专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题（人教A版2019必修第二册）【含答案解析】

专题6.12解三角形中的最值与范围必考七类问题【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【类型1三角形面积的最值或范围问题】 1【类型2三角形边长的最值或范围问题】 6【类型3三角形周长的最值或范围问题】 9【类型4三角形的角的最值或范围问题】 12【类型5利用基本不等式求最值（范围）】 16【类型6转化为函数求最值（范围）】 19【类型7坐标法求最值（范围）】 24【知识点1三角形中的最值与范围问题及其解题策略】1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；(2)利用基本不等式求最值（范围）；(3)转化为三角函数求最值（范围）；(4)转化为其他函数求最值（范围）；(5)坐标法求最值（范围）.2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【类型1三角形面积的最值或范围问题】1．（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）在△ABC中，若AB=2,AC=3BC，则△ABC的面积S的最大值为（

）A．3 B．32 C．2 D．【解题思路】根据题意，利用余弦定理得到sinB关于a【解答过程】依题意，不妨设BC=a，AC=b，AB=c，则c=2，b=3由余弦定理得b2=a2+故cosB=4−2a所以sin2又因为S=1故S2当a2=4，即a=2时，S2取得最大值3，此时a=2，b=2所以Smax2=3故选：A.2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知2a−c6=cosCcosB且A．0,43 B．43,93 C．【解题思路】首先利用正弦定理求出角B，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可.【解答过程】∵2a−c6=cosCcosB且根据正弦定理得，2sin即2sin整理得2sin∵A∈0,π2，∴sinA>0，∴2cos∵asin∴a=43sinA∴△ABC的面积S=∴S=123sinA32cosA+12sinA=1233∴π6<A<∴sin∴S=63故选：C.3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bsinB，且∠CAB=π3.若D是A．∠ABC=π6 C．四边形ABCD面积有最小值 D．四边形ABCD面积有最大值【解题思路】利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦定理可求出角B，进而求出∠ACB，即可判断AB；先求出AC,BC的关系，再在△ACD中，利用余弦定理求出AC，再根据三角形的面积公式结合三角函数即可判断CD.【解答过程】在△ABC中，因为acos所以sinA即sinA+C又sinB≠0，所以sin在△ABC中，因为∠CAB=π3，则所以B=π6，则在Rt△ABC中，BC=在△ACD中，AC四边形ABCD面积S==12AC⋅BC+12AD⋅AC⋅sinD=1又0<D<π所以−φ<D−φ<π因为函数y=sinD−φ在−φ,π所以四边形ABCD面积有最大值，无最小值，故C错误，D正确.

故选：ABD.4．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）在△ABC中，A、B、C三个内角所对的边依次为a、b、c，且a2+c2=b2+ac，若【解题思路】使用余弦定理求出B后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可.【解答过程】由余弦定理，cosB=∵B∈0,π，∴由余弦定理及基本不等式，b2∴ac≤b2=16∴当且仅当a=c时，△ABC的面积的最大值为Smax故答案为：435．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=2a−c2b，点D在AC上，且AD=2DC(1)求角B；(2)求△ABC面积的最大值．【解题思路】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；（2）向量化结合基本不等式求出ac的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.【解答过程】（1）因为cosC=由余弦定理可得a2整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）因为AD=2DC，所以BD=故BD2即4=1所以ac≤6，当且仅当19c2所以S△ABC所以△ABC面积的最大值为33

【类型2三角形边长的最值或范围问题】6．（23-24高一下·广东茂名·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosBb+cosCA．32,3 B．32,3【解题思路】根据余弦定理化简题中条件，得到b=32，再利用基本不等式求【解答过程】∵△ABC中，cosB∴a2+∵B=π3，由余弦定理得：34(a+c)2故选：D．7．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2−a2A．3，2 B．3,2 C．3【解题思路】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可.【解答过程】由余弦定理得b2所以cosAsinC所以cosA所以2sin所以2sin可得2由余弦定理可得3=b又因为基本不等式b+c≥2bc,所以所以3=b+c当且仅当b=c=1时，b+c取最大值2，因为a=3,所以b+c>所以3<b+c≤2故选：B.8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c可能的取值是（

