二项式定理十一大题型-2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题50二项式定理十一大题型汇总

dan

题型1通项公式的运用...............................................................1

题型2含参二项式....................................................................3

题型3含有三项的二项式.............................................................5

题型4两个二项式乘积问题...........................................................8

题型5二项式系数和问题............................................................10

题型6所有项系数和问题............................................................12

题型7含有绝对值的求和问题.......................................................16

题型8系数和相关拓展一............................................................18

题型9系数和相关拓展二............................................................21

题型10二项式系数最大.............................................................23

题型11系数最值....................................................................26

题型1通项公式的运用

【例题1】（2022下•陕西西安•高三校考阶段练习）二项式（五-京丫°的展开式中含x的正

整数指幕的项数是

【答案】5

【分析】利用二项式（代-券）”的展开式的通项公式求解.

【详解】解：二项式（y―福丫°的展开式的通项公式为T『+i=Go（a）g（—=

（-1>5T,

当r=0,1,2,3,4时，X次数是正整数指幕，

所以二项式（正-仁丫°的展开式中含x的正整数指幕的项数是5,

故答案为：5

【变式1-1】1.（2022上•辽宁铁岭•高三校联考期末）已知（1+2》尸的二项式系数和为

256,则展开式中含/项的系数为.

【答案】112

【分析】根据题意，由条件可得"=8,再由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得

到结果.

【详解】因为二项式系数和为256,所以2n=256,即兀=8,

所以G+1=Q（2%）.=2『•以•"，

令r=2,则73=22<>/=112刀2,

所以展开式中含/项的系数为112.

故答案为：112

【变式1-1】2.（2022上•江苏扬州•高三邵伯高级中学校考期末）在（正+2）6的展开式中,

/的系数为.

【答案】60

【分析】利用二项式展开式通项可求得好的系数.

【详解】（五+2）6的展开式通项为九+1=&•（伪6f.2k=d,.k2\k=0,1,2,-,6）,

令等=2,可得k=2,因此，展开式中好的系数为22=15X4=60.

故答案为：60.

【变式1-1】3.（2022上•四川内江•高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）在

的展开式中，久4的系数为.

【答案】28

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意得（％+£）8的展开式的通项为=C舐8-2r,r=0,1,2,-,8,

令8—2厂=4,・.・丁=2,

则-的系数为以=28,

故答案为：28

【变式1-114.(2022下•北京•高三北京市十一学校校考阶段练习)二项式(正-《)的展

yjx

开式中常数项为

【答案】40

【分析】根据二项式定理，写出通向，由题意，建立方程，可得答案.

【详解】展开式的通项公式为九+1=7甑)S-k,(-A)=技.(—2)k.

令?一2=°，解得卜=2,即常数项为73=(—2)2.(^=4x10=40,

故答案为：40.

题型2含参二项式

'1'5^^:

即匕期重点

利用二项展开式通项公式，待定系数法可求得.注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情

况.

【例题2](2022上•山东青岛•高三统考期末)若。+%)3+(a-幻4的展开式中含有久2项的

系数为18,贝必=()

A.2B.|C.|或-2D.-1或-2

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a,即得答案.

【详解】由题意(a+%)3+(a—工尸的展开式中含有/项的系数为18,

即品。+*。2(—=18,即a+2a2=6,

解彳导a=-2或a=

故选：C

【变式2-1】1.（2022上•福建泉州•高三校考期中）（久-a/的展开式中炉的系数为560,

则实数a的值为

【答案】±2

【分析】利用二项展开式的通项即可得出答案.

【详解】解：G+i=C我—

令7-r=3,得r=4,

故n=C?a4x3,

由题意知（2非4=560,即35a4=560,

解得a=±2.

故答案为：±2.

【变式2-1]2.（2022下•上海闵行・高三闵行中学校考开学考试）已知二项式（1+“6的展

开式中万一3的系数为20,则实数a=

【答案】1

【分析】利用所给的二项式写出展开式的通项即可求解.

【详解】（1+?6的展开式的通项公式为：G+1==C3r

当-r=-3,解得：r=3;

所以由展开式中含广3的项的系数为20可得：cla3=20,得a3=l,解得a=l

故答案为:1.

