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。

222

2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1

条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。

11

证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴PBCABC，PCBDCB。

22

111

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。

222

即：2∠P=∠A+∠D。

3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2

条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2PABE180。

11

证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴PCDBCD，PDCCDE。

22

∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-1（∠BCD+∠CDE）=180°-1（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠

22

E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。

例1．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC中，点P是ABC内一点，且点P到ABC三边

的距离相等，若BPC124，则A．

例2．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，P是ABC内一点，连接PB，PC．

(1)猜想：BPC与ABP、ACP、A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A69，PB、PC分

别是ABC、ACB的三等分线，直接利用（1）中结论，可得BPC的度数为．

例3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于180，又知道角平分

线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．

如图①，在ABC中，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线．

解决问题：(1)若ABC40，ACB80，则BPC______；（直接写出答案）

(2)若BAC100，求出BPC的度数；

拓展延伸：(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是ABC和DCB的角平分线，直接写出BPC

与AD的数量关系．

例4．（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，

探求BPC与A之间的数量关系；

【基础探究2】（2）如图2，ABC中，BP1、BP2是ABC的三等分线，CP1、CP2是ACB的三等分线，

则BP1C与A之间的数量关系是______；

【基础探究3】（3）如图3，ABC中，BP1、BP2、BP3是ABC的四等分线，CP1、CP2、CP3是ACB的

四等分线，则BP3C与A之间的数量关系是______；

【拓展与探究】（4）如图4，ABC中，BP1、BP2、……、BPn2、BPn1是ABC的n等分线，CP1、CP2、……、

CPn2、CPn1是ACB的n等分线，请用一个等式表示BP1C、BPn1C、A三者之间的数量关系是______；

【探究与应用】（5）ABC中，BP1、BP2、……、BP2023是ABC的2024等分线，CP1、CP2、……、CP2023

是ACB的2024等分线，若BP2C与BP2022C的和是A的7倍，则BP1012C______．

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）

双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。

图1图2

1）一个内角一个外角平分线的夹角模型

1

条件：如图1，在ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：PA．

2

△11

证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴PBCABC，PCDACD。

22

11

∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。

22

2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）

条件：如图2，A，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点P1，P1BC,P1CD的平分线相交于点P2，P2BC，

P2CD的平分线相交于点P3……以此类推；结论：Pn的度数是．

11

证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴PBCABC，PCDACD。

22

11111

∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=

222222

1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，OG平分MON，点A,B是射线OM，ON上的点，连接AB．按

以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；

1

②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；

2

③作射线BE，交OG于点P．若ABN140，MON50，则OPB的度数为（）

A．35B．45C．55D．65

例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，

△

BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

(1)特例探究：如图2，若ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若ABC是等腰三△角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，与∠A度

数的比是△；(2)猜想证明：如图1，ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还

成立？若成立，利用图1证明你的结论；若△不成立，说明理由．

例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）∠ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于

△

点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，…，An1BC的平分线与An1CD的平分线交于点

An．设∠A＝．则A1＝，∠A2021＝．

模型3.双角平分线模型（双外角）

双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。

图1图2图3

1）两外角平分线的夹角模型

1

条件：如图1，在ABC中，BO，CO是ABC的外角平分线；结论：O90A．

2

△△11

证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴OBCEBC，OCBBCF。

22

∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1（∠EBC+∠BCF）=180°-1（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）

22

11

=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。

22

2）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。

证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,

例1．（2023.广东八年级期中）如图，在ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于

点E，则∠AEC＝．△

例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a），BD平分ABC，CD平分ACB.

①当A60时，求D的度数.②猜想A与D有什么数量关系？并证明你的结论.

（2）如图（b），BD平分外角CBP，CD平分外角BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请

你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

例3．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），CBF，ACG是ABC的外角，ACG的平

分线所在直线与ABC的平分线BD交于点D，与CBF的平分线BE交于点E．(1)若A70，则D度；

(2)若A，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿BA作射线BM，连接AD，如图（2）．求证：AD

平分MAC．

例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在ABC中，图1，图2，图3中的ABC的内角平分线或外

角平分线交于点O，△△

（1）如图1，点O是ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．

（2）请直接写出结果．△如图2，若A60，ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；

△

如图3，若A60，ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．

△

1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP

交与点P，若BPC40，则CAP（）

A．45B．60C．50D．55

2．（2023·江苏·八年级统考期末）ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等；A40，

则BOC()

