非建系型：探索性平行与垂直证明及求角度-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题8-4非建系型：探索性平行与垂直证明及求角度

目录

【题型一】探索型1：线面平行..........................................................2

【题型二】探索型2：面面平行..........................................................3

【题型三】探索型3：线面垂直..........................................................4

【题型四】探索型4：面面垂直..........................................................4

【题型五】三大角1：异面直线所成角....................................................5

【题型六】三大角2：直线与平面所成角..................................................6

【题型七】三大角3：二面角............................................................7

【题型八】角度综合：知二面角求线面角..................................................8

二、真题再现...........................................................................9

三、模拟检测..........................................................................11

综述

1.平行构造的常用方法：

①三角形中位线法；

②平行四边形线法；

③比例线段法.

2.计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即

可确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度〃，从而不必作出线面角，则线面

角。满足sine=：(/为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设Z为直线/的方向向量，♦为平面的法向量，则线面角。的

正弦值为sin。=|cos<£,五.

3.几种常见角的取值范围:

①异面直线成角e(0,§

②二面角G[0,7T]

③线面角引0,市

④向量夹角e[0,兀]

⑤直线的倾斜角e[0,兀)

对于探索型：

探索型：

先把位置点定性为“已知点”，然后通过其他条件推导出相关的平行或者垂直关系，再借助平行得比例线

段，或者垂直得到对应的垂直关系。

热点题型归纳

【题型一】探索型1:线面平行

【典例分析】

如图，四边形ABCD中，AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,尸分别在BC,AD上，EF//AB,

现将四边形ABCD沿放折起，使BE1EC.

(1)若8E=3,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP〃平面ABEF?若存在，求出而的值；若

不存在，说明理由.

(2)求三棱锥A-CD产的体积的最大值，并求出此时点尸到平面ACD的距离.

【变式演练】

在三棱锥尸一ABC中，AC=BC,PA=PB,D、E分别是棱3C、PB的中点.

⑴证明：AB1PC；

(2)线段AC上是否存在点尸，使得AE〃平面尸。尸？若存在，指出点尸的位置；若不存在，请说明理由.

【题型二】探索型2：面面平行

【典例分析】

CQBP2

已知正方体ABCD-AMGR中，P、。分别为对角线3D、CR上的点，且濡=访=可.

(1)求证：2。//平面4口。4；

(2)若R是AB上的点，%的值为多少时，能使平面PQ?//平面4乙/乂？请给出证明.

【变式演练】

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形A3CD是平行四边形，钻=1,仞=2,瓦尸分别为棱尸。,48的

中点.

(1)证明：E尸〃平面AD尸；

(2)在底面四边形内部(包括边界)是否存在点G,使得平面GEF〃平面ADP?如果存在求点G的位置,

并求FG的最大值，如果不存在请说明理由.

【题型三】探索型3：线面垂直

【典例分析】

若图，三棱柱ABC-AB。的侧面BCGg是平行四边形，BQ1CQ,BCtA.C,且£、尸分别是BC、

44的中点.

⑴求证：EFU平面4GCA；

Ap

⑵在线段A3上是否存在点P,使得SC平面跳??若存在，求出%的值；若不存在，请说明理由.

【变式演练】

如图，在四棱锥S—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60°,ASA。为正三角形.侧面

SA。，底面ABC。，E,尸分别为棱4£),S3的中点.

⑴求证：AP〃平面SEC；

(2)求证：平面ASB_L平面CS8；

⑶在棱S3上是否存在一点M,使得30,平面MAC?若存在，求襄的值；若不存在，请说明理由.

【题型四】探索型4：面面垂直

【典例分析】

如图，在三棱台A8C-DEF中，b_L平面。EF,AB±BC.

D

(1)设平面ACEn平面。E尸=a,求证：DF//a；

(2)若EP=CT=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面。尸G,平面COE?若存在，请确定G点

的位置；若不存在，请说明理由.

【变式演练】

如图，在四棱锥尸一A8CZ)中，B4_L平面ABC。，B4=AB=BC=如，AO=CQ=1,NAZ)C=120。，点M

是AC与的交点，点N在线段PB上，且PN=±PB.

(1)证明：A/N〃平面PDC；

(2)在线段8c上是否存在一点。使得平面平面物。，若存在，求出点。的位置；若不存在，请

说明理由.

【题型五】三大角1：异面直线所成角

【典例分析】

如图，在直三棱柱ABC-中，AB1BC,。是AC的中点，AAl=AB=2.

(1)求证：AB//平面C|BD；

(2)若异面直线AC和44所成角的余弦值为之纪，求四棱锥B-A41G。的体积.

【变式演练】

正方体ABC。一A4GA中:

(I)求AC与4。所成角的大小；

(2)若尸分别为4。的中点，求82与CF所成角的余弦值.

【题型六】三大角2：直线与平面所成角

【典例分析】

.如图，在三棱柱ABC-48c中，AB=BC=2,AC=272,AB.BC=60°,四边形A8g4为正方形，E、F分

别为BC与4G的中点.