【变式2-1】3.（2022・安徽黄山•统考一模）在6+专）6的展开式中，常数项为15,则实

数a的值为

【答案】±1

【分析】运用二项式定理求解.

【详解】由二项式定理知：Tr+i=C，T（》r=C"6-3s,...r=2,

即C看小=15za=+1;

故答案为：±1.

【变式2-1】4.（2022•四川德阳统考一模）已知二项式（爪+打%6|\|*）的展开式中最

后三项的二项式系数和为79厕n=

【答案】12

【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式，解出即可.

【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,

所以C12+（：=1+（：1=79,

rr九！九！一-

即（n-2）!x2!+（n-l）!xl!+】=79,

化简可得yF+九+1=79,

解得:n=—13（舍）或71=12.

故答案为：12

题型3含有三项的二项式

【例题3】（2022上•福建福州•高三福建师大附中校考阶段练习）（1+!-无）5展开式中，%3

项的系数为（）

A.10B.5C.—5D.—10

【答案】C

【分析】利用二项式定理分类讨论即可得答案

【详解】(1+9J表示5个因式(1+AX)的乘积,

在这5个因式中，有3个因式都选-x,其余2个都选1,或者有4个因式都选-久，剩下

的一个因式选相乘可得炉项，

所以炉项的系数为C秋-I)3+C式一=-5,

故选：C

【变式3-1】1.(2022•全国•高三专题练习)(久+y+z)4的展开式共()

A.10项B.15项C.20项D.21项

【答案】B

【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.

【详解】--'(x+y+z)4=[(x+y)+z]4=C°(x+y)4+C|(x+y)3z+鬣(x+y)2z2+

(x+y)z3+C4Z4,

由二项式定理可知，(%+y)n展示式中共有n+1项，

.-.(%+y+z)4的展开式共有5+4+3+2+1=15项.

故选：B.

【变式3-1】2.(2022上•山西•高三校联考阶段练习)(久-9-I?展开式中常数项为

vVX7

()

A.-479B.-239C.1D.481

【答案】C

【分析】根据二项式定理直接求解即可.

【详解】解：根据二项式定理，(X—京—1)6表示6个(X—2―1)相乘，

所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：

①6个(%-套-1)中全部选-1项展开；

②6个（x—专—1）中有1个选择%项，2个选择-京项，3个选择-1项展开；

③6个（％-亳-1）中有2个选择x项，4个选择-2项展开.

所以，其常数项为：（一IT+C瓮-2）2（-I）3+Cl-C：（—2/=1—240+240=1.

故选：C.

【变式3-1】3.（2022上•湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习）（％+1-萨的展开式中,

律系数为（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】设G+1—；）6的通项为rr+]=cKx—；）6一二设（X—：）6T■的通项为人+1=（-2/

cLrX6-r-ky-k,即得解.

【详解】解：设（x+l—；）6的通项为G+LCB—36-1

设（X—；）6f的通项为Sk+1=CLrX6-r-fe（-1）k=（-2y签_k2尸,

令k=2,6—丫一k=4,：.k=2,r=0.

所以W的系数为&（—2）2骁=60.

故选：A

【变式3-1]4.（2022上•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）（2/+y+琛的

展开式中/外项的系数为（）

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

【分析】将（2/+y+以看作5个因式2d+y+1相乘，根据/y2的指数可认为5个因式

中有两个选2/项，其余两个选y,最后一个因式选1,进行相乘，可得答案.

【详解】由题意（2/+y+1）5的展开式中%4y2项的系数为髭X22X盘=120,

故选：A

题型4两个二项式乘积问题

A.5B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】根据题意得到2x(x+y)5与9(x+y)5的展开式通项，列出方程即可得到结果.

【详解】因为(2%-9)(x+y)5=2x(%+y)5-9(x+y)5,

2x(x+y)5的展开式通项为加+i=2%Cs-x5-k-yk=2d-x6-k-yk,

+y)5的展开式通项为Sr+1=9点・％5-r.V=笃.%4-r,yr+2,

由《二心力可得#=i因此(2%—?)(%+犷的展开式中，

%3y3的系数为2点—二=15.

故选:B.

【变式4-1】1.(2022上•广东中山•高三华南师范大学中山附属中学校考开学考试)

(炉一；)(久—I》的展开式中的常数项为

【答案】40

【分析】先求出(无—的展开式通项为「+]=(—2)工舐5一2『，分析(炉一弓口―展开

式中的常数项的构成，即可求解.