）A．2 B．2 C．22 D．【解题思路】根据c边最大边或b最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.【解答过程】若c边为最大边，则cosC>0∴a2+若b边为最大边，则cosB>0∴a2+所以3<c<所以边长c可能的取值是2、132故选：BD.9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cosCc=cosB−cosC【解题思路】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到sinA=sin2C，从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得C【解答过程】因为cosCc=所以2ccos由正弦定理得2sin又B+C=π−A，故因为在锐角△ABC中，0<A<π2,0<2C<π，所以当A=2C时，B=π所以0<π−3C<π当A=π−2C时，B=π综上，π6又ac而22<cos则ac的取值范围为2故答案为：2,10．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知2a−c=2bcos(1)求B的大小；(2)求a+bc【解题思路】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解.【解答过程】（1）因为2a−c=2bcos由余弦定理得2a−c=2b⋅a整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）由正弦定理得a+b=32因为0<C<π20<A=所以π12<C而tanπ所以2−3<tan所以a+bc【类型3三角形周长的最值或范围问题】11．（24-25高三下·河南·开学考试）在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则△ABC周长的最小值为（

）A．7 B．22 C．2+22【解题思路】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得2accos∠ABC2=c+a，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到【解答过程】由题可得，S△ABC=S又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin因为0<∠ABC<π，所以0<∠ABC2所以2accos∠ABC2又因为cos∠ABC=c2所以2c+a2ac2所以(c+a)2解得(c+a)2≥8或所以a+c≥22，当且仅当a=c=则b+a+c≥2+22故△ABC周长的最小值为2+22故选：C..12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB−bcos2A=c且△ABC外接圆半径为2，则△A．(43，63] B．(43【解题思路】根据题意，化简得到cos2A+cosA=0，求得cosA=12，得到A=π3，且【解答过程】因为acosB−b又因为A+B+C=π，可得sin所以sinA即−sin因为B∈(0,π)，可得sinB>0，可得cos解得cosA=12因为A∈(0,π)，所以A=π又因为△ABC外接圆半径为2，所以a=2rsin又由a+b+c=2=23因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，所以0<B<π解得π6<B<π2，可得所以a+b+c∈(6+23故选：C.13．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=2π3，b=8A．若A=π6，则a=433C．△ABC面积的最大值为1633 D．△ABC【解题思路】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得ac≤643，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得【解答过程】对于A，若A=π6，又B=2π3对于B，由题意B=2π3，b=8，a=4对于C，由余弦定理b2=a所以ac≤643，当且仅当所以S△ABC所以△ABC面积的最大值为163对于D，由B=2π3，b=864=a2+当且仅当a=c=8所以△ABC的周长l=8+a+c≤8+16所以△ABC周长的最大值为163故选：BCD.14．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=2,B=π3，则△ABC周长的取值范围为(3+【解题思路】由正弦定理可以把a+b表示为角C的函数，由锐角三角形得出角C的取值范围，进而可得a+b的取值范围.【解答过程】在锐角△ABC中，c=2,B=π3，0<C<π2，由正弦定理，得a=csinA所a+b=3cosC+由π12<C2<π4因此1+3<a+b<1+32−3故答案为：(3+315．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a+b(1)求角B；(2)若△ABC外接圆的直径为23，求△ABC【解题思路】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到ac=a（2）方法一：由正弦定理求得b=3，利用余弦定理和基本不等式，求得a+c≤6，进而求得△ABC周长的取值范围；方法二：根据题意，利用正弦定理求得b=3，化简得到a+b+c=3+6sin【解答过程】（1）因为a,b,c,a+b由正弦定理可得a+ba−b=a−c又由余弦定理得cosB=a2+c（2）方法一：因为△ABC外接圆的直径为23由正弦定理得bsinB=2由余弦定理得9=a因为3ac=(a+c)2−9≤3×(a+c)2由三角形性质知3<a+c≤6，当且仅当a=c时，等号成立，所以6<a+b+c≤9，故△ABC周长的取值范围为6,9.方法二：因为△ABC外接圆的直径为23由正弦定理得bsinB=2a+b+c=3+23sinA+23sinC=3+23sinA+sin所以6<a+b+c≤9，故△ABC周长的取值范围为6,9.【类型4三角形的角的最值或范围问题】16．（2024·四川成都·模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=1，b=2，则B+C的取值范围是（

