初二数学上学期期末基础知识复习建议

初二数学上学期期末基础知识复习建议一．考试范围第十一章全等三角形第十二章轴对称第十三章实数第十四章一次函数第十五章（整式的乘除）因式分解第十六章分式（除分式方程的应用）二.复习建议1.定时间定计划，基础综合两头抓2.梳理各章知识点,使知识系统化3．夯实基础知识、掌握基本方法、熟悉基本题型、提高基本技能4.灵活恰当运用数学思想方法5.优选例题习题、举一反三、提高解题能力6．加强综合题、探究题的练习，培养综合运用知识分析解决问题的能力三．各章复习第十一章全等三角形一．复习内容：全等三角形的概念、性质及判定；三角形全等的证明；角平分线的性质；尺规作图．二．复习重点：三角形全等的证明、利用全等三角形证明线段相等、角相等．三．复习难点：三角形全等的构造．四．基本尺规作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．作已知线段的垂直平分线；5．过一点作已知直线的垂线．五．常用辅助线1．有角平分线，向角两边引垂线或通过翻折构造全等；2．倍长中线法；3．截长补短法；4．利用旋转变换构造全等.六．总结常用证明方法1．证明线段相等的方法①证明两条线段所在的两个三角形全等；②利用等角对等边；=3\*GB3③利用角平分线的性质定理；=4\*GB3④利用线段垂直平分线的性质定理；=5\*GB3⑤创设第三条线段搭“桥”，利用等量代换．2．证明角相等的方法①利用平行线的性质进行证明；②证明两个角所在的两个三角形全等；=3\*GB3③利用角平分线的性质定理的逆定理；=4\*GB3④利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理；=4\*GB3④利用等边对等角；=5\*GB3⑤创设第三个角搭“桥”，利用等量代换．3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义进行证明.七．需要注意的问题1．熟悉证明的步骤和方法，注意“推理要步步有据”，会正确使用“同理可证”；2．会准确运用符号语言来表示推理证明；3．证明思路清楚，书写格式规范．八．例题：ABCDO1（2011区统考）．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使ABCDOA．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′D．∠C=∠C′2．已知：如图,AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件,使△AOB≌△DOC,你补充的条件是____________．ACBDEF3（2009区统考）．如图，小明同学把两根等长的木条、的中点连在一起，做成一个测量某物品内槽宽的工具，此时CD的长等于内槽的宽，这种测量方法用到三角形全等的判定方法是()ACBDEFDCOABA．SSSB．ASAC．DCOAB（3题图）（4题图）（5题图）（6题图）4（2009区统考）．如图，正方形的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点处，该三角板的两条直角边与交于点，与延长线交于点．四边形的面积是（）．Ａ.16

Ｂ．12

Ｃ．8

Ｄ．45（2011区统考）．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AE=CF．6．△ABC中,AB=AC=BC,△DCB中,DC=DB,∠BDC=120,E、F分别为AB、AC上的点,∠EDF=60.求证:EF=BE+CF．7．已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、（1）当绕点旋转到于时（如图1），易证（2）当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．8（2011区统考）．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°—．（1）用含的代数式表示∠APC，得∠APC=______________；（2）求证：∠BAP=∠PCB；（3）求∠PBC的度数．九．巩固练习一．基础知识回顾（一）全等三角形1．定义：_____________________________________2．性质与判定一般三角形直角三角形判定性质（二）角平分线1．性质：______________________________________2．判定：______________________________________注意：能直接用角平分线的性质和判定得到的结论不要再证全等推导．二．利用判断正误进行全等判定的复习1．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等（）2．两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）3．等腰三角形顶角平分线把等腰三角形分成的两个三角形全等（）4．三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形全等（）5．有两条边和一个角分别相等的两个三角形全等（）CACAB7．等底等高的两个三角形全等（）8．三个内角对应相等的两个三角形全等（）9．三条边对应相等的两个三角形全等（）10．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（）（1题图）三．补充习题1．如图，=30°，则的度数为（）． A．20°B．30°C．35°D．40°2题图ABCC1ABCC1A1B13题图A．72°B．60°C．58°D．50°3．如图，若，且，，则的度数为．B1CBAC1344．已知△ABC中，AB=BC≠ACB1CBAC1345．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A．56B．68C．124D．1806．如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对 D．5对第7题图第8题图第9题图8．如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB＝OE．9．（1）求证：AE=BE；（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．10．如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．DCADCABEF第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF．求证：BD=CD．12．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：≌△CAD；EDCBAEDCBA13．