【详解】(X—1)5的展开式通项为G+1=Cgx5T(—：)「=(_2)『C"5-2r

要求（炉―?（x—1）5展开式中的常数项，分别令5—2r=—3和5—2r=l,

分别解得：r=4和r=2.

因此所求常数项为（—2尸程-（-2/族=80-40=40.

故答案为：40.

【变式4-1】2.（2022上•湖南常德•高三统考期末）以蓝―y+2）6的展开式中的常

数项为

【答案】96

【分析】G-。（喜—y+2）6的展开式的常数项由为（蓝—y+2）6的展开式中的炉项的乘

积，和-1与（蓝-y+2）6的展开式中的常数项的乘积组成，分别求出即可.

【详解】由题，（11乂喜一y+2）6的展开式中得常数项，贝职―y+2）6的展开式中的y

的指数应为0,

:与（必一y+2）的展开式中的万1项的乘积为:xclx（xs）X（-y）°X23=160,

-1与（1—y+2）6的展开式中的常数项的乘积为—1x或X（蓝）°x（—y）。X26=-64,

所以。（喜—y+2）6的展开式的常数项为160—64=96,

故答案为：96.

【变式4-1】3.（2022上•广东惠州•高三统考阶段练习）x（x—I》的展开式中的常数项

为

【答案】-80

【分析】求得二项式（X-1『的展开式的通项为Tr+l=（-2）r戛炉-2.，令5—2「=—1,求

得r=3,代入即可求解.

【详解】由二项式（X—1『的展开式的通项为Tr+l=C45T.（_|）r=（_2）（小5-2r,

令5—2r=—1,可得7=3,

所以x（x—1）5的展开式的常数项为（—2）3廉=-80.

故答案为：—80.

【变式4-1]4.（2022上•贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）已知（久+1）（%-=a6

65432

x+a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,则CI5的值为.

【答案】-4

【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.

【详解】（％-1）5的展开式通项为G+1=C“5T（-iy,

所以=1XdX（-1）1+1XegX（—1）0=—5+1=—4,

故答案为：-4

题型5二项式系数和问题

【例题5】（2022上•四川巴中・高三南江中学校考阶段练习）已知@一久）”的展开式中二项式

系数的和是1024,则它的展开式中的常数项是（）

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】B

【分析】求解先求出n,在利用通项公式求解

【详解】由&—%）"的展开式中二项式系数的和是1024,故2n=1024,所以九=10.

由二项式定理得展开通项为六+1=COG）"T（-%）r,

当r=5时为常数项，T6=-do=-252

故选：B

【变式5-1]1.（2022下•四川内江•高三威远中学校校考阶段练习）已知（％-：）”展开式中

各项的二项式系数和是64,则展开式中的常数项为

【答案】-160

【分析】先通过2"=64得到凡再写出(x-|)”的展开式的通项，令x的次数为0即可得到常

数项.

【详解】由(％-|)”的展开式中，二项式系数之和为64得2n=64,.-.n=6,

则(x-I)”的展开式的通式为Tr+l=(:△6T■(—|),=(—2)("6-2『，

令6—2r=0,得r=3

所以展开式中常数项为74=(—2户以=-160.

故答案为：-160.

【变式5-1】2.(2022下•上海普陀•高三上海市晋元高级中学校考阶段练习)在(1-2万产

的二项展开式中，所有二项式系数的和为256,则正整数九=.

【答案】8

【分析】由2n=256得出n的值.

【详解】由题意得2n=256,所以n=8.

故答案为：8

【变式5-1]3.(2022上•湖北•高三武钢三中校联考阶段练习)已知(2-%产展开式中所有

偶数项的二项式系数和为32,则展开式中不含久3的各项系数之和为

【答案】161

【分析】由题可得n=6,再利用二项展开式的通项公式及赋值法即可求解.

【详解】因为(2-万产展开式中所有偶数项的二项式系数和为32,

所以231=32,解得n=6,

n

所以(2-%)=(2-x)6展开式的通项公式为Tr+i=C]26T(-xy,

所以令r=3,可得展开式中含炉项的系数为G+i=C123(-l)3=-160,

所以展开式中不含炉的各项系数之和为(2-1)6-(-160)=161.

