专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题（人教A版2019必修第二册）

专题6.12解三角形中的最值与范围必考七类问题【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【类型1三角形面积的最值或范围问题】 1【类型2三角形边长的最值或范围问题】 2【类型3三角形周长的最值或范围问题】 3【类型4三角形的角的最值或范围问题】 4【类型5利用基本不等式求最值（范围）】 5【类型6转化为函数求最值（范围）】 6【类型7坐标法求最值（范围）】 7【知识点1三角形中的最值与范围问题及其解题策略】1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；(2)利用基本不等式求最值（范围）；(3)转化为三角函数求最值（范围）；(4)转化为其他函数求最值（范围）；(5)坐标法求最值（范围）.2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【类型1三角形面积的最值或范围问题】1．（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）在△ABC中，若AB=2,AC=3BC，则△ABC的面积S的最大值为（

）A．3 B．32 C．2 D．2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知2a−c6=cosCcosB且A．0,43 B．43,93 C．3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bsinB，且∠CAB=π3.若D是A．∠ABC=π6 C．四边形ABCD面积有最小值 D．四边形ABCD面积有最大值4．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）在△ABC中，A、B、C三个内角所对的边依次为a、b、c，且a2+c2=b25．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=2a−c2b，点D在AC上，且AD=2DC(1)求角B；(2)求△ABC面积的最大值．【类型2三角形边长的最值或范围问题】6．（23-24高一下·广东茂名·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosBb+cosCA．32,3 B．32,37．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2−a2A．3，2 B．3,2 C．38．（23-24高一下·江苏泰州·期中）在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c可能的取值是（

）A．2 B．2 C．22 D．9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cosCc=cosB−cosC10．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知2a−c=2bcos(1)求B的大小；(2)求a+bc【类型3三角形周长的最值或范围问题】11．（24-25高三下·河南·开学考试）在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则△ABC周长的最小值为（

）A．7 B．22 C．2+2212．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB−bcos2A=c且△ABC外接圆半径为2，则△A．(43，63] B．(4313．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=2π3，b=8A．若A=π6，则a=433C．△ABC面积的最大值为1633 D．△ABC14．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=2,B=π3，则△ABC周长的取值范围为15．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a+b(1)求角B；(2)若△ABC外接圆的直径为23，求△ABC【类型4三角形的角的最值或范围问题】16．（2024·四川成都·模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=1，b=2，则B+C的取值范围是（

）A．2π3,5π6 B．217．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a+b+c)(a+b−c)=3ab．则sinAcosBA．32,+∞ B．233,+18．（23-24高一下·河北·期末）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2bcosB，且A．A=2BB．角B的取值范围是0,C．cosA的取值范围是D．ab的取值范围是19．（24-25高一下·全国·课后作业）在△ABC中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若a2<b2+20．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=π2，AD=DC=2，

(1)当∠BCD=π3时，求四边形(2)当∠ABC∈π4,【类型5利用基本不等式求最值（范围）】21．（2024·江西·二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=8,sinB+2sinCcosA．1 B．3 C．2 D．422．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2+c2−a2=bc，A．1,3 B．3,23 C．323．（23-24高一下·浙江·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=π3，内角B的平分线交AC于点D且BD=3A．1a+1cC．a+3c的最小值是43 D．△ABC的面积最小值是24．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知△ABC的外接圆O的半径为733，AC的长为7,△ABC周长的最大值为25．（24-25高一上·全国·期中）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若1−cos(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为43，求3【类型6转化为函数求最值（范围）】26．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，a=4，且2S=a2−b−c2A．8,45+4 B．12,25+2 C．27．（23-24高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π4，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，AB//OP.则A．22−2 B．2−1 C．328．（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosA．若A=π3，则△ABCB．若A=π4，且△ABC只有一解，则bC．若A=π3，且△ABC为锐角三角形，则△ABCD．若△ABC为锐角三角形，AC=2，则AC边上的高的取值范围为329．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c2+bc−a2=0，则430．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC+3cos(1)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；(2)求边AC上的中线BE的取值范围.【类型7坐标法求最值（范围）】31．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，E，F分别为边AB，BC的中点，若DE⋅DF=13，则四边形ABCDA．2 B．23 C．4 D．32．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（

）A．8,12 B．8C．8,82 D．33．（23-24高一下·四川宜宾·期末）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若点F为边AD上的动点，则

A．1 B．1516 C．313234．（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，在△