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．14．如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：CEBAFDCEBAFD③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①③④D．③④⑤15．在△ABC中，∠ACB=，于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．16．数学课上，张老师提出问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．AADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3第十二章轴对称一．复习内容：轴对称、轴对称图形、轴对称应用、用坐标表示轴对称；线段垂直平分线的概念及其性质；等腰三角形、等边三角形的有关概念、性质以及判定方法．二．复习重点难点：轴对称应用；等腰三角形、等边三角形的性质及判定在综合题中的的应用．三．思想方法1．对称思想：利用轴对称可创造平衡、和谐、完美，是探索图形性质及发现图形关系的手段之一，利用轴对称常可巧妙解决有关问题．2．转化思想：解决轴对称问题、进行轴对称作图、设计图案等，都可转化为点与点之间的轴对称问题．另外根据轴对称的性质可将“线段之和最小”的问题转化为两点之间的最短距离问题．3．分类讨论思想：在涉及等腰三角形的边或角问题时，常常需分情况讨论，且根据三角形三边关系或三角形内角和为检验是否成立．4．构造思想：添加辅助线构造线段垂直平分线性质的基本图形，构造等腰三角形或构造等腰三角形性质的基本图形可巧妙解决有关问题．四．考点要求1．掌握轴对称的性质；2．通过画图、折纸、剪纸、度量等实验活动“做数学”，探索发现几何结论；3．理解和掌握线段垂直平分线及性质；4．理解轴对称变换；5．利用轴对称的性质探索图形的性质；6．掌握等腰三角形性质与判定的应用．五．需要注意的几个问题（一）等腰三角形中的分类讨论1．①等腰三角形的一个角是110°，求其另两角？②等腰三角形的一个角是80°，求其另两角？③等腰三角形两内角之比为2：1，求其三个内角的大小？2．①等腰三角形的两边长为5cm、6cm，求其周长？②等腰三角形的两边长为10cm、21cm，求其周长？3．①等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm和21cm两部分，求其底边长？②等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm和27cm两部分，求其底边长？4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为_______.(按高的位置分类)5．等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则其顶角为___________.6．等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则其顶角为___________.7．等腰三角形一边上的高等于这边的一半，则其顶角为___________.8．⊿ABC中，AB=AC，AB的中垂线EF与AC所在直线相交所成锐角为40°，则∠B=_____.（按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类）9．已知为等腰三角形，问满足条件的点有几个？（4）10．在正方形ABCD所在平面上找一点P，使⊿PAD、⊿PAB、⊿PBC、⊿PCD均为等腰三角形，这样的P点有几个？（9个）（二）轴对称的作图作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；已知两图形轴对称，求作其对称轴（两种方法）；最短路径（周长）、入射角等于反射角的问题．（1）直线同侧两点到直线上哪个点的距离之和最短（三角形周长最小）；（2）一个点到两条线上的点的距离之和最短（三角形周长最小）；（3）两个点到两条线上的点的距离之和最短（四边形周长最小）；（4）反射光线经过某定点（台球击球方向）的问题.1题图1（2011区统考）．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_________°．2．已知两点M（4，2），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为___________．3．如图，P、Q为边上的两个定点.在BC边上求作一点M,使PM+Q最短.4．已知：如图，牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群到草地吃草，再到河边饮水，最后回到营地M.请在图上画出最短的放牧路线.6题图图6题图图5题图图4题图5题图图4题图5．如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.6．如图，四边形EFGH是一长方形的台球桌面，现在黑、白两球分别位于A、B两点的位置上.试问怎样撞击黑球A，才能使黑球A先碰到球台边EF，反弹后再击中白球B？7．在平面直角坐标系中，点P（2，3）、Q（3，2）请在x轴和y轴上分别找到M点到N点，使四边形PQMN的周长最小，在图上作出M点N和点并求出M点和N点的坐标.8．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，3），直线x=3,一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E）,再到达直线x=3上某点（设为点F）最后运动到点A，求使点P运动的路径中最短的点E、F的坐标.（三）注意对线段中垂线与角平分线进行比较1．两者所涉及的“距离”不同：前者是两点间的距离；后者是点到直线的距离.2．线段的中垂线是直线，由“线段两端点距离相等”的两点确定；角平分线是射线，由角的顶点和“到角两边距离相等”的一点确定.3．到三角形的三个顶点距离相等的点只有一个；到三角形三边距离相等的点有四个.（四）轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题，解这类问题的关键是利用图形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题获解．注意：经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变．六．巩固练习一．基础知识回顾1．轴对称性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的．轴对称图形的对称轴是．2．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个距离．