A．110B．120C．130D．140

3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与

∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（）△

A．10°B．15°C．20°D．30°

4．（2023春·广东·七年级专题练习）如图，已知ABC，O是ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、

∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、△∠O四个角之△间的数量关系是（）

A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O

5（.2023.广东七年级期中）在四边形ABCD中，ABC的平分线与BCD的平分线交于点P，若AD，

则P（）

111

A．90B．C．90D．180

222

6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在ABC中，ACBA,BD是角平分线，BE是边AC上

的高，延长BD与外角ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①ABDCBD；②ABEA90；

③G45；④AACB2EBD．其中结论正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

7．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平

分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点△A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平

分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1=；（2）∠An=．

8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE

为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点△E，记BAC1，BEC2，则以下结论①122，

②BOC32，③BOC901，④BOC902，正确的是．（把所有正确的结论的序

号写在横线上）

9．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC中，点P是ABC内一点，且点P到ABC三边的

距离相等，若BPC124，则A．

10．（2023秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在ABC中，ABAC，BAC的平分线与外角BCD的

平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，作射线BM，有下面四个结论：

1

①MCDMAB；②BMCM；③射线BM是EBC的角平分线；④BMC90BAC．

2

所有正确结论的序号是．

11．（2023春·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在ABC中，A70．

(1)分别作B，C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)当B=60时，BOC的度数为．(3)当B时，BOC的度数为．

12．（2023·成都市·八年级专题练习）在ABC中，BAC60，线段BF、CE分别平分ABC、ACB交

于点G．(1)如图1，求BGC的度数；(2)如图2，求证：EGFG；(3)如图3，过点C作CDEC交BF延

长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使DACNGD，若EB:FC1:2，

CG10，求线段MN的长．

13．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在ABC中，BAC50，I是ABC，ACB平分线的交

点．(1)BIC；(2)若D是两条外角平分线的交点，则BDC；(3)在（2）的条件下，若

E是内角ABC和外角ACG的平分线的交点，试探索BEC与BAC的数量关系，并说明理由．

14．（2022春·湖北十堰·七年级统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律，

理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识．

,

如图1，ABC中，BA1CA1分别平分ABC,ACB，且相交于点A1,“勤奋小组”的同学发

1

现:BAC90BAC．证明过程如下:

12

证明:如图2，连接AA1并延长，

则1ABA1BAA1,2ACA1CAA1(依据1)

BA1与CA1分别平分ABC,ACB

11

ABAABC,ACAACB

1212

11

BAC12ABCBAAACBCAA

12121

1111

ABCACBBACABCACBBACBAC

2222

又QABCACBBAC180o，(依据2)

111

BAC180BAC90BAC．

1222

1依据1是___，依据2是__；2如图3，在图1的基础上，作A1BC,A1CB的角平分线BA2,CA2,交于

点A2,试探究BA2C与BAC之间的数量关系．

15．（2023秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1，BD，CD分别是ABC的内角ABC，

1

ACB的平分线，说明D90A的理由．

2

（2）【深入探究】①如图2，BD，CD分别是ABC的两个外角EBC，FCB的平分线，D与A之间

的等量关系是_________；

②如图3，BD，CD分别是ABC的一个内角ABC和一个外角ACE的平分线．BD，CD交于点D，探

究D与A之间的等量关系，并说明理由．

（3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在ABC中，BD，CD分别平分ABC，ACB．M，

N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分MBC，BCN，BF，CF分别平分EBC，

ECQ．若A80，则F的度数是________．

16．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是ABC中ABC和ACB的平分线，

则BOC与A的关系是______（直接写出结论）；

（2）如图2，BO、CO分别是ABC两个外角CBD和BCE的平分线，则BOC与A的关系是______，

请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是ABC一个内角和一个外角的平分线，则BOC与A的关

系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：DOF90，点A、B

分别是射线OF、OD上的动点，ABO的外角OBE的平分线与内角OAB的平分线相交于点P，猜想P

的大小是否变化？请证明你的猜想．

17．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，FDC与ECD分别为△ADC的两个外角．

试探究A与FDCECD的数量关系_____(即列出一个含有A，FDC，ECD的等式，直接写出

答案即可)；

探究二：已知：如图2，在△ADC中，DP,CP分别平分ADC和ACD，求：P与A的数量关系；

探究三：若将探究2中的△ADC改为任意四边形ABCD呢？

即：如图3，在四边形ABCD中，DP,CP分别平分ADC和BCD，试利用上述结论探究P与A+B的

数量关系．

18．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于