职高指数函数试题及答案

职高指数函数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[25]分）

1.函数\(y=2^x\)的图像在下列哪个象限？

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则当\(a\)取值在下列哪个区间时，函数图像在第一象限？

A.\(0<a<1\)

B.\(1<a<2\)

C.\(a>2\)

D.\(a=2\)

3.函数\(y=3^x\)的图像经过下列哪个点？

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(2,9)

D.(3,27)

4.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则当\(x\)增大时，函数值的变化趋势是？

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

5.函数\(y=2^x\)的反函数是？

A.\(y=\log_2x\)

B.\(y=\log_3x\)

C.\(y=\log_4x\)

D.\(y=\log_5x\)

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

6.函数\(y=2^x\)的定义域是______，值域是______。

7.函数\(y=3^x\)的单调性是______。

8.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则当\(x\)从负无穷大到正无穷大时，函数值的变化趋势是______。

9.函数\(y=2^x\)的图像与\(y=3^x\)的图像在______象限相交。

10.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则当\(a\)取值在______时，函数图像在第二象限。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.已知函数\(y=2^x\)，求\(y\)在\(x=3\)时的函数值。

12.若函数\(y=a^x\)在第一象限内单调递增，求\(a\)的取值范围。

13.函数\(y=3^x\)的图像与直线\(y=kx+b\)相切于点\((2,9)\)，求\(k\)和\(b\)的值。

四、应用题（每题[10]分，共[20]分）

14.某公司年销售额\(y\)（单位：万元）与广告投入\(x\)（单位：万元）之间的关系近似为指数函数\(y=a^x\)，已知当\(x=1\)时，\(y=4\)，当\(x=2\)时，\(y=16\)。求该公司的年销售额与广告投入之间的关系式。

15.某产品销售价格\(P\)（单位：元）与销售量\(Q\)（单位：件）之间的关系近似为指数函数\(P=a^Q\)，已知当\(Q=1\)时，\(P=100\)，当\(Q=2\)时，\(P=400\)。求该产品的销售价格与销售量的关系式，并计算当销售量为5件时的销售价格。

五、证明题（每题[10]分，共[20]分）

16.证明：对于任意实数\(x_1\)和\(x_2\)，若\(x_1>x_2\)，则\(2^{x_1}>2^{x_2}\)。

17.证明：对于任意实数\(x\)，函数\(y=3^x\)的导数\(y'=3^x\ln3\)。

六、综合题（每题[10]分，共[20]分）

18.已知函数\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图像经过点\((1,2)\)和\((3,8)\)，求函数的解析式。

19.函数\(y=2^x\)的图像与直线\(y=-x+3\)相交于点\(A\)和\(B\)，求点\(A\)和\(B\)的坐标。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A

解析：函数\(y=2^x\)的图像位于第一象限，因为当\(x\)为任意实数时，\(2^x\)始终大于0。

2.A

解析：当\(0<a<1\)时，指数函数\(y=a^x\)的图像在第一象限，因为\(a\)的值小于1，使得\(a^x\)随\(x\)增大而减小，但始终为正。

3.B

解析：函数\(y=3^x\)的图像经过点\((1,3)\)，因为\(3^1=3\)。

4.A

解析：当\(x\)增大时，\(a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的值随\(a\)的增大而增大，随\(a\)的减小而减小。

5.A

解析：函数\(y=2^x\)的反函数是\(y=\log_2x\)，因为\(2^{\log_2x}=x\)。

二、填空题答案及解析：

6.定义域：\((-\infty,+\infty)\)；值域：\((0,+\infty)\)

解析：指数函数\(y=2^x\)的定义域为所有实数，值域为正实数。

7.单调递增

解析：函数\(y=3^x\)的单调递增性可以从\(3^x\)的导数\(y'=3^x\ln3\)得出，因为\(\ln3>0\)。

8.随\(x\)增大而增大

解析：当\(x\)从负无穷大到正无穷大时，\(a^x\)的值随\(a\)的增大而增大。

9.第一象限

解析：函数\(y=2^x\)和\(y=3^x\)的图像都在第一象限相交，因为\(2^x\)和\(3^x\)都在\(x\)为正数时为正。

10.\(0<a<1\)

解析：当\(0<a<1\)时，指数函数\(y=a^x\)的图像在第二象限。

三、解答题答案及解析：

11.\(y=2^3=8\)

解析：直接将\(x=3\)代入函数\(y=2^x\)中计算。

12.\(a>1\)

解析：由于\(y=a^x\)在第一象限内单调递增，所以\(a\)必须大于1。

13.\(k=-\frac{1}{2}\)，\(b=\frac{5}{2}\)

解析：由相切条件\(3^x=-x+3\)得\(3^x+x-3=0\)，解得\(x=1\)，代入得\(k=-\frac{1}{2}\)，再代入得\(b=\frac{5}{2}\)。

四、应用题答案及解析：

14.\(y=4^x\)

解析：由题意得\(4^1=4\)，\(4^2=16\)，所以\(a=4\)，函数关系式为\(y=4^x\)。

15.\(P=2^Q\)，\(P=32\)元

解析：由题意得\(2^1=100\)，\(2^2=400\)，所以\(a=2\)，函数关系式为\(P=2^Q\)，当\(Q=5\)时，\(P=2^5=32\)元。

五、证明题答案及解析：

16.证明：

解析：由于\(2^{x_1}>2^{x_2}\)等价于\(2^{x_1}-2^{x_2}>0\)，且\(2^{x_1}-2^{x_2}=2^{x_2}(2^{x_1-x_2}-1)\)，因为\(2^{x_1-x_2}>1\)（\(x_1>x_2\)），所以\(2^{x_1-x_2}-1>0\)，从而\(2^{x_1}-2^{x_2}>0\)。

17.证明：

解析：由于\(y=3^x\)的导数\(y'=3^x\ln3\)可以通过链式法则和指数函数的导数公式得出。

六、综合题答案及解析：

18.\(y=2^x\)

解析：由题意得\(2^1=2\)，\(2^3=8\)，所以\(