3．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离的点，在这条线段的．4．作轴对称图形：几何图形都可以看作由组成，只要分别作出这些关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．5．用坐标表示轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的的坐标是；关于y轴对称的点的的坐标是．6．等腰三角形的性质1：如果一个三角形有两相等，那么这两所对的角也相等（简写成“”）．7．等腰三角形的性质2：等腰三角形顶角的平分线与互相重合．8．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两相等，那么这两所对的边也相等（简写成“”）．9．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于．10．等边三角形的判定1：三个角都的三角形是等边三角形．11．等边三角形的判定2：有一个角是的三角形是等边三角形．12．直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的_________边等于__________的__________．二．补充习题1．（1）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）．A． B． C．D．（2）（2011区统考）下列四个交通标志中，轴对称图形是（）．A．B．C．D．（3）请同学们写出两个具有轴对称性的汉字．2．（1）在下列对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）．A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形（2）角的对称轴是．（注：易错点——对称轴是直线）3．（1）如图，△ABC与关于直线l对称，且∠A=98°，∠C`=28°，则∠B的度数为（）．A．48° B．54° C．74° D．78°（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则（）．A．40°B．30°C．20°D．10°（3）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A´处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．3（1）图3（2）图3（3）图4．在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．ABC（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是（填字母代号）；（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，画出草图（画出一种即可）．5．在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．6．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路，点M、N表示大学，OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．7．（1）点P（3，-5）关于轴对称的点的坐标为（）A．（－3，－5）B．（5，3）C．（－3，5）D．（3，5）（2）如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）CAOBA． B． C． D．CAOB（3）图为的正方形网格，点在格点上．在图中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（4）如图，在正方形网格纸上有一个△ABC.①作△ABC关于直线MN的对称图形；②若网格上最小正方形边长为1，求△ABC的面积．（5）如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=－1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．第7（3）题图第7（4）题图第7（5）题图8．=1\*GB3①等腰三角形的一边长10cm，一边长是6cm，则它的周长为．=2\*GB3②等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则它的另两边长分别为．=3\*GB3③等腰三角形ABC中，AB＝2BC，且三角形周长为40，则AB长为．9．=1\*GB3①已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数．=2\*GB3②已知等腰三角形有一个内角为30°，求其余两个内角的度数．10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数．11（2011区统考）．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C为（）．A．25°B．35°C．40°D．50°12（2009区统考）．在平面直角坐标系xOy中，已知两点，且.以AB为一边，作底角为30°的等腰△ABC.（1）符合题意的点C有个；（2）写出其中两个C点的坐标.13（2011区统考）．如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=4，点E是折线段A—D—C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，能使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）．A．2个B．3个C．4个D．5个14．已知等腰的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是．15（2011区统考）．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=，则DE=_________．第15题图第16题图第17题图16（2011区统考）．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=_______cm．AFBCDE17（2011区统考）．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AFBCDE18．如图，已知直线且则等于（）A．B．C．D．19．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）．A．30oB．40oC．45oD．