故答案为：161.

【变式5-1]4.(2022・全国•高三专题练习)已知(久+2尸的二项展开式中，第三项与第九_2

项的二项式系数和为84,则第四项的系数为()

A.280B.448C.692D.960

【答案】B

【分析】根据第三项与第九-2项的二项式系数和为84,可求得“利用通项公式求解即

可.

【详解】由题，几+1=盛*1-归*2匕

因为第三项与第九-2项的二项式系数和为84,所以比+cr3=84,即比+d=84,

所以引2+如;詈-2)=84,解得n=8,

所以第四项的系数为乐xI8-3x23=448,

故选：B

题型6所有项系数和问题

二项展开式中系数和的求法:

/.对形如佃x+b尸佃x2+.+0加佃，b,cER,m,〃€人乃的式子求其展开式的各项系数之和,

常用赋值法，只需令即可；^!(ax+by)n(a,bER,吒N)的式子求其展开式各项系数之

和，只需令x二产/即可;

2

2一般地，若的二劭+的x+a2x+...+aM则力切展开式中各项系数之和为“〃

奇数项系数之和为劭++•••=**(F

偶数项系数之和为国++-='⑴YE

【例题6】（2022•山东德州统考二模）已知a>0,二项式（％+专了的展开式中所有项的系

数和为64,则展开式中的常数项为（）

A.36B.30C.15D.10

【答案】C

【分析】先根据"所有项的系数和“求得©然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答

案.

【详解】令x=L则可得所有项的系数和为（1+a）6=64且a>0,解得a=1,

•••（X+专）6的展开式中的通项%+1==ckx6-3kk=0,1…,6,

:当k=2时，展开式中的常数项为以=15.

故选：C

【变式6-1]1.（2022上•辽宁大连•高三统考期末）若二项式（ax+>0）的展开式中

所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为（）

A.10B.15C.25D.30

【答案】B

【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解a=1,由二项式展开式的通项公式即可求解常

数项.

【详解】令x=1,则所有的项的系数和为（a+I）6=64,由于a>0,所以a=1,

（力+专了展开式的通项为了升广仁力一4一〜以加自，故当6—3r=0时，即r=2,此时

展开式中的常数项为凌=15,

故选：B

【变式6-1】2.（多选）（2022上•重庆•高三重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知二项式

（版-|）”的展开式中各项系数的和为-128,则下列结论正确的是（）

A.n=8

B.展开式中二项式系数和为128

C.展开式中%项的系数为21

D.展开式中有3项有理项

【答案】BD

【分析】根据各项系数的和为-128,令乂=1即可得n=7,可得选项A错误，二项式系数和即

GG+.•-+d=27=128,即可判断选项B的正误，根据二项式定理写出通项，使x的幕次

为1,解得项数，即可得选项C的正误，使通项中x的幕次为有理数即可判断选项D的正误.

【详解】解:由题可得，不妨令x=L

得(1-3)n=-128,

所以n=7,

故选项A错误；

展开式中二项式系数和为C9+G+...+&=27=128,

故选项B正确；

r

展开式的通项公式为2+1=G(近)7-.(-|)=(-iyCr.3r.万宁。=0)1)2/-,7),

令甘=L解得r=1,

展开式中X项的系数为—G♦31=-21,

故选项C错误；

展开式的通项公式为几+1=G(近)7-.(_|)'=(—1)03r•x亨,(r=0,1,2,…,7),

当r=1,4,7时，

Tr+i为有理项，

故选项D正确.

故选BD

【变式6-1】3.(2022•辽宁沈阳•东北育才学校校考一模)在(久+号的展开式中，各项

系数和与二项式系数和的比值为詈，则二项展开式中的常数项为

【答案】240

【分析】由已知求得n=6,再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.

【详解】(％+2)”的展开式中，二项式系数和为2%

令"1,得(x+的展开式中，各项系数和为3%

由题意可得£=詈，即®"=詈，解得n=6,

所以(x+/6的展开式的通项为「Hi=d—r=屐=n2*管，

令6—|r=0,解得r=4,故展开式的常数项为=15x16=240,

故答案为：240

【变式6-1]4.(2022上•四川成都•高三校考阶段练习)(5-3x+2y)”展开式中不含y的

项的系数和为64,则展开式中的常数项为

【答案】15625/56

【分析】根据题意，令y的指数为0,得(5—3x)n,再令x=1,得(5-3x+2y产的展开式

中不含y的项的系数和为(5-3)，解得n,再求展开式中的常数项.