）A．2π3,5π6 B．2【解题思路】先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cosA，求出其范围，进而可得A的范围i，则B+C【解答过程】根据三角形三边关系可得a−b<c<a+b，即1<c<3又cosA=因为函数y=3x+x在1,所以c+3又1+31=4,3+所以32≤cos所以0<A≤π所以5π故选：C.17．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a+b+c)(a+b−c)=3ab．则sinAcosBA．32,+∞ B．233,+【解题思路】化简(a+b+c)(a+b−c)=3ab为a2+b2−【解答过程】由(a+b+c)(a+b−c)=3ab，整理得a2+b又0<C<π，则C=π3sinA因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<2π即sinA所以sinAcosB故选：B.18．（23-24高一下·河北·期末）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2bcosB，且A．A=2BB．角B的取值范围是0,C．cosA的取值范围是D．ab的取值范围是【解题思路】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判断A选项的正误；利用三角形的内角和定理以及已知条件求出角B的取值范围，可判断B选项的正误；利用余弦函数的基本性质可判断C选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断D选项的正误.【解答过程】因为a=2bcosB，所以∵0<A<π2，0<B<π2，则0<2B<π，所以因为b≠c，所以B≠C，所以A+2B≠A+B+C=π，则A=2B，故A正确；因为A+B+C=π，所以C=π−A−B=π−3B．因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<π20<B<π2所以22<cos因为A=2B，所以π3<A<π故选：ACD.19．（24-25高一下·全国·课后作业）在△ABC中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若a2<b2+c2【解题思路】利用余弦定理即可判断角A的范围，从而集合a为最长边，即可得出答案.【解答过程】∵a2<b则cosA=b2又∵a为最长边，∴A>60°.所以A的取值范围是A60°<A<90°故答案为：A60°<A<90°20．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=π2，AD=DC=2，

(1)当∠BCD=π3时，求四边形(2)当∠ABC∈π4,【解题思路】（1）连接BD，在△BDC中利用余弦定理求出BD，再利用勾股定理求出AB，结合三角形面积公式求解即可；（2）连接AC，作DE⊥AC于点E，利用正弦定理和二倍角公式求解．【解答过程】（1）如图，连接BD，则当∠BCD=π