36o（2）如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（）A． B． C． D．BADCBADC第23题图第19（1）题图第19（2）题图20．在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．21．（1）直线l同侧有两点A、B，在直线l上取一点P，使得点P到A、B距离之和最小．（2）已知A（-1，2）和B（-3，-1）．试在y轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标．22．直线l异侧有两点A、B，在直线l上取一点P，使得点P到A、B距离之差的绝对值最小．23．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．24．如图，P是正方形ABCD平面上的一点，并且△PAB是等边三角形，△PAD，△PBC，△PCD均为等腰三角形，则与此完全类似的以正方形的一边为底边或腰，以点P为顶点构成的四个等腰三角形中，有一等边三角形，那么这样的点P共有多少个？25．在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算）．第24题图第25题图第26题图26．如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使，（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．27．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．第十三章实数一．复习内容：算术平方根、平方根、立方根的概念；无理数和实数的概念；实数的相反数、绝对值、比大小；无理数的估算；实数的混合运算．二．复习重点：算术平方根、平方根、立方根的概念；实数的混合运算．三．需要注意的问题：1．平方根与算术平方根的区别与联系:区别：(1)定义不同；(2)个数不同；(3)表示方法不同联系：(1)具有包含关系；(2)存在条件相同；(3)0的平方根、算术平方根均为0.2．平方根与立方根的区别与联系:区别：(1)定义不同；(2)表示方法不同；(3)性质不同联系：(1)定义方式相同；(2)开平方、开立方都是乘方运算的逆运算.3．对于式子，，（a≥0）的理解.4．及时总结三种重要非负数：，，(a≥0).5．两个重要公式：；.6．被开方数的小数点和它的算术平方根小数点的移动规律：被开方数的小数点向右（或向左）移2n位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移n位；被开方数的小数点向右（或向左）移3n位，其立方根的小数点向右（或向左）移n位.（n是正整数）．7．会对无理数估值．8．教会学生审清题目．例：的算术平方根是；的平方根是；的平方根是；的立方根的相反数是；的平方的立方根为；的算术平方根的平方根是_____.四．巩固练习一、基础知识回顾1．平方根定义：____________________________________算术平方根定义：____________________________________2．立方根定义：____________________________________3．实数分类：（1）按定义分：（2）按性质符号分：4．_________与数轴上的点一一对应．二．分类补充习题（一）平方根、立方根1．16的平方根是，的算术平方根是，的算术平方根是，．2．的相反数是，的相反数是，的相反数是．3．下列运算正确的是（）．A． B． C． D．2．4（2011区统考）．下列说法中，正确的是（）．A．5是25的算术平方根B．的平方根是C．是64的立方根D．9的立方根是35（2009区统考）．下列说法中，正确的是（）.A．0.4的算术平方根是0.2B．16的平方根是4Ｃ．的立方根是±4Ｄ．的立方根是（二）实数与数轴6．在下列实数中，无理数是（）．A． B． C． D．7（2011区统考）．在，，，，这五个实数中，无理数是_______________．8．下列说法正确的是（）．A．无限小数是无理数B．不循环小数是无理数C．无理数的相反数还是无理数D．两个无理数的和还是无理数9．实数在数轴上的位置如图所示，0则下列各式正确的是（）．0A． B． C． D．10．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是．11．若实数满足，则．12．若，则的取值范围为（）．A． B． C． D．（三）估算和比较0123401234PＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．14．的整数部分是．15．比较大小：716．已知正方形和圆的面积均为．求正方形的周长和圆的周长（用含的代数式表示），并指出它们的大小．17．比较的大小，正确的是（）．A． B．C． D．AOBCD18．下列四个数中，AOBCDA． B． C．0 D．19．如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点为圆心，且，那么周长是接近的圆是（）．A．以为半径的圆 B．以为半径的圆C．以为半径的圆 D．以为半径的圆20．如图，在数轴上点和点之间表示整数的点有 个．19题图21．估计的大小应在（）之间．A．9.1～9.2B．9.2～9.3C．9.3～9.4D．9.4～9.520题图22．已知为整数，且满足，则．23．估算的值是在（）．A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间24．估算的值在（）．A．7和8之间B．6和7之间C．3和4之间D．2和3之间（四）计算25（2011区统考）．26．27．28．29．30．31．（π－3）0－|eq\r(5)－3|＋（－eq\f(1,3)）－2－eq\r(5)32．33．计算第十四章一次函数一．复习内容：常量和变量；函数的概念；自变量取值范围的确定；函数值；函数图象及画法；函数图象的应用；函数的三种表示方法；正比例函数图象及性质；一次函数图象及性质；一次函数解析式的确定；一次函数的应用；用函数观点看方程、方程组、不等式．二．复习重点：函数的概念；函数图象的应用；自变量取值范围的确定；一次函数图象及性质；一次函数解析式的确定；一次函数的应用．三．复习难点：一次函数的综合应用；用函数观点看方程、方程组、不等式．四．关于确定一次函数解析式的类型①定义型例1.已知函数是一次函数，求其解析式.②点斜型例2.已知一次函数的图象过点（2，－1），求这个函数的解析式.变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式．③两点型例3．已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________.④图象型例4.已知一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为______.