【详解】(5—3%+2丫产展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0,即(5-3久)几的展

开式，

再令x=1,得(5-3x+2丫尸展开式中不含y的项的系数和为(5-3)*64,

所以n=6,

因为(5-3x+2y)6=[5-(3%-2y)]6,

所以展开式中的常数项为或x56=15625.

故答案为：15625.

题型7含有绝对值的求和问题

5234

【例题7](2022・四川成都・统考模拟预测)若(2%-I)=劭+a1X+a2x+a3x+a4x+a5

%s,则+口2|+小|+口浦+%|=()

A.244B.243

C.242D.241

【答案】C

【分析】对偶法，结合二项式展开式的特征，各系数绝对值之和，将二项式中的勿-1改成

2x+l,然后令x=l即可解出结果.

5x2345

【详解】显然(2%+I)=|a0|+\a-i\+|a2|x+|a3|x+|a4|x+|a5|x,|a0|=L

令x=1得|a()|+|ail+|a2|+ai+l^l+|cts|=243,

故a/+\a2\+|a3|+同+痣1=242.

故选：C.

【变式7-1]1.(2022上•湖南衡阳•高三衡阳市一中校考期中)若(/—2x+2户=的+的

X+久2++的0%1°,则|ai|+\(l2\+|tt31T+I^91=.

【答案】3092

【分析】由多项式分析知：k为奇数,项系数为负；k为偶数,项系数为正，可得|即|+向|

+…+|<2iol=—即+。2—。3…—。9+a10i再应用赋值法求。0、—C11+—。3…一

+。10,然后计算出的0即可.

【详解】由题设，含/的项中，当k为奇数，项系数为负，而当k为偶数，项系数为正，

所以|由|+|a2|++l0iol=—a1+a2—a3---—ag+a10,

令x=0,则的=25=32;

—"1,彳导—a1+a2—。3…―口9+^io55=3125,

所以|%|+㈤+…+|a10|=3125-32=3093.

由(——2%+2)5=(%2—2x+2)(x2—2x+2)(/—2x+2)(/—2%+2)(%2—2久+2)

可知久1°的系数的0为5项中久2的系数相乘，故侬=1

3093

所以|即|+|a2|+…+|ag|=|即|+|a2|+…+|aiol-l^iol=-1=3092

故答案为：3092.

【变式7-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知(2—久)6=劭+久+£12%2+♦••+久6,

则|的1+kil+\a2\+•••+|a6|=(用数字作答)

【答案】729

【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为的-%+C12-。3+。4-。5+=

[2-(-1)]6,即可求值

【详解】由二项式定理可知，的、口2、。4、(16均为正数，。1、。3、均为负数，

可得|劭|+|即|+出|+…+|&6|=%一+。2—+。6=[2—(-1)]6=36

=729.

故答案为：729

【变式7-1】3.(2022•全国•高三专题练习)若(1—x)7=劭+。1久+。2久2+.••+尤7,则

|的|+㈤+闷+…+㈤=•(用数字作答)

【答案】127

【分析】根据题意判断各项系数正负，化简含绝对值的等式，运用赋值法即可得到答案.

727

【详解】因为(1—x)=a。+arx+a2x+•••+a7x,

所以尤奇次方系数为负，X偶次方系数为正，

所以|由|+|«2|+|«3|---+\a7\=-—CI3+£{4—。5+。6—。7,

727

对于(1—x)=的+a1x+a2x+…+a7x,

—1,彳导a。一a1+d2—。3+。4—口5+即一a?=27,

令X=0,得ao=1,

两式相减,得—C11+<12—。3+。4—。5+。6—0.7=2^—1-127,

即同+|a2|+|a3|+…+\a7\=127.

故答案为：127

【变式7-1]4.(2022上•黑龙江大庆・高三大庆中学校考开学考试)已知(1-2x)5=的+

的3++…+。5K5,则|的|+|。2|+|。3|+|。41=.(用数字作答)

【答案】210

【分析】根据二项展开式的通项可知展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，可得

|%|+|。2|+|。3|+|。4|=~'的+C12-。3+。4,令X=-1,即可求解.