在△BDC中，由余弦定理可得BD所以在△ABD中，由勾股定理可得AB2=B所以S四边形（2）如图，连接AC，作DE⊥AC于点E，

则由AD=DC，可得E为AC的中点，设AC=x，则cos∠DAE=在△ABC中，由正弦定理可得BCsin所以sin∠ABC=又因为sin∠ADC所以cos∠ADC=1−2由∠ABC∈π4,所以cos【类型5利用基本不等式求最值（范围）】21．（2024·江西·二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=8,sinB+2sinCcosA．1 B．3 C．2 D．4【解题思路】根据sinB+2sinCcosA=0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b2=a2−【解答过程】∵sin∴sin即sinA即sinA则a⋅b整理得2b∴cosB=当且仅当a2∴B∈0，则S△ABC故选：C．22．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2+c2−a2=bc，A．1,3 B．3,23 C．3【解题思路】由余弦定理与基本不等式求出b+c≤23，再由三角形三边关系得到b+c>a=3，从而求出b＋【解答过程】依题意得b2＋c2－bc＝3，即b+c2解得：b+c2≤12，b+c≤23又b+c>a=3，因此b＋c的取值范围是3故选：B.23．（23-24高一下·浙江·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=π3，内角B的平分线交AC于点D且BD=3A．1a+1cC．a+3c的最小值是43 D．△ABC的面积最小值是【解题思路】由三角形面积公式寻找a，c关系，再利用基本不等式判断．【解答过程】解：由题意得：S△ABC由角平分线以及面积公式得12化简得ac=a+c，所以1a∴ac=a+c≥2ac，当且仅当a=c∴ac≥2，∴ac≥4所以S△ABC=1由余弦定理b=a+c2−3ac=ac2−3ac≥42−3×4=4对于选项C：由ac=a+c得：1a+1当且仅当1a+1故选：ABD．24．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知△ABC的外接圆O的半径为733，AC的长为7,△ABC周长的最大值为【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理求出角B，再利用余弦定理结合基本不等式求解即得.【解答过程】由△ABC的外接圆O的半径为733且AC=7，得而0<B<π，则B=π3或B=当B=π3≥(AB+BC)2−3因此当AB=BC=7时，(AB+BC)max=14，当B=2π3≥(AB+BC)2−因此当AB=BC=73时，(AB+BC)max=14而143+7<21，所以故答案为：21.25．（24-25高一上·全国·期中）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若1−cos(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为43，求3【解题思路】（1）利用辅助角公式求解即可；（2）先利用三角形的面积公式求出ab，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可.【解答过程】（1）由1−cosC=3所以sinC+因为C∈0,π，所以所以C+π6=（2）因为S△ABC=1由余弦定理得c2所以3a当且仅当4a2=所以3a2+【类型6转化为函数求最值（范围）】26．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，a=4，且2S=a2−b−c2A．8,45+4 B．12,25+2 C．【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得tanA2=12【解答过程】∵2S=a∴S=bc−bccos∴1−cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b+c=5=5sinB+35sinB+因为△ABC为锐角三角形，所以π2−A<B<π即：π2所以cosA2<∴8<45sinB+φ故△ABC的周长的取值范围是12,45故选：D.27．（23-24高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π4，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，AB//OP.则A．22−2 B．2−1 C．3【解题思路】设∠AOP=θ，利用正弦定理可表示出OB，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到S△OAB【解答过程】设∠AOP=θ，则0<θ<π∵AB//OP，∠POQ=π4，∴∠ABO=3π在△OAB中，由正弦定理得：OB=OA⋅∴S△OAB=∵θ∈0,π4∴当2θ+π4=π2，即θ=故选：B.28．（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosA．若A=π3，则△ABCB．若A=π4，且△ABC只有一解，则bC．若A=π3，且△ABC为锐角三角形，则△ABCD．若△ABC为锐角三角形，AC=2，则AC边上的高的取值范围为3【解题思路】根据正弦定理边角互化可得a=1，即可根据余弦定理，结合不等式求解A；根据正弦定理即可求解B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C，根据余弦定理得3<c【解答过程】由正弦定理可得sinCcos因为0<A<π，所以sinA≠0，所以对于A，若A=π由余弦定理得cosA=由b>0，c>0，可得b2即bc≤1，当且仅当b=c时等号成立，则△ABC面积12bcsinA≤1对于B，若A=π4，且a=1，由正弦定理得所以sinB=b当sinB=1时，即22b=1对于C，若A=π3，由正弦定理得a=1+2由于△ABC为锐角三角形，故0<B<π2且0<2π因此B+π6∈对于D，由于△ABC为锐角三角形，AC=b=2，a=1，所a2故AC边上的高为asin故选：AC.29．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c2+bc−a2=0，则4【解题思路】根据正弦定理和余弦定理可得A=2C，再由三角恒等变换可得4sinC+cosC2+1【解答过程】∵c2+bc−a∴b2−2bccos∴sinB−2sinC∴sinA−C∵A,C是锐角△ABC的内角，∴A−C=C或A−C+C=π（不符合题意舍去），∴A=2C∴4sinC+=4+4sin2C+cosCsin设sinA=t∵△ABC是锐角三角形，∴0<A<π20<C=∴sinA=t∈32由双勾函数的性质可得函数ft在t∈32∴4sin故答案为：8330．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC+3cos(1)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；(2)求边AC上的中线BE的取值范围.【解题思路】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求B，再依据余弦定理及已知得ac=1（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得BE=14【解答过程】（1）因为sinC+3cos所以sinC+即sinBsinBsinB即sinBsinC=所以tanB=3，因为B∈0,由B=π3及余弦定理得即3=c又因为a+c=2，所以ac=1所以S△ABC所以BD⋅a+c⋅sin所以BD=（2）因为E是AC的中点，所以BE=则BE2因为B=π3，b=3即c2+由正弦定理得：ac=b即ac=23因为A∈0,π,C=所以2A−π6∈所以ac=2sin2A−π所以BE∈32,32，即边AC【类型7坐标法求最值（范围）】31．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，E，F分别为边AB，BC的中点，若DE⋅DF=13，则四边形ABCDA．2 B．23 C．4 D．【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，设DA=a,DC=c，写出各个点的坐标，将DE⋅DF=13【解答过程】以点D为原点，DA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设DA=a,DC=c，则D0,0所以DE=所以DE⋅从而13=a22+5ac四边形ABCD面积的表达式为S=2⋅1从而S=3ac2所以四边形ABCD面积的最大值为43故选：D.32．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（

）A．8,12 B．8C．8,82 D．【解题思路】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量∠AOE=2θ，从而表达∠ABE=θ，再利用正弦定理来表示边，来求得周长关于角θ的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样设出动点坐标E4cos2θ,4【解答过程】（法一）如图，连接OE，AB．设∠AOE=2θ，则∠BOE=π2−2θ故∠OBE=θ+π4．在△OBE中，由正弦定理可得则BE=OEsinπ在Rt△ODE中，由正弦定理可得DEsin2θ平行四边形BCDE的周长为2=−16cos因为0<2θ<π2，所以0<θ<π4，所以所以0≤cosθ+π即平行四边形BCDE的周长的取值范围是8,12．（法二）以O为原点，OB，OA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系．设∠BOE=2θ，则E4cos2θ,4从而DE=4cos2θ，OD=4sinDC=O故平行四边形BCDE的周长为2DE+DC因为0<θ<π4，所以0<sin则8<−16sinθ−122故选：A.33．（23-24高一下·四川宜宾·期末）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若点F为边AD上的动点，则