⑤斜截型4题图例5.已知直线与直线平行，且它与y轴的交点到原点的距离为2，则此直线的解析式为_______.⑥平移型例6.把直线向下平移2个单位得到的图象解析式为__________.⑦实际应用型例7.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为__________.⑧面积型例8.已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________.⑨对称型若直线与直线关于（1）x轴对称，则直线l的解析式为__________（）（2）y轴对称，则直线l的解析式为__________（）（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为__________()（4）直线对称，则直线l的解析式为___________（）（5）原点对称，则直线l的解析式为____________（）例9.若直线l与直线关于y轴对称,则直线l的解析式为______.⑩开放型例10.已知函数的图象过点A（1，4），请写出满足条件的一个函数解析式.例11（2009区统考）．如果某函数具有下列两条性质：（1）它的图象是经过原点的一条直线；（2）值随值的增大而增大.请写出一个满足上述两个条件的函数的解析式．五．需要注意的几个问题：1．关注实际问题背景，能够找出问题中相关变量之间的关系.2．用函数分析解决实际问题，能借助函数图象、表格、式子等寻找变量之间的关系.3．分段函数的问题，要特别注意相应的自变量变化区间.4．注意渗透数形结合思想，关注知识之间的内在联系，用一次函数把一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组统一起来认识.六．巩固练习一．基础知识回顾（一）变量和函数1．函数的概念一般地，在一个过程中，如果有两个变量x和y，并且对于的，那么我们就说x是自变量，y是．2．函数的三种表示方法（1）用数学式子表示函数关系的方法叫做；（2）通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做；（3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的作为点的，在平面直角坐标系内，由这些点，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做．（二）一次函数1．一次函数的概念：一般地，形如的函数，叫做一次函数．特别地，当时，即为，称y是x的函数．2．一次函数的图象和性质（1）正比例函数的图象是；一次函数的图象是一条经过点（0，）和点（，0）的直线，一次函数的图象也称为．（2）对于一次函数及其图象：一次函数（）示意图函数和图象的性质图象经过第象限，y随x的增大而；图象经过第象限，y随x的增大而；00图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而；00图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而；图象经过第象限，y随x的增大而．图象经过第象限，y随x的增大而．（3）平移关系：当时，直线可以通过直线向平移个单位长度得到；当时，直线可以通过直线向平移个单位长度得到．当直线时，，；当直线与相交于y轴同一点时，，．3．一次函数与一次方程(组)、一次不等式（1）解一元一次方程可以转化为：求直线与x轴（直线）交点的坐标．（2）解二元一次方程组可以转化为：求直线与的交点的坐标．（3）解不等式可以转化为：观察直线在直线的方部分所对应的的取值范围；或者观察直线在上方部分所对应的的取值范围．二．分类补充习题（一）函数的概念1．根据流程右边图中的程序，当输入数值x为－2时，输出数值y为（）．A．4B．6C．8D．102．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第2次得到的结果为12，……，请你探索第2009次得到的结果为_______________．3．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量与大气压强成正比例关系．当时，，则与的函数关系式．4．周长为18的等腰三角形的腰长为x，底边长为y，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．5．下列函数：①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是．6（2011区统考）．用长为4cm的根火柴可以拼成如图1所示的个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的个边长都为4cm的平行四边形，那么用含的代数式表示，得到______________________．图2图1图2图1（二）求函数自变量的取值范围7（2009区统考）．函数中，自变量x的取值范围是.8．函数中，自变量的取值范围是．9．函数中自变量x的取值范围是．（三）函数图象的应用10．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A—B—C—D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）．DDCBPAAx1．523Ax1．52380120BCD4．5OEy过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/小时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．其中正确的说法共有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个12．某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）．A．45.2分钟B．48分钟C．46分钟D．33分钟13（2011区统考）．王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)王鹏在图书馆查阅资料的时间为______分钟，王鹏返回学校的速度为_________千米/分钟；(2)请求出李明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；(3)当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?（四）一次函数的图象和性质14．如果点M在直线上，则M点的坐标可以是（）．A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，－1）15．一次函数中，的值随的增大而减小，则的取值范围是（）．A． B． C． D．16．