25

【详解】解：因为(1一2x)5=a0+arx+a2x+…+a5x,

所以展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，

a+a=—aa—aa

所以|即|+|a2|+l3ll4]l+23+41

(1-2x)5展开式的通项公式为T『+1=cr(_2%)r=C(-2)Y,

所以ao=Las=-32,

在二项展开式中，令x=—1,

彳导a。一+敢一—口5=35—243,

|ajJ+|。21+|。3|+1。4|=—ai+。2—a3+。4=243-1—32=210,

故答案为:210.

题型8系数和相关拓展一

A.-2B.2C.4D.12

【答案】C

【分析】令x+1=t,直接根据二项式定理求解即可.

【详解】令X+1=t,则X=t-1,

故(X—1)4+2x，=(t—2尸+2(t—1)5=CLQ++a2t之4—+a5t5,

(t-2)4中胫得系数为c表一2)2=24,(t-1)5中/得系数为C前-I)3=-10,

所以。2=24-20=4,

故选:C.

【变式8-1】1.(2022上•湖南长沙•高三长沙一中校联考阶段练习)已知d=设

nn

(2%—3)—CLQ+<2|(X—1)+Cl.2(X—1)^+…+CLn(X—l),则+。2+…+=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得劭和劭+由+。2+-+%

的值，作差可得出所求代数式的值.

【详解】因为泼=d，所以由组合数的性质得n=3+6=9,

所以(2x—3)9=a。+Q1(X—1)+0.2(X—I)2+…+Qg(x—I)9,

令久=2,得(2X2—3)9=CLQ+CZ]+0,2+…+Ug,即a0+<21+0.2+…+。9=1-

令尤=1,得(2X1—3)9=a。=—1,

所以的+a2++a9=(a0+«1+a2+…+a.—a。=1—(—1)=2,

故选：D.

【变式8-1】2.(2022上•四川眉山•高三校考阶段练习)已知(2%-3)4=劭+。(久一2)+

Ct2(久―2)2+a3(X—2)3+04(久一2)3则(12=.

【答案】24

【分析】将3-3)4写成[1+2(x-2)]4,写出其二项展开式,即可得。2=演■22.

【详解】(2X-3)4=[1+2(%-2)/=吠+以•2(x-2)+Ci-22(x-2)2

+C4-23(X-2)3+C4-24(X-2)4,

'/(2.x—3)4=CLQ+a1(x—2)+a2(x—2)2+u^x—2尸+—2)3

.1.a2=C4-22=6X4=24.

故答案为：24.

【变式8-1】3.(2022上•山东济南•高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习)若

828

(1—%)=a0+«1(1+%)+«2(1+^)+,,,+«8(1+^),则口6=

【答案】112

【分析】令t=x+l,则久=t—l,则原题变为：若(2-t)8=的+ait+a2t2+.••+。8卢,

求。6直接用二项式的通项公式解决.

【详解】令t=X+1,则久=t一1

则原题变为:若(2-t)8=劭+的£+a2t2+…+巴则。6=

二项式(2—t)8的通项公式为苒+1=c628T(—t)『(o<r<8)且reZ

当r=6时,即T7=C§22(T)6=112t6,所以。6=112

故答案为:112

5

【变式8-1】4.(2022上•山东潍坊・高三统考阶段练习)已知(1+%)=的+劭(2+久)+a2

2345

(2+x)+a3(2+x)+a4(2+x)+a5(2+x),则(13=.

【答案】10

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】由于(1+x)5=[-1+(2+初5,

所以=C5,(-I)2=10.

故答案为：10

题型9系数和相关拓展二

2

【例题9】(2022•全国・深圳中学校联考模拟预测)已知(x-1)4(3%+2尸=a0+a1X+a2x

+…+a7久7,贝[ja2+U3+…+.

【答案】-39

【分析】赋值法，令％=0、%=1,结合二项式定理展开式求国即可求解.

