试验统计方法 8.第六章方差分析学习资料

第五节两向分组资料的方差分析观察值可以从A（因素）和B（因素）两个方向进行分组，A因素的每个水平与B因素的每个水平平衡相遇。此类资料又称为交叉分组资料。若A因素有a个水平，B因素有b个水平，则共有ab个处理。按每个处理是否有重复观察值可分为两种情况。

一、组内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析

对于A、B两个试验因素的全部ab个处理组合，每个处理组合只有一个观测值，全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表所示。无重复观察值的两向分组试验数据模式A因素B因素总和平均数B1B2…BbA1x11x12…x1bT1.A2x21x22…x2bT2.┋┋┋…┋┋┋Aaxa1xa2…xabTa.总和T.1T.2…T.bT平均数…每一观察值的线性可加模型为因此全部ab个观测值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。平方和的计算公式为：相应的自由度:相应的均方:两向分组单个观察值的方差分析表【例题】将一种生长素配成M1、M2、M3、M4、M5五种浓度，并用H1、H2、H3三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗45天后得各处理的平均干物质重（g）。试作方差分析与多重比较。激素处理对大豆干物重的影响浓度（A）时间（B）H1H2H3M1M2M3M4M51312310214123951413310441379291113.6712.333.009.673.674043441278.08.68.88.47（1）平方和与自由度的分解：自由度的计算激素处理对大豆干物重影响的方差分析（2）F测验：不同时间处理的方差不显著；不同浓度处理间有极显著的差异，需进一步作多重比较。变异来源

dfSSMSFF0.05F0.01浓度间（A）时间间（B）误差总变异42814289.061.734.94295.7372.270.870.62116.56**1.403.844.467.018.65（3）处理间比较（SSR法）不同浓度大豆干物重多重比较SSR和LSR值P2345SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.264.751.482.163.404.941.552.253.485.061.582.303.525.141.602.34不同激素浓度大豆干物重差异显著性测验浓度平均数差异显著性α=0.05α=0.01M113.67aAM212.33aAM49.67bBM53.67cCM33.00cC（4）结果表明：除M1与M2、M5与M3之间差异不显著外，其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。5种激素浓度中，以M1和M2的处理效果较好。A因素因素B总和B1B2…BbA1x11x12…x1bT1.A2x21x22…x2bT2.┋┋┋…┋┋Aaxa1xa2…xabTa.总和T.1T.2…T.bT全试验共有ab个观测值，每个处理组合只有一个观测值，无法正确估计试验误差。估计的试验误差包含A、B两因素的互作效应。在进行多因素试验时，除了研究每一因素对试验指标的影响外，往往更希望研究因素之间的交互作用。例如，通过对新品种的密度、施氮肥量、施磷肥量等技术措施对产量的影响，以及有无交互作用的研究，最终确定最优的栽培技术措施，有利于发挥新品种的增产作用。上面介绍的两因素单个观测值的试验，因为处理组合只有一个观测值，交互作用与误差混在了一起，所以无法将交互作用的方差与真正的试验误差区分开来。二、有重复观察值的两向分组资料的方差分析

设A与B两因素分别具有a与b个水平，共有ab个组合，每个组合有n次重复，则全试验共有abn个观测值。这类试验结果的数据模式如下表所示。两因素有重复观测值试验数据模式A因素B因素总和Ti..平均B1B2…BbA1X111X112…x11nX121X122…x12nX1b1X1b2…x1bnT1.......................AaXa11Xa12…xa1nXa21Xa22…xa2nXab1Xab2…xabnTa..总和T.j.T.1.T.2.T.b.T平均两因素有重复观测值试验资料的数学模型为:

其中，

为总平均数；

αi

为Ai的效应；

βj

为Bj的效应；

(αβ)ij

为Ai与Bj的互作效应，

为随机误差。

两因素有重复观测值试验结果方差分析平方和与自由度的分解式为：

SST=SSA+SSB+SSAB+SSe

dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe

其中，SSAB，dfAB为A因素与B因素交互作用的平方和与自由度。SStdft首先将原数据整理成单向分组数据处理组合观察值总和Tij.平均a1b1a1b2……a1bbx111x121…x1b1x112x122…x1b2x11nx12n…x1bn.....................aab1aab2……aabnxa11xa12…xa1nxa21xa22…xa2nxab1xab2…xabn总平均T各项平方和、自由度及均方的计算公式如下:总平方和与自由度：dfT=abn-1处理平方和与自由度

，dft=ab-1处理平方和包括：(1)A因素的平方和SSA(2)B因素的平方和SSB(3)A×B互作的平方和SSAB误差平方和与自由度

dfe=ab(n-1)然后将各处理的Tij

按A、B两因素整理成两向表A因素B因素合计Ti..平均12…b1T11T12…T1bT1..2T21T22…T2bT2..…aTa1Ta2…TabTa..合计T.1.T.2.…T.b.T平均

(1)A因素的平方和SSA和自由度dfA

(2)B因素的平方和SSB(3)A×B互作的平方和SSAB自由度与平方和分解汇总表各变异来源的期望均方*A随机，B固定。变异来源MS

期望均方

固定模型随机模型混合模型*A因素MSAδ2+bnκ2αδ2+nδ2αβ+bnδ2αδ2+bnδ2αB因素MSBδ2+anκ2βδ2+nδ2αβ+anδ2βδ2+nδ2αβ+

anκ2βA×B互作MSABδ2+bnκ2αβδ2+nδ2αβδ2+nδ2αβ误差MSeδ2δ2δ2【例题】施用A1、A2、A3三种肥料于B1、B2、B3三种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合3盆，得产量结果（g)。试作方差分析。处理组合的单向分组表处理组合

总和Tij.

A1B121.421.220.162.7A1B219.618.816.454.8A1B317.616.617.551.7A2B11214.212.138.3A2B21313.71238.7A2B313.31413.941.2A3B112.813.813.740.3A3B214.213.613.341.1A3B31214.61440.6（1）平方和与自由度的分解dfT=abn-1=26处理组合间

试验误差：

SSe=

SST-SSt

=

219.28-202.58

=

16.70

dfe=

ab(n-1)

=

3×3×(3-1)

=

18处理组合的进一步分解------按A、B两因素整理成两向表

土壤类型

总和肥料种类

B1B2B3Ti..A1

62.754.851.7169.2A2

38.338.741.2118.2A3

40.341.140.6122总和T.j.141.3134.6133.5T=409.4肥料间（A因素）土壤间（B因素）A与B因素互作：（2）F测验将上述结果整理成方差分析表，采用固定模型，进行F测验。

不同肥料间、肥料与土壤间互作的F值达极显著水平。不同土壤间F值未达显著水平。（3）平均数的比较。①各处理组合平均数的比较。

根据df=18查表，计算LSR0.05和LSR0.01A1B1处理组合极显著地高于其它组合，A1B