(1)求证：斯//平面48耳4；

(2)求直线E尸与平面ACGA所成角的正弦值.

【变式演练】

977"

如图所示的几何体是由三棱柱ABC-AB|G和四棱锥尸-旦B组合而成的，己知441AB=m，线段PC

与AB交于点E,E,F分别为线段PC,AG的中点，平面的及B_L平面ABC,ER〃平面BCG耳.

(1)求证：四边形AP3C为平行四边形；

(2)若AABC是边长为2的等边三角形，M=2,求直线PC与平面尸44所成角的正弦值.

【题型七】三大角3：二面角

【典例分析】

如图，在正四棱锥S-ABCD中，AB=S/2,点。为底面A3CD的中心，点尸在棱SD上，且A&AC的面积

为L

S

(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCO,平面PAC；_

(2)在棱SD上是否存在一点尸使得二面角2-4。-。的余弦值为玄？若存在,求出点P的位置;若不存在,

说明强由.

【变式演练】

如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=3C=4,。是AC的中点，E是48上一点，且DELAB.将A4DE沿

着DE折起，形成四棱锥尸-3CDE,其中A点对应的点为P.

(1)在线段PB上是否存在一点P,使得CF〃平面PDE?若存在，指出诟的值，并证明；若不存在，说

明理由；

JT

(2)设平面PBE与平面PCO的交线为/,若二面角。-/-E的大小为求四棱锥尸-3cDE的体积.

【题型八】角度综合：知二面角求线面角

【典例分析】

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，ZZMB=60°,ZADP=90°,平面ADP_L平

面ABC。，点歹为棱即的中点.

(1)在棱A8上是否存在一点E,使得A尸〃平面PCE?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由;

(2)当二面角。-尸C-B的余弦值为正时，求直线PB与平面ABCD所成的角.

【变式演练】

四棱锥S-MCD,底面ABC。是平行四边形，^DBC=90°,5C=SD=DC,且平面SCZ51平面ABC，点

E在棱SC上，直线SA//平面8OE.

(1)求证：E为棱SC的中点；

(2)设二面角S-%)-C的大小为6,且tan夕=#.求直线8E与平面ABCD所成的角的正切值.

真题再现

1.(2020・山东•高考真题)已知点E,尸分别是正方形ABCD的边AD,BC的中点.现将四边形EFCD沿所

折起，使二面角C-EF-3为直二面角，如图所示.

(1)若点G,H分别是AC,小的中点，求证：GH//平面EFCD；

(2)求直线AC与平面ABEE所成角的正弦值.

2.(2021・全国•高考真题(理))如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=1,

〃为BC的中点，且尸

(1)求8C；

(2)求二面角4-尸河-3的正弦值.

3.(2021•全国•高考真题(理))已知直三棱柱ABC-A瓦G中，侧面朋4?为正方形，AB=BC=2,E,

尸分别为AC和cq的中点，。为棱4用上的点.BF1A{B{

(1)证明：BF±DE；

(2)当月。为何值时，面B81GC与面DEE所成的二面角的正弦值最小?

4.(2020・海南•高考真题)如图，四棱锥的底面为正方形，尸£＞，底面ABCD设平面B4D与平面

PBC的交线为I.

(1)证明：/_L平面PDC；

(2)已知P£)=AO=1,。为/上的点，求PB与平面。C。所成角的正弦值的最大值.

5.(2019•北京・高考真题(文))如图，在四棱锥P-ABCD中，上4,平面ABCZ),底部A8CD为菱形，E

为C。的中点.

(I)求证：BD_L平面PAC；

(II)若/A8C=60。，求证：平面B48_L平面BAE；

(III)棱PB上是否存在点尸，使得CT〃平面B4E?说明理由.

6.(2009•宁夏・高考真题(理))如图，四棱锥S-48C。的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的0

倍，尸为侧棱5。上的点.

(I)求证：ACLSD-,

(II)若5£>±平面PAC,求二面角P-AC-D的大小；

(III)在(II)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得8E〃平面P4C.若存在，求SE；EC的值;

若不存在，试说明理由.

模拟检测

1.如图所示，在四棱锥P-A8CZ)中，底面A8CD是ND4B=60。且边长为。的菱形，侧面B4O为正三角

形，其所在的平面垂直于底面A8CD

p,

c

匹B

⑴若G为AO边的中点，求证：BG,平面以。；

(2)若E为8C边的中点，能否在棱PC上找一点R使得出〃平面OE/？并证明你的结论.

2.如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面A8CZ)为矩形，必，平面ABCD,点E在线段PC上，PC_L平面

BDE.

(1)证明：2。_1平面以。；

(2)若B4=A£)=2,求二面角B—PCT的正切值.

3.在四棱锥P-A8CZ)中，A8CZ)为菱形，平面ABC。，E为棱尸C的中点.

⑴求证：平面EfiD_L平面B4C；

⑵若NABC=60。，PA=AB,求平面出8与平面PC。夹角的余弦值.

4.在直三棱柱ABC-AAC中，E是