327

【详解】因为(％—1)4(3%+2)=Oo++a2x+•••+a7x,

令x=0,可得的=23,

■$,%=1,CIQ++0,2+...+=0,

33412

a1X=d%(-1)C3(3X)℃2)+C狂°(-1)C3(3%)(2)=4x,

77

a7x=C*x,Cg(3x)3-27x,

以a2+...+—0—2，—4—27---39.

故答案为：-39.

【变式9-1]1.(2022上•云南・高三云南民族大学附属中学校考期中)若(x-2>=a0+«i

2345

x+a2x+a3x+a4x+a5x,贝！］a（）+a2+a4=

【答案】-122

【分析】根据赋值法即可求解奇数项的系数和.

【详解】令X=1得，+。2+。3+。4+。5=—1,

令X二—1彳导，CLQ—向+做—。3+04—。5=—243,两式相加得。0+02+=—122.

故答案为：—122

【变式9-1】2.(2022・全国•高三专题练习)设(％-1)(2+%)3=的+口1久+02%2+(13久3+

。414,贝！,2a2+3。3+4。4-.

【答案】-431

【分析】即为(％-1)(2+炉中%系数，

又Q-1)(2+%)3=%(2+%)3-(2+%尸，分别求%(2+无>与(2+工产一次项即可.注意到

334

[(%—1)(2+x)]=(a0+即％+做好+a3x+a4xy

=臼+2a2久+3的％2+4。4%3=(%+2)2(4%—1),令％=1,结合可得答案.

【详解】因(%-1)(2+%)3=%(2+%厂_(2+%)3,

则的=C〉23—C>22=-4.

注意到[(%—1)(2+X)3]=(。0+a1X+。2%2+«3%3+。4%4)'

32

=%+2。2久+3a3/+4a4%=(x+2)(4x—1),令％=lz

彳导+2。2+3。3+4。4=27,又=—4,彳导2。2+3。3+4。4=31.

故答案为：—4；31.

【变式9-1】3.(2022上•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)设多项式。+1尸+

101094+6+8+a

(%—I)=a10%+a9x4---Fa1x+a0,贝!+做+。。。io=.

【答案】544

【分析】分别赋值％=L%=-1,得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的2倍.

【详解】依题意，令％=1,得到:。10++•♦•++劭=26=64,令X=-1,得到：

。10—。9+。8—。7+…一+。0=2"=1024,两5^相力口可■彳导：2(Qo+。2+@4+。6+。8+

。10)=1088,故a。+做+。4+%+。8+。10=544.

故答案为：544

【变式9-1】4.(2022・全国•高三专题练习)已知(1-2%)5=劭+%%+做工2+•••+的好,

则Go—+。2—。3+。4—。5的值为.

【答案】243

【分析】根据题意，利用赋值法，令％=-1即可得到答案

【详解】解：因为(1一2%)5=的+01久+取/+-・+。5%5,

所以令％=—1,则(1+2)5=«0+♦(—1)+。2,(—1)24+。5,(—1)5=Q0-Q]+口2-

。3+。4—。5,

—0]+0.2-的+04—=243,

故答案为：243

题型10二项式系数最大

【例题10】(2022上•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨七十三中校考阶段练习)已知(y+9”的

展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为表，则展开式中二项式系数最大的项为

第（）项.

A.3B.4C.5D,6

【答案】C

【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由

题意得到关于"的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.

【详解】（五+9n的展开式通项公式为T『+l=G（与I&，=&.2丁.拧，

则第3项的系数为出■22,倒数第3项的系数为C=2.2*2,

因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为表，

所以第三=2=2-4,所以品22=以-22-6,解得n=8,

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，

故选：c

【变式10-111.（2022上•河南安阳•高三校联考阶段练习）已知（«-3”的展开式中只有

第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）

A.-448B.-1024C,-1792D,-5376

【答案】C

【分析】先根据二项式系数的性质可得几=8,再结合二项展开式的通项求各项系数

0，分析列式求系数最小项时「的值，代入求系数的最小值.

【详解】1•展开式中只有第5项是二项式系数最大，贝旧=8

二展开式的通项为G+1=Q（五，…,8

则该展开式中各项系数J=（-2）0=0,1，…,8

若求系数的最小值，贝忏为奇数且卜i+2?即卜解得r=5

rr2

[ar-ar,2<0I（-2）Cs-（-2）-C8<0

.•.系数的最小值为。5=（-2）5Ci=-1792

故选：c.