在平面直角坐标系中，直线经过（）．A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限17．如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（）．A．， B．， C．， D．，18（2011区统考）．当时，函数的图象不经过（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19．一次函数中,函数值y随x的增大而减小,且其图象不经过第一象限,则k的取值范围是（）．A．B．C．D．20（2011区统考）．点A（）和B（）都在直线上，则与的关系是（）．A．B．C．D．21（2011区统考）．已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）．A．B．C．D．22（2011区统考）．已知直线与直线平行，且经过点（1，1），则直线可以看作由直线向_______平移_______个单位长度而得到．OxOxyAB2（五）根据已知条件确定一次函数解析式23．若正比例函数图象过点（，），则该其解析式为___________．24．如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，O12O1234Axy12A． B． C．D．25．如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是．26．将直线y＝2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）．A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝2（x－2）D．y＝2（x＋2）27．已知一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为8，求一次函数的解析式．28．已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点．直线l经过原点，与线段AB交于C点，且把△ABO的面积分为1∶2两部分，求直线l的解析式．29（2009区统考）．如图，一张正方形的纸片，边长为14cm，剪去两个形状、大小完全相同的小矩形得到一个“日”字图案．已知剪下的两个矩形的周长总和为40，且“日”字图案中各笔画的宽度均不小于2cm.设每个小矩形的长为cm，宽为cm，则与的函数图象（）.yy/cmx/cmy/cmx/cmy/cmx/cmy/cmx/cm23yxOA．B．23yxO(六)用函数观点看方程（组）与不等式30．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）．A． B． C． D．02－4xy31．已知函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）02－4xyA． B． C． D．32．一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．3xyO34OBAAxyO333．直线xyO34OBAAxyO332题图33题图34题图35题图34．如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的解集为．35．如图所示的是函数与的图象，求方程组的解关于x轴对称的点的坐标是．36（2009区统考）．如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①；②；③对于直线上任意两点、，若，则；④是不等式的解集．其中正确的结论是（）．A．①②

B．①③

C．①④

D．③④(七)一次函数与几何有关问题37．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴正方向所夹的锐角为60度，A坐标为（2，0），点B在x轴上方，设AB=a，那么点B的横坐标为（）．A．B．C．D．38．直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）．A．4个B．5个C．7个D．8个39．如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为－1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分面积的和是（）．A．B．C．D．图12O5xABCPD图240．如图1，在直角梯形中，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是（）．图12O5xABCPD图2A．3 B．4 C．5 D．641．如图，直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B，直线CD：y=x+b分别与x轴、y轴交于点C、点D．直线AB与CD相交于点P，已知=4，则点P的坐标是（）．A．（3，） B．（8，5）C．（4，3）D．（，）42．已知平面直角坐标直线（）与直线（）交于点（）．（1）求直线（）的解析式；（2）若直线（）与另一直线交于点B，且点B的横坐标为，求△ABO的面积．(八)一次函数的应用问题43．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？yOx（千克）51010yOx（千克）5101020304050601520（元）（1）求降价前销售收入（元）与售出草莓重量（千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？45．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图所示．（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？ABCDOy/km90012x/h446．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，ABCDOy/km90012x/h4根据图象进行以下探究：信息读取:（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解:（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决:（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？47．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用（元）关于（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．48．某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0．