专题8.3 简单几何体的表面积与体积【八大题型】（人教A版2019必修第二册）

专题8.3简单几何体的表面积与体积【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 2【题型2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 3【题型3球的表面积与体积】 4【题型4组合体的表面积与体积】 5【题型5球的截面问题】 8【题型6几何体的外接球问题】 8【题型7几何体的内切球问题】 10【题型8实际应用问题】 11【知识点1简单几何体的表面积与体积】1．多面体的侧面积、表面积和体积多面体图形侧面积与表面积体积棱柱直棱柱的侧面展开图是矩形，

S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积)V柱=S底h(S底为底面面积，h为高)棱锥正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch'(C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积)(S底为底面面积，h为高)棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积)(S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)2．旋转体的侧面积、表面积和体积旋转体图形侧面积与表面积体积圆柱圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)体积V=S底h(S底为底面面积，h为高)圆锥圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积

S=πr2+πrl=πr(r+l)体积V=S底h(S底为底面面积，h为高)圆台圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，

表面积体积(S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)球半径为R的球的表面积S=4πR2半径为R的球的体积3．空间几何体表面积与体积的常见求法(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

(2)求组合体的表面积与体积的方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【题型1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1的八个顶点中，有四个顶点A，B1，C，D1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（

）A．3:1 B．1:2 C．6:2【变式1-1】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD的边长为3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体A．274 B．94 C．52【变式1-2】（23-24高一下·吉林·期末）中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，A．2823 B．282 C．28【变式1-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知点P为三棱柱ABC−A1B1C1侧棱AA1上靠近点A的三等分点，若四棱锥A．5V4 B．4V3 C．3V2【题型2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知圆柱的底面半径为2cm，体积为12πcm3，则该圆柱的表面积为（A．12πcm B．16πcm2 C．18【变式2-1】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（

）A．63π B．263π 【变式2-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（

A．4+45π C．8+45π 【变式2-3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（

）A．3πa364 B．3πa【题型3球的表面积与体积】【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正四棱锥OABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的体积为（A．6π B．26π C．4【变式3-1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知球的体积为4π3，则该球的表面积为（A．6π B．92π C．4【变式3-2】（2024高二下·河北·学业考试）已知A是球O的球面上一点，过线段OA的中点O1作垂直于直线OA的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为9π，则该球的表面积是（A．12π B．36π C．48π【变式3-3】（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，圆锥SO的顶点及底面圆的圆周都在球M的球面上，且圆锥SO的母线长和底面圆的直径均为2，则球M的表面积为（

）

A．π B．4π C．8π3【题型4组合体的表面积与体积】【例4】（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（

）A．23R B．712R C．【变式4-1】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，P为圆锥的顶点，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为6π，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（

A．33+92π B．24+92π C．【变式4-2】（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为4cm，长方体的长､宽和高分别为8cm,6

(1)求下部分正四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（结果取整数，π取3）【变式4-3】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥PO1与圆柱OO1构成的几何体Ω（圆锥PO1的底面与圆柱OO1的上底面重合）.已知圆锥PO1的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为(1)求圆锥PO(2)求几何体Ω的体积.【知识点2球的截面、几何体与球的切、接问题】1．球的截面(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.2．几何体与球的切、接问题常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：【题型5球的截面问题】【例5】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知球O的体积为36π，球O被一个平面所截得的截面面积为5π，则球心A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-1】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积=2πRℎ（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2πA．20π B．245−34π C．【变式5-2】（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知正四面体P−ABC内接于球O，E为底面三角形ABC中边BC的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为23的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（

A．[22,23] B．[23,2【变式5-3】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的体积为43π，E、A．5π3 B．4π3 C．【题型6几何体的外接球问题】【例6】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=5 ， AC=A．9π2 B．125π16 C．【变式6-1】（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，∠ABC=120°，△ABC的面积为332，则三棱锥P−ABC的外接球表面积的最小值为（A．24π B．28π C．32π【变式6-2】（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA=2，∠AOP=120°，三棱锥(1)求圆柱OO(2)求三棱锥A1【变式6-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱ABC−A

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V；(2)求该三棱柱的外接球的表面积.【题型7几何体的内切球问题】【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（

）A．8−43π B．12π C．8+4【变式7-1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知圆台O1O2存在内切球O（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台O1O2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5:8，设球O的体积与圆台O1A．23 B．34 C．613【变式7-2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π(1)求圆锥的体积；(2)求圆锥的内切球的表面积.【变式7-3】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知在圆锥SO中，底面⊙O的直径AB=2，△SAB的面积为22(1)求圆锥SO的内切球的体积；(2)点M在母线SB上，且SM=13SB，一只蚂蚁若从【题型8实际应用问题】【例8】（23-24高一下·河北衡水·期末）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（

）A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm【变式8-1】（23-24高一下·福建泉州·期末）如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为12cm的正四棱台，其两个底面边长分别为8cm和10cm．若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为（

）A．960cm3 B．976cm3 C．【变式8-2】（23-24高一下·辽宁锦州·期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部