【变式10-U2.(2022上•安徽•高三校联考开学考试)已知⑺%+l)n(neN*,mER)的

展开式只有第5项的二项式系数最大，设(nix+l)n=&)+即尤+&2尤2+“.+即久、若ai

=8,则+…+斯=()

A.63B.64C.247D.255

【答案】C

【分析】根据二项式系数的性质求出“根据%=8求出小，再由赋值法求解即可.

【详解】因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以n=8,•,■a1

=Qs-m=8,:.m=1,

828

:.(x+l)=a0+a1x+a2x+,•,+a8x,令x=1,彳导劭+即+a2+CI3+,••+ag=2'=256,

令x=0,得％=1,

「.。2+。3+…+。九—256—8—1=247.

故选：C.

【变式10-1]3.(2022上•四川广安•高三四川省岳池中学校考阶段练习)已知2夜)”

的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为.

【答案】2

【分析】先算出心再写出通项公式，确定光的次数为整数即可

【详解】(e-2五)”的展开式有n+1项，因为仅有第5项的二项式系数最大，所以几=8

/1\8—rz1\r516

Tr+1=CS(x-3)-(-2%2)=Q.(—2)r/F

当r=2时卷r_葛=T当r=8时怖r-费=4,符合题意

所以展开式中有理项的个数为2

故答案为：2

【变式10-1】4.(2022上•上海浦东新•高三上海市洋泾中学校考阶段练习)已知二项式

(炉—2)6,在其展开式中二项式系数最大的项的系数为

【答案】-160

【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可

得至!1.

【详解】由题意知，九=6.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.

363一所以展开式中二项式系数最大的项的系数为

T4=cl-(%)-x(2>=—1603,-160.

故答案为：-160.

题型11系数最值

驷溺1占

二项式系数最大的项与系数最大的项不同，二项式系数最大的项即中间一项或两项；

展开始终系数最大的项的求法用解不等式组｛「：:虚爵:品Z屣%来确定r

【例题11】(2022•全国•高三专题练习)Q-l)9按x降幕排列的展开式中，系数最大的项是

()

A.第4项和第5项B.第5项

C.第5项和第6项D.第6项

【答案】B

【分析】利用二项展开式通项结合二项式系数的单调性可得出结论.

【详解】因为0—I/的展开式通项为九+1=瑶-x9-k-(—1)3

其中第5项和第6项的二项式系数最大，但第5项的系数为正，第6项的系数为负，

故(x-按X降幕排列的展开式中，系数最大的项是第5项.

故选：B.

【变式11-1】1.（2022•全国•高三专题练习）在—久）”的展开式中，所有奇数项的二

项式系数和为32,则展开式中系数最大的项为（）

r9-1rr7-ic

A.B.%c.萍D.失4

Z4ZZ

【答案】B

【分析】根据奇数项的二项式系数和为求得九，写出二项展开式，从而可得出答案.

【详解】解：因为在（代-3久）”的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为32,

所以2Al=32,解得n=6,

则（五-枭）=Ce（Vx）6+C^（Vx）5（-ix）+C|（Vx）4（-|x）+C^（Vx）3（-|x）

+Cg（Vx）2^-+盛代（一,久）+C^—~x^

=%3—3x2+~x4—1%2+^|x5—得疗+~^x6,

所以展开式中系数最大的项为净支

故选：B.

【变式11-1】2.（2022・全国•高三专题练习）在（x—“5的展开式中，炉的系数等于-5,

则该展开式的各项的系数中最大值为（）

A.5B.10

C.15D.20

【答案】B

【分析】求出二项式的通项公式，根据题意求出a,再根据二项式展开式的特征判断系数最

大项.

r

【详解】（》—“5的展开式的通项7r+]=C"5T■（_y=（_a）rCrxS-2ri

令5-2r=3,则r=1,所以-ax5=-5,即a=1,

展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数,

故各项的系数中最大值为此=10,

故选：B.

【变式11-U3.（2022上•陕西西安・高三陕西师大附中校考期中）已知（a2+1）叩勺展开式

中各项系数之和等于（雪妙+!『的展开式的常数项，而招+1）叩勺展开式中系数最大的项

等于54,则正数a的值为

【答案】V3

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令X的幕指数等