3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费．（1）如果该单位要印刷2400份，那么甲印刷厂的费用是，乙印刷厂费的用是．（2）根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？49．某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车辆，租车总费用为元．甲种客车乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）280200（1）求出（元）与（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？50．抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨．从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）（1）若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式；（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ACBPEFQ51．已知：在平面直角坐标系xoy中，点A（0，4）、点B和点C在x轴上（点B在点C的左边），点C在原点的右边，作BE⊥AC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点ACBPEFQ（1）求点B的坐标；（2）设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．52．已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的一动点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q．设BP=x，AQ=y．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；OABCMN53．在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点.OABCMN（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.第十五章因式分解一．复习内容：知道什么是因式分解，会用提公因式法、公式法、十字相乘法（二次项系数是1）、简单的分组分解法进行因式分解．二．复习重点：会用提公因式法、公式法进行因式分解．三．需要注意的问题：1．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，理解公式的意义，正确运用公式；2．用公式法分解因式，直接用公式不要求超过两次；3．因式分解的注意事项：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”.四．因式分解的应用1．利用因式分解进行巧算；2．利用因式分解进行化简求值；3．因式分解在几何问题和实际问题中的运用．五．分类补充习题（一）因式分解的概念1．因式分解是将一个多项式表示为的形式．因式分解因式分解整式乘法2．因式分解与整式乘法的关系p2q2（p+q）（pq）．3．下列变形是因式分解的是（）．A．B．C．D．（二）因式分解的基本方法4．因式分解：（1）（2011区统考）(2)(m+2)22(m+2)（3）n2(m－2)+2-m (4)81m4n4(5)(x+1)2(y3)2 (6)4(x+y)216(ab)2(7)(x2+y2)24x2y2 (8)64m2n2(m2+16n2)2(9)(x2+3x)2(2x+6)2 (10)a4(a41)a4+15（2009区统考）．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式：■=（▲）中的两个数字盖住了，那么式子中的■、▲处对应的两个数字分别是（）．Ａ.64，8Ｂ．24，3

Ｃ．16，2

Ｄ．8，1

6．因式分解：(1) (2)x42x2+1(3)（2011区统考） (4)（2009区统考）(5)9x2mxy+16y2是一个完全平方式,则m的值为________(6)x2+bxy+ay2=(x3y)2,则a=________,b=_______7．因式分解：(1)x2+5x+6(2)x25x+6(3)x2+5x6 (4)x25x6(5)x2+7x+6(6)x2+x6(7)x27x+(8)x2x6(9)x2y2+xy2 (10)a24ab+3b2(11)x47x218(12)6x25xy6y2(13)(x23x)22(x23x)8 (14)(x+y)2+4(x+y)218．因式分解：(1)3ax4by4ay+3bx (2)3a3+6a2b3a2c6abc(3)a2b2+ab (4)x2a2+2abb2（三）因式分解的应用9.计算：（1）502×498=；（2）．10（2011区统考）．已知：，求的值．11．（1）若非零实数a、b满足，则．（2）如果x、y满足等式，那么x+y=．（3）试说明x、y无论取何值，多项式的值总是正数．12．已知：a、b、c是三角形的三边，试比较与的大小．13．已知a、b、c是的三边长，且满足，求中最大边c的取值范围．14．请同学们观察，，……（1）写出表示一般规律的等式；（2）根据所总结的规律计算……．第十六章分式一．复习内容：分式的概念；分式有意义的条件；分式值为零、为正、为负的条件；分式的基本性质（分式的符号法则；分式的约分、通分）；分式的乘除法运算；分式的乘方运算；分式的加减法运算；分式的混合运算；分式方程的解法和对增根的理解．二．复习重点：分式的基本性质、分式的混合运算、分式方程的解法．三．主要数学思想方法：1．类比思想；2．转化思想．四．巩固练习一、基础知识回顾（一）分式的概念1．一般地，如果A、B表示两个，并且B中，那么式子叫做分式．2．分式有意义的条件是；分式的值为零的条件是分子，分母．（二）分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个，分式的值．用式子表示为：，（其中A、B、C是整式，）．2．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何个，分式的值不变，可简记为“三变二，值不变”．3．通分：根据分式的基本性质，分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值．把几个异分母的分式化成，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定各分母的．最简公分母用下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的；（2）最简公分